FISICA TECNICA AMBIENTALE

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Ortensia Parisi
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1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELL ARCHIEURA FISICA ECNICA AMBIENALE rasmissione del calore: La conduzione in regime variabile Prof. Gianfranco Caruso A.A. 213/214 Conduzione in regime variabile Regime stazionario: il campo di temperature non varia nel tempo Calore entrante = Calore uscente Regime variabile: il campo di temperature varia nel tempo Il calore può essere accumulato dalla struttura che poi potrà cederlo successivamente (ritardo temporale) Calore entrante Calore uscente 1

2 Conduzione in regime variabile Il regime variabile o transitorio, in cui il campo di temperature (e quindi i gradienti, e quindi il calore scambiato ai confini del corpo) varia con il tempo, può distinguersi in: REGIME NON PERIODICO (es. variazione improvvisa della temperatura ai confini di un corpo: immersione in liquido più freddo o più caldo) In tal caso occorre studiare il transitorio iniziale fino alle condizioni di equilibrio. REGIME PERIODICO (es. variazione ciclica della temperatura del fluido in cui il corpo è immerso) Si può trascurare il transitorio iniziale e si studia il fenomeno nel periodo temporale caratteristico (se il regime periodico è stabilizzato ) La diffusività termica La diffusività termica è una proprietà del materiale che rappresenta la sua propensione ad essere attraversato dal calore o ad accumularlo al suo interno. E definita come il rapporto fra la conducibilità termica del materiale (rappresentativa della velocità con cui il calore lo attraversa) e la sua capacità termica volumetrica (INERZIA ERMICA, rappresentativa della capacità del materiale di accumulare il calore): λ a = ρ c m s 2 λ = conducibilità termica ρ = densità kg 3 m c = calore specifico E dunque un parametro molto importante nello studio dei transitori termici. Un materiale ad alta diffusività termica (alta conducibilità e bassa inerzia termica) tenderà ad adeguarsi rapidamente alle condizioni termiche esterne ad esso. J kgk W mk 2

3 Corpi di piccole dimensioni e con elevata conducibilità Lo studio dello scambio termico in regime variabile nel tempo tra un solido ed un fluido, nel caso generale, richiede la soluzione di complesse equazioni differenziali alle derivate parziali, poichè la temperatura è funzione sia delle variabili spaziali che del tempo. La soluzione è notevolmente più semplice nel caso di corpi (ad esempio di piccole dimensioni) per i quali si possa supporre che durante il processo di scambio termico la temperatura interna del corpo sia uniforme (ovvero indipendente dalla posizione). In altre parole la temperatura in ogni punto interno del solido varia nel tempo ma ad ogni istante di tempo è uguale alla temperatura della superficie del corpo. In questo senso si parla di temperatura del corpo (sistema a parametri concentrati). Il numero di Biot Si consideri un corpo inizialmente a temperatura immerso improvvisamente in un fluido a temperatura f. Sia λ la conducibilità del materiale, h il coefficiente di scambio termico convettivo e L la dimensione caratteristica del corpo. Si ha: L 1 Rint h L Rint = ; Rext = = = Bi λ h R λ (La differenza con il Numero di Nusselt è nella conducibilità: in Nu è quella del fluido, in Bi è quella del materiale del corpo.) La lunghezza caratteristica L è in generale pari al rapporto V/A. Per un cilindro: L = D/4, per una sfera: L = D/6, per una lastra di spessore s: L = s/2 ext 3

Il numero di Biot Un elevato numero di Biot implica che all interno del corpo si formano forti gradienti di temperatura (la resistenza termica interna è molto più elevata di quella esterna: il calore

4 Il numero di Biot Un elevato numero di Biot implica che all interno del corpo si formano forti gradienti di temperatura (la resistenza termica interna è molto più elevata di quella esterna: il calore fra il fluido e il corpo viene scambiato velocemente attraverso la sua superficie, ma ha difficoltà ad attraversare l interno del corpo, quindi le temperature non sono uniformi. Bi >> L h λ tempo τ f Bi << Un numero di Biot piccolo implica invece che il corpo trasmette il calore al suo interno più velocemente di quanto non venga scambiato con il fluido attraverso la sua superficie: la temperatura all interno del corpo è pressoché uniforme, e quindi il transitorio termico può essere caratterizzato da una sola temperatura per l intero oggetto. L h λ tempo τ f ransitorio termico di un solido immerso in un fluido a temperatura diversa f Θ = 2 L τ = a Bi a τ Fo = 2 L Θ = e f Bi Fo A o h q tempo f costante di tempo numero di Fourier Nell ipotesi Bi << 1 ( Bi <,1, con un errore del 5%), si può dimostrare che: f f f = e Bi a 2 τ L τ τ Raffreddamento 63% τ = e f +,37 ( - f ) τ 4

