Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.

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1 Teoria dei Sitemi e del Controllo Compito del Gennaio 206 Domande ed eercizi Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.. Scrivere la oluzione generale dell equazione alle differenze x(k +) = Ax(k)+Bu(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) all itante h = 0: x(k) = Scrivere l andamento temporale della funzione di ucita y(t), oluzione dell equazione differenziale ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) e dell equazione tatica y(t) = Cx(t)+Du(t) a partire dalla condizione iniziale x(0) all itante t 0 = 0: y(t) = 3. Un itema dinamico caratterizzato dalla funzione di tato x(k +) = f(x(k),u(k)) è un itema dinamico; è un itema tempo-continuo; è un itema lineare; è un itema tempo-invariante; 4. CalcolarelamatricediraggiungibilitàR + elamatricedioervabilitào deleguenteitema: ẋ(t) = x(t)+ 0 0 u(t) 0 0 R + =, O = y(t) = [ 0 ] x(t) Il itema è: raggiungibile? non raggiungibile? oervabile? non oervabile? Fornire una bae B R del ottopazio raggiungibile X + e una bae B O del ottopazio non oervabile E : X + = Im[B R ] = Im, E = Im[B O ] = Im. 5. Sia dato un itema lineare tempo dicreto: x(k+) = Ax(k)+Bu(k) e y(k) = Cx(k)+Du(k). Fornire l epreione y(k) della ola evoluzione libera dell ucita del itema a partire dalla condizione iniziale x 0. Indicare inoltre l epreione della traformata y(z) del vettore y(k): y(k) = y(z) = 6. Calcolare, in funzione della condizione iniziale x 0 = [x 0, x 20, x 30, x 40 ] T, l evoluzione libera del eguente itema autonomo tempo-dicreto: 0 0 x 0 x(k +) = x(k) x(k) = x 20 x x 40

2 7. Sia dato il eguente itema lineare tempo-continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t). Scrivere l epreione delle matrici F, G e H che caratterizzano il corripondente itema a egnali campionati x(k +) = Fx(k)+Gu(k), y(k) = Hx(k): F = G = H = 8. Coniderato un itema dinamico tempo-dicreto x(k + ) = A x(k) del econdo ordine caratterizzato da due autovalori reali ditinti λ = 0.8, λ 2 =.2, ripondere alle domande e indicare qual è l andamento qualitativo delle traiettorie nell intorno dell origine: gli autovettori del itema v e v 2 ono reali e ditinti. gli autovettori del itema v e v 2 ono traiettorie rettilinee del itema. per t tutte le traiettorie tendono ad appiattiri u uno dei due autovettori. per t tutte le traiettorie tendono a zero. x x Quale nome viene tipicamente utilizzato per indicare il tipo di traiettorie opra indicato: Nodo? Fuoco? Sella? Degenere? Stabile? Intabile? 9. Diegnare lo chema a blocchi aociato al eguente itema tempo-continuo dove con x c i è indicato il vettore x c = [ ] T x x 2 x 3 x ẋ c (t) = x c(t)+ 0 0 u(t) α 0 α α 2 α 3 y(t) = [ ] β 0 β β 2 β 3 xc (t) 0. Dato il itema dinamico otto riportato, crivere la funzione di traferimento G(z) che lega la traformata U(z) dell ingreo u(k) alla traformata Y(z) dell ucita y(k): x(k +) = 0 0 G(z) = x(t)+ 5 3 u(k) y(k) = [ ] x(k)+ [ 7 ] u(k) 2

3 . Si conideri il problema di controllo punto a punto per un itema lineare tempo-dicreto. Tra le infinite oluzioni u che fanno paare il itema dallo tato iniziale x(0) allo tato finale x(k) nell intervallo di tempo [0, k] indicare la oluzione u che minimizza la norma euclidea: u = 2. Sia dato un itema (A, b) completamente raggiungibile. Il corripondente itema a dati campionati (eendo T il periodo di campionamento) è completamente raggiungibile e e olo eperognicoppiaλ i, λ j diautovaloriditintidiaaventilateapartereale, valelarelazione: 3. Sia dato il eguente itema non lineare di equazioni differenziali nello pazio degli tati: ẋ = x 2 ẋ 2 = x 3 ẋ 3 = 3x in 2 x 3 +2x 3 2 5x x 2 3 +u(t) Poto [x x 2 x 3 ] T = [y(t) ẏ(t) ÿ(t)] T, crivere la corripondente equazione differenziale non lineare del terzo ordine che lega l ingreo u(t) all ucita y(t): Scrivere come i determina la matrice P - della traformazione x = Px che potra un itema non completamente oervabile in forma tandard di oervabilità: P - = Indicare inoltre la truttura a blocchi delle matrici A, B e C che i ottengono: A =, B = [ ], C = Scrivere la forma emplificata della matrice di traferimento H() del itema S in funzione delle ottomatrici A i,j, B i e C j che caratterizzano il itema S = (A, B, C): H() = 5. a) Si criva la forma eplicita della formula di Ackermann che fornice il vettore k T che permette il poizionamento arbitrario degli autovalori di un itema retroazionato: k T = b) Indicare la forma del polinomio deiderato p(λ) e della matrice p(a) di un itema tempo continuo nel cao n = 4 in cui i voglia avere un tempo di aetamento T a = 6 e i voglia poizionare tutti gli autovalori nello teo punto reale λ: λ = p(λ) = p(a) = 3

