TRACCIA DI STUDIO. Tecniche di campionamento. Popolazione e campione

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1 TRACCIA DI STUDIO Popolazione e campione Dopo aver individuato e definito la popolazione da eaminare, che può eere finita o infinita, arebbe ideale condurre l indagine u tutti gli elementi della popolazione; poiché ciò è praticamente impoibile, e ne eamina un ottoinieme (campione), celto opportunamente, per generalizzare poi alla popolazione i riultati ottenuti. Rappreentatività del campione ed errore di campionamento Aume fondamentale importanza la rappreentatività del campione, ovvero la ua capacità di aomigliare alla popolazione da cui è tato etratto. Tra caratteritiche delle unità campionarie e caratteritiche della popolazione eiterà comunque empre una differenza, ignota, detta errore di campionamento. Queto errore può derivare: dalla caualità della celta, valutabile e quindi controllabile facendo riferimento alle ditribuzioni di probabilità; da una elezione non corretta (vizio di campionamento), alla cui riduzione provvedono le tecniche di campionamento. Conviene quindi privilegiare tecniche cauali tenendo preente che gravi vizi di campionamento portano a invalidare tutta la ricerca. Tecniche di campionamento Le principali tecniche di campionamento ono: campionamento cauale (randomizzazione). La celta viene effettuata in modo completamente cauale tramite orteggi o metodi corripondenti quale l uo dei numeri cauali; ogni unità della popolazione ha una probabilità di eere elezionata (generalmente uguale per tutte, ma talvolta diverificata) una o più volte (campionamento enza o con ripetizione); campionamento tratificato. La popolazione viene uddivia in tanti ottoiniemi (trati) in bae a pecifici criteri (eo, età ecc.) e il campione deve riprodurne la truttura in modo proporzionale; per ogni trato i effettua una celta cauale; ciò comporta un miglioramento della rappreentatività del campione; campionamento itematico. Indicato oprattutto per popolazioni infinite o particolarmente numeroe; i eleziona una unità ogni tanto, a cadenza prefiata in modo cauale; campionamento a preentazione. Impiegato quando le unità della popolazione ono conociute a priori e vengono identificate olo in particolari ituazioni (per eempio, in tudi clinici); un campionamento dei tipi precedenti riulta impoibile o richiederebbe tempi troppo lunghi.

2 Tabelle dei numeri cauali Eitono tabelle predipote di numeri cauali che permettono di effettuare a tavolino una elezione campionaria rigoroamente cauale. Quando il campione deve eere ripartito in più gruppi perimentali, biogna ancora ricorrere alla caualità per l aegnazione ai gruppi e, anche per queta operazione, ono indicate le tabelle di numeri cauali. Inferenza tatitica La tatitica inferenziale i propone, nelle ricerche oervazionali, di utilizzare i valori del campione (time campionarie) per definire tendenza centrale e variabilità di una popolazione (parametri) e, nelle ricerche perimentali, di valutare probabiliticamente e variazioni e differenze oervate iano giutificate dal cao oppure avallino le ipotei iniziali della ricerca. Stima intervallare di una media Se un campionamento cauale viene ripetuto infinite volte, i ottengono altrettante time della media. Dallo tudio della loro ditribuzione teorica deriva il teorema centrale del limite: le medie campionarie i ditribuicono come una gauiana, con media coincidente con la media della popolazione e deviazione tandard rappreentata dall errore tandard. Per queta ditribuzione, i poono coniderare intervalli di valori intorno alla media campionaria (intervalli di confidenza) tali da includere, con la probabilità deiderata, la media vera della popolazione. Nel cao di piccoli campioni, il calcolo degli intervalli di confidenza deve eere riferito a una famiglia di ditribuzioni definita ditribuzione del t di Student. Stima intervallare di una frequenza percentuale Anche la tima campionaria di una frequenza relativa (o percentuale) viene utilizzata a copo inferenziale per calcolare gli intervalli di confidenza della frequenza del fenomeno nella popolazione. ESERCIZI 1. Quale ignificato dobbiamo attribuire al concetto di popolazione tatitica? 2. Una popolazione tatitica deve eere numericamente quantificabile. Vero o falo? 3. Si definice campione un ottoinieme della popolazione, purché elezionato dallo tatitico del gruppo di ricerca. È corretto? 4. Un docente di fiiologia in un coro con 26 alunni decide di effettuare una verifica a campione interrogando cinque tudenti, uno ogni tre, econdo l ordine alfabetico a partire dal econdo icritto nel regitro (econdo, quinto, ottavo, undiceimo, quattordiceimo). Si tratta di un campionamento cauale? 5. In tatitica i incontrano i imboli, x, σ, µ. Quale ignificato hanno? 6. Come può eere celto un campione del 10% da una popolazione compota da 230 individui mediante un campionamento cauale emplice? 7. In bae ai dati relativi alla popolazione di un piccolo centro, indicare come può eere etratto un campione rappreentativo del 15%, apendo che la popolazione è coì ditribuita:

