Analisi dei Sistemi. Pre-esame 2 Novembre 2002

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1 Analisi dei Sistemi Pre-esame 2 Novembre 22 Esercizio Si consideri un sistema descritto dal seguente modello ingresso-uscita dove ϱ e η sono parametri reali costanti (4 punti) Individuare le proprietà strutturali che caratterizzano tale modello: lineare o non lineare; stazionario o tempo-variante; dinamico o istantaneo; a parametri concentrati o distribuiti; con o senza elementi di ritardo; proprio (strettamente o meno) o improprio Indicare inoltre se il valore dei parametri ϱ e η possa modificare tali proprietà E necessario motivare ogni risposta d 3 y(t) Caso + 3ϱt dy(t) + 7y(t) 3 d3 u(t) + ηt dt Tale modello è lineare solo se η stazionario solo se η ϱ dinamico a parametri concentrati senza elementi di ritardo proprio ma non strettamente ( ) d 3 η y(t) dy(t) Caso y(t) 3 d3 u(t) + (ϱ + t)u(t) dt Tale modello è lineare solo se η tempovariante dinamico a parametri concentrati senza elementi di ritardo proprio ma non strettamente Caso 3 η d3 y(t) + 3 dy(t) + 7t ϱ y(t) 3 d3 u(t) dt Tale modello è lineare stazionario solo se ϱ dinamico a parametri concentrati senza elementi di ritardo proprio solo se η ma mai strettamente proprio d 3 y(t) Caso 4 + 3( ηt) dy(t) + 7y(t) 3ϱ d3 u(t) dt Tale modello è lineare stazionario solo se η dinamico a parametri concentrati senza elementi di ritardo sempre proprio e strettamente proprio solo se ϱ Esercizio 2 Si consideri un sistema lineare e stazionario descritto dal seguente modello: dove a 2 d 2 y(t) dt 2 + a dy(t) dt + a y(t) 3 du(t) dt + u(t)

2 Caso a 2 2 a 4 a 2; Caso 2 a 2 3 a 2 a 2; Caso 3 a 2 a 6 a 9; Caso 4 a 2 2 a 6 a 32 (4 punti) Determinare i modi di tale sistema e classificarli indicando i loro parametri significativi Tracciare il loro andamento qualitativo (Tale domanda vuole valutare la preparazione generale: evitare risposte stringate) Il sistema ha due modi aperiodici: e αt te αt di costante di tempo τ dove vale: α Caso α τ ; Caso 2 α 2 τ 5; Caso 3 α 3 τ 3; Caso 4 α 4 τ 25 Il loro andamento è dato in figura Modi e t/τ 4 3 te t/τ 2 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ 7τ t [s 2 (4 punti) Definire il concetto di risposta impulsiva e calcolarne il valore per tale sistema Poiché il sistema è strettamente proprio la risposta impulsiva ha forma Per calcolare i coefficienti incogniti: w(t) ( h e αt + h 2 t e αt) δ (t) Derivo due volte la w(t) calcolando la ẇ(t) e la ẅ(t) (tengo conto delle discontinuità nell origine) 2

3 Sostituisco la w(t) e le sue derivate al primo membro della eq differenziale mentre al secondo membro sostituisco u(t) δ(t) u(t) δ (t) Imponendo l eguaglianza fra i coefficienti di δ(t) e δ (t) tra primo e secondo membro ottengo un sistema di due equazioni nelle due incognite h e h 2 Vale dunque: Caso w(t) (5 e t t e t ) δ (t); Caso 2 w(t) ( e 2t 5 3 t e 2t) δ (t); Caso 3 w(t) (3 e 3t 8 t e 3t ) δ (t); Caso 4 w(t) (5 e 4t 55 t e 4t ) δ (t) 3 (4 punti) Calcolare la risposta forzata di tale sistema soggetto all azione di un ingresso u(t) K e zt δ (t) individuando se possibile il termine permanente e quello transitorio Vale Caso K z ; Caso 2 K 2 z 2; Caso 3 K 3 z 3; Caso 4 K 4 z 4 L ingresso è nella forma K e zt δ (t) e z > non è radice del polinomio caratteristico in nessuno dei casi La risposta forzata ha forma con: ovvero y f (t) Ae }{{} zt + ĥ e αt + ĥ2 t e αt δ }{{} (t) permanente transitorio A K N(z) P (z) K 3z + a 2 z 2 + a z + a Caso A 5; Caso 2 A 292; Caso 3 A 83; Caso 4 A 463 Per calcolare gli altri coefficienti incogniti noto il valore di A procedo come segue Derivo due volte la y f (t) calcolando la ẏ f (t) e la ÿ f (t) (tengo conto delle discontinuità nell origine) Derivo la funzione u(t) data calcolando u(t) (tengo conto delle discontinuità nell origine) Sostituisco la y f (t) e le sue derivate al primo membro della eq differenziale mentre al secondo membro sostituisco u(t) e la sua derivata 3

