Cammini Minimi. Un problema molto comune. Formalizziamo. Peso di un cammino. Esempio. Ritorniamo all esempio iniziale. Input:

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1 Cammini Minimi Un problema molto comune i uole andare da alerno a Milano in auto percorrendo il minor numero di chilometri oluzione inefficiente: i coniderano TUTTI i percori poibili e e ne calcola la lunghezza [CLR cap. ] i dipone di una cartina tradale u cui ono eidenziate le interezioni tra le trade ed è indicata la ditanza tra ciacuna coppia di interezioni adiacenti Come i può indiiduare il percoro più bree da alerno a Milano? l algoritmo l non termina in preenza di cicli Conidererei anche alerno-reggio Calabria-Milano Ma difatto andrebbe cartato! Formalizziamo Input: G=(V,E) grafo orientato w : E R funzione peo Definizione: dato un percoro p=< 0,,, k > di ertici in G, il peo w(p) di p è la omma dei pei degli archi che lo compongono, oia Peo di un cammino Definizione: Il peo δ(u,) di un cammino minimo da u a in G è il minimo tra tutti i pei dei poibili cammini da u a, e eite, oia δ(u, ) = min{w(p) : p è un percoro tra u e } e eite un percoro tra u e altrimenti w(p) = k i= w( i-, ) i Definizione: Un cammino minimo da u a in G è un cammino p tale che w(p)= δ(u,) Eempio t Ritorniamo all eempio iniziale Come i può indiiduare il percoro più bree da alerno a Milano? Carta tradale come un grafo: Vertici ono gli incroci tradali; Archi ono i tratti di trada tra gli incroci; I pei ono le ditanze tradali 0 copo: troare un cammino minimo da un dato incrocio di alerno (ad e. Via dei Principati/Coro V. Emanuele) e uno di Milano (ad e. Viale F. Teti/ Via Zara) Il cammino minimo da e è <,,,> I pei poono rappreentare anche tempi, coti, penalità, o altre quantità che i accumulano linearmente lungo un cammino e che occorre minimizzare

2 Varianti del problema La BF è un cao peciale della P in cui gli archi hanno peo E la P in cui inerto la direzione degli archi ottotruttura ottima di un cammino minimo Gli algoritmi per cammini minimi i baano ulla proprietà che un cammino minimo contiene al uo interno cammini minimi (ottocammini minimi) ingle ource hortet Path: da un dato ertice orgente ad ogni altro ertice G grafo orientato e peato ingle Detination hortet Path: da un dato ertice detinazione d ad ogni altro ertice ottotruttura ottima di un cammino minimo ingle-pair hortet Path: Data una coppia di ertici (u,) da u a All-Pair hortet Path: Per ogni coppia di ertici (u,) da u a La proprietà della ottotruttura ottima è una garanzia per l applicabilità di algoritmi greedy (e di programmazione dinamica) Cao peciale di P (non i conocono algoritmi aintoticamente migliori nel cao peggiore del migliore algoritmo per Cao peciale di P (ma edremo un altro algoritmo) 7 8 ottotruttura ottima di un cammino minimo Lemma [CLR.] e p è un cammino minimo da u a, allora ogni ottocammino di p è anche un cammino minimo. q u p x q y p p Dim: iano x e y due ertici qualiai in p. ia q il ottocammino di p da x a y. Quindi w(p)=w(p)+w(q)+w(p). Vogliamo dimotrare che q è minimo. upponiamo per aurdo che eite un cammino q da x a y tale che w(q )<w(q). ia p il percoro ottenuto coniderando p, poi q e infine p. Allora w(p ) =w(p)+w(q )+w(p)<w(p)+w(q)+w(p)=w(p), aurdo 9 eendo p un cammino minimo da u a. ottotruttura ottima di un cammino minimo Corollario [CLR.] ia p un cammino minimo tra e e ia u il predeceore di lungo p. ia p il cammino da a ui. Allora δ(,)= (, ) δ(,u)+w(u,) (, ) (, ) Dim. : Dal lemma precedente, i ha che egue che p è un cammino minimo tra ed u. p p u 0 Archi con pei negatii? L algoritmo che edremo uppone che i pei degli archi iano tutti non negatii (eempio della cartina tradale). Eitono altri algoritmi (Bellman-Ford, che non edremo) che accettano archi di peo negatio e fornicono una oluzione corretta e non eitono cicli di peo negatio, che poono eere percori a partire dalla orgente. Perché i cicli di peo negatio danno fatidio? Cicli negatii? e eite un ciclo negatio lungo un percoro da a, allora non è poibile definire lo hortet path da a z -7 y 7 w Il ciclo <z,w,y,z> ha peo - Attraerando il ciclo <z,w,y,z> un numero arbitrario di olte poiamo troare percori da a di peo empre più piccolo i pone d(,)=