3 Età Femmine Machi Totale > Totale Utilizzando i numeri cauali della Tabella 9.2, elezionare un campione di 10 individui da una popolazione di 626 individui, enza ripetizione. 9. Aegnare un campione di 16 oggetti a 4 trattamenti diveri A, B, C, D, utilizzando la eguente tabella di numeri cauali La glicemia determinata u un campione di 41 individui ha portato alla eguenti time: x 87 mg/dl e 11 mg/dl. Qual è l intervallo di confidenza al 95% della media della popolazione beraglio (popolazione che il campione rappreenta)? 11. In un campione di 14 miure a carattere quantitativo i ottiene x 41 e 7. Qual è la media della popolazione al livello di confidenza del 99%? 12. Nella reviione di una rivita a carattere biomedico i ricontra che, in un campione di 147 articoli, 64 preentano concluioni tatitiche non compatibili con i dati preentati. Quale percentuale di articoli pubblicati i preume abbia, al 95% di probabilità, una tatitica corretta? 13. Calcolare l intervallo di confidenza al 95% dei dati dell eercizio 9 del Capitolo 5 (concentrazioni anticorpali): RISPOSTE 1. Una popolazione tatitica è un inieme di oggetti, di individui o comunque di elementi aventi in comune la o le caratteritiche da tudiare. È fondamentale definire i criteri in bae ai quali un elemento appartenga o meno a una popolazione tatitica, ma queta appartenenza non è univoca, in quanto un elemento può appartenere contemporaneamente a più popolazioni. Una paziente ipertea, poata con figli, ricoverata in ortopedia può far parte di molteplici popolazioni: eo femminile, coniugati, ipertei ecc. Inoltre, una popolazione tatitica olo in cai particolari coincide con una popolazione geografica o reidenziale.

4 2. Falo. Una popolazione tatitica può eere quantificata e è finita, cioè e tutti gli elementi ono identificati. Ma eitono popolazioni infinite, non quantificabili in quanto gli elementi non ono tutti noti o comunque raggiungibili (per eempio, i portatori di una patologia non ancora diagnoticata). 3. Si può definire correttamente campione un ottoinieme della popolazione, e organizzato in modo da rappreentare la popolazione. Nelle ituazioni più emplici, la elezione non richiede neceariamente uno tatitico, purché iano eguite le tecniche di campionamento cauale. Nei cai più complei, occorre l intervento di uno pecialita. 4. Siamo di fronte a un campionamento itematico con pao tre, ma la caualità non è tata ripettata. La celta del primo non è tata decia dalla orte e il pao decio dal docente eclude aprioriticamente dalla poibilità di eere interrogati gli tudenti dal quindiceimo icritto in poi. In queto frangente, per un campionamento cauale arebbe tato preferibile effettuare un orteggio, oppure, fermo retando un campionamento itematico, avrebbe dovuto eere caualizzata la celta del primo, dal momento che il campione previto è circa il 20% della popolazione beraglio (la clae). Per eempio, e il primo orteggiato è il 14 i ucceivi aranno nell ordine: 19, 24, 3 (uperato il 26, i riprende dal primo) e x e indicano, ripettivamente, la media e la deviazione tandard di un campione e rappreentano le migliori time dei valori veri della media e della deviazione tandard (o parametri) della popolazione. I parametri, per ditinguerli dalle time campionarie, vengono eprei con le corripondenti lettere greche µ e σ. 6. Il 10% di una popolazione di 230 perone è pari a 23 unità; quete poono eere celte, per eempio, per orteggio dopo aver aegnato un numero da 1 a 260 a ciacun individuo. Un metodo alternativo al orteggio è l uo di una tabella dei numeri cauali: i celgono numeri con tre cifre, dal momento che il numero più alto aegnato alla popolazione è di tre. Per veltire l operazione, riducendo la quantità di numeri uperiori a 260, inutili e da cartare, i può adottare il criterio di ottrarre da ei un valore pretabilito (per eempio, e in queto campionamento ai numeri uperiori a 500 i ottrae 500, i recuperano altre poibilità, empre cauali, di celta: il 702 permette la elezione del numero 202 e coì via). 7. La elezione cauale del 15% di oggetti ul totale della popolazione garantice la caualità, ma potrebbe riultare poco rappreentativa e il carattere eaminato dipende dal eo e dall età. Avendo a dipoizione i dati uddivii per eo e per clai di età, conviene effettuare un campionamento tratificato. Si tabilice, arrotondando all unità, quanti individui debbano entrare in ciacuno trato per mantenere nel campione le proporzioni della popolazione. Per un campione compleivo di oggetti, il primo trato, femmine 0-14 anni, deve eere rappreentato da unità. La truttura del campione riulta la eguente: Età Femmine Machi Totale > Totale Per ciacuno trato della popolazione viene effettuato un campionamento cauale.

