Relazione di Laboratorio di Fisica I Anno Accademico 2018/2019

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1 Valutazione prima parte: B Valutazione econda parte: B Relazione di Laboratorio di Fiica I Anno Accademico 18/19 Eperienza di laboratorio n 3 Dicembre 18 Miuel periodo di ocillazione e della cotante elatica della molla di un ocillatore armonico emplice Gruppo n 8 Giueppe A. Motii Salvatore Muratore Marco Parii Mirco Perna Sari Davide Indice Introduzione e obiettivo Strumentazione e materiale impiegato.. Cenni Teorici.. Procedimento. 3 Prima parte 3 Itogrammi 4 Analii qualitativa Analii teorica 6 Seconda parte 7 Coefficiente angolare e metodo di maima e minima pendenza 9 Cotante elatica e metodo di maima e minima intercetta Cotante elatica e linearizzazione 11 Concluione.. 13 Note al lettore e bibliografia 13 1

2 Introduzione ed obiettivo Data una molla, delle mae campione ed un cronometro digitale, l eperienza conite nel: Prima parte a)cotruire un ocillatore armonico; b)contare quanto tempo impiega la molla a compiere dieci ocillazione, tale procedura andrà ripetuta venti volte. c)ricavare il periodo di ocillazione dell ocillatore; Seconda parte Determinare la cotante elatica della molla K tramite la miuel periodo T di ocillazione, ottenuto. Strumentazione e materiale impiegato Treppiedi metallico di otegno; Molla con gancio in legno; Campioni di maa varia; Cronometro digitale: tale trumento viene impiegato per la miui intervalli di tempo Δt.L errore di rioluzione è di,1.; a ciò va ommato l errore cauale dell operatore che dipende principalmente dalla prontezza e della meticoloità di chi eegue le miure. Cenni teorici Deviazione tandard: σx = ( 1 n 1 ) (x i x) ; (1) x i x n dove è il valore della miura i-eima e è la media aritmetica delle miure. Ea indica di quanto in media le miure ottenute in una erie di oervazioni i dicotano dal valore medio x. Il valore di σx dipende da come ono parpagliate le miure attorno al valore medio a caua della preenza di errori cauali nelle ingole miure. Legge di Hooke F = K (l l ); K l l dove è la cotante elatica; con la lunghezza non a ripoo della molla e la lunghezza a ripoo della molla. () Periodo Il minimo intervallo di tempo dopo il quale le caratteritiche di un fenomeno o il valore di una grandezza variabile nel tempo tornano a eere gli tei.

3 Full Width at Half Maximum La "larghezza a metà altezza" è la larghezza di una funzione data dalla differenza fra i valori aunti dalla variabile indipendente x quando la variabile dipendente y è pari a metà del uo valore maimo. Procedimento Prima parte Gli operatori, utilizzando dei campioni di maa totale pari a 7 g. Come primo pao hanno proceduto attaccando tale campione alla molla dinamometrica, miurando con il cronometro il periodo di ocillazione relativo a tale maa. Poiché la miurazione del tempo di una ingola ocillazione porterebbe ad avere un errore cauale troppo elevato, i ritiene conveniente miurare il tempo T di ocillazioni. Pertanto, ciacun operatore ha effettuato miurazioni con tale maa, al fine di poter attuare l analii tatitica delle miure ottenute. Succeivamente ono tati creati gli itogrammi relativi al et di miure di ciacun operatore, indicati con il nome di ogni ingolo componente. Ed in eguito un itogramma compleivo, indicato con TOT, relativo a tutti i et di miure. L intervallo calcolato deriva dal rapporto tra la differenza tra il valore maimo ottenuto e il valore minimo ottenuto in aoluto u, in modo di ottenere gli itogrammi con la tea cale. Ne egue che ogni intervallo è pari a: bin = t MAX t MIN 8, 7,7 = ( ) =, ; [7,7 ; 8, ] Si conclude che l intervallo ottimale è:. (3) Per ogni et di dati i è quindi cercato di ricavare il valore bet del periodo di ocillazione e la deviazione tandard, confrontandoli in eguito con quelli ottenuti tramite calcoli. In queto cao il valore non è altro che il valore medio, quindi: T BEST T T BEST = T = 1 n T i L errore totale come omma dell errore trumentale del cronometro, più la deviazione σ x = σx n tandard della media pari a () in cui è il numero delle miure. n (4) Quindi T = T BEST ± (δx tr. + σ x). (6) T T = T Infine il periodo è:. (7) 3