5 Esempio: tempo di risposta di due misuratori di temperatura Confrontare il tempo di risposta di una termocoppia ferro-costantana nuda, assimilabile ad un cilindro di diametro D tc =,8 mm, con quella di un termometro a mercurio assimilabile ad un cilindro di mercurio di diametro D tm 6 mm. Gli strumenti, inizialmente alla temperatura =16 C, vengono usati per misurare la temperatura di un fluido a f =8 C, ipotizzando che il coefficiente di scambio termico convettivo tra sonda e fluido sia h=3 W/(m 2 K). ERMOCOPPIA (L tc = D tc /4 =2 1-4 m) λ = 5 W/mK ρ = 84 kg/m 3 c = 415 J/kg K a = 1, m 2 /s ERMOMERO (L tm = D tm /4 =1,5 1-3 m) λ = 9 W/mK ρ = 135 kg/m 3 c = 14 J/kg K a =, m 2 /s Esempio: tempo di risposta di due misuratori di temperatura NUMERO DI BIO ERMOCOPPIA: Bi tc = h L tc /λ tc = /5= 1,2 1-4 <<1 ERMOMERO: Bi tm = h L tm /λ tm = 3 1,5 1-3 /9= <<1 EMPO DI RISPOSA (costante di tempo) ERMOCOPPIA: τ tc = L tc2 /(a tc Bi tc ) 23 s ERMOMERO: τ tm = L tm2 /(a tm Bi tm ) 96 s (4 volte maggiore!) 5

6 Esempio: tempo di risposta di due misuratori di temperatura 37% 24 C VARIAZIONE OALE DI = 8-16 = 64 C 63% 4 C Parete piana (infinitamente estesa) Una parete piana, inizialmente alla temperatura, si trova a improvvisamente a contatto con un fluido a temperatura f (ad esempio < ). L andamento delle temperature può essere, qualitativamente rappresentato come nelle figure seguenti: f τ τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 6

7 Parete piana (infinitamente estesa) L andamento della temperatura nei diversi istanti di tempo e alle diverse profondità internamente alla parete, viene studiato risolvendo l equazione generale della conduzione oppure (per casi semplici come quello della parete in esame) tramite grafici che forniscono, in funzione dei numeri di Biot e Fourier, la temperatura nei diversi punti e istanti di tempo (oppure, fissata la temperatura in un punto si può determinare f Θ = f h L Bi = numero di Biot λ a τ Fo = numero di Fourier 2 L in quale istante viene raggiunta). Regime periodico stabilizzato L inerzia termica agisce con un effetto di smorzamento dell ampiezza dell onda termica esterna che si ripercuote dalla parte opposta della parete attenuata e sfasata. 7

8 Regime periodico stabilizzato: Muro di Fourier Si considera una parete di spessore infinito, la cui superficie esposta è soggetta ad una variazione periodica di temperatura: ( τ ) = + θ sin( ω τ ) m m è la temperatura media intorno alla quale si sviluppa l oscillazione, θ è la semiampiezza di oscillazione: θ = max m = m min La grandezza ω è detta pulsazione ed è legata al periodo di oscillazione τ dalla relazione: ω = 2π τ Regime periodico stabilizzato: Muro di Fourier ( τ ) = + θ sin( ω τ ) m max θ m min τ τ 8

9 Attenuazione e sfasamento (ad una generica profondità x) max τ R θ θ x m min τ τ R τ τ Regime periodico stabilizzato: Muro di Fourier Risolvendo l equazione generale della conduzione si ottiene che la temperatura del generico piano isotermico interno al mezzo seminfinito considerato, a una distanza x dalla faccia limite, risulta pari a: βx ( x τ ) = + θ e sin( ωτ βx), m L'analisi della espressione precedente mostra che all'interno della parete un qualsiasi punto a distanza x dalla faccia limite ammette un'oscillazione di temperatura ancora di tipo periodico, con periodo pari a quello che caratterizzava la faccia limite stessa; rispetto a quella iniziale, tale oscillazione risulta essere ancora intorno allo stesso valore medio m ma di ampiezza ridotta e ritardata nel tempo. 9

10 Fattore di smorzamento (attenuazione) e tempo di ritardo (sfasamento) L'ampiezza della semiescursione di temperatura alla profondità x è legata a quella iniziale dalla relazione che definisce il fattore di smorzamento µ dell'oscillazione di temperatura: θ x x µ = = e β θ Il tempo di ritardo o sfasamento, cioè il tempo necessario affinché si risentano i massimi e i minimi di temperatura rispetto all'istante in cui essi si verificarono sulla faccia limite, è: τ R = βx ω Il fattore β Sia lo smorzamento sia il tempo di ritardo dipendono dal prodotto β x : all'aumentare di quest'ultimo essi aumentano, e quindi sono correlati alla profondità x e al fattore β che ha le dimensioni dell'inverso di una lunghezza. Il fattore β a sua volta dipende dalle caratteristiche del materiale, in particolare da quelle che nel regime variabile sono ben rappresentate dal valore della diffusività termica: β = 2π a τ anto maggiore è la diffusività termica a, tanto minore sarà β e quindi, ad una certa profondità, saranno minori sia lo smorzamento che il tempo di ritardo. 1

11 Comportamento dinamico dei materiali β MAONI β = 8 m -1 CALCESRUZZO β = 7 m -1 FIBRA DI VERO β = 2 m -1 RAME β =,8 m -1 β 11

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