4 6. Dato il itema lineare tempo-continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), riportare la truttura di uno timatore aintotico dello tato di ordine ridotto: [ ] ˆx(t) = T ˆv(t) = 7. Dato un itema lineare tempo-continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t): a) è poibile utilizzare un oervatore aintotico dello tato in catena aperta e e olo e:... b) è poibile utilizzare un oervatore aintotico dello tato in catena chiua di ordine pieno e e olo e: Indicare la truttura del itema duale S D aociato ad un itema dato S = (A, B, C, D): S D = (,,, ) 9. Scrivere la truttura della matrice di traformazione P - c che porta un itema S = (A, b, c) oervabile in forma canonica di oervabilità (x = P c x c ): P - c = dove i coefficienti α i ono Si conideri un itema non lineare tempo continuo ẋ(t) = f(x(t),u(t)) e ia x 0 un punto di equilibrio del itema per ingreo cotante u 0. Scrivere la parte lineare dello viluppo in erie della funzione f(x(t),u(t)) nell intorno del punto (x 0, u 0 ): f(x,u) = 2. Scrivere all interno della eguente tabella i imboli e i nomi delle variabili energia e delle variabili di potenza che caratterizzano l ambito energetico Meccanico Tralazionale. Indicare inoltre la relazione cotitutiva (non lineare e lineare) dei ingoli elementi e l equazione differenziale che caratterizza gli elementi dinamici: D q v D 2 q 2 v 2 R Simboli / Nomi Rel. Cotititutiva R. C. Cao Lineare Eq. Differenzile 4

5 22. Si conideri il eguente circuito elettrico cotituito dalle induttanze L, L 2, dalle capacità C 3, C 4 e dalle reitenze R a, R e R 5. Sul itema agicono due ingrei: la tenione V a e la corrente I b. Le ucite del itema ono: la corrente I a e la tenione V b. R I r I C 3 V r5 I ra V a I a R a L I 2 V 3 C 4 V 4 L 2 R 5 V b I b Il modello P.O.G. dello chema elettrico aegnato ha la eguente truttura: V a I a R a I ra L I R I r φ 2 L 2 I 2 V 3 C 3 Q 3 V 4 C 4 Q 4 R 5 V r5 V b I b Sia x = [ ]T [ ]T I I 2 V 3 V 4 il vettore di tato, u = Va I b il vettore degli ingrei e y = [ ]T Ia V b il vettore delle ucite. Scrivere il corripondente itema dinamico Lẋ = Ax+Bu e y = Cx+Du nello pazio degli tati: I I I 2 [ ] I = 2 Va V 3 V + 3 I b }{{} V 4 V 4 u }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ x }{{} L A B ] ] [ Ia V b = x + }{{}}{{}}{{}}{{} y u C D 23. Enunciare il criterio diretto di tabilità di Lyapunov nel cao di itemi tempo dicreti. Si conideri il itema non lineare x(k+) = f(x(k), u 0 ) e ia x 0 un punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u 0. ) Se... [ Va I b 24. Quali delle eguenti funzioni V(x,x 2 ) ono definite poitive nell intorno del punto (, ): V(x,x 2 ) = (x ) 2 +(x 2 ) 2 ; V(x,x 2 ) = (x 2 )x 2 2 +(x 2 2 )x 2 ; V(x,x 2 ) = (x 2 )+(x 2 2 ); V(x,x 2 ) = (x ) 2 x 2 2 +(x 2 ) 2 x 2 ; 5

6 25. Sia dato il eguente itema non lineare ẋ = f(x), tempo continuo, privo di ingrei: { ẋ = x 2 ẋ 2 = x +(x 2 α)x 2 a) Calcolare lo Jacobiano A(x) = f(x) del itema ẋ = f(x) e la matrice A x del itema linearizzato nell intorno del punto di equilibrio x = (0,0): A(x) = f(x) x = A =. b) Studiare, al variare di α, la tabilità del itema non lineare nell intorno del punto di equilibrio x utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov: 26. Sia dato il eguente itema non lineare x(k + ) = f(x), tempo dicreto, privo di ingrei: { x (k +) = x 2 x 2 (k +) = x +(x 2 α)x 2 a) Determinare, al variare di α, i 3 punti di equilibrio x, x 2 e x 3 del itema non lineare: x = (, ), x 2 = (, ), x 3 = (, ) b)studiare,alvariarediα,latabilitàdelitemanonlinearenell intornodelpuntox = (0,0) utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov: c) Data la eguente funzione di Lyapunov: V(x) = x 2 +x 2 2 calcolare la funzione V(x(k)): 6