Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.

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1 Teoria dei Sitemi e del Controllo Compito A del 5 Febbraio 05 Domande ed eercizi Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.. Scrivere la oluzione in forma chiua dell equazione differenziale ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) a partire dalla condizione iniziale x(t 0 ): x(t) =. Scrivere l andamento temporale della funzione di ucita y(k), oluzione dell equazione alle differenze x(k+) = Ax(k)+Bu(k) e dell equazione tatica y(k) = Cx(k)+Du(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) all itante h = 0: y(k) = 3. Decrivere coa rappreenta, per itemi dicreti x(k+)=ax(k)+bu(k), il imbolo X + (k): Indicare inoltre il modo tipico di calcolare l inieme X + (k): X + (k) =. Indicare che coa rappreenta il imbolo E + (t 0,t,u( ),y( )): 5. CalcolarelamatricediraggiungibilitàR + elamatricedioervabilitào deleguenteitema: ẋ(t) = x(t)+ 0 0 u(t) 0 0 R + =, O = y(t) = 0 ] x(t) Il itema è: raggiungibile? non raggiungibile? oervabile? non oervabile? Fornire una bae B R del ottopazio raggiungibile X + e una bae B O del ottopazio non oervabile E : X + = ImB R ] = Im, E = ImB O ] = Im. 6. Sia dato il eguente itema lineare tempo-continuo ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t). Scrivere l epreione delle matrici F, G e H che caratterizzano il corripondente itema a egnali campionati x(k +) = Fx(k)+Gu(k), y(k) = Hx(k): F = G = H =

2 7. Sia dato un itema lineare tempo continuo: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) e y(t) = Cx(t)+Du(t). Applicare la traformata di Laplace al itema e fornire l epreione della traformata y() del vettore di ucita y(t) corripondente alla ola evoluzione forzata del itema: y() = 8. Applicando al itema dinamico ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) la traformazione di coordinate x = T x i ottiene un itema traformato x(t) = Ã x(t) + Bu(t), y(t) = C x(t) caratterizzato dalle eguenti matrici Ã, B e C: Ã = B = C = 9. Si conideri il eguente itema dinamico lineare: ] ] 3 ẋ = x+ u = Ax+Bu, y = 3 y ] = y ] ] c x = x = Cx. c a) Scrivere la formula da utilizzare per calcolare il punto di lavoro x 0 corripondente ad un ingreo cotante u = u 0 : x 0 =. È facile verificare che per ingreo cotante u 0 = il punto di lavoro del itema dato è x 0 =, ] T. 3 x b) Nel riquadro riportato a fianco diegnare qualitativamente la traiettoria del itema dinamico ẋ(t) = Ax(t) + Bu che i ottiene partendo da condizioni iniziali nulle x(0) = 0 e in preenza di un ingreo cotante u 0 =. c) Calcolare gli autovalori del itema: x 0 c c x 0 x λ = λ = 0 3 x d) Indicare il tipo di traiettoria che caratterizza la ripota del itema all ingreo u 0 = : Nodo? Nodo degenere? Fuoco? Sella? Stabile? Intabile? e) Calcolare il tempo di aetamento T a e il periodo T ω dell ocillazione della ripota x(t): T a = T ω = f) Tracciare l andamento qualitativo della ripota temporale delle due ucite y (t) e y (t): y (t) y (t) 0 t 0 t

3 0. Sia dato il eguente chema a blocchi: 6 u(t) x x 3 x x y(t) Si calcoli la funzione di traferimento del itema: G() = Y() U() = È inoltre poibile affermate che il itema G(): è completamente raggiungibile; è completamente oervabile; è icuramente tabile; è in forma tandard di raggiungibilità; è in forma canonica di oervabilità; è tabilizzabile con retroazione u=kx;. Sia dato un itema lineare SISO del quarto ordine (n = ), completamente oervabile, caratterizzato dalle matrici A, b e c. a) Indicare la truttura delle matrici A o, b o e c o della corripondente forma canonica di oervabilità. Sia p(λ) = λ +α 3 λ 3 +α λ +α λ+α 0 il polinomio caratteritico della matrice A. A o =, b o = ], c o = b) Indicare inoltre la truttura della matrice P che, unita alla traformazione x = Px o, porta il itema originario in forma canonica di oervabilità. P =. Calcolare, in funzione della condizione iniziale x(0) = x (0), x (0), x 3 (0), x (0)] T, l evoluzione libera del eguente itema autonomo tempo-continuo: x (0) ẋ(t) = x(t), x(t) = x (0) x 3 (0) x (0) 3. Nel cao di itemi tempo-dicreti lineari invarianti x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), crivere la condizione che deve eere oddifatta affinché ia poibile far paare il itema dallo tato iniziale x(0) allo tato finale x(k) nell intervallo di tempo 0, k]: 3

