Lezione 9. Calcolo dell antitrasformata di Laplace. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 9 1
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- Costanza Agostini
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1 ezione 9. Calcolo dell aniraormaa di aplace. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
2 Schema della lezione. Inroduzione. Aniraormazione di aplace. Srumeni per l aniraormazione 4. Teorema del valore iniziale 5. Teorema del valore inale. Aniraormazione mediane viluppo di Heaviide. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
3 . Inroduzione u S y u U Equazioni dierenziali Dominio del empo Dominio delle raormae Equazioni algebriche y Y -. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
4 . Aniraormazione di aplace Si ha corripondenza biunivoca coniderando uguali le unzioni che lo ono: 0 per a meno di un inieme di miura nulla (ingoli puni) - 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 4
5 . Srumeni per l aniraormazione di aplace [ ] ormula eplicia Teorema del valore iniziale Teorema del valore inale Sviluppo di Heaviide (olo per razionale) ( 0) ( ). Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 5
6 4. Teorema del valore iniziale [ ] lim 0 e eie inio. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
7 Eempio ω [ ] [ co( ω) ] ( 0 ) lim inai ( 0 ) co( 0) ( 0)? ω ω ω ω [ ] ( 0) lim 0 inai ( 0 ) in ( 0 ) 0 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 7
8 5. Teorema del valore inale [ ] Ipoei ha olo: poli con pare reale negaiva poli nulli, cioè in 0 ( ) lim lim 0 e eie inio. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 8
9 Eempio ω [ co( ω) ] Poli in ± jω il Teorema del valore inale non è applicabile! [ ] ( ) lim 0 ca. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 9
10 . Aniraormazione mediane viluppo di Heaviide Applicabile olo per N D b0 a b a m m n n 0 idea è comporre è noa l aniraormaa. razionali b a m n m nella omma di elemeni per i quali n. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 0
11 Si coniderano olo i egueni cai: con poli reali diini con poli reali mulipli con poli complei coniugai con grado del denominaore uguale al grado del numeraore (mn). Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
12 Poli reali diini a ( p )( p ) ( ) D 0 p n poli in p i con pi p j, i j p p n p n e p n p e pn ne i i e p i 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
13 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 Eempio Calcolare l aniraormaa di Devono eere uguali
14 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez Biogna riolvere un iema di re equazioni in re incognie
15 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 5 E quindi poibile calcolare l aniraormaa per 5 5 ca e e Si può crivere anche coì: 0 per 5 5 e e
16 Poli reali mulipli ( p) k k > D Ci poono eere poli mulipli β β βk p k ( p) ( p) e p β p β e k βk ( k ) e! p. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
17 Eempio Calcolare l aniraormaa di ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Devono eere uguali 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 7
18 E quindi poibile calcolare l aniraormaa ( ) ca ram e per 0 Si può crivere anche coì: e per 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 8
19 Poli complei coniugai ( σ jω)( σ jω) D β γ ω β ( σ) γ βσ βσ β ( σ) ω poli in σ ± jω σ γ βσ ω ( σ) ω ( σ) ω ( σ) ω ω e σ coω e σ in ω. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 9
20 β γ ω ( σ) γ βσ ω ( σ ) ( σ... β e coω e inω) Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 0
21 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 Eempio 5 4 Calcolare l aniraormaa di γ β γ β γ β γ β γ β γ β Devono eere uguali γ β
22 Si ha quindi la eguene compoizione: e...? 5 Non ha un aniraormaa immediaa E però poibile ricrivere il denominaore del econdo ermine in modo dierene: 5 4 ( ) 4 Qual è l aniraormaa?. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
23 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez k k ω σ ω ω σ σ 0 per in ω σ e 0 per co ω σ e Quindi: Pro memoria 4 k k k k k k k k
24 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 4 E quindi poibile calcolare l aniraormaa per in co e e e
25 Grado relaivo nullo (mn) N Se il numeraore e il denominaore D hanno lo eo grado, nella compoizione di biogna aggiungere un ermine coane. 0 imp Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 5
26 Eempio Calcolare l aniraormaa di ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( ) ( ) Devono eere uguali Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9
27 E quindi poibile calcolare l aniraormaa 4 4ca e imp per 0 Si può crivere anche coì: 4 e imp per 0. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 7
28 Eempio eplicaivo (Traormazione di aplace per la rioluzione di equazioni dierenziali) y u y Y U [ y ] [ u ] Y y( 0) Y U Con u y ca ( 0 ) 4 ( ) Y Y y( 0) Y U Y 4 4. Previdi - ondameni di Auomaica - ez. 9 8
29 . Previdi - ondameni di Auomaica - ez e 4 Y ) ( ca e 4 e e e y 0 per
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