Esame di FONDAMENTI di AUTOMATICA Compito B (Nuovo ordinamento) 16 Giugno 2008 (Bozza di soluzione)

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1 Eame di FONDAMENTI di AUTOMATICA Compito B (Nuovo ordinamento 6 Giugno 28 (Bozza di oluzione NB. Si coniglia vivamente di ripaare anche argomenti non trettamente inerenti la materia oggetto della prova di eame ma peo utilizzati nei calcoli: in particolare le operazioni u matrici (moltiplicazione tra matrici, invera, determinante e le oluzioni di polinomi del econdo ordine. Si coniglia vivamente di effettuare le operazioni uddette enza l auilio della calcolatrice in quanto nei proimi appelli potrebbe eerne vietato l uo. B Il itema è caratterizzato dalle matrici ( ( 2 A =, B = 4 2 e dagli autovalori λ = 2 e λ 2 =. Proprietà trutturali, C = ( 2, D = Raggiungibilità La matrice di raggiungibilità è R = ( B AB ( = 2 2 ingolare Tramite il tet di Hautu rango ( (A λ I B ( = rango = < 2 i nota che la dinamica non raggiungibile è caratterizzata dall autovalore λ = 2. In alternativa, i può effettuare la compoizione ripetto alla raggiungibilità tramite il cambiamento di coordinate ( ( T = T = con il quale i ottiene. T AT = ( 4 2 ( 2, T B =, CT = ( 2 Oervabilità La matrice di oervabilità è ( ( C 2 O = = CA non ingolare Il itema è completamente oervabile. Il itema è intabile per la preenza dell autovalore λ 2 = il quale caratterizza la dinamica del ottoitema raggiungibile e oervabile, mentre la dinamica del ottoitema non raggiungibile (e oervabile è caratterizzata dall autovalore λ 2 = 2 e quindi tale dinamica, non modificabile, è già tabile aintoticamente. Per la tabilizzazione del itema i può quindi coniderare il olo comportamento ingreo/ucita dato dalla funzione di traferimento P ( = C(I A B D = 2( 2 ( 2( = 2 In uno chema di controllo a retroazione i può verificare e la celta di un controllore tatico C( = K c è ufficiente per tabilizzare il itema di controllo illutrato in Fig.(.

2 r K c u S S Figure : Schema d controllo Come noto tale retroazione lacerà inalterata la dinamica non raggiungibile (già tabile aintoticamente mentre il polo del itema ad anello chiuo arà dato dalla oluzione di d CH ( = 2K c = Valori di K c > /2 rendono il itema ad anello chiuo tabile aintoticamente. 2B Si noti (anche enza l auilio della calcolatrice che 2 2 = ( 2 e quindi la funzione di traferimento diventa, in forma canonica di Bode, F ( = K( ( ( 2 = K( / ( /( / 2 ed è caratterizzata, per K =, dalla preenza di oli termini binomi! I diagrammi di Bode, per K =, ono riportati in Fig.(2. Modulo (db Eatto 8 Pulazione 2 (rad/ 3 4 Fae (deg Eatto Pulazione (rad/ Figure 2: Diagrammi di Bode di F (jω 2

3 u u F ( W( Figure 3: Schema di controllo Im.5! =! =! = Re Im Re Figure 4: Nquit manuale ed eatto per K = Si noti che il numero di poli a parte reale poitiva di F ( è N p = 2. Dai diagrammi di Nquit riportati in Fig.(4 i deduce che eite un valore critico di K poitivo oltre il quale il diagramma di Nquit compie N = 2 giri (in eno antiorario e quindi tale da aicurare (N p = N la tabilità aintotica del itema ad anello chiuo. Tale valore è determinabile in forma approimata dai diagrammi di Bode o in forma eatta applicando il criterio di Routh. Il denominatore della funzione di traferimento del itema ad anello chiuo riportato in Fig.(3 è pari a W ( = F ( F ( d CH ( = (K 9 (K La condizione necearia affinché tutte le radici (poli del itema ad anello chiuo iano a parte reale trettamente minore di zero è K >, K >.9 e cioè K >.9. La tabella di Routh è (K 9 8 (k 7K 62 K e quindi la C.N.& S. affinché il itema ad anello chiuo ia tabile aintoticamente è K > 62/7 Per valori di K negativi, il diagramma di Nquit è ruotato di π (mezzo giro in eno orario e non compie mai i giri neceari per aicurare la tabilità aintotica del itema retroazionato. Si noti che per K = il diagramma di Nquit paa per il punto (, (itema ad anello chiuo non tabile aintoticamente. Per tale valore di K il denominatore di W ( diventa d CH ( K= = = (

4 ed ha una oluzione (polo = e una con parte reale maggiore di zero (itema ad anello chiuo intabile. 3B Il itema è caratterizzato dalla terna ( A =. e dalla funzione di traferimento P ( = C(I A B = (, B =, C = (.. 2. = (. ( (. = La preenza di un autovalore nacoto in. (reale negativo non preclude l utilizzo della tecnica di intei in frequenza. Tale dinamica, tabile aintoticamente, rimane nacota per il itema di controllo coniderato e quindi non contribuice alla ripota forzata del itema di controllo, indipendentemente dall ingreo preo in eame (riferimento e/o diturbo. Lo chema di controllo coniderato è riportato in Fig.(5 d r e S AP C( u P( Figure 5: Schema d controllo Per il oddifacimento delle pecifiche tatiche (regime permanente la pecifica di atatimo ripetto al diturbo cotante agente in ingreo richiede la preenza di un polo in = nel controllore (a monte del punto di ingreo del diturbo in catena diretta; la pecifica di errore finito in corripondenza ad un ingreo di riferimento di ordine richiede la preenza, gà aicurata dal punto precedente, di un polo in = in catena diretta e da un valore del guadagno K p K c del itema in catena diretta tale che e = K c K p K c Si ceglie K c =. La truttura necearia del controllore è e quindi il proceo modificato è P ( = P ( = I diagrammi di Bode di P (jω ono riportati in Fig.(6 = ( / Dall eame di tali diagrammi i individuano le azioni necearie Anticipo della fae in ω t = rad/ec di almeno 3 Amplificazione in ω t = rad/ec di eattamente 2 db. 4

5 Modulo (db Pulazione (rad/ Eatto Fae 5 5 Eatto Pulazione (rad/ Figure 6: Diagrammi di Bode di P (jω Si può pertanto cegliere una funzione anticipatrice fruttando anche l amplificazione da ea fornita (rimanendo comunque nella parte a initra della campana. Ad eempio m a = 4 fornice l anticipo richieto alla pulazione normalizzata ωτ = e un amplificazione di circa 3 db. Per ottenere l effetto deiderato in ωt i ceglie τ a tale che ω t τ a = τ a = Un ulteriore guadagno K c2 tale che K c2 db = 7 db (maggiore di uno e quindi tale da non alterare il oddifacimento delle pecifiche di regime fornice la rimanente amplificazione necearia (2 db 3 db e garantice il oddifacimento della pecifica ulla pulazione di attraveramento. La tabilità aintotica del itema di controllo è garantita dal Teorema di Bode. Il controllore precelto è C( = K c2 τ τ a /m a, con m a = 4, τ a = 5