Università di Roma Tor Vergata

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1 Università di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Industriale Corso di: TERMOTECNICA 1 ALETTE DI RAFFREDDAMENTO Ing. G. Bovesecchi gianluigi.ovesecchi@gmail.com (7249) Anno Accademico

2 Alette di raffreddamento Quando si vuole aumentare il flusso termico ceduto da una parete ad un fluido, dalla legge di Newton della convezione: Q ha (T T ) p f appare chiaro come si possa o aumentare il coefficiente di scamio convettivo h (per esempio utilizzando ventilconvettori, con convezione forzata, rispetto ai semplici radiatori che funzionano in convezione naturale), o aumentare la differenza di temperatura tra fluido e parete, o infine aumentare la superficie di scamio termico della parte.

3 Alette di raffreddamento Tale ultima possiilità consiste nell aggiungere alla superficie in esame delle protueranze, di varia forma e disposizione, che prendono il nome di alette di raffreddamento. Nel seguito esamineremo il caso della forma più semplice di tali dispositivi, quello cioè di una arra a sezione rettangolare (o qualsiasi) costante, di lunghezza L, per cui è possiile una trattazione analitica. Scopo della trattazione è determinare l andamento della temperatura lungo la arra, e da questo il flusso termico scamiato dall aletta. Sarà poi pertanto possiile determinare di quanto viene incrementato il flusso termico scamiato dalla superficie originaria senza alette.

4 Alette di raffreddamento. Qx. Qx+dx dx!

5 Alette di raffreddamento

6 Alette Trattazione analitica Supponiamo di avere una arra di materiale omogeneo ed isotropo, di sezione costante, con un estremo (a x0) a contatto con un corpo a temperatura t costante nel tempo. La arra si trova immersa in un fluido a temperatura tf. Ipotizziamo che: 1. le differenze di temperatura sulla sezione della arra sono trascuraili rispetto alle variazioni sulla sua lunghezza (le sezioni della arra risultano pertanto isoterme); 2. ci si trovi in regime stazionario (non si ha dipendenza dal tempo); 3. il coefficiente di scamio convettivo h tra la parete dell aletta e il fluido sia costante (il coefficiente dell estremità dell aletta può essere diverso, ma rimane dello stesso ordine di grandezza); 4. la conduttività del materiale sia costante (indipendente dalla temperatura e dalla direzione).

7 Alette Trattazione analitica Indichiamo con : A la sezione della arra; P perimetro della sezione della arra; h coefficiente di scamio convettivo λ conduttività termica del materiale di cui è costituita la arra; t(x) la temperatura lungo l asse della arra; L la lunghezza complessiva della arra.. Qx. Qx+dx dx Consideriamo un elemento della arra compreso tra due sezioni alle distanze x e x+dx dalla ase. La differenza tra il flusso termico che entra in tale elemento e quello che esce è il flusso convettivo ceduto al fluido.!

8 Alette Trattazione analitica Il flusso che entra nell elemento alla distanza x è : dt Qx λ A dx Il flusso che entra nella sezione alla distanza x+dx è: d " dt % Qx+dx λ A $T + dx ' dx # dx & Il flusso scamiato per convezione dalla superficie dell elemento è: Q conv hpdx (T T f ) Il ilancio sarà: Q x Q x+dx Q conv

9 Alette Trattazione analitica Cioè: λa d dt dx hpdx (T T f ) dx dx d 2T λ A 2 hp (T T f ) dx Se indichiamo con ϑ (T (x) T f ) hp e con m si ottiene: λa d 2ϑ 2 m ϑ 0 2 dx Si tratta di un equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, la cui soluzione generale è: ϑ Me mx + Ne+mx

10 Alette Trattazione analitica Le costanti M e N si determinano mediante le condizioni al contorno (due, trattandosi di una equazione del secondo ordine). Una delle condizioni al contorno (quella per x0) è sempre la stessa, cioè la temperatura è uguale a quella della ase, T(x0)T. La seconda condizione (temperatura all estremità della arra) dipende dalle ipotesi che si fanno. Si possono assumere tre ipotesi differenti: 1. arra infinitamente lunga; 2. arra di lunghezza finita con convezione all estremità; 3. arra di lunghezza finita isolata all estremità.

11 Alette Trattazione analitica ip. 1 Per x, T (x) T f, a una distanza sufficientemente lontana dalla ase la temperatura della arra diventa uguale a quella del fluido. Le condizioni al contorno in risultano: 1) ϑ T T f ϑ per x0 2) ϑ T ( ) T f 0 perx Dalla 2 si ottiene immediatamente N0 e dalla 1 invece ϑ ϑ e mx Il flusso termico scamiato dalla arra è quello scamiato per conduzione alla ase (in condizioni stazionarie i due flussi coincidono), per cui: " dt % hp Q λ A $ ' λ A ϑ e mx ( m) λ Aϑ m λ Aϑ hpλ Aϑ x0 # dx &x0 λa

12 Alette Trattazione analitica ip. 1 Senza aletta il flusso scamiato saree stato: Q haϑ sa per cui il rapporto tra il flusso con l aletta e quello senza risulta: Q hpλ A Pλ Q sa ha ha che è minore, uguale o maggiore di 1 secondo che sia Pλ minore, uguale o maggiore di ha.

