Osservabilità e ricostruibilità

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1 Capitolo. TEORIA DEI SISTEMI 5. Osservabilità e ricostruibilità Osservabilità: il problema dell osservabilità consiste nel determinare lo stato iniziale x(t ) mediante osservazioni degli ingressi u(t) e delle uscite y(t) del sistema considerato per t [t,t ]. Definizione. Uno stato iniziale x(t ) di un sistema dinamico è compatibile con le funzioni di ingresso u( ) ed uscita y( ) nell intervallo [t,t ] se esiste una funzione di ingresso u( ) ed una funzione di uscita y( ) tale che y(τ) = η(τ,t,x(t ),u( )), τ [t,t ]. Indicheremo con E (t,t,u( ),y( )) l insieme degli stati iniziali x(t ) compatibiliconlefunzionidiingresso u( ) ed uscita y( ), nell intervallo [t,t ]. Ricostruibilità: il problema della ricostruibilitá consiste nel determinare lo stato finale x(t ) mediante osservazioni degli ingressi u(t) e delle uscite y(t) per t [t,t ]. Definizione. Uno stato finale x(t ) di un sistema dinamico è compatibile con le funzioni di ingresso u( ) ed uscita y( ) nell intervallo [t,t ] se esiste una funzione di ingresso u( ), una funzione di uscita y(t) e uno stato iniziale x(t ) E (t,t,u( ),y( )) tale che x(t ) = ψ(t,t,x(t ),u( )). Indicheremo con E + (t,t,u( ),y( )) l insieme degli stati finali x(t ) compatibili con le funzioni di ingresso u( ) ed uscita y( ), nell intervallo [t,t ]. Per sistemi stazionari i due insiemi E ed E + sono funzione solo dell intervallo di tempo t t per cui in questo caso si pone t = e si usa la seguente notazione semplificata: E (t,u( ),y( )), E + (t,u( ),y( ))

2 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5. Sistemi lineari invarianti tempo-discreti Consideriamo un sistema S = (A, B, C, D) discreto, lineare e stazionario: Osservabilità: x(k +) = Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) Definizione. Uno stato iniziale x() viene detto non osservabile in k passi se appartiene all insieme E (k) = E (k,, ), cioè se è compatibile con le successioni di ingresso e di uscita identicamente nulle, u(τ) = e y(τ) = per τ [, k ]: cioè se = y(τ) = CA τ x(), per τ [, k ]. = y() y(). y(k ) = C CẠ. CA k } {{ } O (k) x() = O (k)x() dove con O (k) si è indicata la matrice di osservabilità in k passi. L insieme E (k) degli stati iniziali x() non osservabili in k passi è uno spazio vettoriale che coincide con il Kernel della matrice O (k): E (k) = ker[o (k)] I sottospazi non osservabili E (k) in k passi soddisfano la seguente catena di inclusioni (n è la dimensione dello spazio degli stati): E () E ()... E (n) = E (n+) =... Il più piccolo sottospazio non osservabile E (n) si ottiene, al più, in n passi.

3 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.3 L insieme E degli stati iniziali x() non osservabili (cioè non osservabili in un numero qualunque di passi) è uno spazio vettoriale che coincide con lo spazio E (n) degli stati non osservabili in n passi: E = E (n) = ker[o (n)] Il sottospazio E viene detto sottospazio non osservabile del sistema e si determina nel modo seguente: E = ker O O = C CẠ. CA n dovecono = O (n)sièindicatalamatrice di osservabilitàdelsistema. Definizione. Un sistema S viene detto osservabile se il sottospazio E contiene solo lo stato. Proprietà. Un sistema S è osservabile se e solo se vale una delle seguenti relazioni: kero = {} rango O = n Uno stato iniziale x() E (k,u( ),y( )) è compatibile con le funzioni di ingresso u( ) e di uscita y( ) nell intervallo [, k[ se la seguente relazione è soddisfatta per τ [,k ]: cioè se y(τ) = CA τ x()+ τ i= CA τ i Bu(i)+Du(τ) y l (τ) = CA τ x() dove con y l (τ) = y(τ) τ i= CA τ i Bu(i) Du(τ) si è indicata l evoluzione libera del sistema che può essere calcolata esattamente partendo dalla conoscenza delle successioni di ingresso u(τ) e di uscita y(τ) per τ [,k ].

