coeff. della 1 colonna sono diversi da 0 il sistema è asintoticamente stabile;

Transcript

1 Sitemi Dinamici: Induttore: i = x, v = Lx Condenatore: i = Cx, v = x x = x x = p Maa: x =, dove x u = v M u = F x = x Ocillatore meccanico: x = (Kx M Dx + u), dove Pendolo: x = x x = g l in x + ml u k ml x Serbatoio cilindrico: x = A S coppia u y, dove, dove x = u = q i y = q f Serbatoio cilindrico con valvola d effluo: x = k A V A S Funzione di Traferimento: G = Y() U() = G = μ G = μ (+τ i ) g i i (+Ti ) CB I n A + D +ξω n +ω n (+ ξ zi i + ω nzi ω ) nzi (+ ξ pi i + ω npi ω ) npi x = θ x = ω = θ u = τ x = poizione x = v u = F x + A S u, dove Stabilità del itema: (N.B. i poli della fdt coincidono con gli autovalori di A) x = u = q i Aintoticamente tabile: e e olo e tutti i poli della ua fdt hanno parte reale negativa; Semplicemente tabile: e e olo e tutti i poli della ua fdt hanno parte reale negativa o nulla, almeno uno ha parte reale nulla, e tutti i poli a parte reale nulla ono emplici; Intabile: e e olo e almeno un polo della ua fdt ha parte reale poitiva oppure ha parte reale nulla ed è multiplo; Se il Sitema è di ordine, la condizione necearia è anche ufficiente Poiché i coefficienti del denominatore ono tutti >,allora il itema è aintoticamente tabile. a c b d Criterio di Routh: D = (autoval. ) = a 3 + b + c + d f = coeff. della colonna ono diveri da il itema è aintoticamente tabile; > a. tabilità f > intabile det A = oppure < intabile < a. tabile x x,u a det c b b b det d Guadagno Statico: Se g = μ = lim G = G rapporto tra ingreo e ucita all equilibrio. d e e e tutti i Oervabilità: K o = C CA CA, e det K o completamete oervabile Raggiungibilità: K R = B AB A B, e det K R completamete raggiungibile Confrontare l ordine della funzione di traferimento con l ordine del itema: e il è inferiore al è dovuto alla non completa raggiungibilità e/o oervabilità

2 Movimento: Il moto libero è la parte del movimento che dipende olo dalla condizione iniziale, il moto forzato è la parte che dipende olo dall'ingreo: x t = x l + x f = e at x + e a tτ bu(τ)dτ y t = y l + y f = ce at t x + ce a tτ bu τ dτ + du(t) Ripote Canoniche: Sitemi del primo ordine: G = μ +T, g = t G = μ, g = G = μ +τ +T, g = G = μ +τ, g = G = μ +T, g = Sitemi del econdo ordine: G = μ +T (+T ), T, T > aintoticamente tabile, poli = T = T

3 G = μ +τ +T (+T ), T, T > aintoticamente tabile G = ω n +ξω n +ω n, ξ morzamento, ω n pulazione; e ξ > aint. tabile (convergente) ξ = emplic. tabile ξ < intabile (divergente) Metodo di Heaviide: Poli emplici: D = + p + p + p n F = α +p + α +p + + α n Polo multiplo: D = + p k F = α + α + + +p k +p k ricavano gli α mediante il confronto di quet equazione con l epreione originaria di F(). Poli emplici: f t = α e pt + α e pt + + α n e p n t, t Infine: t Polo multiplo: α k k! ept t + α k k! ept + + α n e p n t, t α n +p +p n i Traformate Notevoli: f t f t, t F() imp(t) ca(t) ram(t) t par(t) t 3 Ripote in frequenza (Ripota Aintotica): pulazione, φ fae iniziale e y(t) l ucita. u t = A in(ωt + φ) y t = A G(jω) in(ωt + φ + G(jω)) dove A ampiezza, ω Teorema del valore iniziale: f = lim + F() Teo del valore finale: Schemi a Blocchi: f = lim + F() f = lim + F f f () = lim + L f t f lim t + f t = lim F() Hp: F() razionale e tutti poli parte reale negativa o nell origine piano compleo In erie: Y() = G F() U() È aintoticamente tabile e e olo e lo ono tutti i ottoitemi che compongono la cacata. In parallelo: Y() = G + F() U() È aintoticamente tabile e e olo e lo ono tutti i ottoitemi che compongono il parallelo. In retroazione: poitiva: negativa: Y = G U G F Y = G U +G F Non i può affermare nulla ulla aintotica tabilità del itema in anello chiuo a partire dalla aintotica tabilità o meno dei due itemi interconnei.

