Localizzabilità Non Lineare e Telecamere Panoramiche: Applicazioni a Squadre di Robot

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Informatica, RA Localizzabilità Non Lineare e Telecamere Panoramiche: Applicazioni a Squadre di Robot Relatore Chiar.mo Prof. Ing. Domenico Prattichizzo Correlatori Chiar.mo Prof. Ing. Antonio Vicino Ing. Gian Luca Mariottini Tesi di Laurea di Morbidi Fabio A.A. 4/5 SESSIONE AUTUNNALE / 6 SETTEMBRE 5

2 Ringraziamenti: Un doveroso ringraziamento va a Gian Luca Mariottini, che ha saputo seguirmi con disponibilità e pazienza durante i mesi di scrittura della tesi. Un uguale caloroso ringraziamento è rivolto al professor Prattichizzo che ha saputo in ogni occasione incoraggiarmi e sostenermi con utili consigli e suggerimenti. La mia riconoscenza va infine al professor Vicino, per la sua disponibilità e per l efficace lavoro di revisione compiuto sulla tesi. La Ricerca e la Verità... Un ricercatore deve accettare di arrovellarsi su un problema per un ora, per un giorno o per tutta la vita. Anzi, spesso egli consuma le proprie forze in misura eccessiva rispetto ai risultati, si pone una serie di domande, brancola nel buio, avanza un passo alla volta. E un impresa ardua; poi, ad un certo punto, l illuminazione arriva. E spesso imprevista ma è il risultato di un enorme accumulo di riflessioni infruttuose Laurent Schwartz. La verità è un tesoro inestimabile, la cui conquista non è seguita da alcun rimorso e da alcun turbamento per la pace dell anima. La contemplazione dei sui attributi celesti, della sua bellezza divina, è sufficiente per ripagarci dei sacrifici da noi affrontati per arrivare ad essa e la stessa gioia del Paradiso altro non è che il pieno e completo possesso della verità Augustin-Louis Cauchy, 184.

3 Indice 1 Introduzione Presentazione e obiettivi della tesi Struttura della tesi Raggiungibilità ed Osservabilità 4.1 Introduzione Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Introduzione Raggiungibilità Osservabilità Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Introduzione Controllabilità Osservabilità Conclusioni Tecniche di Filtraggio Introduzione Stato di un sistema dinamico Osservatori dello stato per sistemi stocastici Filtro di Kalman (KF) Misurazioni discrete di sistemi tempo-continuo Filtro di Kalman Esteso (EKF) Misurazioni discrete di sistemi tempo-continuo Iterated EKF (IEKF) Unscented Filtering i

4 INDICE Introduzione Trasformazione dell incertezza Unscented Transformation (UT) Unscented Kalman Filter (UKF) Applicazioni dell UT e dell UKF Conclusioni Localizzabilità di Formazioni di Robot Anolonomi Introduzione Sistemi prospettici Formulazione del problema Modello cinematico leader-follower Meccanismo di comunicazione fra robot Localizzabilità leader-follower Leader 1 follower Leader q follower Interpretazione fisica della condizione sull osservabilità Osservatori non lineari e progetto del controllore Stimatori dello stato Progetto del controllore Conclusioni Tecniche di Localizzazione per Formazioni di Robot Anolonomi Introduzione Osservatori non lineari: implementazione Il sistema non lineare EKF del 1 ordine EKF del ordine IEKF Unscented filtering Set-up sperimentale Parametri usati per confrontare le tecniche di filtraggio Parametro 1: Consistenza del filtro Parametro : Convergenza dell MSE vero e stimato ii

5 INDICE Parametro 3: Correttezza della formazione Parametro 4: Tempi di calcolo Risultati delle simulazioni Confronto su una singola simulazione Confronto su N simulazioni: verifica della consistenza Tempi a confronto Controllo a guadagno variabile Guadagno variabile con continuità Guadagno variabile sulla base di 3 valori desiderati Controllo con tracking di traiettorie Osservazioni finali e Conclusioni Localizzabilità di Formazioni di Elicotteri Introduzione Modello cinematico leader-follower per elicotteri Localizzabilità: 1 elicottero leader e 1 elicottero follower Localizzabilità: 1 elicottero leader e q elicotteri follower Progetto del controllore e dell osservatore Conclusioni Localizzabilità di Formazioni di Aerei Introduzione Modello dinamico di un aereo Modello cinematico leader-follower per aerei Conclusioni Conclusioni e Sviluppi Futuri 133 A Distribuzione χ 135 B Test di Ipotesi 14 C Feedback Linearization 14 C.1 Input-state linearization per sistemi a singolo ingresso Bibliografia 148 iii

6 Capitolo 1 Introduzione 1.1 Presentazione e obiettivi della tesi Il presente lavoro di tesi è dedicato allo studio di formazioni leader-follower di robot equipaggiati con telecamere panoramiche. In particolare nella tesi sono state affrontate le tre seguenti tematiche: 1. E stata studiata l osservabilità non lineare della formazione costituita da 1 robot leader e q robot follower, tramite gli strumenti della geometria differenziale e della topologia (i robot considerati sono anolonomi, cioè possiedono vincoli cinematici). Per questo obiettivo è stata sfruttata l Observability Rank Condition [6],[1]. Lo studio compiuto per robot anolonomi è stato esteso, sotto ragionevoli semplificazioni, al caso di formazioni leader-follower di aerei (UAV) e di elicotteri autonomi: nel secondo caso oltre a derivare la cinematica del sistema costituito da 1 leader e q follower, sono state dimostrate condizioni sufficienti per l osservabilità di formazioni costituite da 1 o q + 1 elicotteri.. L uso di un controllore non lineare basato sull input-state feedback linearization rende necessaria la stima dello stato del sistema. Per questo motivo sono stati implementati e sono state confrontate le prestazioni (nel caso di robot planari) di quattro differenti osservatori non lineari: l Extended Kalman Filter (EKF) del 1 e ordine, l Iterated EKF (IEKF) e l Unscented Kalman Filter (UKF). In particolare il confronto fra i filtri è stato realizzato sulla base di simulazioni compiute su un sistema costituito da 1 leader e follower considerando 4 traiettorie 1