4 Davide Giueppe 1 1 7,8 7,9 8 Time() 7,8 7,9 8 Time() Marco Mirco 1 1 7,8 7,9 8 Time() 7,7 7,8 7,8 7,9 7,9 8 8, Time() Salvatore 1 4 7,8 7,9 8 Time()

5 TOT 7,8 7,9 8 Time() Analii qualitativa Quindi è tata eeguita un analii grafico che ha portato gli operatori alla eguente concluione: tutti i valori bet del periodo T cadono in un intorno del valore di 7,9. Per ogni grafico gli operato hanno ricavato la emi-larghezza a metà altezza attravero Full Width at Half Maximum, indicato con la lettera γ, verificando in eguito che ia imile con la deviazione tandard calcolata matematicamente. γ DAVIDE, γ GIUSEPPE, γ MARCO,7 γ MIRCO, γ SALVATORE,7 γ TOT,7

6 Analii teorica Vengono riportati i valori della deviazione tandard egue la tabella: σx calcolati tramite la formula (1), ne Davide Giueppe Marco Mirco Salvatore TOT U.M. :,3,7,4,6,,6 Si riporta in eguito la tabella dei valori T BEST, utilizzando la formula (4): Davide Giueppe Marco Mirco Salvatore TOT U.M. : 7,87 7,89 7,87 7,9 7,86 7,88 Da come i può notare i riultati ottenuti dalle due analii ono confrontabili ti loro. Inoltre anche le grandezze relative all itogramma compleivo ono concordi con quelle dei vari itogrammi. In concluione tramite la formula () e la formula (6), impiegando i dati dell itogramma TOT i ono ricavati il periodo di una ingola ocillazione relativa al campione di maa pari a 7 g e la ua indeterminazione: T = (,788 ±,16) con: σ x T BEST,6,788. 6

7 Seconda parte La econda parte gli operatori hanno adoperato cinque diveri campioni maa al fine di ricavare la cotante elatica. K Ne egue la tabella dei dati raccolti: 4 g g 6 g 9 g g,7 6,44 7,9 8,66 9,1,66 6,47 7,4 8,6 9,13,69 6,47 7,7 8,7 9,1,7 6,47 7,6 8,66 9,1,7 6,47 7,6 8,7 9,1,7 6,46 7,13 8,66 9,16,7 6,43 7,9 8,66 9,16,7 6,47 7, 8,7 9,19,7 6,47 7,3 8,7 9,,7 6, 7,13 8,66 9,1,7 6,47 7, 8,69 9,1,78 6,47 7,3 8,66 9,,81 6,47 7, 8,6 9,9,78 6,47 7, 8,7 9,13,7 6,46 7, 8,66 9,1,78 6,47 7,9 8,7 9,19,6 6, 7, 8,68 9,1,7 6,47 7,3 8,7 9,1,7 6, 7,9 8,66 9,13,74 6, 7,6 8,73 9,16 Utilizzando i procedimenti della parte precedente ono tati calcolati i periodi e le indeterminazioni relative ad ogni maa.!t!δt 4 g g 6 g 9 g g,73,647,78,869,914,18,14,16,17,16 7

8 Si ricava in eguito la frequenza angolare ω, che i ottiene dalla eguente relazione: ω = π T ; 4 g g 6 g 7 g 9 g g (8)!ω,96! 9,76! 8,87! 7,97! 7,7! 6,871! Si procede con il calcolo dell errore relativo di che per la teoria della propagazione degli errori nei prodotti corriponde all errore relativo di. Eo i calcola tramite la formula: T ω εx = δx X BEST ; (9) 4 g g 6 g 7 g 9 g g!εt = εω,3%,%,%,%,%,17% Ed infine viene calcolato l errore aoluto, ricordando che: δω = εω ω; () 4 g g 6 g 7 g 9 g g!δω,3!,19!,17!,16!,14!,11! Coefficiente Angolare Attravero il metodo di maima e minima pendenza 1, ono tati calcolati i coefficienti angolari delle rette di maima e minima pendenza al fine di ricavare il coefficiente angolare bet, in quanto occorreva verificare che la pendenza della retta trovata foe concorde con la legge che regola la frequenza angolare in funzione della maa, cioè: K ω = m ; K m ω Con la cotante elatica della molla, la maa ed infine la frequenza angolare. m (11) 8