4 Diagramma di Bode del modulo: guadagno=μ: G(jω) db = log μ ; zeri e poli nell origine: G jω db = log ω zeri e poli reali: G(jω) db = log =, ω τ ± log ωτ, ω > [algo/cendo di ], poli, +zeri τ zeri e poli complei e coniugati: G(jω) db = ± log ( + ω ω n ) + 4ξ ω ω n [algo/cendo di 4] Diagramma di Bode della fae: μ guadagno=μ: G jω db G jω = μ = 8 μ < zeri e poli nell origine: G jω = g jω = g9 zeri e poli reali: G jω = =, ω τ zeri e poli complei e coniugati: G jω = ±artg ± jωτ =, ω >, jωτ 9 τ > poli, +zeri τ 9 τ < ξ ωn ω ω ω n [alto di ±8 ] Stabilità dei itemi di controllo: Polinomio caratteritico: χ = N + D() [le radici di tale polinomio ono i poli del itema in anello chiuo] Stabilità del itema in anello chiuo: è aintoticamente tabile e e olo e tutte le radici del polinomio caratteritico hanno parte reale negativa L non a poli a parte reale poitiva Criterio di Bode: Hp: Il diagramma di Bode del modulo di L jω intereca l ae a db una ola volta Tei: il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e il guadagno d anello e il margine di fae ono μ entrambi poitivi: L > φ m > Pulazione critica ω c : pulazione alla quale il diagramma di L jω db taglia l ae a db, oia: L jω c = Fae critica φ c : fae di L(jω) in corripondenza della pulazione critica, oia φ c = L jω c Margine di fae φ m : differenza tra 8 e la fee critica, prea in modulo, oia: φ m = 8 φ c Guadagno d anello μ L : guadagno di L() Andamento qualitativo della ripota di y a y φ m > 6 F = +, tempo di aetamento: T a = 4 5 ω c ω c ω φ m < 6 F c +ξω c +ω, morzamento: ξ φ m, tempo di aetamento: T c a = 4 5 ξω c Se φ m = 9 F(jω c ) db = 3 ω c = ω b pulazione critica etremo uperiore banda paante Margine di guadagno: k m = L(j ω p ), con L jω p = 8. Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e k m >, ed è tanto più robuto quanto maggiore è k m. Sitemi con ritardo: occorre ommare alla fae critica ω c τ 8 τ π min < φ m π oppure τ ω c 8 max = φ m ω c Errore a tranitorio eaurito: Aenza di diturbo: F = Diturbo in linea di andata: Y() L() +L() approima: F(jω) = ω ω c reta a fino a ω c L(jω) ω ω c (egue L) D() = S = +L() funzione di enitività, ω ω S(jω) = L(jω ) c peculare ino a ω c ω ω c (reta ull ae delle x dopo ω c ) Diturbo in linea di retroazione: Y() L() = F = funzione di enitività complementare N() +L() F(jω) = ω ω c reta a fino a ω c L(jω) ω ω c (egue L) Errore dovuto al egnale di riferimento: E = Y +L E Errore dovuto al diturbo in linea di andata: = = S() D +L Errore dovuto al diturbo in linea di retroazione: E = N L() +L = F() π 8