7 1.. Struttura della tesi differenti. Dallo studio comparativo delle prestazioni dei filtri, che ha valutato la consistenza degli stimatori, la qualità della stima, la bontà delle traiettorie dei follower e la complessità computazionale, è emerso che l EKF del 1 ordine è l osservatore non lineare più adatto per l applicazione in esame. Va comunque notata, escludendo i tempi di calcolo, una sostanziale omogeneità di prestazioni fra l EKF del 1 e ordine e l Iterated EKF. L UKF, pur essendo semplice da implementare e pur avendo buone prestazioni a livello del tempo di calcolo e del test di consistenza basato sul Normalized Estimation Error Squared, origina traiettorie più imprecise rispetto agli altri filtri e sbianca meno efficacemente le innovazioni, ovvero non è in grado, a differenza degli altri osservatori, di migliorare progressivamente la qualità della stima dello stato. 3. Oltre al controllo basato sulla feedback linearization che utilizza una matrice di guadagno costante, sono stati proposti e studiati controlli con matrice di guadagno variabile basati sulla consistenza dello stimatore dello stato. E stato infine introdotto un controllo con tracking di traiettorie che consente di migliorare l osservabilità del sistema. 1. Struttura della tesi In questa sezione sono descritti sinteticamente gli argomenti trattati nei capitoli della tesi. Nel Capitolo sono presentate le proprietà di raggiungibilità (controllabilità) ed osservabilità per sistemi dinamici lineari e non lineari. Nel Capitolo 3 sono introdotti i concetti di stato e di stima dello stato di un sistema dinamico e sono descritte le tecniche di filtraggio che saranno confrontate nel capitolo 5. In particolare l attenzione si è concentrata sull EKF del 1 e ordine, l Iterated EKF e l UKF. Nel Capitolo 4 è introdotto il problema della localizzazione di formazioni leaderfollower di robot anolonomi dotati di telecamere panoramiche, è studiata l osservabilità del sistema multi-robot ed è proposta una legge di controllo basata sulla input-state feedback linearization che utilizza lo stato stimato da uno degli osservatori non lineari presentati nel capitolo 3.

8 1.. Struttura della tesi Nel Capitolo 5 è presentato il sistema non lineare utilizzato nelle simulazioni successive e sono descritti i dettagli implementativi delle tecniche di filtraggio utilizzate. Sono inoltre presentati 4 parametri utili per confrontare le prestazioni degli stimatori dello stato. Le simulazioni compiute permettono di valutare i principali vantaggi e svantaggi degli osservatori. Sono infine introdotti controlli con matrice di guadagno variabile in base al livello di consistenza dello stimatore e viene presentato un controllo con tracking di traiettorie. Nel Capitolo 6 sono estesi i risultati del capitolo 4 a formazioni leader-follower di elicotteri. In particolare, considerando un modello cinematico semplificato a 4 gradi di libertà, è stata determinata la cinematica di 1 leader e q follower e sono state dimostrate condizioni sufficienti di osservabilità nel caso di q follower. Nel Capitolo 7 viene presentato il modello cinematico di un UAV (aeroplano) [53], e viene ricavato, sotto opportune semplificazioni, il modello cinematico della formazione costituita da 1 aereo leader e q aerei follower. E stata inoltre studiata brevemente l osservabilità del sistema e sono evidenziate le difficoltà che si incontrano in questo caso per la sintesi del controllore. Nel Capitolo 8 sono presentate le conclusioni finali della tesi ed alcuni sviluppi futuri. Nell Appendice A è introdotta la distribuzione χ e sono presentate alcune delle sue proprietà. Tale distribuzione è utile per determinare gli intervalli di confidenza utilizzati per valutare la qualità degli stimatori. L Appendice B è dedicata ad una breve introduzione alla teoria del test di ipotesi. Nell Appendice C è descritta l input-state feedback linearization per sistemi a singolo ingresso. 3

9 Capitolo Raggiungibilità ed Osservabilità E ben noto che per tre punti nel piano passa una sola retta. 1 Anonimo [1].1 Introduzione I concetti di raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari furono introdotti (principalmente ad opera di R. E. Kalman e dei ricercatori del suo gruppo) agli inizi degli anni 6 e si sono rivelati concetti molto significativi e fecondi per caratterizzare le proprietà di un sistema dinamico [8]. Alcuni argomenti associati, come la determinazione dei gradi di osservabilità e molti aspetti numerici, sono ancora oggi oggetto di ricerca dopo più di 4 anni dai primi lavori. Lo studio della controllabilità (raggiungibilità) ed osservabilità per sistemi non lineari ebbe inizio solo nei primi anni 7 grazie ai lavori di Hermann e Krener [6], Boothby, Brockett, Chow, Haynes-Hermes e Lobry. La teoria di geometria differenziale utilizzata per definire la controllabilità è duale rispetto alla teoria usata per l osservabilità: nel primo caso infatti si utilizzano campi vettoriali, mentre nel secondo si utilizzano le così dette forme-1 [9]. Lo studio della controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari necessita di strumenti matematici (principalmente di topologia generale) e di una teoria più complessa rispetto a quella per sistemi lineari, in quanto tali proprietà sono in questo caso dipendenti dall ingresso applicato al sistema. 1 Assumendo che la punta del lapis sia abbastanza spessa. 4

10 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari..1 Introduzione Consideriamo il seguente sistema lineare, S L : x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) (.1) dove x(k) R n, x() x, y(k) R m, u(k) R p e k N. u(k) rappresenta il segnale di controllo esterno applicato al sistema. A, B, C, D sono matrici costanti note. Nonostante i criteri di raggiungibiltà ed osservabilità siano identici nel caso tempo-continuo o tempo-discreto, la formulazione tempo-discreta (che abbiamo scelto per la nostra analisi) è preferibile in quanto consente di ricavare in maniera più semplice i risultati di interesse. Il materiale di questo paragrafo è tratto da [] e da [3], [4], [5]... Raggiungibilità Consideriamo il controllo con retroazione dello stato riportato in figura (.1). Poichè u(k) = Kx(k) + r(k), risulta x(k + 1) = (A + BK) x(k) + Br(k). Problema 1. E possibile determinare K in modo tale che A + BK sia asintoticamente stabile? La raggiungibilità affronta il Problema 1, dicendoci quando e come il problema può essere risolto. r (k) u(k) x(k) y(k) A, B C K Figura.1: Controllo con retroazione dello stato. Ricordando che la soluzione dell equazione alle differenze x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x() x, vale, 5