9 m 1 A = ( ; 19,); B = ( ; 7,4); C = ( ;,96); D = ( ; 6,678); La apettata deve eere pari a. I punti trovati ono: Sono tati calcolati i coefficienti angolari m MIN e m MAX tramite la formula: Ottenendo i valori: m MIN =,43; m MAX =,9; m = log y y 1 log x x 1 ; (1) Quindi m BEST = m MAX + m MIN,9 + (,43) = =,1; δm = m MAX m MIN,9 (,43) = Aociato un errore Quindi il valore corriponde a: m = (,1 ±,8); Molto vicino al riultato apettato. =,8; (13) (14) Retta di maima e minima pendenza 1 3 C Frequenza angolare (rad/) A B D Maa(g)

10 Metodo di maima e minima intercetta Cotante elatica della molla In eguito utilizzando il metodo di maima e minima intercetta, gli operatori hanno fruttato la pendenza delle due rette per calcolare la cotante elatica K della molla impiegata. Sono tati trovati i eguenti punti: P = ( ;,16); Q = ( ;,); Sono tati celti i eguenti punti per fruttare la proprietà per cui il logaritmo di 1 vale. Si rammenti però che le miure riportate nel grafico ono in grammi, al fine quindi di ripettare l equazione dimenionale, biogna convertire i grammi in chilogrammi. Ne egue che ; (1) g = 1 kg Pertanto utilizzando la cala logaritmica, e la relazione (11): K Coniderando i punti e, per l uguaglianza 1. Quindi: K = log ω ; (17) Trovando: K MAX(Q) = 4,93 N m ; K MIN(P) = 4,1 N m ; log ω = log k 1 log m; P Q log m = log 1 = (16) Impiegando le formule utilizzate in precedenza per calcolare i valori bet e l errore relativo ad eo aociato, gli operatori ono giunti alla concluione che: K BEST = K MAX + K MIN = 4,7 N m ; (18) δk = K MAX K MIN =, N m ; (19) K = (4,7 ±,) N m Quindi.

11 Retta di maima e minima intercetta 1 3 Frequenza angolare(rad/) 1 Q P Maa(g) Metodo di linearizzazione Al fine di calcolare in una maniera alternativa la cotante elatica poto la variabile come egue nella eguente relazione: z z = T 4π T, gli operatori hanno in dove è il periodo di ocillazione; () Ed ucceivamente l errore relativo ad eo aociato, utilizzando le leggi di propagazione dell errore nei prodotti, trovando che: K εz = εt; (1) z 4g z g z 6g z 7g z 9g z g U.M.=!,83,,1,16,19, δz 4g δz g δz 6g δz 7g δz 9g δz g U.M.=!,4,,4,6,8,7 11

12 m = Kz Applicando la relazione. () Ricavandone l errore aoluto dalla formula (9). In eguito utilizzando il metodo di maima e minima pendenza 1, gli operatori hanno fruttato la pendenza delle due rette per calcolare la cotante elatica K della molla impiegata. Sono tati trovati i eguenti punti: A = (,73 ; 99,46); B = (,4 ; 48,9); C = (,117 ; 4,3); D = (,3 ; 9,8); Tramite l equazione (1), ono tati calcolati quindi K MAX e K MIN : K MAX = 4,88 N m K MIN = 4,64 N m ; ; Ne egue che: K BEST = 4,76 N m ; δk =,1 N m ; Quindi K = (4,76 ±,1) N m ; 1 Linearizzazione A D 9 Maa(g) B C 4 3 1,8,1,1,14,16,18,, z(^)

13 Da queti riultati i evince che i valori ottenuti con entrambi i metodi ono confrontabili. Pertanto i due metodi ono equicomparabili, ed utilizzabili a dicrezione dell operatore. Concluione Gli operatori concludono che i riultati ottenuti ono i eguenti: K Linearizzazione (4,76 ±,1) N m ; K loglog (4,7 ±,) N m ; m (,1 ±,8) Avendo inoltre ottenuto un coefficiente angolare di, anche queto valore è riportabile al valore apettato. Ergo i ritiene che, nonotante la preenza di errori cauali dovuti agli operatori, l eperimento ia tato compiuto nel modo più adeguato poibile. Note al lettore i)tutti i numeri decimali minori o uguali a cinque ono tati approimati per difetto, mentre i numeri decimali maggiori di cinque per ecceo. ii)per la teuella relazione è tato uato Page, per i grafici e le tabelle SciDavi. Page: SciDavi: Bibliografia 1 : Metodo grafico 1: rette di maima e minima pendenza; documenti_attivita_lezioni11/ Lab_Mec_-_Lez_1.pdf : Metodo grafico : rette di maima e minima intercetta; documenti_attivita_lezioni11/ Lab_Mec_-_Lez_1.pdf 13