Esempi Calcolo Antitrasformate

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1 Eempi Calcolo Antitraformate Note per il Coro di FdA - Info April, 05 Il punto focale del coiddetto metodo di Heaviide per l antitraformazione di un egnale regolare a traformata razionale conite nel riconocere che ogni egnale di quel tipo può eere rappreentato come omma di egnali elementari, le cui traformate hanno una delle forme eguenti: ( p) h oppure ( p) h + ( p) h con h (molteplicità del polo) intero poitivo; (reiduo) e p (polo) reali nel primo cao e complei nel econdo. E. Calcoliamo l antitraformata di F () = k( z) E equivalente al ricavare la ripota all impulo del itema, e F () è la funzione di traferimento che ne decrive il legame ingreo-ucita. Si ricava che f(t) = L F () = L ( p ) +. ( p ) Poiamo ricavare i reidui e in due modi: Eguaglianza coefficienti polinomi al numeratore. Si oerva banalmente che: ( p ) + ( p ) = ( p ) + ( p ) Il numeratore coincide con quello della F () aegnata e e olo e: ( p ) + ( p ) = k( z); da cui i ottiene: e quindi: { + = k p + p = kz = k p z p p = k p z p p Sviluppo in frazioni parziali. Dalla relazione F () = ( p ) + ( p )

2 i poono ottenere direttamente i reidui e come: k( z) = ( p ) F () =p = ( p ) k( z) = ( p ) F () =p = ( p ) =p =p = k p z p p = k p z p p In concluione i ottiene che f(t) = e pt + e pt = k p z p p e pt + k p z p p e pt, t 0 Si noti come il valore dei reidui,, e quindi la rilevanza relativa di ogni polo nel determinare l andamento compleivo del egnale f(t), dipenda dalla ditanza di quel polo dallo zero e i annulli con ea. E. Si ricavi l antitraformata della funzione eguente: F () = 0( + ) ( + ) 3 ( + 5). In queto cao (polo multiplo), occorre che il polo multiplo contribuica allo viluppo con tanti termini quant è la ua molteplicità. Poiamo dunque crivere: f(t) = L A ( + ) 3 + B ( + ) + C ( + ) + D. ( + ) Per determinare A, B, C, D imponiamo un denominatore comune e l eguaglianza del numeratore del polinomio ottenuto con quello della F () aegnata. Si ha: Si ottiene il itema: A( + 5) + B( + )( + 5) + C( + ) ( + 5) + D( + ) 3 = 0( + ). C + D = 0 B + 7C + 3D = 0 A + 6B + C + 3D = 0 5A + 5B + 5C + D = 0 la cui oluzione è data da A = 5/, B = 5/8, C = 5/3, D = 5/3. Il egnale f(t) i ricava dunque ricordandoi la proprietà di derivazione della traformata (derivazione nel dominio di Laplace), ottenendo: E. 3 f(t) = At e t + Bte t + Ce t + De 5t, t 0 Utilizzando le proprietà della traformata di Laplace, e apendo che L f(t), t 0 = L co(ωt), t 0 = + ω, i calcolino le traformate di Laplace dei eguenti egnali (nulli per t < 0):

3 f (t) = in(0t) Utilizzando le proprietà di traformazione della derivata, e notando che d co(ωt) dt da cui f (t) = /0 f(t), otteniamo: f (t) = 5 in(0t ) F () = (F () f(0)) = 0 0 = ω in(ωt) ( + 0 ) = Poiamo ricrivere la funzione come f (t) = 5 in(0(t 0.)) = 5f (t 0.), da cui i evince il legame tra f e f a meno della preenza di un ritardo di tempo τ = 0.. Utilizzando la proprietà di tralazione nel dominio del tempo è immediato ricavare: f 3 (t) = 5 in(5t) + co(t + ) E. 4 F () = 5 e 0. F () = e Per la proprietà di linearità della traformata, e tenendo conto dei riultati precedenti, è immediato verificare che: 5 F 3 () = e A partire dalle traformate F i () definite nel eguito, calcolare, ove poibile: il valore iniziale e finale dei egnali f i (t); la traformata delle derivate dei egnali f i (t); il valore iniziale e finale dei egnali derivati f i (t). Si tratta quindi di utilizzare i teoremi del valore iniziale e finale, che poono eere applicati quando il egnale f ha traformata razionale con grado relativo poitivo (grado den > grado num).. F () = 0 + Applicando il teorema del valore iniziale i ricava f (0) = lim f (t) = lim F 0 () = lim + = 0 Poichè tutti i poli di F () hanno parte reale negativa è poibile applicare il teorema del valore finale, 0 f ( ) = lim f (t) = lim F () = lim t = 0 Per calcolare la traformata V () del egnale derivato v (t) = f (t) applichiamo la proprietà corripondente, V () = F () f (0) = = + + Utilizziamo nuovamente i teoremi di valore iniziale e finale e otteniamo: v (0) = lim v (t) = lim V () = lim 0 + = 0 v ( ) = lim t v (t) = lim 0 V () = lim = 0 3