11 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari k 1 x(k) = A k x + A j Bu(k 1 j) j= possiamo introdurre la seguente definizione, Definizione 1. Il sistema (.1) si dice (completamente) raggiungibile, se x 1, x R n, esistono k N e u(), u(1),..., u(k 1) R p tali che, k 1 x = A k x 1 + A j Bu(k 1 j) j= Consideriamo il problema di determinare, se esiste, una sequenza di n ingressi che permette di portare lo stato dalla condizione iniziale x 1 alla condizione finale x. Poichè vale, u(n 1) x A n x } {{ 1 = [ B AB...A } B ] u(n ) } {{ } X R. u() } {{ } U Il problema è equivalente a risolvere rispetto ad U il sistema, X = RU (.) dove la matrice R R n pn è detta Matrice di Raggiungibilità. Osservazione 1. Il sistema (.) ammette soluzione X Im(R). In particolare esiste una soluzione X rank(r) = n. Im(R) e rank(r) indicano rispettivamente l immagine ed il rango della matrice R. Prima di dimostrare il teorema principale di questo paragrafo, premettiamo il seguente lemma. Lemma 1. (Teorema di Cayley-Hamilton) Sia F R n n e sia p(λ) = det(λi F) = λ n + α n 1 λ n α 1 λ + α il polinomio caratteristico di F. Risulta, p(f) = F n + α n 1 F n α 1 F + α I = dove I indica la matrice identità n n. 6

12 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Teorema 1. Il sistema (.1) è raggiungibile rank(r) = n. Dimostrazione: (Sufficienza ) Se rank(r) = n, allora Im(R) = R n e quindi il sistema X = RU, dove X = x A n x 1 e U = [ u(n 1) T... u(1) T u() T ] T è risolvibile rispetto ad U, X. Dunque il sistema è raggiungibile. (Necessità ) Se il sistema è raggiungibile, allora scegliendo x 1 = e x = x si ha che x = k 1 A j Bu(k 1 j). Se k n allora x Im(R). D altronde, se k > n, applicando j= il teorema di Cayley-Hamilton si ottiene ancora x Im(R). Per l arbitrarietà di x, segue che Im(R) = R n, e quindi rank(r) = n. Di seguito sono riportate alcune osservazioni relative alla proprietà di raggiungibilità. Osservazione. La proprietà di raggiungibilità di un sistema dipende solo dalle matrici A e B. Per estensione, la coppia (A, B) si dice raggiungibile se rank(r) = n. Osservazione 3. In generale si dimostra che Im(R) è l insieme degli stati raggiungibili dall origine, cioè l insieme degli stati x R n per cui esistono k N e u(), u(1),..., u(k 1) R p, tali che x = k 1 A j Bu(k 1 j). j= Osservazione 4. Poichè Im(R) = R n rank(r) = n, risulta che il sistema è raggiungibile se e solo se tutti gli stati sono raggiungibili dall origine. Osservazione 5. Effettuando un cambio di coordinate nello spazio di stato è possibile separare gli stati raggiungibili da quelli non raggiungibili (Decomposizione Canonica di Raggiungibilità). Si può dimostrare che gli autovalori della parte non raggiungibile del sistema non compaiono come poli nella funzione di trasferimento. Osservazione 6. Consideriamo il seguente problema. Sotto l ipotesi di raggiungibilità del sistema e assegnati uno stato iniziale x 1 ed uno finale x, determinare la sequenza di ingressi a minima energia che porta lo stato da x 1 a x. Si può dimostrare che la soluzione del problema è, U = R + X dove R + = R T ( RR T) 1 è la pseudo-inversa destra di R. 7

13 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Consideriamo adesso altre due importanti proprietà dei sistemi dinamici connesse alla raggiungibilità: la controllabilità e la stabilizzabilità. Nell Osservazione 6 si è visto che è possibile risolvere il problema di trovare una sequenza finita di ingressi che permette di portare lo stato dall origine in un punto arbitrario x R n. Consideriamo ora il problema inverso, ossia di trovare una sequenza finita di ingressi che permette di portare lo stato da un punto arbitrario x R n, nell origine. Definizione. Il sistema (.1) si dice controllabile (all origine) in k passi se esistono x R n, u(), u(1),..., u(k 1) R p tali che, k 1 = A k x + A j Bu(k 1 j) j= Il sistema, [ ] A k x = B AB... A k 1 B } {{ } R k u(k 1) u(k ). u() ammette soluzione x se e solo se Im(A k ) Im(R k ). Dunque il sistema è controllabile (all origine) in k passi se e solo se vale Im(A k ) Im(R k ). Osservazione 7. Dato che Im(A k ) = Im(A n ), k > n, un sistema controllabile in n passi è controllabile in k passi k > n. D altra parte, se un sistema è controllabile in k passi con k < n, allora è controllabile in n passi. Definizione 3. Un sistema controllabile in n passi si dice (completamente) controllabile. Presentiamo adesso, senza dimostrazione, il seguente teorema, Teorema. Un sistema è controllabile se e solo se gli autovalori della sua parte non raggiungibile sono nulli. Introduciamo infine la definizione di stabilizzabilità, che rappresenta una condizione più debole rispetto a quella di controllabilità. Definizione 4. Il sistema (.1) si dice stabilizzabile se la sua parte non raggiungibile è asintoticamente stabile. 8

14 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Se lim k Ak r = (dove A k r indica la parte non raggiungibile della matrice A), allora x R n esiste una sequenza di ingressi {u(k)} k= tale che, k 1 lim x(k) = lim k k Ak x + A j B u(k 1 j) = j=1 ossia lo stato può essere portato asintoticamente nell origine. Osservazione 8. Un sistema è stabilizzabile se e solo se tutti gli autovalori della sua parte non raggiungibile sono in modulo minore di Osservabilità Consideriamo la figura (.). Per implementare un controllo con retroazione dello stato u = Kx, è necessario conoscere tutto il vettore di stato: purtroppo però spesso solo la misura dell uscita y è disponibile dai sensori. u (k) x(k) y(k) A, B C? ^ x(k) Figura.: Stima dello stato. Problema. E possibile ricostruire lo stato x del sistema a partire dalle misure dell uscita y e degli ingressi u? L osservabilità affronta questo tipo di problema, dicendoci quando e come il problema può essere risolto. Si può dimostrare che la soluzione del sistema (.1), (u(.) indica una sequenza di ingressi) è data da, k 1 y(k;x,u(.)) = CA k x + CA j Bu(k 1 j) + Du(k) j= Introduciamo adesso le seguenti definizioni, 9

