Elementi di Automazione Lezione 3 - Classificazione dei sistemi dinamici - Richiami di algebra delle matrici

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Ippolito Biagi
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1 Elementi di Automazione Lezione Ing. Gianmaria De Tommasi A.A. 2006/07

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3 Modello implicito I-S-U ẋ(t) = f ( x(t), u(t), t ), x(t 0 ) = x 0 y(t) = η ( x(t), u(t), t ) oppure x(k + 1) = f ( x(k), u(k), k ), x(0) = x(t k0 ) = x 0 y(k) = η ( x(k), u(k), k ) I sistemi introdotti nella lezione precedente possono essere classificati in vari modi in base alle proprietà delle funzioni f (,, ) e η (,, ).

4 - 1 La definizione di sistema lineare fa riferimento a proprietà che riguardano le combinazioni lineari di ingressi, stati e uscite. La definizione di linearità può essere data solo per sistemi in cui gli insiemi U, X e Y sono degli spazi vettoriali Sistemi di questo tipo si dicono sistemi a stato vettore

5 - 2 Definizione Un sistema a stato vettore si dice lineare se ad una combinazione lineare di ingressi e stati iniziali, secondo gli stessi coefficienti, corrisponde la combinazione lineare, secondo gli stessi coeficienti, degli andamenti dello stato e dell uscita x(t) = ϕ ( t, t 0, k 1 x 01 + k 2 x 02, k 1 u 1[t0,t) + k 2u 2[t0,t)) = = k 1 ϕ ( t, t 0, x 01, u 1[to,t) ) + k2 ϕ ( t, t 0, x 02, u 2[to,t) ) y(t) = η ( t, k 1 x 1 (t) + k 2 x 2 (t), k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) ) = = k 1 η ( t, x 1 (t), u 1 (t) ) + k 2 η ( t, x 2 (t), u 2 (t) )

6 - 3 Per i sistemi lineari si può parlare di risposta forzata e risposta libera x(t) = ϕ ( t, t 0, x 0, u [t0,t)) = = ϕ ( t, t 0, 1 x , u [t0,t)) = = ϕ ( t, t 0, x 0, 0 ) + ϕ ( t, t 0, 0, u [to,t)) = xl (t) + x f (t) y(t) = η ( t, 1 x l (t) + 1 x f (t), u(t) ) = = η ( t, x l (t), 0 ) + η ( t, x f (t), u(t) ) = y l (t) + y f (t)

7 - 1 Definizione Un sistema si dice invariante nel se le funzioni f (,, ) e η(,, ) non dipendono dal ẋ(t) = f ( x(t), u(t) ), x(t 0 ) = x 0 y(t) = η ( x(t), u(t) ) oppure x(k + 1) = f ( x(k), u(k) ), x(0) = x(t k0 ) = x 0 y(k) = η ( x(k), u(k) )

8 - 2 Forma esplicita x(t) = ϕ ( ) t t 0, x 0, u [t0,t) oppure x(k) = ϕ ( k, x 0, u [0,k) )

9 I sistemi monovariabili o SISO (Single-Input-Single-Output) sono quelli con una sola variabile d ingresso ed una sola variabile d uscita In caso contrario si parla di sistemi multivariabili o (Multi-Input-Multi-Output)

10 - 1 - Modello I-S-U implcito Nel caso di sistemi lineari e invarianti, il modello I-S-U implicito è il seguente: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0 y(t) = Cx(t) + Du(t) oppure x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x(t k0 ) = x 0 y(k) = Cx(k) + Du(k)

11 - 2 - Modello I-S-U esplicito t x(t) = e At x 0 + y(t) = Ce At x t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ, t 0 = 0 Ce A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t) oppure k x(k) = A k x 0 + A (k h 1) Bu(h) y(k) = CA k x 0 + h=0 k CA (k h 1) Bu(h) + Du(k) h=0

12 Matrici - definizioni Operazioni sulle e tra Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica di una matrice quadrata Autovalori e autovettori di una matrice quadrata Diagonalizzazione Potenza ed esponenziale di una matrice quadrata

13 Riferimenti Dispense Ambrosino-Celentano II.4 fino a II.4.3 Bolzern-Scattolini-Schiavoni Paragrafo 2.3 Matrici Bolzern-Scattolini-Schiavoni Appendice A

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