4 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.4 Per sistemi lineari invarianti vale la seguente proprietà: E (k,u( ),y( )) = E (k,,y l ( )) Nella determinazione dell insieme E (k,u( ),y( )) degli stati iniziali compatibili con le funzioni di ingresso u( ) e di uscita y( ), l unica funzione che è realmente importante è l evoluzione libera y l (τ). Proprietà. L insieme E (k,u( ),y( )) è una varietà lineare che si ottiene sommando ad una soluzione particolare x() E (k,,y l ( )) il sottospazio degli stati non osservabili in k passi E (k) = E (k,,): Rappresentazione grafica: E (k,u( ),y( )) = x()+e (k) E (k,u( ),y( )) E (k) x() Senellaprecedenterelazionesiponek = n,siottienel insiemee (u( ),y( )) degli stati iniziali x() compatibili con le successioni u( ) ed y( ) in un numero qualunque di passi, : E (u( ),y( )) = x()+e Tale inseme contiene al suo interno un solo elemento x() per ogni coppia di successioni u( ) ed y( ) se e solo se E =, cioè se il sistema è completamente osservabile. Vale quindi la seguente proprietà. Proprietà. Se un sistema lineare è completamente osservabile, allora esiste un solo suo stato iniziale x() compatibile con qualunque coppia di successioni di ingresso u(k) e di uscita y(k) del sistema, con k [, n].

5 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.5 Ricostruibilità: È il problema di determinare lo stato finale x(k) all istante k compatibile con la conoscenza delle successioni di ingresso u(),...,u(k ) e di uscita y(),...,y(k ). Se il sistema è osservabile in k, allora l insieme E (k,u( ),y( )) contiene un solo elemento x() e quindi anche lo stato finale x(k) è univocamente determinato: x(k) = A k x()+ k A k i Bu(i) Se invece il sistema non è osservabile in k passi, E (k,u( ),y( )) = x() + E (k) e quindi l insieme E + (k, u( ), y( )) degli stati finali x(k) compatibili con le successioni di ingresso u( ) ed uscita y( ) è il seguente: E + (k, u( ), y( )) = x(k)+a k E (k) }{{} E + (k) cioè è la somma di una soluzione particolare x(k) con il sottospazio i= E + (k) = A k E (k) degli stati finali non ricostruibili in k passi. Un sistema è ricostruibile in k passi se E + (k) = A k E (k) = {} cioè se E (k) kera k Il sistema si dice ricostruibile se esiste un k tale per cui E (k) kera k. Se un sistema discreto è ricostruibile lo è, al più, in n passi. La condizione di ricostruibilità può quindi essere espressa nel modo seguente: E = kero kera n Nota. Da quest ultima relazione risulta evidente che la condizione di osservabilità implica, ma non è implicata, dalla condizione di ricostruibilità: Osservabilità Ricostruibilità Osservabilità Ricostruibilità

6 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.6 Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto: x(k +) = y(k) = [ ] x(k) x(k)+ u(k) Calcolare l insieme degli stati iniziali x = x() compatibili con la seguente evoluzione libera: y() =, y() =, y() =. La matrice di osservabilià del sistema è O =, deto = 4 Essendo tale matrice non singolare, il sistema è completamente osservabile per cui, se il problema è risolubile, esso ammette una sola soluzione. La soluzione x si determina nel modo seguente: y() y() y() = C CA CA Eseguendo i calcoli si ottiene: x = x = O x x = [O ] = = y() y() y() L unico stato iniziale compatibile con l evoluzione libera assegnata cercato è quindi x = [,, ]. Nota: è univocamente determinata anche l evoluzione libera y(τ) per τ 3: y(τ) = CA τ x cioè y(3) = 4, y(4) =, y(5) = 8, ecc.