15 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Definizione 5. Gli stati x 1, x R n si dicono indistinguibili dall uscita, se per ogni sequenza di ingresso u(.) si verifica y(k;x 1,u(.)) = y(k;x,u(.)), k. Definizione 6. Il sistema si dice (completamente) osservabile se non esistono coppie di stati indistinguibili dall uscita. Si consideri il problema di ricostruire la condizione iniziale x a partire da n misure dell uscita, noti gli ingressi applicati. y() = Cx + Du() y(1) = CAx + CBu() + Du(1). y(n 1) = CA n 1 x + n CA j Bu(n j) + Du(n 1) j=1 Poniamo, Y = y() Du() y(1) CBu() Du(1). y(n 1) n CA j Bu(n j) Du(n 1) j=1, Θ = C CA. CA n 1 Deve essere dunque risolto il seguente sistema: Y = Θx dove Θ R mn n è la matrice di osservabilità del sistema. In assenza di rumore sulla misura dell uscita il sistema ha sempre soluzione. In particolare la soluzione è unica se rank(θ) = n. Se invece rank(θ) < n esistono infinite soluzioni, che sono date da x +ker(θ), essendo x una soluzione particolare del sistema. Una volta nota la condizione iniziale e gli ingressi, si può prevedere lo stato in tutti gli istanti futuri. Osservazione 9. Nel caso di sistemi lineari, l osservabilità non dipende dall ingresso. Infatti affinchè il sistema Θx = Y abbia soluzione, occorre che rank(θ) = rank([θy]) (Teorema di Rouchè-Capelli). Affinchè la soluzione sia unica, occorre che rank(θ) = n. Poichè Θ R n n, rank(θ) = n rank([θy]) = n, Y. Poichè l ingresso u(k) perturba soltanto il termine noto Y, la risolubilità del sistema Θx = Y non dipende da u(k). 1

16 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Possiamo pertanto studiare l osservabilità del sistema per u(k) =. Teorema 3. Il sistema (.1) è osservabile rank(θ) = n. Dimostrazione: (Sufficienza ) Se rank(θ) = n, si supponga per assurdo che esistano due stati x 1 e x indistinguibili dall uscita, e quindi tali che CA k x 1 = CA k x, k. Posto x = x 1 x, segue che Cx =, CAx =,..., CA n 1 x =, ossia Θx =, con x. Quindi rank(θ) < n, che contraddice l ipotesi che voleva Θ a rango pieno. (Necessità ) Se il sistema è osservabile, si supponga per assurdo che rank(θ) < n. Dunque esiste x tale che Θx = e quindi Cx =, CAx =,..., CA n 1 x =. Per il teorema di Cayley-Hamilton segue che C A k x =, k. Ma allora x è indistinguibile dall origine. Questo contraddice l ipotesi di osservabilità del sistema. Di seguito sono riportate alcune osservazioni relative alla proprietà di osservabilità. Osservazione 1. La proprietà di osservabilità di un sistema dipende solo dalle matrici A e C. Per estensione, la coppia (A, C) si dice osservabile se rank(θ) = n. Osservazione 11. In generale si dimostra che ker(θ) è l insieme degli stati indistinguibili dall origine, cioè l insieme degli stati x R n tali che per ogni sequenza di ingresso u(.), y(k;x,u(.)) = y(k;,u(.)), k. Osservazione 1. Poichè ker(θ) = {} rank(θ) = n, risulta che il sistema è osservabile se e solo se non esistono stati indistinguibili dall origine. Osservazione 13. Effettuando un cambio di coordinate nello spazio di stato è possibile separare gli stati osservabili da quelli non osservabili (Decomposizione Canonica di Osservabilità). Si può dimostrare che gli autovalori della parte non osservabile del sistema non compaiono come poli nella funzione di trasferimento. Consideriamo adesso altre due importanti proprietà dei sistemi dinamici connesse all osservabilità: la ricostruibilità e la rivelabilità. Sotto l ipotesi di osservabilità, si è visto che è possibile risolvere univocamente il problema di ricostruire la condizione iniziale x a partire da n misure dell uscita, noti gli ingressi applicati: x = Θ 1 Y. 11

17 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Nell anello di controllo è richiesta però la conoscenza dello stato all istante corrente x(k) e non tanto la condizione iniziale x(). In linea di principio, nota la condizione iniziale x(), è possibile calcolare l evoluzione dello stato in ogni istante, k 1 x(k) = A k Θ 1 Y + A j Bu(k 1 j) j= Problema 3. E possibile ricostruire univocamente lo stato attuale x(k) del sistema, anche se il sistema non è completamente osservabile? Definizione 7. Il sistema (.1) si dice ricostruibile in k passi se, per ogni condizione iniziale x, x(k) è univocamente determinabile noti u(.) e y(.) nell intervallo [,k 1]. La totalità delle soluzioni del sistema, Y k = y() Du() y(1) CBu() Du(1). y(k 1) k CA j Bu(k j) + Du(k 1) j=1 = C CA. CA k 1 } {{ } Θ k x è data da x + ker(θ k ), dove x è la vera condizione iniziale. Se ˆx = x + x è la condizione iniziale stimata, con x ker(θ k ), allora la predizione su x(k) risulta: k 1 ˆx(k) = A k x + A k x + A j Bu(k 1 j) j=1 Abbiamo allora che ˆx(k) x(k) A k x ker(a k ). Poichè questo deve valere x ker(θ k ), si conclude che, Proprietà 1. Il sistema (.1) è ricostruibile in k passi se e solo se, ker(θ k ) ker(a k ) Osservazione 14. Dato che ker(a k ) = ker(a n ), k > n, un sistema ricostruibile in n passi è ricostruibile in k passi k > n. D altra parte, se un sistema è ricostruibile in k passi con k < n, allora è ricostruibile in n passi. Definizione 8. Un sistema ricostruibile in n passi si dice (completamente) ricostruibile. 1