5 Errore a regime(e da calcolare mettere il davanti) : g L = g G + g R [err finito g R =, err nullo g R = ] Errore dovuto al egnale di riferimento: g L Aca(t) Aram(t) Apar(t) A + Errore dovuto al diturbo in linea di andata: Errore dovuto al diturbo in linea di retroazione: g L Aca(t) Aram(t) Apar(t) A + A A Progetto del controllore: e = e y + e d (l errore ul diturbo può eere moltiplicato per μ H ) Progetto Statico: Se μ R è indeterminato non o neun vincolo e lo pongo uguale a R = μ R g R Quando d t = in(ωt) con ω ω e t = S(jω) in(ωt + S(j in(ωt)) Attenuazione effetto del diturbo d t ull ucita y: < L(j ω) Attenuazione effetto del diturbo n t ull ucita y: L(jω) < fatt atten fatt atten L(jω) > fatt atten Progetto dinamico:. L = R L con L = R G e diegno il modulo di L ;. Calcolo φ m di L, e non oddifa le pecifiche celgo una nuova ω c e cotruico L che taglia con pendenza in ω c ; 3. Se c è ritardo e τ, nel calcolo della fae critica i omma un fattore di ritardo pari a: ωτ 8 4. Calcolo R = L L e infine trovo R = R R Regolatori PID: Taratura analitica PID:. Determinare il tipo che impone la pecifica tatica; (+T. Scrivere R = μ i ) R in modo tale da cancellare con gli zeri di R i poli di G ; g R 3. Calcoliamo L = R G = αμ R e τ e poniamo ω c = αμ R ; 4. Calcoliamo φ c e φ m e da quet ultima ricaviamo il valore di μ R ; A A g L Aca(t) Aram(t) Apar(t) μ G A + A A T 5. Calcoliamo infine R = K P +T I + T I T D = K T I P + K I = K P I + K KI D e ricaviamo le varie cotanti; T D = K D KP Taratura automatica PID: (non applicabile e il margine di guadagno di G è infinito) Metodo Ziegler-Nichol in anello chiuo: (non empre applicabile). Si chiude l anello di controllo con il regolatore PID, imponendo K I = e K D = ;. Partendo da valori molto piccoli di K P i effettua un emplice eperimento, conitente nell applicare un piccolo gradino al egnale di riferimento; 3. Si aumenta progreivamente K P ripetendo di volta in volta l eperimento finché non i intaura nell anello un ocillazione permanente; π 4. Detto K P = guadagno critico e T = il periodo di ocillazione, i tarano i parametri di un G(j ω π ) ω π regolatore P, PI o PID ulla bae della eguente tabella: π

6 K P T I T D P.5K P PI.45K P T. PID.6K P T T 8 Metodo Ziegler-Nichol in anello aperto: (non empre applicabile). Si applica una variazione a calino all ingreo del itema otto controllo;. Si traccia la tangente nel punto di fleo; 3. Si individuano graficamente le intercette τ e Y della tangente ugli ai t e y, ripettivamente; 4. Si tarano i parametri di un regolatore P, PI o PID ulla bae della eguente tabella: K P T I T D P Y Luogo delle radici: Regole di tracciamento:. Data L = ρ (+z i) (+p i ) PI.9 Y 3τ PID. Y τ.5τ. I punti dell ae reale appartengono: definiamo m numero di zeri e numero di n poli; L. D e anno a dx un numero dipari di poli e zeri L. I e anno a dx un numero pari o nullo di poli e zeri 3. Il numero di aintoti ono n m ia per L. D che per L. I e i incontrano in: x a = z i p i nm 4. Gli aintoti formano i eguenti angoli: θ a = LD: nm 36 LI: nm 5. I punti di diramazione dall ae reale i determinano da: dove aume i valori,,,, n m ; k x d +p k x d +z i i = ; 6. Se n m la omma delle parti reali dei poli del itema in anello chiuo i conerva al variare di ρ; 7. Aintotica Stabilità: LD ρ M = LI ρ m = +p i +z i +p i +z i Sitema aintoticamente tabile e: ρ m < ρ < ρ M Coppia di poli complei e coniugati con ω n e ξ dati: ω n = ipotenua e ξ = co α + ξω n + ω n = Traformata zeta: +g = numero di poli in z = Guadagno: μ = lim z [ z g G z ] dove g = g = numero di zeri in z = y(k) Y(z) altrimenti imp(k) ca(k) z z ; Traformate Notevoli: ram(k) z (z ) par(k) z (z ) 3 a k z z a ka k az (z a) Y z Antitraformata Zeta: [Heaviide per poli emplici] crivo Y(z) nella forma = A + B + + N z z zp zp n y k = Aimp k + Bp k + + Np k n, k Stabilità: cotruico L z = R z G z, dopodiché faccio il polinomio caratteritico φ z = D z + N(z) e otituico z = + e valuto le radici, e ono a parte reale negativa allora quelle del polinomio in z aranno interne al cerchio unitario centrato nell origine è quindi è aintoticamente tabile. Valore iniziale: y = lim z Y z Valore finale: [Hp: poli di Y hanno modulo < o in z=] y = lim z z Y z Diagramma polare: modulo: parte da x e diminuice monotonicamente arriva a crece, decrece fae: parte da α in x e crece diminuice monotonicamente fino a β in [crece, decrece ]