Entropia. Disuguaglianza di Clausius. Considero un corpo S a temperatura a cui verrà fatta variare la temperatura innalzandola a T per poi

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1 Entroia Diuguaglianza di Clauiu Conidero un coro S a temeratura a cui verrà fatta variare la temeratura innalzandola a er oi riortarla a. Per cominciare ongo il coro S a contatto con una orgente ideale a temeratura > che cederà al coro S la quantità di calore > ; il coro S andrà a temeratura <. Succeivamente er riortare la temeratura di S al valore iniziale ongo il coro a contatto con la orgente ideale a temeratura < che aorbirà dal coro S la quantità di calore ; il coro S tornerà a temeratura <. < Notiamo che. vremo quindi ( ) + < eendo <, in concluione e con < < + Conideriamo oi la ituazione un o iù comlea di un itema S che comie una traformazione ciclica cambiando calore con le orgenti ideali a temerature Dimotreremo che anche er queto ciclo avremo + < /8

2 Per farlo conideriamo una terza orgente ideale di calore a temeratura ( < < ) che cambia calore con le altre due orgenti attravero macchine di Carnot. algono evidentemente le eguenti diuguaglianze: < > > da cui i ha < < < enendo conto che er i cicli di Carnot vale la relazione, e, i ha da cui i uò ricavare il calore totale cambiato dalla orgente a temeratura + + da cui eliminando i valori aoluti i ha + Rienando al calore cambiato dalla orgente a temeratura i avrà da cui, anche er non violare il econdo rinciio della termodinamica (enunciato di Kelvin). + Generalizzando la relazione avremo la diuguaglianza di Clauiu n i L uguaglianza è verificata olo e il ciclo è reveribile Definiamo entroia, che indicheremo con la lettera i S i i Più in generale criveremo d ds e integrando S ( ) S( ) Se integro u un ciclo allora ( ) S( d i i Entroia n i S, la grandezza e la variazione di entroia con d S ) e e è reveribile ma queto imlica che la variazione di entroia diende olo dagli tati iniziali e finali delle traformazioni, cioè i i /8

3 l entroia è una funzione dello tato del itema. Per cicli non reveribili avremo S ( ) S( ) d u cicloirreveribile d Se un itema è iolato non cambia calore con l eterno, d e quindi e infine ( ) S( ) S da cui ovvero ( ) S( ) S er una qualunque traformazione che avviene in un itema iolato, l entroia dello tato finale non uò mai eere inferiore a quella dello tato iniziale, l uguaglianza vale olo e nel itema iolato avvengono ecluivamente traformazioni reveribili. La Natura fa ì che i itemi evolvano autonomamente vero ituazioni che rovocano aumento di entroia e olo quando raggiungono la ituazione di maima entroia comatibile con le caratteritiche del itema i arretano i cambiamenti. L entroia introduce anche il concetto di freccia del temo: le equazioni della fiica normalmente e ammettono oluzione er il temo t, anche il temo t è oluzione del roblema dato. Invece la diuguaglianza di Clauiu ci dice che er itemi iolati olo alcune traformazioni ono ammiibili in modo naturale. Per eemio coniderando il rimo rinciio della termodinamica U + L la traformazione L è ammiibile enza roblemi, mentre L è ammea con certi limiti. Una nuova formulazione del econdo rinciio della termodinamica che utilizzi l entroia è il eguente Un itema iolato che è tato erturbato, giunge ad una nuova condizione di equilibrio che è quella a cui corrionde il maimo aumento dell entroia comatibile con il rietto del rimo rinciio della termodinamica (maima entroia e conervazione dell energia!) Calcolo dell entroia in articolari traformazioni nalizziamo la variazione di entroia er le traformazioni iù comuni. Per il tio di calcolo che dovrà eere fatto è oortuno remettere un riultato del calcolo integrale: b a b dx x a ( b) ( a) /8

4 e ricordare che S ( ) S( ) aiamo ad analizzare la variazione di entroia er le eguenti traformazioni: d ioterma d d da cui d nr d nr Eendo ioterma avrò nr Si arebbe otuto calcolare direttamente da d nr iocora d d la variazione i entroia d nr er il calcolo della variazione di utilizzo la relazione valida a volume cotante d mc d vrò quindi da cui d mc d mc d d mc iobara mc er il calcolo della variazione di utilizzo la relazione valida a reione volume cotante vrò quindi d mc d da cui d d mc mc d d mc conideriamo il rimo rinciio nella forma vremo allora mc traformazione qualiai d dl + du d + mc d. d d d d d + mc nr + mc da cui S d d d nr + mc e infine + nr mc 4/8

5 Con qualche emlificazione i avrà m M e ricordando R c + mc m R M R c c e γ i avrà M c + c m ( c ) c c + o anche l equivalente γ mc ( ) + γ mc γ mc γ γ eercizio - ag. 468 HRW Una mole d azoto ( n i trova confinata in una metà di un reciiente nella cui altra metà è tato fatto il vuoto. ) Laciando il ga libero di occuare tutto il reciiente il uo volume raddoia e la traformazione è irreveribile. Per determinare la variazione di entroia conidero la traformazione come ioterma vrò quindi nr R R( ) eercizio - ag. 468 HRW Conideriamo come eemio la variazione di entroia di un itema cotituito da due blocchi uguali di rame, di maa m.5 kg, il rimo a temeratura t 6 C e il econdo a temeratura t C, inoltre è noto che il calore ecifico del rame è c 86 kg K I due cori ono a contatto e cambiano calore enza dierione raggiungendo la condizione di equilibrio termico a temeratura t 4 C. Si avrà K d mc d mc d mc d mc vrò oi + mc + mc mc + da cui avrò 5/8