18 .. Raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari Presentiamo adesso, senza dimostrazione, il seguente teorema, Teorema 4. Un sistema è ricostruibile se e solo se gli autovalori della sua parte non osservabile sono nulli. Introduciamo ora la definizione di rivelabilità, che rappresenta una condizione più debole rispetto a quella di ricostruibilità. Definizione 9. Il sistema (.1) si dice rivelabile se la sua parte non osservabile è asintoticamente stabile. Se lim k Ak ō = (dove Ak ō indica la parte non osservabile di A), allora lim k Ak x =. Quindi, per k, x(k) = A k x + A k x + k 1 A j B u(k 1 j) è univocamente definito x ker(θ). j=1 La seguente proprietà dimostra il forte legame esistente fra le proprietà di raggiungibilità ed osservabilità. Proprietà. Dato il sistema (.1) il sistema duale è dato da, x d (k + 1) = A T x d (k) + C T u d (k) y d (k) = B T x d (k) + D T u d (k) (.3) dove u d (k) R m e y d (k) R p. Vale allora la seguente, R d = Θ T dove R d è la matrice di raggiungibilità del sistema duale e Θ è la matrice di osservabilità del sistema (.1). Inoltre si ha, (A,B,C,D) raggiungibile (A T,C T,B T,D T ) osservabile (A,B,C,D) osservabile (A T,C T,B T,D T ) raggiungibile La proprietà successiva mostra il legame esistente fra gli autovalori della matrice di evoluzione dello stato ed i poli della funzione di trasferimento del sistema (.1), Proprietà 3. I poli della funzione di trasferimento del sistema (.1) coincidono con gli autovalori della sua parte raggiungibile ed osservabile. 13

19 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari.3 Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari.3.1 Introduzione Per una migliore comprensione degli argomenti presentati in questo paragrafo premettiamo i seguenti teoremi e le seguenti definizioni di topologia generale [56],[57]. Definizione 1. {Topologia e Spazio Topologico} Sia Z un insieme non vuoto. Una classe T di sottoinsiemi di Z è una topologia su Z se e solo se T soddisfa i seguenti assiomi: 1. Z T e T. b S i T dove S i è un insieme in T e b N. i=1 3. (S 1 S ) T, dove S 1 e S sono due generici insiemi di T. Gli elementi di T sono chiamati T -insiemi aperti, o semplicemente insiemi aperti, e la coppia (Z, T ) è chiamata spazio topologico. Ad esempio la classe U di tutti gli insiemi aperti di numeri reali è una topologia su R. Definizione 11. {Insieme Denso} Un sottoinsieme A di uno spazio topologico H è detto denso in B H se B è contenuto nella chiusura di A, cioè B Ā (Ā è la chiusura di A). In particolare, A è denso in H o è un sottoinsieme denso di H se e solo se Ā = H. Teorema 5. {Spazio Topologico Connesso} Uno spazio topologico H è connesso se e solo se (i) H non è l unione di due insiemi aperti disgiunti non vuoti; oppure equivalentemente, (ii) H e sono i soli sottoinsiemi di H che sono contemporaneamente aperti e chiusi. Definizione 1. {Base di una Topologia} Sia (Z, T ) uno spazio topologico. Una classe B di insiemi aperti di Z, è una base per la topologia T se e solo se i) ogni insieme aperto G T è l unione di elementi di B, oppure equivalentemente ii) per ogni punto p appartenente ad un insieme aperto G, esiste B B con p B G. Definizione 13. {Spazio di Hausdorff} Uno spazio topologico (Z, T ) è chiamato secondo spazio contabile o spazio di Hausdorff se soddisfa il seguente assioma, detto secondo assioma di contabilità: Esiste una base contabile B per la topologia T. 14

20 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Definizione 14. {Varietà} Una varietà è uno spazio topologico localmente euclideo. Esistono 4 tipi di varietà: topologiche, lineari a tratti, differenziabili e complesse a seconda che i sistemi di coordinate locali siano stati ottenuti da funzioni analitiche di quelle nello spazio euclideo, continue, lineari a tratti, differenziabili o complesse. Definizione 15. {Relazione di Equivalenza} Una relazione R è detta di equivalenza se soddisfa la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Consideriamo, in accordo con [6], il seguente sistema non lineare, S NL : ẋ(t) = f[x(t),u(t)] y(t) = g(x(t)) (.4) dove u(t) Ω, un sottoinsieme di R p, x(t) N, una varietà connessa di classe C (cioè la varietà e tutte le derivate successive sono continue), y(t) R m e f, g sono funzioni di classe C. Come vedremo, la proprietà di controllabilità è connessa al concetto di accessibilità, mentre quella di osservabilità, come nel caso lineare, al concetto di indistinguibilità. In accordo con i lavori presenti in letteratura sulle proprietà dei sistemi non lineari, useremo il termine controllabilità come sinonimo di raggiungibilità [6], [8], [1]. E opportuno osservare che questa convenzione non è unanimamente accetta, visto l uso piuttosto frequente del termine reachability per indicare la raggiungibilità [9]..3. Controllabilità Consideriamo il sistema S NL. Ricordiamo che una varietà N, n-dimensionale (analitica) di classe C, è uno spazio topologico di Hausdorff con una struttura (analitica) di classe C. Se N non è Hausdorff, le soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie su N possono non essere uniche. Supponiamo per semplicità, in questa sezione, che N ammetta coordinate globalmente definite x = col(x 1,x,...,x n ). Questo ci permette di identificare i punti di N utilizzando le loro coordinate e di descrivere i sistemi non lineari nella maniera standard. 15