4 . F () = In queto cao un polo ha parte reale poitiva, non è quindi poibile applicare il teorema del valore finale. Per il reto i ottiene: f (0) = lim f (t) = lim F () = lim = V () = F () f (0) = ( ) = v (0) = lim v (t) = lim V () = lim = 0 I valori finali di f (t) e v (t) poono eere calcolati in modo alternativo, ricorrendo al metodo di antitraformazione. Si ricava: A f (t) = L F () = L + + B con A = ( + )F () = =, B = ( )F () = =, da cui: f (t) = e t e t, t 0 f ( ) = lim t e t e t =. Analogamente, poto v (t) = f (t) = e t e t, v ( ) = F 3 () = Anche in queto cao, un polo ha icuramente parte reale poitiva (è violata la condizione necearia ui coefficienti del polinomio), non è quindi applicabile il teorema del valore finale. Analogamente a quanto fatto prima i ottiene: E. 5 f 3 (0) = lim f 3 (t) = lim F + 3() = lim = 4 ( + ) V 3 () = F 3 () f 3 (0) = = v 3 (0) = lim v 3 (t) = lim V 3() = lim = 5.6 Come nel cao precedente i potrebbe ricavare l antitraformata e ottenere da queta i valori finali di f 3 (t) e v 3 (t). Dalla coppia di poli complei coniugati che definicono il denominatore di F 3 (),, = 0. ± j (parte reale poitiva), è però facilmente intuibile come il egnale f 3 (t) ia compoto dal prodotto di un egnale peudo-inuoidale e di un termine eponenziale e 0.t. Senza ulteriori conti i può quindi concludere che non è poibile ricavare i valori finali, in quanto indefiniti in egno, dei egnali di interee. Sia dato il itema S, lineare e tempo-invariante, decritto dalla funzione di traferimento G() G() = Calcolarne la ripota all impulo e allo calino unitario. 4

5 Definite le traformate dei egnali di ingreo e di ucita, la fdt G() fornice una rappreentazione eterna del itema S. La ripota nel tempo del itema i ottiene antitraformando: y(t) = L Y () = L G() U(). Nel cao di ingreo u(t) = imp(t) i avrà che U() =, da cui: y(t) = L G() = L = L con + j + = ( + j) Y () = +j = 9 7j = ( + + j) Y () = j = 9 + 7j. icordando che, poto = σ + jω, p, complei, L = e σt e() co(ωt) Im() in(ωt), p i può direttamente ricavare: + + j y imp (t) = e σt e() co(ωt) Im() in(ωt) + e σt e() co( ωt) Im() in( ωt) = e σt e() co(ωt) Im() in(ωt) = e t 9 co(t) + 7 in(t), t 0. Analoghi ragionamenti per ricavare la ripota allo calino unitario u(t) = ca(t). In queto cao i deve porre U() = / e antitraformare: y(t) = L Y () = L G() U() = L G(), da cui: y(t) = L ( ) Come al olito i poono ricavare i reidui come: La ripota nel tempo è data quindi da: A = Y () =0 = 4 = L A + + j + = ( + j) Y () = +j = j 4 = ( + + j) Y () = j = + j j y ca (t) = 4ca(t) + e σt e() co(ωt) Im() in(ωt) = 4ca(t) + e t 4 co(t) + in(t), t 0. Una maniera alternativa di ricavare le due ripote nel tempo conite nel ricordare le antitraformate notevoli di un itema del econdo ordine con traformata H() = + ζω n + ωn (poli, = ζω n ± jω r ) da cui i ottiene, nel tempo, h(t) = ω r e ζωnt in(ω r t), ω r = ω n ζ 5

6 e di coneguenza, applicando la proprietà di traformazione della derivata, e H () = H(), allora h (t) = ḣ(t) (coniderando nullo lo tato iniziale). Nel cao in eame, per ricavare la ripota all impulo i può quindi definire il egnale h(t) = L H() = L dove il denominatore della H() è compoto dalla coppia di poli complei coniugati, = ± j, da cui è facile ricavare ω r =, ω n = e ζ = /. Applicando quanto vito in precedenza i può quindi concludere che y imp (t) = L = 9 ḣ(t) + 3 h(t) = d ( ) ( ) dt e t in(t) + 3 e t in(t) = 9 ( e t co(t) e t in(t) ) + 6 e t in(t) = e t 9 co(t) + 7 in(t), t 0. Analogamente, per ricavare la ripota del itema allo calino unitario i può fruttare il riultato precedente ponendo y(t) = L G() A = L + B + C I coefficienti A,B,C i ricavano eguagliando i polinomi al numeratore, da cui A = 4, B = 4, C = 7. La ripota allo calino unitario è dunque direttamente ricavabile come: 4 y ca (t) = L = 4ca(t) 4 ḣ(t) 7 h(t) = ca(t) 4 ( e t co(t) e t in(t) ) 7 e t in(t) = 4ca(t) + e t 4 co(t) + in(t), t 0. 6