4 . Sia dato il eguente itema dinamico lineare tempo-continuo: ẋ(t) = x(t)+ 0 u(t) y(t) = 0 ] x(t) Penando alla truttura a blocchi dei itemi in forma tandard è poibile affermare che: il itema è in forma tandard di oervabilità; il itema è in forma tandard di raggiungibilità; per queto itema è poibile cotruire un oervatore aintotico dello tato; il itema può eere tabilizzato utilizzando una retroazione tatica dello tato; Uando le proprietà trutturali del itema dato calcolare la funzione di traferimento G() = che lega l ingreo U() = Lu(t)] all ucita Y() = Ly(t)] Y() U() G() = 5. Sia dato un itema (A, c) completamente oervabile. Il corripondente itema a dati campionati (eendo T il periodo di campionamento) è completamente oervabile e e olo e per ogni coppia λ i, λ j di autovalori ditinti di A aventi la tea parte reale, vale la relazione: 6. Dato il itema lineare tempo-dicreto x(k +) = Ax(k)+Bu(k), riportare la truttura di: a) uno timatore aintotico dello tato in catena aperta: ˆx(k +) = b) uno timatore aintotico dello tato in catena chiua di ordine pieno: ˆx(k +) = c) l evoluzione temporale degli errori di tima e(k) = x(k) ˆx(k) che i hanno nei due cai precedenti a) e b) a partire da un errore di tima iniziale e(0): e(k) = e(k) = 7. Scrivere all interno della eguente tabella i imboli e i nomi delle variabili energia e delle variabili di potenza che caratterizzano l ambito energetico elettromagnetico. Indicare inoltre la relazione cotitutiva dei ingoli elementi (ia nel cao generale non lineare che nel cao lineare) e l equazione differenziale che caratterizza gli elementi dinamici: D q v D q v R Simboli / Nomi Rel. Cotititutiva R. C. Cao Lineare Eq. Differenzile

5 8. Si conideri il eguente circuito elettrico cotituito dalle induttanze L, L 3, L, dalla capacità C e dalle reitenze R, R, R 3 e R. Sul itema agicono due ingrei: la corrente I a e la tenione V b. Le ucite del itema ono: la tenione V a in ingreo e la corrente I b in ucita. R R L 3 R 3 V r I L I 3 V r C V r3 R I r L I V b V I a Il modello P.O.G. del circuito elettrico aegnato ha la eguente truttura: I 3 I a I b I I I r L 3 L L R R φ Q φ 3 R 3 φ R C V r V r V r3 V a V b V Sia x = ]T ]T I V I 3 I il vettore di tato, u = Ia V b il vettore degli ingrei e y = ]T Va I b il vettore delle ucite. Scrivere il corripondente itema dinamico Lẋ = Ax+Bu e y = Cx+Du nello pazio degli tati: I I V ] V = Ia I 3 I + 3 V b }{{} I I u }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ x }{{} L A B ] ] Va I b }{{} y = } {{ } C x + } {{ } D Ia V b }{{} u 9. Enunciare il criterio diretto di tabilità di Lyapunov nel cao di itemi tempo dicreti. Si conideri il itema non lineare x(k+) = f(x(k), u 0 ) e ia x 0 un punto di equilibrio corripondente all ingreo cotante u 0. ) Se 0. Indicare quali delle eguenti funzioni V(x,x ) ono definite poitive nell intorno dell origine: V(x,x ) = x ( x )+x ( x ); V(x,x ) = x +x +x +x ; V(x,x ) = x in(x )+x in(x ); V(x,x ) = x co(x )+x co(x ); 5

6 . Sia dato il eguente itema non lineare ẋ(t) = f(x), tempo continuo, privo di ingrei: ẋ = αx x 3 ẋ = x x 3 +βx 3 ẋ 3 = βx x 3 3 È facile verificare che l origine x 0 = (0, 0, 0) = 0 è un punto di equilibrio per il itema. a) Calcolare, in funzione dei parametri α e β, lo Jacobiano A(x) del itema non lineare: A(x) = f(x) x = b) Calcolare, in funzione di α e β, la matrice A 0 del itema linearizzato nel punto x 0 = 0: A 0 = c) Studiare, al variare dei parametri α e β, la tabilità del itema non lineare nell intorno del punto x 0 = 0 utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov: d) Nel cao α = 0, tudiare al variare del parametro β la tabilità del itema non lineare nell intorno del punto x 0 = 0 utilizzando il criterio diretto di Lyapunov e la funzione: V(x) = x +x +x 3. Eventualmente i utilizzi anche il criterio di La Salle - Kraowkii.. Calcolare i punti di equilibrio x e x del eguente itema non lineare tempo dicreto: { { x (k +) = x (k) x = (, ) x (k +) = x (k)+x (k)(x (k)+3) x = (, ) 6