21 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Senza perdita di generalità assumiamo che y(t) R m. Le assunzioni di infinita differenziabilità per N, f e g non sono essenziali, ma sono state scelte in modo tale da evitare di dover valutare il grado di differenziabilità necessario per ogni applicazione. Assumiamo anche che il sistema sia completo, cioè per ogni controllo limitato e misurabile u(t) ed ogni x N, esista una soluzione dell equazione differenziale ẋ(t) = f[x(t),u(t)] tale che x(t ) = x e x(t) N, t R. Utilizzeremo la notazione (u(t),[t,t 1 ]) per indicare funzioni definite in [t,t 1 ]. Definizione 16. Dato un sottoinsieme U N, x 1 è U-accessibile da x (e scriveremo x 1 A U x ) se esiste un controllo limitato e misurabile (u(t),[t,t 1 ]), che soddisfa u(t) Ω per t [t,t 1 ], tale che la soluzione corrispondente (x(t),[t,t 1 ]) dell equazione differenziale della (.4) soddisfi x(t ) = x, x(t 1 ) = x 1 e x(t) U per t [t,t 1 ]. Scriveremo semplicemente accessibilità e A al posto di N-accessibilità e A N. Data una qualsiasi relazione R su N, useremo la notazione, R(x ) = {x 1 N : x 1 Rx } Per esempio A(x ) è l insieme dei punti accessibili da x. Definizione 17. {Controllabilità} S NL si dice controllabile ad x se A(x ) = N. S NL è controllabile se A(x) = N, x N. Se S NL è controllabile a x può essere necessario percorrere una distanza considerevole (o muoversi per tempi lunghi) prima di raggiungere punti vicino ad x. Per questo motivo la definizione di controllabilità appena data non è molto usata, ma si preferisce una versione locale di questo concetto. Definizione 18. {Controllabilità Locale} S NL si dice localmente controllabile ad x se per ogni intorno U di x, anche A U (x ) è un intorno di x. S NL è localmente controllabile se è localmente controllabile in ogni x N. La controllabilità locale è nota anche con il nome di controllabilità locale-locale. L accessibilità è una relazione riflessiva e transitiva ma per sistemi non lineari non è detto sia simmetrica. Per questo motivo serve una proprietà più debole. Dato un insieme aperto U N esiste una unica relazione di equivalenza minima su U che contiene tutte le coppie U-accessibili. Chiameremo tale proprietà U-accessibilita debole e la indicheremo con WA U. E facile vedere che x 1 WA U x se e solo se esiste x,...,x k 16

22 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari tale che x = x 1, x k = x ed o x i A U x i 1 o x i 1 A U x i per i = 1,...,k. Scriveremo semplicemente accessibilità debole e WA al posto di N-accessibilità debole e WA N. Definizione 19. {Controllabilità Debole} S NL si dice debolmente controllabile ad x se WA(x ) = N. S NL è debolmente controllabile se WA(x) = N, x N. Occorre osservare che la controllabilità debole è un concetto globale e non rispecchia il comportamento di S NL ristretto ad un intorno di x. Perciò dobbiamo introdurre ancora una volta un concetto locale. Definizione. {Controllabilità Locale Debole} S NL si dice localmente debolmente controllabile ad x se per ogni intorno U di x, anche WA U (x ) è un intorno di x. S NL è localmente debolmente controllabile se è localmente debolmente controllabile in ogni x N. In generale valgono le seguenti implicazioni, S NL localmente controllabile = S NL controllabile S NL localmente debolmente controllabile = S NL debolmente controllabile Per sistemi autonomi (privi di ingresso), si può mostrare che tutti e quattro i concetti sono equivalenti. Il seguente teorema da una interpretazione intuitiva della controllabilità locale debole. In pratica mostra che S NL è localmente debolmente controllabile se e solo se occorrono coordinate locali di dimensione n per distinguere le traiettorie di S NL da ogni punto iniziale. Teorema 6. S NL è localmente debolmente controllabile se e solo se x N ed ogni intorno U di x l insieme di punti interni di A U (x). Il vantaggio della controllabilità locale debole rispetto alle altre forme di controllabilità discusse precedentemente è che si presta ad un semplice test algebrico. Prima di presentare i principali risultati di questo paragrafo, dobbiamo introdurre alcuni utili strumenti matematici. 17

23 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Definizione 1. L insieme di tutti i campi vettoriali di classe C su N è uno spazio reale di dimensione infinita indicato con X(N) ed anche un algebra di Lie sotto la moltiplicazione definita dalla Lie bracket [h 1,h ] ad h1 h, [h 1,h ](x) = h x (x)h 1 h 1 x (x)h dove h 1, h e [h 1,h ] X(N). Gli elementi di X(N) sono rappresentati da funzioni di x a n-valori vettoriali (scritte per colonna). Definizione. Per ogni h 1 X(N) fissato, la trasformazione lineare reale X(N) X(N) che manda h [h 1,h ], è detta derivazione di Lie rispetto ad h 1 e si indica con L h1. Definizione 3. Ogni ingresso costante u Ω definisce un campo vettoriale f(x,u) X(N). Indichiamo con F il sottoinsieme di tutti questi campi vettoriali. Sia F la più piccola sottoalgebra di X(N) che contiene F. Un tipico elemento di F è una combinazione lineare finita di elementi della forma, [f 1,[f,[ [f k 1,f k ] ]]] dove f i = f(x,u i ) per qualche u i Ω costante. Indichiamo con F(x) lo spazio dei vettori tangenti generato tramite combinazioni lineari di campi vettoriali di F in x. Introduciamo adesso i seguenti importanti teoremi, Teorema 7. {Controllability Rank Condition} Si dice che S NL soddisfa la controllability rank condition in x se dim(f(x )) = n. S NL soddisfa la controllability rank condition se questa è valida x N. Teorema 8. {Condizione Sufficiente per la Controllabilità Locale Debole} Se S NL soddisfa la controllability rank condition in x allora S NL è localmente debolmente controllabile in x. Come vedremo nel prossimo teorema, il viceversa è quasi vero. Teorema 9. {Condizione Necessaria per la Controllabilità Locale Debole} Se S NL è localmente debolmente controllabile, allora la controllability rank condition è soddisfatta in maniera generica, cioè in un sottoinsieme denso di N. Per sistemi analitici (che si assume siano varietà e mappature analitiche) è possibile rafforzare la condizione del Teorema 9, in quanto controllabilità debole, controllabilità locale debole e la controllability rank condition sono equivalenti. 18

