Lo scambio termico conduttivo La Conduzione Termica in Transitorio. Corso di Trasmissione del calore

Transcript

1 Lo scambio termico conduttivo La Conduzione Termica in Transitorio Corso di Trasmissione del calore

2 Lo scambio termico conduttivo in regime Transitorio La soluzione di un problema di conduzione termica in regime transitorio è analiticamente possibile solo in casi semplici, pertanto è frequente l uso di ipotesi semplificative che tendano a ridurre il numero di variabili indipendenti o che si basino su tecniche numeriche e su abachi di soluzione analitiche complesse. Il primo caso si incontra qualora si voglia valutare la variazione di temperatura di un corpo ipotizzando ogni suo punto istantaneamente alla stessa temperatura: è il caso del Metodo dei Parametri Concentrati, dove il sistema varia la sua temperatura nel tempo a causa di una generazione interna di calore e/o in virtù delle condizioni a contorno ed iniziali del problema. Il secondo caso ricalca quanto visto in precedenza per i sistemi multidimensionali stazionari, dove, mediante approssimazione numerica delle equazioni differenziali che reggono il problema, le Differenze Finite ci hanno consentito di risolvere la distribuzione di temperatura interna al corpo oggetto di studio. Il terzo ed ultimo metodo è quello della soluzione analitica mediante il Metodo della Separazione delle Variabili, le cui soluzioni possono essere utilizzate grazie alla presenza in letteratura di abachi grafici (Grafici di Heisler-Grober) dai quali è possibile calcolare il flusso termico locale e la temperatura interna ad un corpo in geometrie semplici ed in una combinazione lineare delle stesse.

3 Approccio Dimensionale al Problema Non Stazionario Si consideri un corpo caldo a temperatura uniforme pari a T i immerso istantaneamente in un fluido a temperatura minore; con il passare del tempo inizia a formarsi una regione, in prossimità del contorno dell oggetto in cui la temperatura T si porta ad un valore compreso fra la T i e la T del fluido. L estensione di tale regione aumenta con il passare del tempo sino a quando gli effetti del raffreddamento arrivano ad influenzare la temperatura del centro del corpo. Si possono individuare tre regimi di flusso corrispondenti alle tre schematizzazioni della figura in basso. Il primo a sinistra sarà il regime iniziale in cui il gradiente termico rimane concentrato in prossimità dell interfaccia con il fluido. Il secondo, al centro, corrisponde ad un regime di transizione il cui l effetto del raffreddamento arriva al nucleo. Il terzo, a destra, prevede una distribuzione di temperatura all interno del corpo pressoché costante.

4 Approccio Dimensionale al Problema Non Stazionario T T = Equazione della Diffusione monodimensionale x α t T T T x x δ x x= x δ Poiché: T T x x x δ Il termine precedente diventa: T Ti x δ A sua volta: T x= T T Ti e quindi: t t Ti T T Ti δ α t δ α t ( ) Ti t c r α r t α r t α T δ regime "iniziale" regime "finale" Se si considera lo strato di materiale di spessore δ, in cui avviene la maggior parte del gradiente termico, e si assume un suo spessore piccolo, in relazione alla grandezza del corpo, si può introdurre una approccio monodimensionale. Un analisi dimensionale dei singoli termini porta a dire che il gradiente di temperatura in prossimità della fine dello strato δ è pressoché nullo e quindi la derivata seconda della temperatura rispetto ad x equivale al rapporto fra la differenza (T i T ) ed il quadrato dello spessore dello strato termicamente più coinvolto. Combinando i singoli termini si vede che lo spessore dello strato interessato dal gradiente termico cresce con il tempo e dipende anche dalla grandezza diffusività termica. Considerando che il regime transitorio si avrà nel momento in cui l onda termica arriva al nucleo, si ottiene:

5 Il numero di Fourier Q L L L Q conduzione A differenza della diffusività termica del corpo che indica la capacità intrinseca dello stesso di rispondere alle sollecitazioni termiche esterne, il Numero di Fourier fornisce una indicazione sulla variazione temporale dell Inerzia Termica, che è legata non solo alla proprietà del corpo ma anche alla sua dimensione ed all istante temporale in cui viene valutata. Q accumulato Si è così creato un gruppo adimensionale, Fo, che è anche variabile indipendente adimensionale Fo Potenza termica trasmessa per conduzione kl T L α t = = τ attraverso L per un corpo di volume L 3 Potenza termica accumulata in un corpo di volume L 3 = = 3 ρ cp L T L t