13 Alette Trattazione analitica ip. 2 Le condizioni al contorno diventano: 1) per x0 ϑ T T f ϑ 2) per xl dϑ λ A hl Aϑ dx dove hl è il coefficiente di scamio convettivo all estremità (come detto in precedenza potree non essere uguale ad h). Dalla 1 si ha: ϑ M + N Dalla 2, essendo λ A dϑ hl Aϑ dx dϑ mme mx + mne mx si ottiene: dx ( +mme ml mne ml λ A hl A Me ml + Ne ml ) ( )

14 Alette Trattazione analitica ip. 2 Ricordando le definizioni dei seni e coseni iperolici: e x + e x cosh(x) 2 e x e x sinh(x) 2 la condizione precedente si può scrivere: "# Me ml (ϑ M ) e ml $% hl "# Me ml + (ϑ M ) e ml $% "#2M cosh ml ϑ e ml $% hl "# 2M sinh ml + ϑ e ml $%! hl $ e #1+ & ϑ " % M 2 cosh ml + hl sinh ml ml

15 Alette Trattazione analitica ip. 2 ( ml ml hl ml ml hl %+ ml " + e e e $1+ '* e +e # ϑ ) &, N ϑ M hl 2 cosh ml + sinh ml ( ) ( ) " ( h h h + h % ϑ $e ml + e ml + L e ml L e ml e ml e ml L ' e ml *1 L # ), & ϑ ( + h 2 cosh ml + hl sinh ml 2 * cosh ml + L sinh ml ), Pertanto la soluzione diventa: " % h h 1 / 2 $e m( L x ) + e m( L x ) + L e m( L x ) L e m( L x ) ' cosh m(l x) + hl sinh m(l x) ϑ # & h h ϑ cosh ml + L sinh ml cosh ml + L sinh ml

16 Alette Trattazione analitica ip. 2 e la temperatura all estremità della arra risulta: ϑl 1 ϑ cosh ml + hl sinh ml Il flusso termico disperso dall aletta si calcola con il solito metodo, cioè valutando quello disperso per conduzione alla ase dell aletta: hl hl cosh ml + tanh ml " % dt Q λ A $ ' Aϑ Aϑ h h # dx &x0 cosh ml + L sinh ml 1+ L tanh ml sinh ml Le formule sopra riportate trovano applicazione in numerosi prolemi termici, ad esempio nel calcolo della distriuzione di temperatura di un filo esposto ad un flusso di aria caldo, o di una sonda cilindrica immersa in un fluido.

17 Alette Convenienza Non sempre aggiungere un alettatura ad una superficie comporta un aumento dello scamio termico, ma in certi casi può risultare addirittura controproducente. Per valutare se l aumento di superficie di scamio costituto dalla presenza dell aletta aumenta effettivamente lo scamio termico, occorre valutare la cosiddetta convenienza dell aletta, cioè il rapporto tra il flusso termico effettivamente scamiato dall aletta, e quello che verree scamiato dalla superficie senza alettatura. Tale confronto isogna farlo utilizzando la soluzione completa, perché il flusso scamiato senza aletta, se questa fosse isolata all estremità (ipotesi 3), saree nullo. Occorre cioè esaminare se: Q Q sa hl Aϑ Q Q h Aϑ sa L

18 Alette Convenienza La ocnvenienza risulta: Q C Q sa hl hl + tanh ml + tanh ml Aϑ hl Aϑ 1+ hl tanh ml hl! hl $2 +# & tanh ml " % a+,dove tutti i termini 2 a+k hl 2 (a,,k) sono positivi. Risulta chiaro che se k, cioè,è L espressione sopra scritta è del tipo maggiore di uno, la convenienza è minore di uno, cioè non c è convenienza a mettere un aletta su una superficie per aumentarle lo scamio termico con un fluido.