24 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Teorema 1. Se S NL è analitico, allora S NL è debolmente controllabile se e solo se è localmente debolmente controllabile se e solo se la controllability rank condition è soddisfatta. Osservazione 15. Per sistemi lineari, la controllability rank condition si riduce alla nota condizione, rank(b AB A n 1 B) = n La controllability rank condition implica solamente la controllabilità locale debole, ma per sistemi lineari implica anche la controllabilità..3.3 Osservabilità Definizione 4. La seguente funzione, S x NL : (u(t),[t,t 1 ]) (y(t),[t,t 1 ]) prende il nome di mappa ingresso-uscita di S NL in x. Consideriamo il sistema S NL e la mappa ingresso-uscita della coppia (S NL,x ). Definizione 5. Due stati x e x 1 sono indistinguibili, (e scriveremo x Ix 1 ) se (S NL,x ) e (S NL,x 1 ) realizzano la stessa mappa ingresso-uscita, per ogni (u(t),[t,t 1 ]) ammissibile, S x NL (u(t),[t,t 1 ]) = S x 1 NL (u(t),[t,t 1 ]) Quella della indistinguibilità è una relazione di equivalenza su N. Analogamente al caso lineare possiamo introdurre la seguente, Definizione 6. {Osservabilità} S NL è detto osservabile in x se I(x ) = {x } ed osservabile se I(x) = {x}, x N. Bisogna notare che l osservabilità di S NL non implica che qualsiasi ingresso distingua punti di N. Se, comunque, l uscita è la somma di una funzione dello stato iniziale ed una funzione dell ingresso (come nei sistemi lineari), è facile verificare che se qualche ingresso distingue due stati iniziali allora questo succede per ogni ingresso. Va inoltre notato che l osservabilità è un concetto globale; può essere necessario percorrere una considerevole distanza (o muoversi per tempi lunghi) per distinguere punti di N. Perciò introduciamo un concetto locale più forte dell osservabilità. 19

25 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Definizione 7. Sia U un sottoinsieme di N e x,x 1 U. Diciamo che x è U- indistinguibile da x 1 (e scriviamo x I U x 1 ) se per ogni controllo (u(t),[t,t 1 ]) per cui le traiettorie (x (t),[t,t 1 ]) e (x 1 (t),[t,t 1 ]) da x e x 1 si trovano entrambe in U, non si riesce a distinguere x da x 1 ; cioè se x,x 1 U per t [t,t 1 ], allora, S x NL (u(t),[t,t 1 ]) = S x 1 NL (u(t),[t,t 1 ]) La U-indistinguibilità non è, in generale, una relazione di equivalenza su U in quanto non vale la proprietà transitiva. Diamo allora la seguente definizione, Definizione 8. {Osservabilità Locale} S NL è detto localmente osservabile in x, se per ogni intorno aperto U di x, I U (x ) = {x }, e S NL è localmente osservabile se vale x N. D altra parte è opportuno considerare un concetto di osservabilità più debole; in pratica può essere sufficiente distinguere x dagli stati vicini. Definizione 9. {Osservabilità Debole} S NL è debolmente osservabile in x, se esiste un intorno U di x tale che I(x ) U = {x } e S NL è debolmente osservabile se vale x N. Occorre notare ancora una volta che può essere necessario percorrere molta strada su U per distinguere punti di U, perciò occorre introdurre la definizione, Definizione 3. {Osservabilità Locale Debole} S NL è localmente debolmente osservabile in x, se esiste un intorno aperto U di x tale che per ogni intorno aperto V di x contenuto in U, I V (x ) = {x } e S NL è localmente debolmente osservabile se vale x N. Intuitivamente, S NL è localmente debolmente osservabile se è possibile distinguere istantaneamente ogni stato dagli stati vicini. In generale valgono le seguenti implicazioni, analogamente alla controllabilità, S NL localmente osservabile = S NL osservabile S NL localmente debolmente osservabile = S NL debolmente osservabile

26 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Per sistemi autonomi le quattro proprietà sono equivalenti. Il vantaggio dell osservabilità locale debole è che si presta ad un semplice test algebrico. E necessario introdurre a questo punto alcuni utili strumenti matematici. Definizione 31. Sia C (N) lo spazio vettoriale reale di dimensione infinita di tutte le funzioni a valori reali di classe C in N. Gli elementi di X(N) agiscono come operatori lineari su C (N) tramite la derivazione di Lie. Se h X(N) e ϕ C (N), allora L h (ϕ) C (N) è dato da, L h (ϕ)(x) = dϕh(x) = ϕ x (x)h(x) dove il gradiente dϕ è una funzione a valori vettoriali (scritta per riga). Definizione 3. Indichiamo con G il sottoinsieme di C (N) costituito da g 1,..., g m (le funzioni di uscita in S NL ), e con G il più piccolo sottospazio lineare di C (N) contenente G, che è chiuso rispetto alla derivazione di Lie dagli elementi di F. Un elemento di G è una combinazione lineare finita di funzioni della forma, L f1 ( (L fk (g i )) ) dove f j (x) = f(x,u j ) per qualche costante u j Ω. Se h 1,h X(N) e ϕ C (N) allora, L h1 (L h (ϕ)) L h (L h1 (ϕ)) = L [h1,h ](ϕ) Questo significa che G è chiuso rispetto alla derivazione di Lie anche dagli elementi di F. Definizione 33. Sia X (N) lo spazio lineare di forme-1 di N, cioè tutte le combinazioni lineari finite di gradienti di elementi di C (N). Le forme-1 sono rappresentate da funzioni (di x) a n valori vettoriali (scritte per riga). L accoppiamento fra forme-1 e campi vettoriali, indicato con ω,h C (N) è dato da una semplice moltiplicazione di funzioni di x, 1 n e n 1. Definizione 34. Definiamo un sottoinsieme di X (N) con dg = {dϕ : ϕ G } e un sottospazio di X (N) con dg = {dϕ : ϕ G}. Come i campi vettoriali agiscono sulle funzioni e gli altri campi vettoriali tramite la derivazione di Lie, essi agiscono sulle forme-1 in base a, ( ) ω T T L h (ω)(x) = x (x)h(x) + h x (x) dove ω X (N) e h X(N). 1

27 .3. Controllabilità ed osservabilità per sistemi non lineari Definizione 35. I tre tipi di derivazione di Lie sono collegati dalla seguente formula, L h1 ω,h = L h1 ω,h + ω,[h 1,h ] Inoltre se ω = dϕ allora L h e d commutano, L h (dϕ) = d(l h (ϕ)) Da quanto detto segue che dg è il più piccolo spazio lineare di forme-1 contenente dg, che è chiuso rispetto alla derivazione di Lie dagli elementi di F (F). Gli elementi di dg sono combinazioni lineari finite di forme-1 del tipo, d(l f1 ( (L fk (g i )) )) = L f1 ( (L fk (dg i )) ) dove f j (x) = f(x,u j ) per qualche u j Ω costante. Come in precedenza indichiamo con dg(x) lo spazio dei vettori ottenuti valutando gli elementi di dg in x. Teorema 11. {Observability Rank Condition [6]} Si dice che S NL soddisfa l observability rank condition in x se dim(dg(x )) = n. S NL soddisfa l observability rank condition se questa è valida x N. In [1] Mariottini et al. hanno introdotto una condizione equivalente a quella del Teorema 11, ma più semplice da verificare nelle applicazioni reali, Teorema 1. {Observability Rank Condition [1]} L observability rank condition del Teorema 11, equivale ad imporre che l insieme dei vettori riga, { d j 1 } [dg i (x)] dt j 1, i = 1,...,m ; j = 1,...,n sia linearmente indipendente. Sovrapponendo i vettori si ottiene la cosiddetta EOJ R mn n (Extended Output Jacobian matrix [34]). E facile verificare che è sufficiente che almeno una sottomatrice n n dell EOJ abbia rango pieno perchè S NL soddisfi l observability rank condition. Teorema 13. {Condizione Sufficiente per l Osservabilità Locale Debole} Se S NL soddisfa l observability rank condition (Teorema?? o 1) in x, allora S NL è localmente debolmente osservabile in x. Come vedremo nel prossimo teorema, il viceversa è quasi vero.