6 mc Sotituendo i dati e ricordando di traformare le temerature in gradi Kelvin avrò Il itema, laciato libero di evolvere naturalmente, ha incrementato la ua entroia come richieto dalla diuguaglianza di Clauiu. ndiamo ad analizzare il comortamento dell entroia in raorto alla conervazione dell energia. Se eguiamo l evoluzione del itema dallo tato iniziale fino al raggiungimento dell equilibrio termico i oerva un continuo cambio di calore fra i due cori unito all aumentare continuo dell entroia del itema. Se giunti all equilibrio termico laciaimo roeguire il aaggio di calore emre nel eno dal coro al coro, oerveremmo una diminuzione dell entroia unita alla violazione del econdo rinciio nell enunciato di Clauiu. > m,5 m,5 t 6, t,, 9, c 86, c 86, K e, max 58, 58, Ste S S Diff. em. ariaz. entroia,,,, 9,,, 4,,,,7 6,45 -,9 9,6 6,45,4 8,75,5,,75 74,9 -,8 94,5 74,9,47 7,5,9,, 87,6 -,7 94,88 87,6,7 6,4,4 4,,5 449,8-4,7 95,5 449,8 4,9 4,99,56 5, 9,87 8,7-5,47 96, 8,7 6,5,74,68 6, 9,4 74,7-6,57 96,76 74,7 7,8,49,8 7, 8,6 57,8-7,67 97,8 57,8 8,6,4,9 8, 7,99 899,6-8,77 98, 899,6 9,8 9,98,4 9, 7,7 6,9-9,88 98,6 6,9, 8,7,5, 6,74 64,54 -,99 99,6 64,54,4 7,48,5, 6, 986,99 -, 99,89 986,99,45 6,,5, 5,49 449,45 -,,5 449,45 4,66 4,98,45, 4,86 47,9-4,,4 47,9 5,86,7,54 4, 4,4 574,6-5,44,76 574,6 7,6,47,6 5,,6 546,8-6,56,9 546,8 8,6,,7 6,, ,6-7,68, 5799,6 9,46 9,97,78 7,,6 66,7-8,8,64 66,7,66 8,7,85 8,,7 654,7-9,9 4,7 654,7,85 7,46,9 9,, 6886,6 -,6 4, ,6,4 6,,98,,48 749,8 -,9 5,5 749,8 4, 4,96,4, 9,85 76,5 -, 6,5 76,5 5,4,7,9, 9, 797,99-4,46 6,77 797,99 6,59,46,4, 8,6 86,44-5,59 7,4 86,44 7,78,,8 4, 7, ,9-6,7 8, 8698,9 8,95 9,95, 5, 7,5 96,5-7,87 8,65 96,5, 8,7,6 6/8

7 6, 6,7 94,8-9, 9,8 94,8, 7,45,9 7, 6, 9786,6 -,6 9,9 9786,6,47 6,, 8, 5,47 48,7 -,,5 48,7,64 4,94, 9, 4,85 5,7 -,46,5 5,7 4,8,69,5, 4, 87,6 -,6,78 87,6 5,97,44,6,,59 6,7-4,77,4 6,7 7,,9,7,,97 598,5-5,9, 598,5 8,9 -,6,7,,4 96,98-7,8,66 96,98 9,45 -,,7 4,,7,44-8,4 4,8,44 4,6 -,57,6 5,,9 685,89-9,4 4,9 685,89 4,75 -,8,5 6,,46 48,4-4,57 5,54 48,4 4,9-5,7, 7, 9,84 4,8-4,74 6,6 4,8 44,5-6,, 8, 9, 77,5-4,9 6,79 77,5 45, -7,58,8 9, 8,59 45,7-44,9 7,4 45,7 46,4-8,8,5 4, 7, ,6-45,6 8,4 4498,6 47,48 -,8, 4, 7, 486,6-46,44 8,67 486,6 48,6 -,,8 Entroia itema Entroia ottoitemi,5 6,, 4,,5,,5,, 5,, 5,, 5,, 5, 4, 45, S S,,,,,, 4, 5, -, -4, -6, Fuione del ghiaccio Eemio g.96 ermologia-maldi Un blocco di ghiaccio di maa m.45 kg i trova alla temeratura t C è oto a contatto con una orgente ideale di calore fino a che il ghiaccio i è comletaente fuo. ual è la variazione di entroia? Come rimo ao determino il calore aorbito dal ghiaccio tramite la maa e il calore latente di fuione L f 5.4 kg m L f L aorbimento di calore avviene a temeratura cotante dato che durante la fuione la temeratura è t C vremo quindi er l entroia 5.5 S Legame entroia-rendimento K ediamo ora la relazione fra e η er una macchina ciclica di Carnot. 7/8

8 Il ga interno alla macchina comie un ciclo ritornando allo tato iniziale e quindi enza variazione di entroia (la macchina di Carnet è reveribile η da cui e quindi ( η ) < ); conideriamo allora coa uccede er le due orgenti. η e quindi ( η ) Calcolo la variazione di entroia + ( η ) + ( η ) ( η ) Il egno di è evidentemente oitivo, infatti > e allora, er l aumento d entroia, i avrà ( ) > η da cui infine η < Il rendimento non uò eere grande a iacere ma è limitato! S k log( π ) Entroia econdo oltzman 8/8