6 Parametri Concentrati Il Regime Finale 6

7 Approccio ai Parametri Concentrati Ipotesi:. Il Corpo sia inizialmente ad una temperatura T i uniforme;. Il Corpo venga immerso istantaneamente in un fluido a temperatura differente pari a T 3. La capacità termica del fluido sia tale che la sua temperatura rimane invariata nel tempo; 4. Il coefficiente di scambio termico convettivo possa essere assunto costante e pari ad h; 5. La resistenza termica interna conduttiva del corpo sia trascurabile così da poter avere la temperatura di tutti i punti interni uniforme; 6. Il numero di Biot sia <<. V h A s Bi = = k ( ) h L k ( ) dt h As T t T ρ cv dt = c V = volume del corpo A s = Superficie esterna del corpo k = Conducibilità termica del corpo L c = Lunghezza caratteristica Sotto queste ipotesi il calore scambiato all interfaccia solido fluido dovrà necessariamente essere uguale alla variazione di energia interna del corpo.

8 Approccio ai Parametri Concentrati Q = U ( ( ) ) = h As T t T ρ cv dt ( ) θ T t T dt.368 dθ ρcv dθ h As θ = ρcv dt = dt h A θ t ρcv θ dθ dt = dove θ i Ti T ha θi θ s s t ρcv θ θ T t T ρ cv ln t e = = = = e has θi θi Ti T s ( ) ha t RC Il comportamento del solido che si raffredda secondo le modalità a parametri concentrati è assimilabile al comportamento di un condensatore che si scarica su di una resistenza elettrica. Dopo una costante di tempo τ il delta di temperatura fra corpo e fluido si ridurrà a ca. /3 di quello iniziale. Dopo 3τ sarà il 5% e dopo 4τ il %. 8

9 Approccio ai Parametri Concentrati Per conoscere il calore scambiato in un dato lasso di tempo: s Q= θi C e Ricordando che: si ha: t Q = q dt = h A θ dt t t t t RC RC has θ ie dt= hasθi RCe Bi hl λ t RC c = = t ha t hl α t RC V c L Fo s c = = = ρ λ c α t L c Bi Fo t Q= θi C e Bi Fo 9

10 Esempio: La Termocoppia Si consideri una termocoppia con elemento sensibile di diametro mm. Posti i dati di seguito riportati, si calcoli il tempo necessario affinché la giunzione raggiunga il 99% della differenza di temperatura iniziale rispetto al fluido. 35 W 85 kg c 3 J W λ = ρ = 3 p h m K = = kg K m m K Soluzione: Come prima cosa si calcola la lunghezza caratteristica del corpo: V A π 3 D 6.67 π D 6 [ ] 4 Lc = = = D= m Successivamente si calcola il numero di Biot per la verifica delle Ipotesi: Bi 4 hl c.67 = = =. <. λ 35

11 Esempio: La Termocoppia Verificata la possibilità di utilizzare il metodo ai parametri concentrati basterà verificare che per avere il 99% del delta iniziale il rapporto adimensionale delle temperature dovrà essere pari a.. Calcolata successivamente la costante di tempo RC si può invertire l espressione della diminuzione esponenziale di temperatura, ottenendo la variabile che si stava cercando. ( ) T t T i T T =. ha h = = = =.46 4 RC ρcpv ρcp Lc s ( ) T t T i T T t RC.46t. [ ] = e = e t = s

12 Esempio Una persona viene rinvenuta morta in una stanza in cui la temperatura ambientale è stata mantenuta praticamente costante da un impianto di riscaldamento al valore Ta= C. Per poter risalire all ora del decesso, si misura la temperatura corporea del morto e si ottiene il valore Tb=6 C. Si stima che il coefficiente di scambio termico tra la superficie del corpo e l ambiente circostante sia h=w/(mk). Determinare da quanto tempo è avvenuto il decesso In prima approssimazione si può modellizzare il corpo come un cilindro avente diametro D=3 cm ed altezza H=,7 m. Soluzione: D H π V 4 D,3m L =,7m A = π D = D =,3 = π DH H, 7