7 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.7 Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto x(k +) = y(k) = [ ] x(k) x(k)+ u(k) Calcolare l insieme degli stati iniziali x = x() compatibili con la seguente evoluzione libera: y() =, y() =, y() = 4. - Il sistema non è completamente osservabile O = E = span L insiemedeglistatiinizialicompatibiliconl evoluzioneliberay() =, y() =, y() = 4 si determina calcolando una soluzione particolare x p e sommando ad essa il sottospazio di non osservabilità E. La soluzione x p si determina risolvendo il sistema 4 = x p y = O x p Una soluzione esiste perchè il vettore y è contenuto nell immagine della matrice O. y ImO x p = L insieme degli stati iniziali compatibili con l evoluzione libera data è quindi il seguente: x = x p +E = +span

8 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.8 Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare discreto x(k +) = x(k)+ y(k) = [ ] x(k) u(k) Calcolare l insieme degli stati iniziali x = x() compatibili con la seguente evoluzione libera: y() =, y() =, y() =. La matrice di osservabilità del sistema è: O = 4 Il rango della matrice è per cui il sistema non è completamente osservabile. L insieme degli stati iniziali x = x() compatibili con l evoluzione libera y() =, y() =, y() = sono tutti e soli quelli che soddisfano la seguente relazione: y = y() y() y() = O x = 4 x Il vettore y non è combinazione lineare delle colonne della matrice O, per cui il sistema non ammette soluzioni. Non esiste quindi nessuna condizione iniziale x compatibile con l evoluzione libera assegnata.

9 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.9 Sistemi lineari invarianti tempo-continui Sia S = (A, B, C, D) un sistema lineare, tempo-continuo e stazionario: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) Le proprietà di osservabilità e di ricostruibilità di questo sistema sono del tutto simili a quelle viste per i sistemi discreti. Osservabilità: Definizione. Uno stato iniziale x() viene detto non osservabile in [, t] se è compatibile con le funzioni di ingresso u(τ) e di uscita y(τ) identicamente nulle nell intervallo di tempo τ [, t]: = Ce Aτ x(), per τ [, t] L insieme E (t) degli stati iniziali x() non osservabili in [, t] è un sottospazio vettoriale E (t) = kero t dove con O t si è indicato l operatore lineare O t : X Y(t) che associa allo stato iniziale x() X la corrispondente evoluzione libera y(τ) Y(t): O t : x() Ce Aτ x(), τ t Proprietà. Il sottospazio non osservabile E = E (t) non dipende dalla durata dell intervallo t > e coincide con il kernel della stessa matrice di osservabilità O precedentemente definita per sistemi tempo-discreti. E = ker[o ] Quindi, per sistemi tempo-continui, la possibilità di determinare esattamente l unico stato iniziale x() compatibile con le funzioni di ingresso u( ) e di uscita y( ) non dipende dalla durata dell intervallo [, t], purchè non nullo, ma dipende solo dal rango della matrice di osservabilità O.

10 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5. Ricostruibilità: Nel caso dei sistemi tempo-continui la condizione di osservabilità è equivalente a quella di ricostruibilità. In questo caso, infatti, i sottospazi di non osservabilità E e di non ricostruibilità E + sono legati fra di loro dalla seguente relazione: E + = e At E Poichè la matrice e At è sempre invertibile qualunque sia la matrice A, i due sottospazi E + e E hanno sempre la stessa dimensione. Si può inoltre dimostrare che essi coincidono: E + = E Da quest ultima relazione risulta evidente che per sistemi tempo-continui la condizione di osservabilità implica ed è implicata dalla condizione di ricostruibilità: Osservabilità Ricostruibilità

