Si considera un corpo solido a forma di parallelepipedo, di spessore d [m] e facce maggiori con superficie S [m 2 ], tale che sia T 1

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1 I itemi termici La reitenza termica Se ue corpi aventi temperature ivere vengono mei a contatto, i ha un paaggio i quantità i calore al corpo a temperatura maggiore vero quello a temperatura minore, fino al raggiungimento ell equilibrio termico La tramiione el calore avviene: per conuzione: i ha eenzialmente nei olii, ove la tramiione el calore avviene per traferimento i energia cinetica tra le molecole ei corpi a contatto, alla zona a temperatura maggiore, vero quella a temperatura minore; per convezione: i realizza attravero un fluio che, muovenoi, traporta l energia termica al corpo a temperatura maggiore (orgente) vero quello a temperatura minore; per irraggiamento: il traporto avviene attravero one elettromagnetiche e è poibile anche nel vuoto Sviluppano eempi i controllo elettronico i itemi i ricalamento, i fa riferimento unicamente alla tramiione per conuzione nei olii L obiettivo è efinire un legame matematico (moello), tale che ia poibile imenionare il ricalatore e il relativo controllo, conoceno i parametri el itema a ricalare Si coniera un corpo olio a forma i parallelepipeo, i peore [m] e facce maggiori con uperficie S [m 2 ], tale che ia la temperatura u una elle facce maggiori e quella ull altra, con > (figura A) G () Φ () Φ () A B Figura A) Conuzione i calore attravero una uperficie; B) moello equivalente ella reitenza termica Fluo termico Φ: rappreenta la quantità i calore che i traferice alla faccia a temperatura maggiore a quella a temperatura minore nell unità i tempo Se i inica con Δ la variazione ella quantità i calore tra le ue facce el olio e con Δt l intervallo i tempo in cui i ha tale variazione, il fluo termico vale: Φ= J = W t Il fluo termico è legato alle caratteritiche fiiche el corpo attravero il quale avviene la conuzione alla relazione: Φ= k S t ( ) 2 = () ueto file cotituice un approfonimento online el coro i Sitemi e automazione i Paolo Guii e Stefano Miranola Zanichelli Eitore SpA, Bologna [9387er]

2 Il termine k viene efinito conucibilità termica, perché ha valore elevato nei buoni conuttori i calore e bao negli iolanti e i miura in joule u econi per kelvin per metro: J Km La () eprime variazioni che avvengono in funzione el alto termico Δ(t) = [K] (kelvin) e el tempo; per una corretta formulazione el moello matematico, è opportuno efinire le granezze in funzione el tempo, conierano i valori itantanei, ovvero: Δt 0 t (ifferenziale el tempo) In tal moo, la () iviene: t ( ) Φ () t = = k S t () (2) t eitenza termica i conuzione: è il termine = K nella (2) La ks J reitenza termica è baa nei conuttori e alta negli iolanti; otitueno t ( ) nella (2), i ottiene: Φ () t = = t () t Il moello rappreentato alla (2) efinice un legame tra il fluo termico Φ(t) e il alto termico Δ(t) e anche una relazione ifferenziale tra la quantità i calore (t) e il tempo t È opportuno quini fare uo ella traformata i Laplace, allo copo i eprimere la funzione i traferimento i un itema che traferice calore per conuzione Nella funzione i traferimento, la granezza ucita è il alto termico e quella ingreo è la quantità i calore traferita Inicano con: Δ() = L [Δ(t)] la L-traformata el alto termico; Φ() = L [Φ(t)] la L-traformata el fluo termico; () = L[(t)] la L-traformata ella quantità i calore traferita t ( ) icorano il teorema ella erivata i Laplace, per cui = () e alla formula (2) riulta: t () Φ () = () = (3) Dalla (3) i può ricavare la funzione i traferimento el itema che tramette calore per conuzione; riulta: () G () = = (4) Φ() e coincie con la reitenza termica el itema Se ne conclue che, nella moellizzazione matematica eprea alla (4), la tramiione i calore per conuzione attravero una uperficie nota può eere chematizzata meiante una reitenza, e come granezza ucita (tenione) i coniera il alto termico e come granezza ingreo (corrente) la quantità i calore traferita nell unità i tempo (figura B) ueto file cotituice un approfonimento online el coro i Sitemi e automazione i Paolo Guii e Stefano Miranola Zanichelli Eitore SpA, Bologna [9387er] 2