13 Esempio Per quanto riguarda le proprietà termofisiche del corpo si assumono i seguenti valori (molto prossimi a quelli dell acqua, considerando che circa il 7% della massa del corpo umano è costituito da questo elemento): c p kj 4, kgk λ,7 W ρ = kg 3 mk m Usando l approccio ai parametri concentrati: Bi W, 7m R int erna hl c = = = mk = >, R W esterna λb,7 mk C R Il numero di Biot non soddisfa una delle condizioni per l applicabilità del metodo. Si prova comunque a vedere il risultato per un eventuale successivo confronto. 3

14 Esempio ( ) T () t = T + T T e b t RC R= C= ρcv p ha kg 3 J 4,, 7m ρcv p ρcpl 3 kgk 4 RC = = = m 3,5 s h ha h W mk ( 6 ) ( 37 ) Tb T 4 t = RCln = 3, 5 ln 466s 3h T T 4

15 Il Solido Semi Infinito T T = x α t T = T per t = i T = T per x = T T per x i Nel regime iniziale lo strato di solido interessato dal gradiente termico è rappresentato dalla distanza delta; qualora tale distanza sia piccola in relazione all estensione del corpo di potrà introdurre una trattazione di corpo semi-infinito con un approccio di tipo monodimensionale nello strato iniziale. Nella figura accanto viene introdotta l ipotesi che il coefficiente di scambio termico convettivo sia abbastanza elevato da faer coincidere la temperatura superficiale esterna con la temperatura del fluido indisturbato. Osservando la figura di sinistra si vede come le curve siano fra loro simili nel partire dal medesimo punto per arrivare ad una temperatura T i mediante un unica curvatura. Questa osservazione ci suggerisci di cercare un profilo di temperatura di similarità che sia funzione dello spazio e del tempo: ( η) T = T con η = x ( α t) 5

16 Il Solido Semi Infinito T dt η dt = = x dη x dη α ( t) T d T η d T = = d x x x η dη t Inoltre: ( α ) T dt η dt x = = t dη t dη 3 α t Riprendendo l'equazione della Conduzione: x T d T η dt + = dη dη T = T = T per η = α t T i per η Applicando il cambio di variabile e sostituendo i singoli termini che descrivono l equazione della conduzione nello strato delta, si ottiene una nuova equazione che può facilmente essere riordinata per una successiva separazione delle variabili ed integrazione. ( ') d T η dt = d η con T ' = T' dη η T ' η ln T' = + ln C ln = 4 C 4 dt η = C exp dη 4 η β T = C exp dβ + C 4 6

17 Il Solido Semi Infinito Prendendo in esame la prima condizione al contorno: η β C = T e quindi T T = C exp dβ Nell'espressione dell'integrale si riconosce la definizione della funzione errore: x ( ) = exp( ) erf x m dm π d in cui erf ( ) =, erf ( ) = e erf ( x) = =.84 dx x= π Riscrivendo l'equazione del solido semi infinito: η π ( ) 3 η T T = C exp m dm = C erf π Introducendo infine la seconda condizione al contorno: T T x T T T ( ) Ti T ( α t) x i = erf ed inoltre q '' t = k = k x= ( π α t) 7

18 Il Solido Semi Infinito Flusso Termico Constante - q'' α t x q'' x T ( x, t) Ti = exp x erfc k 4α t k ( α t) dove: ( ) = ( ) erfc x erf x L'andamento nel tempo della temperatura superficiale sarà: q'' α t T ( t) Ti = T(, t) Ti = (q'' costante) k - Scambio Convettivo all Interfaccia- T ht ( T) = k x x= T( xt, ) T x h x h α t x h = erf + exp + erfc + ( α t) T i T ( α t) k k ( α t) k 8

19 Il Solido Semi Infinito 9

20 Il Solido Semi Infinito

21 Il Solido Semi Infinito Esempio - Rif. Pag. Prec. Si consideri una tazza ad una temperatura iniziale di 5 [ C] in cui viene istantaneamente versato del tè alla temperatura di 7 [ C]. Si assuma che la temperatura della superficie interna arrivi immediatamente ad una temperatura di 7 [ ]. Calcolare dopo quanto tempo un punto della tazza a [mm] da tale superficie arriverà ad un temperatura di 3 [ C].

