1) Progettazione di codici ciclici. 2) Esercizi sui codici ciclici. Mauro De Sanctis corso di Informazione e Codifica Università di Roma Tor Vergata
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1 Argomenti della Lezione Progettazione di codici ciclici Eercizi ui codici ciclici
2 Codici ciclici Oervazione: Se g divide ia m che n con m<n, m è una codeword del codice generato da g. m è il polinomio di codice di una codeword di peo pari a per il codice ciclico n,k il quale ha quindi ditanza minima d min. Tale codice può al maimo rivelare un ingolo errore. Per evitare queto inconveniente n deve eere il più piccolo intero tale che n è multiplo di g.
3 Tabella dei fattori di x n
4 Codici ciclici Grazie alle tavole dei diviori di n per diveri valori di n, il progetto di un codice ciclico di date proprietà i riduce ad una opportuna elezione dei diviori di n come candidati per il generatore g del codice.
5 ESERCIIO Si conideri il codice lineare a blocchi: C={0000, 00, 00, }. Si verifichi che il codice è ciclico e i determini il polinomio generatore.
6 ESERCIIO cont. Si può verificare che la tralazione ciclica ingola vero initra, indicata con σ. di ogni codeword è ancora una codeword: σ0000=0000 σ00=00 σ00=00 σ=
7 ESERCIIO cont. Per calcolare il polinomio generatore criviamo tutti i polinomi di codice: C={0,,, } In GF il polinomio generatore g è l unico polinomio di codice che ha grado minimo ecludendo il polinomio nullo, e quindi: g= Tale polinomio di codice di grado minimo è unico coì come è unico il polinomio generatore. Si può verificare che tutti i polinomi di codice ono un multiplo dig il quale ha grado n-k: n=, k=, n-k=.
8 ESERCIIO Trovare un polinomio generatore per un codice ciclico, utilizzando la tabella dei diviori.
9 ESERCIIO cont. Il polinomio generatore g di un codice, è un diviore di n = e di grado n-k= Dalla tabella dei diviori di n i verifica che per n= i ha: = I due polinomi g = e g = ono entrambi di grado e non ono diviori di neun altro polinomio n di grado n<. Quindi uno qualunque dei due polinomi è un poibile generatore per un codice ciclico,. Entrambi i polinomi generatori generano un codice di Hamming, che hanno un divero inieme di codeword. 9
10 ESERCIIO Si codifichi la equenza [] utilizzando il codice di Hamming, e l algoritmo baato ul polinomio generatore che porta ad un codificatore itematico. Si auma: g = 0
11 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Il codice di Hamming, dell eercizio ha il eguente polinomio di codice. = g u k n = = = u
12 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per codificare in modo itematico calcoliamo il reto della diviione:
13 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. E quindi il polinomio di codice aociato ad u è: Che corriponde a: x=[ ] = = r u x k n Che corriponde a: x=[ ]
14 ESERCIIO Progettare un codice ciclico, e cotruire il circuito codificatore di tipo itematico. Quanti errori può correggere?
15 ESERCIIO cont. Il polinomio generatore g di un codice, è un diviore di n = e di grado n-k=. Dalla Tabella dei diviori i ha: = Moltiplicando gli ultimi due fattori per ottenere un polinomio di grado, il polinomio: g = riulta un polinomio generatore per il codice ciclico,.
16 ESERCIIO cont. Le codeword ono: g = g 0 [ ] g [0 0 0 ] g [ 0 0 0] g [ ] con ditanza minima e quindi il codice può correggere: t = d min = =
17 ESERCIIO cont. Il circuito codificatore aociato al polinomio generatoreg = con n= e k= è il eguente: B A B B A A
18 ESERCIIO Cotruire un codice ciclico con n= e capace di correggere t= errori.
19 ESERCIIO cont. Dalla tabella dei polinomi diviori di n, per n= i ha: n 0 9 = Poiché il polinomio rappreenta il polinomio di una codeword di peo, eitono due oli polinomi generatori che permettono di avere t=, e ono: 0 g = 9 g = Si può verificare la Hamming bound per n-k=, n=, k=:!!!!!0! = = = 0= n = i La Hamming bound è verificata con il egno di uguaglianza e quindi il codice ciclico, è perfetto e ha come generatore g o g. Tale codice è il codice binario di Golay. n! i! n i! 9
20 ESERCIIO Si conideri il codice ciclico, capace di correggere t= errori e con polinomio generatore: g = Si decodifichi il vettore ricevuto y=[ ] 0
21 ESERCIIO cont. Dato y=[ ], il polinomio ricevuto riulta: y 0 9 = La indrome relativa al vettore ricevuto e le indromi relative alle tralazioni cicliche del vettore ricevuto ono: i y = q g modg i =
22 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Infatti, per la prima indrome i ha: g q y = =
23 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per la indrome i ha: con mod = = i g i i =
24 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per la indrome i ha: 9 9 con mod = = i g i i =
25 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per la indrome i ha: con mod = = i g i i =
26 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per la indrome i ha: con mod = = i g i i =
27 ESERCIIO ESERCIIO cont cont. Per la indrome i ha: con mod = = i g i i = 9 9
28 ESERCIIO cont. = = = = = = Poiché la indrome ha peo, allora poiamo fermarci con il calcolo delle indromi, e il vettore di errore è: e n 0 = mod =
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