11 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5. Dualità Dato un sistema continuo o discreto S = (A,B,C,D), il sistema S D = (A T,C T,B T,D T ), viene detto sistema duale di S. numero di ingressi di S = numero di uscite di S D numero di uscite di S = numero di ingressi di S D Proprietà di raggiungibilità e osservabilità. Le matrici di raggiungibilità R + D ed di osservabilità OD del sistema duale S D sono legate alle matrici R + e O del sistema S dalle relazioni: R + D = [C T A T C T...(A T ) n C T ] = O D = B T B T A T. B T (A T ) n C CẠ. CA n T = (O ) T = [B AB...A n B] T = (R + ) T Proprietà. Persistemidiscreti,seS ècontrollabilealloras D èricostruibile. Proprietà: Per i sistemi dinamici S e S D valgono le seguenti proprietà: S raggiungibile S D osservabile S osservabile S D raggiungibile S controllabile S D ricostruibile S ricostruibile S D controllabile Se due sistemi algebricamente equivalenti S e S sono legati dalla trasformazione x = Tx, i corrispondenti sistemi duali S D e S D sono legati fra di loro dalla trasformazione x D = Px D dove P = T T : S = (A, B, C) Dualità T S = (T AT, T B, CT) Dualità S D = (A T, C T, B T ) P S D = (T T A T T T, T T C T, B T T T )

12 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5. Forma standard di osservabilità Proprietà. Ogni sistema lineare S = {A, B, C, D} (continuo o discreto) non completamente osservabile può essere portato in forma standard di osservabilità, cioè è algebricamente equivalente ad un sistema S = {A, B, C, D}dovelematriciA = P AP,B = P B,C = CP e D hanno la seguente struttura: A = A, A, A, B = C = [ C ] D = D Posto ρ = n dime < n, la matrice di trasformazione P che porta il sistema in forma standard di osservabilità ha la seguente struttura: P = R R, x = Px dove R R ρ n è formata da ρ righe linearmente indipendenti della matrice di osservabilità O, e dove R R (n ρ) n è una qualunque matrice che rende non singolare la matrice di trasformazione P. Proprietà. Il sottosistema di dimensione ρ caratterizzato dalle matrici A, e C è completamente osservabile. Il sottosistema (A,, B, C ), è detto sottosistema osservabile e rappresenta la parte del sistema originario che è osservabile dall uscita. Il sottosistema (A,, B, ), caratterizzato dalle matrici A,, B, e C =, è detto sottosistema non osservabile e rappresenta la parte del sistema originario che non influenza in nessun modo l uscita y del sistema. Anche in questo caso gli autovalori della matrice A vengono suddivisi in due gruppi: gli autovalori della parte osservabile (quelli della matrice A, ) e gli autovalori della parte non osservabile (quelli della matrice A, ). Osservando l uscita y non è possibile in nessun modo osservare lo stato del sottosistema non osservabile. B B

13 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.3 Nel caso discreto, consideriamo il vettore di stato x(k) partizionato in due parti: la componente osservabile x e quella non osservabile x : x = [ x x ] T, dove dimx = ρ. Le equazioni del sistema sono: x (k +) = A, x (k)+ B u(k) x (k +) = A, x (k)+ A, x (k)+ B u(k) y(k) = C x (k)+ Du(k) Il corrispondente schema a blocchi è: D B x (k +) z I ρ x (k) C y(k) u(k) A, A, B x (k +) z I n ρ x (k) A, Una analoga scomposizione vale anche per sistemi a tempo continuo. Proprietà. La matrice di trasferimento H(z) [o H(s) ] di un sistema dinamico lineare, coincide con la matrice di trasferimento della sola parte osservabile cioè è influenzato solo dalle matrici del sottosistema osservabile (A,, B, C ). Prova. la matrice di trasferimento H(z) = C(zI A) B = C(zI A) B vale: H(z) = [ C ] zi A, A, zi A, = [ C ] = C (zi A, ) B B = B (zi A,) (zi A, ) B B =

14 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.4 Esempio. Dato seguente sistema lineare stazionario continuo ẋ(t) = y(t) = [ ] x(t) x(t)+ Portare il sistema in forma standard di osservabilità. u(t) Sol. La matrice di osservabilità del sistema è: O = 3 3 deto = La matrice O è singolare. Il sistema non è completamente osservabile per cui è possibile calcolare la matrice di trasformazione P che porta il sistema in forma standard di osservabilità: P = Il sistema trasformato assume la forma x(t)= P = y(t)= [ ] x(t) x(t)+ u(t) La parte non osservabile è semplicemente stabile in quanto ha un autovalore nell origine: s =. La matrice di trasferimento: G(s) = C o (si A o ) B o = [ ] s s+ = (s+) s +3 è funzione della sola parte osservabile del sistema.