4 Imponendo l eguaglianza fra i coefficienti di δ(t) e δ (t) tra primo e secondo membro ottengo un sistema di due equazioni nelle due incognite ĥ e ĥ2 Vale infine: Caso y f (t) (5 e t 5 e t + 5 t e t ) δ (t); Caso 2 y f (t) ( 292 e 2t 292 e 2t + 83 t e 2t) δ (t); Caso 3 y f (t) ( 83 e 3t 83 e 3t + 4 t e 3t) δ (t); Caso 4 y f (t) (463 e 4t 463 e 4t t e 4t ) δ (t) Esercizio 3 È data la rappresentazione in termini di variabili di stato di un sistema lineare e stazionario [ [ [ [ [ ẋ (t) x (t) u (t) + ẋ 2 (t) x 2 (t) 3 u 2 (t) [ [ x (t) y(t) 2 + [ [ u (t) x 2 (t) u 2 (t) dove Caso 4 Caso 2 3 Caso 3 2 Caso 4 (3 punti) Si determini mediante lo sviluppo di Sylvester la matrice di transizione dello stato Tale matrice è triangolare superiore e posso leggere gli autovalori lungo la diagonale Vale λ e λ 2 Lo sviluppo di Sylvester ci da: [ e e At t e t Vale quindi [ e Caso e At 4t e 4t [ e Caso 2 e At 3t e 3t [ e Caso 3 e At 2t e 2t [ e Caso 4 e At t e t ; ; ; 4

5 2 (3 punti) Dato un istante iniziale t 2 si determini l evoluzione libera dello stato e dell uscita a partire da condizioni iniziali x (t ) x 2 (t ) L evoluzione libera dello stato vale per t 2 [ ( + e x l (t) e A(t 2) x(2) (t 2) ) e l evoluzione libera dell uscita vale per t 2 e (t 2) y l (t) C x l (t) Ce A(t 2) x(2) 2( + ) 2e (t 2) Vale quindi [ (5 e Caso x l (t) 4(t 2) ) e 4(t 2) [ (4 e Caso 2 x l (t) 3(t 2) ) e 3(t 2) [ (3 e Caso 3 x l (t) 2(t 2) ) Caso 4 x l (t) e 2(t 2) [ (2 e (t 2) ) e (t 2) y l (t) 2e 4(t 2) ; y l (t) 8 2e 3(t 2) ; y l (t) 6 2e 2(t 2) ; y l (t) 4 2e (t 2) 3 (4 punti) Si determini l evoluzione forzata dell uscita che consegue all applicazione di un ingresso [ u(t) (6 ) δ (t) L evoluzione forzata dell uscita vale per t < e per t vale t t [ y f (t) Ce At e Aτ Bu(τ)dτ + D u(t) Ce At e Aτ (6 ) (6 ) [ 2 2( e t ) t [ [ e τ (6 ) e τ (6 ) e dunque Vale quindi [ 2 2( e t ) [ (6 ) e τ (6 ) ( 2 (6 ) y f (t) Caso y f (t) (3 e 4t ) δ (t); Caso 2 y f (t) (5 2 e 3t ) δ (t); Caso 3 y f (t) (8 4 e 2t ) δ (t); Caso 4 y f (t) (5 e t ) δ (t) e τ t + (6 ) dτ + (6 ) 2 (6 ) ) ( e t ) + (6 ) δ (t) dτ + (6 ) ( e t ) + (6 ) 5

6 4 (4 punti) Si determini una trasformazione di similitudine che porti ad una rappresentazione in cui la matrice di stato è in forma diagonale Determinare le matrici della nuova rappresentazione La matrice A [ ha autovalori λ e λ 2 e ad essi sono associati gli autovettori [ [ v v 2 Si noti che tali autovalori non dipendono dal valore del parametro Dunque scegliendo la matrice modale [ V [ v v 2 [ V si ottiene [ A V AV [ B V 3 B 3 C CV [ 2 2 D D [ 6