19 Alette Convenienza Viceversa se hl < 1, allora l alettatura è conveniente. Se si suppone che il coefficiente di scamio convettivo sia lo stesso lungo l aletta e all estremità (cioè hlh), anche se tale fatto è verificato solo il prima approssimazione (il fluido con cui si scamia calore è lo stesso, ma l orientazione è differente), si ottiene: 2! h $ h 2 λ A ha # & 2 " λ m % λ hp λ P. Qx. Qx+dx dx A/P rappresenta una lunghezza caratteristica. Se l aletta è lunga e stretta, come succede per lo più, di spessore 2δ si ha: A 2δ Z P 4δ + 2Z 2Z! ha h2δ Z hδ Bi λ P λ 2Z λ

20 Alette Convenienza Dove Bi è il numero di Biot con lunghezza caratteristica metà dello spessore dell aletta. In definitiva se Bi<1 l aletta aumenta il flusso termico scamiato. Questo succede quando si verifica una delle due condizioni: il materiale è uon conduttore (λ elevato); l aletta è sottile; se il coefficiente di scamio convettivo è piccolo. Ma se Bi >1, la presenza dell aletta può non essere conveniente, o addirittura dannosa, come succede nel caso di convezione forzata a forte velocità, o nel caso dei liquidi. Infatti non vengono mai alettati internamente tui che portano acqua.

21 Alette Trattazione analitica ip. 3 È il caso un po' semplificato rispetto a quello precedente, ma comunemente utilizzato perché il flusso dall estremità dell aletta è notevolmente inferiore a quello scamiato dalla superficie laterale e può essere in prima approssimazione trascurato, cioè l aletta può senza grosso errore nella maggior parte dei casi essere considerata isolata all estremità. Le condizioni al contorno risultano ora: 1) per x0 ϑ T T ϑ f dϑ 0 dx Dalla soluzione dell equazione differenziale omogenea del secondo ordine vista in precedenza si ottiene: 2) per xl ϑ M+N mme ml + mne 0 ml

22 Alette Trattazione analitica ip. 3 Da cui si ottengono M e N ϑe M e +e ϑe N e +e ml ml ml Per cui si ha: ml ml ϑ e ( ) +e ϑ e +e m L x ml ml cosh m(l x) cosh ml m( L x ) ml L eccesso di temperatura all estremità dell aletta risulta: ϑ ϑ (x L) cosh ml E il flusso termico disperso dalla ase: msinh ()m ( L x )*+ " dt % Q λ A $ ' λ Aϑ # dx & cosh ml 2/ x0 λ A hp Aϑ tanh ml ϑ tanh ml λ AhPϑ tanh ml λ/ A/ x0 2/

23 Alette Efficienza Si definisce efficienza d aletta il rapporto tra il flusso termico effettivamente ceduto dall aletta al fluido e quello che verree scamiato se tutta la superficie dell aletta si trovasse alla temperatura della ase. Dalla definizione si ricava l espressione: Q λ Amϑ tanh ml m tanh ml tanh ml Ω PLhϑ ml ml Q Tale espressione ha un andamento 1 di questo tipo. 0.8 Si vede come l efficienza d aletta è 0.6 tanto maggiore quanto l aletta è 0.4 meno sporgente (minore L), quanto h ml L più grande è il suo spessore 2δ, e λδ 0.2 quanto maggiore è la conduttività termica λ, e quanto è più piccolo h. reale 2 Λ ideale ml 3

24 Alette Efficienza delle alette Si definisce efficienza d aletta il rapporto tra il flusso termico effettivamente ceduto dall aletta al fluido e quello che verree scamiato se tutta la superficie dell aletta si trovasse alla temperatura della ase. Dalla definizione si ricava l espressione: Q reale λ Amϑ tanh ml m tanh ml tanh ml Ω 2 PLhϑ m L ml Q ideale Il cui andamento in funzione del parametro ml è:

25 Alette Efficienza delle alette Si vede come l efficienza d aletta è tanto maggiore quanto l aletta è meno sporgente (minore L), quanto più grande è il suo spessore 2δ, e quanto maggiore è la conduttività termica λ, e quanto è più piccolo h., essendo: hp h ml L L λa λδ Il flusso totale ceduto dall aletta si può scrivere: Q reale ΩQ ideale Ωϑ Aa h dove Aa è la superficie totale esterna dell aletta. Le alette a sezione costante non sono quelle di caratteristiche migliori.

26 Alette Efficienza delle alette Quelle a sezione variaile, ad esempio paraolica, a parità di lunghezza risultano più efficienti.!

27 Alette Efficienza delle alette Quando le alette vengono usate su tui, spesso sono circolari. In tal caso l efficienza d aletta diminuisce più rapidamente all aumentare della quantità ml rispetto a quelle di forma rettangolare, notare che l aletta su superficie piana corrisponde a r0/ri1).!!!

28 Alette Efficienza delle alette Nel caso di atterie di alette, si definisce l efficienza dell intera atteria di scamio A, composta dalla superficie del tuo A, più quella dell aletta Aa, come: flusso termico reale (ΩAa + A ) hϑ Aa Ω 1 (1 Ω) flusso termico ideale Ahϑ A * Si noti che anche per i più asi impieghi di Aa/A (circa 0,85) e di Ω (circa 0,75), la differenza tra Ω e Ω* non supera il 5%