22 Il Solido Semi Infinito Esempio - T T x = erf T i T ( ) α t 3 7 x = erf = ( α ) t Dalle tabelle relative ai valori dell'argomento della funzione errore si trova: ( α t) (.8) x x 4[ mm ].4 t = =.9 5. α.4[ cm s ] [] s

23 Soluzioni Analitica e Grafica ( xt) Temperatura adimensionalizzata θ, = (, ) T xt T i T T Distanza adimensionalizzata X x = L r r Coeff. Di Scambio Termico adimensionalizzato Bi = hl λ (Numero di Biot) Tempo adimensionalizzato τ = α t L (Numero di Fourier) Il vantaggio di presentare i vari parametri in forma adimensionale deriva dalla successiva facilità nella loro rappresentazione in forma grafica. 3

24 Soluzioni Analitiche Approssimate Per τ >., trascurando i termini superiori al primo della soluzione esatta, si commette un errore inferiore al %. Allora per un corpo: inizialmente a temperatura uniforme T i ; privo di generazione interna; Con scambio convettivo con un fluido a temperatura T termico h costante e uniforme. con coefficiente di scambio Distribuzione di Temperatura Adimensionale ( ) ( ) (, ) T xt T λ x Parete Piana : θ x, t A e cos λ τ = = Ti T L (, ) T rt T λ τ λ r Cilindro : θ ( x, t) = = Ae Jcos Ti T r sin λ r (, ) Sfera : θ x, t = = A e T rt T λ τ r T r i T λ r 4

25 Temperatura al Centro Della Geometria Soluzioni Analitiche Approssimate T T Centro della Parete Piana ( x = ) : θ = = A e, parete Ti T T T Centro del Cilindro( r = ) : θ = = A e, cilindro Ti T T T Centro della Sfera ( r = ) : θ = = A e, sfera Ti T λ τ λ τ λ τ Parete Piana Q Q = θ sin λ λ, parete max parete Rapporto di Scambio Termico Cilindro Parete Piana Q Q = θ ( λ ), cilindro max λ cilindro Q sin λ λ cos λ = 3θ Q, sfera 3 max λ sfera 5 J

26 Soluzioni Analitiche Approssimate 6

27 Soluzione Grafica: Heisler Gröber (, ) sin ( λn ) λ sin ( λ ) cos( λ ) T xt T x α t = cos λn exp λn T T + L L i n n n n= ( ) T xt, T Bi r α t = J λn exp λn T T r + J λ L ( λ Bi ) i n= n n n sin r (, ) T sin ( λn) λncos( λn) T T λ sin ( λ ) cos ( λ ) T xt α t = exp λn λnr L n= r i n n n ( ) ( ) λ r Q = ρwhlc T T Q t = WH q '' dt i i (, ) (, ) (, ) T x t T T x t T Tc t T = T T T T T T i solido c differenza sul centro i centro t A ciascuna geometria sono associati 3 diagrammi che, noto il numero di Biot per la geometria considerata, consentono:. di calcolare la temperatura T al centro della geometria in un dato istante t;. di calcolare la temperatura in altri punti del solido nello stesso istante in funzione di T ; 3. di calcolare la quantità complessiva di calore trasmesso fino al tempo t. Facendo ad esempio riferimento al caso della lastra piana, si osserva immediatamente che la temperatura al centro della lastra, per un determinato istante t, si ottiene direttamente dal grafico di diapositiva 3 calcolati l inverso del numero di Biot ed il numero di Fourier. Se a questo punto volessimo sapere la temperatura in un qualsiasi punto intermedio fra l asse di mezzeria della lastra e la superficie esterna, potremmo trovarlo dal grafico in diapositiva 33 che lega la temperatura del punto incognito al tempo t con la temperatura della mezzeria al medesimo istante. Volendo infine conoscere il flusso termico attraverso i contorni del solido sino al tempo t, basterà usare il grafico in diapositiva 34 che relaziona Q al calore Q i pari alla variazione totale di energia interna. 7