3 Rappreentazione dei cammini minimi ia G=(V,E), V = orgente Ad ogni ertice V aociamo un ertice predeceore π[]. Definiamo G π =(V π,e π ) il ottografo predeceore di G con V π ={ V: π[] NIL} {} E π ={(π[],) E : V π -{}} BF Algoritmo di Dijktra ( 9) Per ogni ertice, l algoritmo mantiene gli attributi d[] : rappreenta una tima di δ(,), cioè d[] δ(,) π[] : predeceore di nel cammino di peo d[] da a Prim Un ottografo predeceore G π è uno hortet-path tree per G e V π è cotituito da tutti i ertici di G raggiungibili da G π forma un albero con radice il cammino emplice da a in G π coincide con lo hortet path da a in G Queti attributi engono aggiornati mediante la coiddetta tecnica del rilaamento degli archi Quando un arco (u,) iene rilaato i erifica e è poibile ottenere un cammino da a migliore di quello di coto d[], cioè precedentemente troato, uando inece l arco (u,). Rilaamento e inizializzazione p u Idea dei pai dell algoritmo //modifica di d e poi di π // predeceore di u ul cammino di peo d[] Differenza con Prim INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0. i eegue INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ). Ogni arco (u,) iene rilaato eeguendo RELAX(u,, w). L algoritmo termina quando i alori di d coincidono con i pei dei cammini minimi L ordine in cui gli archi engono rilaati dipende dal tipo di algoritmo. Alcuni algoritmi rilaano ciacun arco più olte L algoritmo di Dijktra Input: grafo direzionato G=(V,E) con archi di peo maggiore o uguale a 0 (rappreentato con le lite di adiacenza); =orgente L algoritmo mantiene per ogni u V, i alori d[u] e π[u] = inieme di ertici per cui è tato già determinato un cammino minimo Per ogni u i ha d[u]=δ(,u) Q = coda a priorità che contiene i ertici che non ono in Per ogni u Q, la chiae che determina la priorità di u è d[u] Output: π: ottografo predeceore, d: pei dei cammini minimi da a tutti gli altri ertici 7 Algoritmo di Dijktra DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) {u} INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) π[] [ ] nil d[] 0 celgo il ertice più leggero (celta greedy) 8

4 Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) A,0 0 I alori nei ertici indicano i alori di d B, 7 9 C, Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) Q={[A,0],[B, ],[C, ],[D, ],[E, ]} u=a 0 B, A,0 7 9 Q={[B, ],[C, ],[D, ],[E, ]} C, INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Q={[A,0],[B, ],[C, ],[D, ],[E, ]} INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Q={[B, 0],[C, ],[D, ],[E, ]} 9 0 Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) Q={[B, 0],[C, ],[D, ],[E, ]} u=c 0 B,0 A,0 7 9 C, Q={[B, 0],[D, ],[E, ]} Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) Q={[B, 8],[D, ],[E, 7]} u=e Q={[B, 8],[D, ]} 0 B,8 A,0 7 9 C, D, INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Q={[B, 8],[D, ],[E, 7]} INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Q={[B, 8],[D, ]} Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) Q={[B, 8],[D, ]} u=b Q={[D, ]} 0 B,8 A,0 7 9 C, D, Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) Q={[D,9]} u=d Q uota 0 B,8 A,0 7 9 C, D,9 INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Q={[D,9]} INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0

5 Eempio DIJKTRA(G,w,) INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) do u Extract-Min(Q) A,0 0 B,8 7 9 C, D,9 INITIALIZE-INGLE-OURCE(G, ) d[] 0 Gli archi eidenziati formano lo hortet-path tree