5 8. Eendo la popolazione cotituita da 625 individui, i devono prendere dalla tabella numeri a tre cifre, non coniderando quelli uperiori a 625; vengono eliminati anche eventuali numeri già etratti in quanto il campionamento non prevede la ripetizione. Il punto da cui partire e la direzione da eguire ono celti dallo perimentatore e le cifre vanno lette conecutivamente e enza interruzioni (alvo altri criteri da eguire in tutta l operazione). Si può, per eempio, partire dalla econda riga, 12 a colonna, e andare dall alto vero il bao; completata la colonna i continua nella ucceiva vero detra. Decii queti criteri, gli individui elezionati riultano quelli contraegnati dai numeri: Si aocia a ogni individuo un numero cauale di 2 cifre partendo, per eempio, dalla 6 a cifra della 1 a riga. Si uddividono i oggetti in 4 gruppi di 4 unità utilizzando il metodo dei reti con diviore 4. Soggetto Numero (51) (19) Gruppo (3) 1 0 (3) Col 9 o individuo viene completato il gruppo a reto 3 (eventuali numeri ucceivi a reto 3 i cartano), col 10 o i completa il gruppo a reto 2 (eventuali numeri ucceivi a reto 2 i cartano) e col 14 o il gruppo a reto 1. Gli ultimi due individui vengono aegnati direttamente al gruppo incompleto a reto 0. Succeivamente, i trattamenti A, B, C, D verranno attribuiti per orteggio ai 4 gruppi. 10. Dalla ditribuzione gauiana delle medie campionarie deriva che il 95% di ee è compreo nell intervallo tra x 1.96 m e x 1.96 m. Per il calcolo dell intervallo di confidenza di una media, occorre determinare la deviazione tandard della media o errore tandard 11 m ES 1.72 mg/dl. N 4 1 Per cui IC 95% x z mg/dl. N Si può quindi ipotizzare che, al 95% di probabilità, la media vera della popolazione ia comprea tra 83.6 e 90.4 mg/dl (arrotondando all unità, tra 84 e 90). In effetti, teoricamente avremmo dovuto uare la deviazione tandard σ, ignota, della popolazione, mentre nel calcolo e ne utilizza una tima campionaria, oggetta come la media a errore di campionamento. Per ovviare alla coneguente maggior diperione i fa riferimento alla ditribuzione del t di Student, il cui valore critico, per gradi di libertà e al livello di ignificatività α = 0.05, è t L intervallo di confidenza della media della popolazione diventa allora: IC 95% x t mg/dl. N Con queto criterio di calcolo, la media della popolazione riulta comprea tra e mg/dl (arrotondando all unità, tra 84 e 90). Dal confronto dei riultati ottenuti, i può dire che in queto cao utilizzare la ditribuzione z o la ditribuzione t porta praticamente allo teo riultato. Ciò i verifica perché la numeroità campionaria è maggiore di 30. In cao contrario, avremmo dovuto uare obbligatoriamente la ditribuzione t.

6 11. Si tratta di calcolare un intervallo di confidenza per dati quantitativi riferiti a un campione di numeroità inferiore a 30 cai. Occorre fare riferimento a una ditribuzione del t di Student per 13 g.l., per cui la media vera della popolazione al 99% di probabilità è localizzata nell intervallo 7 µ x t , N 14 cioè comprea tra 35.4 e 46.6 (tra 35 e 47, volendo eprimere il riultato arrotondato all unità come i dati di partenza). 12. La frequenza percentuale di articoli contenenti elaborazioni tatitiche corrette riulta % 147 Tale tima campionaria i utilizza a copo inferenziale per calcolare l intervallo di confidenza della percentuale di articoli corretti: IC 95% P z 0.95 P ( 1 0 N 0 P) 56.5 ( ) Poiamo ipotizzare, con un margine di confidenza (fiducia) del 95%, che la percentuale vera compleiva di articoli con elaborazioni tatitiche corrette ia comprea tra il 52.4% e il 60.6%. 13. Precedentemente i è tabilito che la tendenza centrale migliore per queti dati è la media geometrica calcolata tramite la traformazione logaritmica (MG 10.0). Anche il calcolo della deviazione tandard della media, necearia per il calcolo dell intervallo di confidenza, deve paare attravero i logaritmi. Per fare ciò, è opportuno cotruire la eguente tabella: x ln x (ln x) da cui: ( ln x) 2 (ln x) 2 N N

7 L intervallo di confidenza per 5 g.l. riulta: IC 95% x t N 5 I limiti dell intervallo calcolato ui logaritmi ono pertanto e Operando la traformazione invera, i ottengono i limiti riferibili ai valori originali: e e e Se le concentrazioni rilevate ono rappreentative di una popolazione di concentrazioni, poiamo coniderare che la media della popolazione beraglio con una probabilità del 95% ia comprea tra 1.9 e Poiamo fare due importanti coniderazioni: la prima è che non deve meravigliare l ampiezza dell intervallo, dovuta oprattutto alla baa numeroità campionaria; la econda è che i limiti dell intervallo ono immetrici intorno alla media quando i valori ono eprei in logaritmi e diventano aimmetrici quando viene ripritinato l ordine di grandezza originale, e ciò nel ripetto della non linearità dei dati.