3 La capacità termica Si efinice capacità termica la quantità i calore che eve eere fornita a un corpo affinché la ua temperatura aumenti i kelvin [K] Sulla bae ella preceente efinizione, la capacità termica C è ata alla relazione: C = (5) ove i è inicato con: Δ = [K] l incremento i temperatura ubito al corpo che, aorbeno calore, i porta alla temperatura iniziale a quella finale (con > ); Δ la quantità i calore [J] aorbita al corpo La capacità termica è una caratteritica fiica el corpo, legata alla maa J M [kg] e al calore pecifico c el materiale con cui è cotruito il kg K corpo, attravero la relazione: C = M c Come nel cao ella reitenza termica, allo copo i realizzare il moello el comportamento termico i un corpo, occorre traformare la relazione (5), che è riferita a variazioni finite i temperatura e i quantità i calore (inicate con Δ), in una relazione tra variazioni infiniteime (inicate con ), cioè: C = (6) Si elabora la (6) evienziano la ipenenza elle granezze al tempo e moltiplicano poi ambo i membri per e ivienoli per t; i ottiene: t ( ) t ( ) = C (7) t t t ( ) Analizzano la reitenza termica, i è iniviuato che: Φ () t = rappreenta il fluo termico; pertanto: t t ( ) Φ () t = C t La relazione è i tipo ifferenziale e per iniviuare la funzione i traferimento el itema, i fa uo elle L-traformate, otteneno: Φ () = C () La funzione i traferimento, intea come rapporto tra il alto termico (granezza ucita) e il fluo termico aorbito al corpo (granezza ingreo), è: () G () = = (8) Φ () C ueto file cotituice un approfonimento online el coro i Sitemi e automazione i Paolo Guii e Stefano Miranola Zanichelli Eitore SpA, Bologna [9387er] 3

4 Il moello i un itema termico ealizzano una analogia tra un itema termico e uno elettrico, la reitenza termica è tata rappreentata con una reitenza pota in erivazione tra la granezza ingreo (fluo termico) e quella ucita (alto termico), come in figua B Nella tea analogia, in bae al riultato ottenuto con la (8), la capacità termica può eere rappreentata con un conenatore i capacità C, poto in parallelo a Il moello corripone allo chema i figura 2B in cui il fluo termico è aimilato alla corrente i ingreo, mentre il alto termico corripone alla tenione cita La funzione i traferimento G() è: () G () = = Φ () // C = C + Il riultato imotra che il itema conierato è el primo orine con un polo, i valore p = / C, pertanto ha comportamento filtrante i tipo paa-bao La caratteritica iniviuata conente i utilizzare un ricalatore in moo on-off perché l effetto filtrante garantice una ripota eponenziale al graino corriponente all accenione e pegnimento el ricalatore, ovvero fornice una temperatura meia al corpo (o all ambiente) ricalato (figura 2B, C) fluo termico (potenza) (t) I reitenza termica: capacità termica: C V Φ(t) C 0 t C (t) v C valor meio i A B D t Figura 2 A) Sitema cotituito a un elemento calante e un corpo con reitenza termica e capacità termica C : B) moello equivalente; C) anamento ella quantità i calore prootta al ricalatore alimentato con un ona quara i tenione; D) anamento ella temperatura ueto file cotituice un approfonimento online el coro i Sitemi e automazione i Paolo Guii e Stefano Miranola Zanichelli Eitore SpA, Bologna [9387er] 4

5 eempio Determinare la corrente che eve aorbire un reitore i ricalamento avente reitenza = 00 Ω, applicato a una faccia i un corpo olio iolato termicamente, per fare in moo che la temperatura i porti alla temperatura ambiente i 0 = 20 C, che aveva all atto ella accenione el ricalatore, alla temperatura i 60 C in 80 Il corpo ha = 00 K e C = 2000 J J K Soluzione Il problema i configura come l analii ella ripota al graino i un itema el primo orine con funzione i traferimento: ( ) G ( ) = = Φ ( ) C + Il egnale ingreo a graino è rappreentato alla potenza P = I 2,che il reitore i ricalamento eroga all atto ella alimentazione; queta corripone al fluo termico Φ applicato al corpo i reitenza e capacità C, pertanto, in forma L-traformata, vale: P Φ ( ) = La granezza ucita è il alto termico eierato (t) = = 40 C, nell intervallo i tempo t = 80 La (9) eve eere riolta in funzione el tempo; portanola in forma canonica, i ricava la ripota: P ( ) =Φ( ) G( ) = C + C ovvero: (9) P aveno poto: k = C k ( ) = p (0) K e p = = [ ] C τ La (0) cotituice la ripota al graino i un itema el orine e, antitraformano, i ottiene: (t) = t / τ k τ ( e ) Sotitueno, è poibile ricavare il valore i k e, alla ua conocenza, rialire a P: k = P/C = 0,5 0 3 P; (t) = 40 K: è un alto termico e può eere epreo inifferentemente in grai centigrai o in kelvin; t = 80 : è il tempo richieto per ottenere il alto termico eierato; τ = C = : cotante i tempo el itema iulta: t () 40 k = = = 0,222 K/ τ t / τ 5 80/20 ( e ) 20 ( e 5 ) k P = 0,5 0 = 464 W 3 Infine: I = 2,5 A ueto file cotituice un approfonimento online el coro i Sitemi e automazione i Paolo Guii e Stefano Miranola Zanichelli Eitore SpA, Bologna [9387er] 5