Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.

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1 Teoria dei Sitemi e del Controllo Compito A del 8 Gennaio 05 Domande ed eercizi Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.. Scrivere l andamento temporale della funzione di ucita y(t), oluzione dell equazione differenziale ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) e dell equazione tatica y(t) = Cx(t)+Du(t) a partire dalla condizione iniziale x(t 0 ) all itante t 0 : y(t) = Ce A(t t 0) x(t 0 )+C t t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ +Du(t). Scrivere la forma eplicita della matrice di tranizione dello tato Φ(k,h) di un itema dinamico x(k + ) = A(k)x(k) + B(k)u(k) dicreto lineare tempo-variante: { A(k )...A(h+)A(h) e k > h Φ(k,h) = I (Matrice identità) e k = h 3. Decrivere a parole che coa rappreenta il imbolo X (t 0,t,x(t )): X (t 0,t,x(t )) è l inieme degli tati controllabili all evento {t,x(t )} dall itante t Decrivere a parole che coa rappreenta, per itemi lineari dicreti, il imbolo E (k): E (k) è l inieme degli tati non oervabili in k pai, cioè degli tati compatibili con le ucceioni di ingreo e di ucita identicamente nulle, u(τ) = 0 e y(τ) = 0 per τ 0, k. Indicare inoltre, in modo eteo, il modo tipico di calcolare l inieme E (k): E (k) = kero (k) = ker C CẠ. CA k 5. Applicando al itema dinamico ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) la traformazione di coordinate x = T x i ottiene un itema traformato x(t) = Ã x(t) + Bu(t), y(t) = C x(t) caratterizzato dalle eguenti matrici Ã, B e C: Ã = T - AT, B = T - B, C = CT Il itema dato e il itema traformato godono delle eguenti proprietà: hanno gli tei autovalori; hanno gli tei ingrei; X + e X + hanno la tea dimenione; hanno la tea matrice di oervabilità; hanno gli tei autovettori; hannolateamatriceditraferimento; 6. CalcolarelamatricediraggiungibilitàR + elamatricedioervabilitào deleguenteitema: ẋ(t) = 0 0 x(t)+ 0 u(t) 0 0 R + = 0, O = y(t) = 0 0 x(t) Il itema è: raggiungibile? non raggiungibile? oervabile? non oervabile?

2 7. Si applichi la Ztraformata alla eguente funzione di tato: Zx(k +) = Ax(k)+Bu(k) e i fornica l epreione della traformata x(z) del vettore di tato x(k) in funzione dello tato iniziale x 0 e della traformata u(z) del egnale di ingreo u(k): x(z) = (zi A) zx 0 +(zi A) Bu(z) 8. Diegnare qualitativamente le traiettorie di un itema dinamico del econdo ordine ẋ(t) = Ax(t) caratterizzato dagli autovalori λ i e dagli autovettori v i riportati nei due riquadri. ) Autovalori: λ = 3 e λ = 0. I corripondenti autovettori reali v e v ono motrati in figura. ) Autovalori: λ, = ± j. Autovettori: v = w +w j e v = v. I vettori reali w e w ono motrati in figura. NS FS v x 0 x v x x Nodo? Fuoco? Sella? Nodo? Fuoco? Sella? Stabile? Intabile? Stabile? Intabile? 9. Sia dato un itema autonomo ẋ(t) = Ax(t) del quarto ordine dove la matrice A è caratterizzata dai eguenti autovalori λ i, autovettori v i e autovettori generalizzati vi: λ = +j j j 0 A= λ = j v = j λ 3 =, v = +j, v 3=, v 4= λ 4 = +j j 0 a) Scrivere una matrice di traformazione T (con x = Tx) che ia in grado di portare la matrice A in forma diagonale di Jordan A J : j j 0 +j T= j +j 0, A J= 0 j j j b) Scrivere una matrice di traformazione T R (con x = T R x) che ia in grado i portare la matrice A in forma reale di Jordan A R : T R = 0 0, A R=