28 .4. Conclusioni Teorema 14. {Condizione Necessaria per l Osservabilità Locale Debole} Se S NL è localmente debolmente osservabile, allora l observability rank condition è soddisfatta in maniera generica, cioè in un sottoinsieme denso di N. Per sistemi analitici è possibile rafforzare la condizione del Teorema 14, in quanto controllabilità debole, controllabilità locale debole e la controllability rank condition sono equivalenti. Teorema 15. Se S NL è un sistema analitico debolmente controllabile, allora S NL è debolmente osservabile se e solo se è localmente debolmente osservabile se e solo se l observability rank condition è soddisfatta. Osservazione 16. Per sistemi lineari, l observability rank condition si riduce alla nota condizione, rank C CA. CA n 1 = n E inoltre facile verificare che nel caso lineare, EOJ Θ. Come accennato nell introduzione, per sistemi non lineari possono esistere dei segnali di ingresso che rendono il sistema non osservabile [7]. Esiste tuttavia una classe di sistemi per cui si ha l osservabilità qualsiasi ingresso si applichi al sistema. Definizione 36. {Osservabilità Uniforme} Si dice che S NL è uniformemente osservabile rispetto agli ingressi, se presi due qualsiasi stati distinti x 1, x N e qualsiasi ingresso u(.) S x 1 NL (u(.)) Sx NL (u(.)) In [7], Respondek presenta una decomposizione (locale) in parti osservabili e non osservabili che generalizza la decomposizione canonica di osservabilità vista nel paragrafo Conclusioni In questo capitolo sono state introdotte le proprietà di raggiungibilità ed osservabilità per sistemi lineari e non lineari. Il materiale riguardante le proprietà dei sistemi non lineari è stato tratto, con opportune riduzioni e semplificazioni, da [6]. 3

29 Capitolo 3 Tecniche di Filtraggio La cosa più bella che gli uomini possono sperimentare è il mistero. Albert Einstein 3.1 Introduzione Questo capitolo è dedicato all analisi delle principali tecniche di filtraggio utilizzate per la stima dello stato di sistemi dinamici lineari e non lineari. In particolare, dopo un breve richiamo sul concetto di stato di un sistema dinamico e di stima dello stato per sistemi stocastici, sono descritte le caratteristiche e le proprietà principali del filtro di Kalman e dell Extended Kalman Filter. Quest ultimo rappresenta una estensione del filtro di Kalman nel caso di sistemi non lineari. L Iterated Extended Kalman Filter, grazie ad un differente passo di correzione permette di ottenere prestazioni migliori rispetto all extended Kalman filter, specialmente nel caso di sistemi con equazioni di uscita significativamente non lineari. L Unscented Kalman Filter rappresenta una valida alternativa all extended Kalman filter, in termini di prestazioni, facilità di implementazione e complessità computazionale, in numerose applicazioni. Questa tecnica di filtraggio, utilizzando un insieme finito di campioni scelti in maniera deterministica per parametrizzare media e varianza, si avvale della così detta Unscented Transformation per propagare attraverso trasformazioni non lineari l informazione legata ai primi due momenti. Il materiale riguardante il concetto di stato e di stima dello stato, il filtro di Kalman e l extended Kalman filter è tratto da [14] e da [15], [16]. 4

30 3.. Stato di un sistema dinamico 3. Stato di un sistema dinamico Consideriamo la classe di sistemi tempo-discreto aventi la struttura, x(k + 1) = f[x(k),u(k),k] y(k) = h[x(k),u(k),k] (3.1) dove x(k) R n, y(k) R m, u(k) R p, k N e f : R n R p R n, h : R n R p R m. Definizione 37. Il vettore x(k), detto stato del sistema o insieme delle variabili interne del sistema, è l insieme delle variabili che occorre conoscere all istante k per poter determinare l evoluzione dell uscita y(s), per s > k noto l ingresso u(s). Il sistema (3.1) è un sistema deterministico in quanto non è presente una quantificazione dell incertezza presente nel modello e nelle misure. Per questo motivo, dati x() e u(k), k, è possibile determinare x(k) e y(k), k. Purtroppo nelle applicazioni reali sono inevitabilmente presenti degli errori di modellizzazione delle dinamiche del sistema e le uscite sono sempre corrotte da errori di misura. I sistemi in cui si tiene conto di tali incertezze sono detti stocastici, e presentano la seguente struttura, x(k + 1) = f[x(k),u(k),w(k),k] y(k) = h[x(k),u(k),v(k),k] (3.) dove w(k) e v(k) sono processi stocastici vettoriali: w(k): Ω T R q, v(k): Ω T R r, dove Ω è lo spazio degli eventi (continuo) e T N è lo spazio dei tempi. Il processo w(k) tiene conto degli errori di modellizzazione mentre v(k) degli errori di misura. Nel contesto dei sistemi stocastici occorre trovare una definizione di stato diversa da quella vista per sistemi deterministici. Premettiamo le seguenti definizioni che ci saranno utili nel seguito, Definizione 38. (Stazionarietà forte e debole) Il processo stocastico z(k) si dice stazionario in senso forte (o in senso stretto) se, P ( z(k 1 + κ) z 1,...,z(k s + κ) z s ) (3.3) non dipende da κ, k 1...k s, z 1...z s, s. P( ): Ω [,1] è la funzione probabilità. Il simbolo indica che le disuguaglianze in (3.3) valgono componente per componente. 5