UNIVERSITA DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria. Fisica Tecnica G. Grazzini. Superfici estese

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1 Superici etee Nella legge di Newton per la convezione compare la upericie di cambio inieme al coeiciente di convezione; perciò e non riuciamo ad aumentare quet'ultimo, tenteremo di accrecere la upericie di cambio creando delle porgenze dette alette. Vediamo come ia poibile valutare il calore cambiato da una upericie alettata. Conideriamo, con rierimento alla igura, una barra rettangolare porgente per una lunghezza l dalla parete S e con il lato L ad ea unito molto maggiore dell'altro; il materiale ia omogeneo, iotropo con conducibilità termica k; la ezione cotante di peore ; lo cambio termico avvenga con un luido a temperatura T. Aumiamo tracurabile la variazione di temperatura ulla ezione A di perimetro P ripetto a quella lungo l'ae della barra, coì da porci in condizioni di monodimenionalità, inine conideriamo una ituazione tazionaria. Utilizzando la legge di Fourier e quella di Newton nel bilancio energetico eeguito alla coordinata x per un volume L dx, potremo crivere: L dx T l x T pag. 1-14

2 dt ka hp T T dx dx ( + A k dt dx + d dx k dt dx dx che con h e k cotanti diviene d T hp ( T T dx ka d T e i pone m hp / k A i può crivere m dx equazione dierenziale che ha per oluzione generale ( T T T - T C 1 e mx + C e -mx da cui imponendo le condizioni al contorno, cioè che per x 0 T T (temperatura alla bae eguale a quella della parete e x l Q h l A (T 1 - T (Perdite convettive all'etremità pag. -14

3 i ottiene la ditribuzione di temperatura: hl 1+ tgh m( l x ( T T T T mk ( hl 1+ tgh[ ml] mk [ ] coh coh [ m( l x ] [ ml] ricordando la deinizione delle unzioni iperboliche: coh(x(e x + e -x / ; enh(x(e x - e -x / ; tgh(x enh(x/coh(x Imponendo: Q dt ka dx x0 i ottiene la potenza termica dipera vero il luido: Q mak( T T hl + tgh mk hl 1+ mk [ ml] tgh[ ml] pag. 3-14

4 Ci ono due cai in cui h l 0, quando l'aletta è adiabatica all'etremità o quando l per cui la temperatura di etremità è eguale a quella del luido; per ambedue: Q mak( T T tgh ml [ ] mak hpak Se invece abbiamo h l h eendo dalla deinizione di m: i ha: mk 1+ tgh[ ml] [ ] Q Ah( T h T h 1+ tgh ml mk Se indichiamo con B il termine racchiuo nella parentei quadra, notiamo che e eo vale 1, il calore dipero è pari a quello in aenza di aletta e che olo e B>1 i ha un vantaggio. Avremo B 1 e m h/k B > 1 e m > h/k B < 1 e m < h/k. D'altra parte i può crivere: pag. 4-14

5 m h k m h ( k hp ka h ( k da cui, e L>> e quindi P/A 1/, i ottiene kp ha 1 kp k( L+ kl(1+ / L k 1 ha hl hl h Bi dove Bi h / k è il numero di Biot per cui i vede che e Bi < 1 conviene utilizzare alette, oppure che in queto cao una truttura i comporta eettivamente come un' aletta. Deiniamo inine il rendimento dell'aletta come il rapporto tra il luo termico eettivamente cambiato ed il luo termico che verrebbe cambiato e l'intera aletta oe a temperatura uniorme uguale a T, oia: η a S a h( T Q T < 1 pag. 5-14

6 Se l'aletta è adiabatica, è: ηtgh(ml/ml con ml hl ktl 3 pag. 6-14

7 pag. 7-14

8 Il rendimento totale di una upericie S alettata i ottiene coniderando inieme la upericie libera dalle n alettature (S - na avente rendimento unitario e la upericie alettata ns a con il uo rendimento : η S Q Q T Tale rendimento è >1 Q η S S h (T S - T [( S na + nsη ] Sh( T a a T h( T T ( S na + S ns a η a Per una parete come da igura avremo Q (T 1 -T /R t T 1 T con R t η S1 1 S 1 h 1 + R c + η S 1 S h pag. 8-14

9 Fiica Tecnica G. Grazzini pag. 9-14

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12 TRANSITORIO Per un corpo olido in rareddamento il I Principio della Termodinamica comporta: U Q ha ( T T θ con T upericie uniorme. Se anche all'interno T è uniorme e pari a quella della upericie, allora: - c m dt h A S (T - T dθ (modello a parametri concentrati Con una otituzione e eparando le variabili: dt d( T T ha dθ ( T T ( T T cm che può eere integrata aumendo h, m, c cotanti. Eendo T 0 la temperatura iniziale, i ottiene: ( T T ha ln θ ( T T cm da cui: 0 pag. 1-14

13 ( T ( T 0 T T e ha θ cm cotante di tempo c m/ h A S (T - T 0.368(T 0 - T ( T ( T T T 0 La linea roa indica la cotante di tempo, cioè quando l'eponente di e è pari all'unità tempo [] pag

14 Se V A L i può crivere: haθ cm Biot haθ cρv Fourier hθ cρl hθlk cρllk hl k k θ cρ L hl k a θ L Bi Fo pag