3 0. Sia dato il eguente chema a blocchi: u(t) b 0 x x x 3 x 4 y(t) b b b 3 d 0 α 0 α α α 3 Poto x c = T x x x 3 x 4, crivere la truttura delle matrici A, B e C di un itema tempo-continuo, nello pazio degli tati, che decriva la dinamica dello chema α 0 x b 0 ẋ o (t) = 0 0 α x 0 0 α x 3 + b b u(t) 0 0 α 3 x 4 b 3 y(t) = x o (t) + d 0 u(t) Si calcoli inoltre la funzione di traferimento del itema: G() = Y() U() = b 3 3 +b +b +b 0 4 +α 3 3 +α +α +α 0 +d 0. Sia data la eguente equazione differenziale non lineare:... y(t)y(t)+ inÿ(t)+3ẏ (t)y(t) = u(t). Scelto x = x x x 3 T = y(t) ẏ(t) ÿ(t) T come vettore di tato, eprimere l equazione differenziale non lineare nello pazio degli tati: ẋ = x ẋ = x 3 ẋ 3 = u(t) inx 3 x 3x. Si conideri il problema di controllo punto a punto per un itema lineare tempo-dicreto. Tra le infinite oluzioni u che fanno paare il itema dallo tato iniziale x(0) allo tato finale x(k) nell intervallo di tempo 0, k indicare la oluzione u che minimizza la norma euclidea: u = (R + k )T R + k (R+ k )T x(k) A k x(0) 3. Data la funzione di traferimento G(z), crivere la truttura del corripondente itema dinamico in forma canonica di raggiungibilità indicando con u(k) l ingreo e con y(k) l ucita: z 3 +6z + x(k+) = G(z) = z 4 +3z 3 +5z +z x(k)+ 0 0 u(k) y(k) = 0 6 x(k)+ u(k) 3

4 4. Calcolare la eguente funzione matriciale: σ ω e ω σ t = e σt co(ωt) e σt in(ωt) e σt in(ωt) e σt co(ωt) 5. Si criva la forma eplicita della formula di Ackermann che fornice il vettore k T che permette il poizionamento arbitrario degli autovalori di un itema retroazionato: k T = (R + ) - p(a) 6. Scrivere come i determina la matrice P - della traformazione x = Px che potra un itema non completamente oervabile in forma tandard di oervabilità: P P - = dove ImP P T = Im(O ) T e P rende non ingolare la matrice P -. Indicare inoltre la truttura a blocchi delle matrici A, B e C che i ottengono: A, 0 B A = B = A, A, B C = C 0 Scrivere la forma emplificata della matrice di traferimento H() del itema S in funzione delle ottomatrici A i,j, B i e C j che caratterizzano il itema S = (A, B, C): H() = C (I A ) - B 7. Dato il itema lineare tempo-continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), riportare la truttura di: a) uno timatore aintotico dello tato in catena chiua di ordine pieno: ˆx(t) = (A+LC)ˆx(t)+Bu(t) Ly(t) b) uno timatore aintotico dello tato di ordine ridotto: ˆv(t) Ly(t) ˆx(t) = T y(t) ˆv(t) = (A +LA )ˆv(t)+(A +LA A L LA L)y(t)+(B +LB )u(t) 8. Scrivere all interno della eguente tabella i imboli e i nomi delle variabili energia e delle variabili di potenza che caratterizzano l ambito energetico Idraulico. Indicare inoltre la relazione cotitutiva dei ingoli elementi (ia nel cao generale non lineare che nel cao lineare) e l equazione differenziale che caratterizza gli elementi dinamici: Simboli D C I Capacità idrau. Rel. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q V volume V = Φ C (P) V = C I P v P preione D L I Induttanza idrau. q φ I fluo idrau. φ I = Φ L (Q) φ I = L I Q v Q portata volumetrica R R Reitenza idrau. P = Φ R (Q) P = R I Q dv dt = Q dφ I dt = P 4

5 9. Si conideri il eguente circuito elettrico cotituito dalle induttanze L, L, dalle capacità C 3, C 4 e dalle reitenze R, R 3, R 4 e R 5. Sul itema agicono due ingrei: la tenione V a e la corrente I b. Le ucite del itema ono: la corrente I a e la tenione V b. I r3 R 3 I C 3 R 4 R 5 I r L I V 3 V r4 V 4 C 4 V r5 I b V a R L Il modello P.O.G. del circuito elettrico aegnato ha la eguente truttura: V a I a R I r φ L I φ L I V 3 C 3 R 3 V 4 V r4 V r5 C 4 R 4 Q 4 R 5 V b I b Sia x = I I V 3 V 4 T il vettore di tato, u = Va I b T il vettore degli ingrei e y = Ia V b T il vettore delle ucite. Scrivere il corripondente itema dinamico Lẋ = Ax+Bu e y = Cx+Du nello pazio degli tati: L I R 4 R 4 I 0 0 L 0 0 I R 4 R 4 I C 3 0 = + V 3 R 3 0 V C 4 V }{{} V 4 0 }{{}}{{}}{{}}{{} L ẋ A x B Ia R 0 Va = x + V b R 5 I }{{}}{{}}{{} b }{{} y C D u Va I b }{{} u 0. Enunciare il criterio diretto di intabilità di Lyapunov nel cao di itemi tempo continui. Si conideri il itema non lineare ẋ(t) = f(x(t), u 0 ) e ia x 0 un punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u 0. Se: ) in un intorno W di x 0 eite una funzione V(x) : W R continua con derivate prime continue e nulla in x 0 ; ) il punto x 0 è punto di accumulazione per l inieme dei punti x W in cui è V(x) > 0; 3) V(x) è definita poitiva in W; allora x 0 è un punto di equilibrio intabile. 5

6 . Sia dato il eguente itema non lineare x(k + ) = f(x(k)), tempo dicreto, privo di ingrei: { x (k +) = x (k) x (k +) = αx (k) x 3 (k)+ x (k) a) Determinare la poizione dei punti di equilibrio x e x del itema: I punti di equilibrio del itema i determinano imponendo x (k +) = x (k) e x (k +) = x (k): x = x, x = αx x 3 + x 0 = (α x )x. Il itema ammette i eguenti punti di equilibrio: x = (0, 0), x = (α, α). b) Calcolare lo Jacobiano A(x) = f(x) del itema non lineare x(k +) = f(x(k)): x Lo Jacobiano del itema non lineare è: A(x) = f(x) x = 0 αx 3x c) Calcolare le matrici A e A del itema linearizzato nell intorno dei punti di equilibrio x e x : Le matrici A e A del itema linearizzato hanno la eguente truttura: A =A(x )= 0 0, A =A(x )= 0 α d) Studiare, al variare del parametro α, la tabilità del itema non lineare nell intorno dei punti di equilibrio x e x utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov: Il polinomio caratteritico della matrice A è il eguente: A (z) = z(z ) = 0 z = 0, z =. Il econdo autovalore z = del itema linearizzato i trova ul cerchio unitario e quindi in queto cao il criterio ridotto di Lyapunov non è concluivo, cioè non implica nulla. Il polinomio caratteritico della matrice A è il eguente: A (z) = z z +α = 0 z, = 0.5± 0.5 α. Il criterio ridotto di Lyapunov non implica nulla per z, =, cioè per: α = 0 α =. In bae al criterio ridotto di Lyapunov i può affermare che il punto di equilibrio x = (α,α) è aintoticamente tabile per il itema non-lineare dicreto aegnato per z, <, cioè per α <. Il punto x è intabile per z, >, cioè per α >. e) Sia data la funzione V(x(k)) = x +x. Per α = 0, calcolare la funzione V(x(k)) che i utilizza nel criterio diretto di Lyapunov. Non è neceario dicutere il riultato finale ottenuto., V(x(k)) = (x ) +(x x 3 ) x x = (x x 3 ) x 6