Capitolo 2 CONDUZIONE

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1 Capitolo CONDUZIONE Introduzione La conduzione è il meccanimo di traferimento pontaneo di energia termica nei olidi o nei fluidi in quiete cauato unicamente da differenze di temperatura nel mezzo. A livello microcopico il fenomeno viene interpretato come uno cambio di energia cinetica tra molecole pote in regioni a differente temperatura. Tale cambio può attribuiri principalmente: a) agli urti elatici di molecole nei ga e nei liquidi, b) al moto degli elettroni liberi nei olidi metallici e c) alle vibrazioni degli aggregati molecolari nei olidi non conduttori. A livello macrocopico lo tudio della tramiione del calore per conduzione, baandoi ull approccio della termodinamica del continuo, ha come principale obiettivo la determinazione paziale della temperatura indotta da traferimenti di energia termica. Si eamini un olido iotropo nel cui interno vi ia una ditribuzione paziale di temperatura e i definica la grandezza vettoriale fluo termico, q& n [W/m ] come l'energia termica tramea nell'unità di tempo attravero una uperficie di area unitaria orientata lungo la direzione n normale a tale uperficie e nel vero delle temperature decrecenti. Infatti, in bae alla econda legge della termodinamica, l energia termica conduttiva fluice pontaneamente da una uperficie a potenziale (temperatura) maggiore vero un'altra a potenziale (temperatura) minore. Il fluo termico conduttivo non è una grandezza direttamente miurabile ma, come verrà epoto nel proieguo del capitolo, è correlato alla temperatura, la quale è una grandezza direttamente miurabile. Pertanto, in un itema di coordinate carteiane, una volta calcolato il campo calare T(x,y,z,θ), i può determinare il campo vettoriale q& (x,y,z,θ), poiché il gradiente della temperatura è legato al fluo termico conduttivo. Si conideri, nel campo paziale di temperatura all interno di un olido, due uperfici ioterme che, in un generico itante, iano ripettivamente alla temperatura T ed alla temperatura T+dT, ed un generico punto P(x,y,z) poto u quet ultima ioterma (cfr. Figura.). Fig.. Superfici ioterme e vettore fluo termico. La legge fondamentale della conduzione, denominata legge di Fourier dal nome dello cienziato che la formulò (il matematico francee Jean-Baptite Joeph Fourier, ), afferma che il vettore fluo termico in P ha direzione normale (n) all ioterma (T+dt) paante per tale punto, in particolare è orientato vero le ioterme a temperatura inferiore (da T+dt vero T) ed il uo modulo

2 è proporzionale alla derivata della temperatura valutata nella direzione n normale alla uperficie ioterma. In intei, q& n è proporzionale al gradiente della temperatura lungo la direzione ortogonale alle uperfici ioterme. In termini calari: T q& n = λ (.) n in cui il pedice n caratterizza la componente del vettore q &. Il egno meno che compare nella (.) è dovuto al fatto che, come detto in precedenza, il fluo termico ha vero oppoto al gradiente di temperatura, infatti il gradiente è orientato nel vero delle temperature crecenti, mentre il fluo termico è diretto nel vero delle temperature decrecenti, in accordo con la econda legge della termodinamica. Tabella. - Ordini di grandezza della conduttività per diveri tati di aggregazione. Stato di aggregazione Conduttività termica [Wm - K - ] Aeriforme Liquido 0-0 Solidi non metallici 0 Solidi metallici 0-0 La cotante di proporzionalità λ è detta conduttività o conducibilità termica, ed è una proprietà fiica del materiale, che dunque dipende dallo tato termodinamico in cui eo i trova. Ea rappreenta il fluo termico che attravera il materiale e queto è oggetto ad un gradiente unitario. Dalla relazione (.) è poibile ricavare che l unità di miura della conduttività termica nel Sitema Internazionale (SI) è W m - K -. Tab.. - Valori orientativi della conduttività termica di alcuni materiali a temperatura ambiente. Materiale Conduttività termica [Wm - K - ] Materiale Conduttività termica [Wm - K - ] Solidi metallici Solidi non metallici Argento 4,. 0 Monoodo di magneio 4,0. 0 Rame 3,9. 0 Quarzo,0. 0 Alluminio,0. 0 Marmo 3,0. 0 Cromo 9,0. 0 Vetro pyrex,0. 0 Nichel 9,0. 0 Legno, Leghe metalliche Duralluminio (95% Al - 5% Cu),6. 0 Idrogeno, Ga Bronzo (95% Cu 5% Al) 8,0. 0 Elio, Liquidi Aria, Acqua 5, Vapor d acqua, In Tabella. ono riportati gli ordini di grandezza della conduttività termica per differenti tati di aggregazione della materia, mentre in Tabella. ono indicati gli ordini di grandezza della conduttività termica di alcuni materiali molti diffui. Dall'eame delle tabelle. e. e delle tabelle.3,.4 e.5 i evince quanto egue:

3 ) le impurità chimiche nel reticolo critallino riducono il valore della conduttività termica ripetto allo teo materiale allo tato puro; i metalli puri hanno, pertanto, una conduttività maggiore di quella delle leghe metalliche; ) i materiali in fae olida hanno una conduttività maggiore di quando i trovano in fae liquida (il ghiaccio conduce meglio che l'acqua liquida); 3) le otanze in fae aeriforme ono molto meno conduttive delle corripettive in fae liquida. I materiali che preentano elevati valori di conduttività termica (in genere i metalli puri) vengono comunemente denominati conduttori, in quanto tramettono, a parità di differenza di temperatura (caua), un fluo termico maggiore (effetto) ripetto agli altri materiali. Vicevera i materiali che preentano una baa conduttività termica vengono denominati iolanti. Storicamente embrerebbe che il primo materiale utilizzato come iolante ia tato il ughero; in eguito i ricontrò che la conduttività termica di un generico materiale diminuiva all aumentare della ua poroità, oia al crecere della frazione di volume occupata dall aria, e che tale fenomeno i ealtava nel cao che i pori inglobati nella matrice olida non foero comunicanti tra loro. Ciò è facilmente deducibile coniderando che la conduttività termica dell aria ecca in fae gaoa, in condizioni di quiete, è molto minore ripetto a quella di qualiai matrice olida. Nel cao di materiali con pori interconnei, detti anche a celle aperte, la diminuzione della conduttività termica è attenuata dall inneco di fenomeni convettivi, i quali favoricono lo cambio termico. Quete emplici cotatazioni hanno orientato lo viluppo della tecnologia di produzione degli iolanti vero materiali a celle chiue contenenti aria ecca, oppure in alternativa ga a baa conduttività termica. È da oervare che la conduttività termica dipende dallo tato termodinamico del itema, e dunque riulta funzione della preione e della temperatura, dove in generale i può coniderare tracurabile la dipendenza di λ con la preione mentre l influenza della temperatura dipende dal tipo di materiale, come i evince dalla Figura. e dall eame delle tabelle.3,.4 e.5. Tuttavia, nelle applicazioni in cui le ecurioni termiche non ono elevate, tale dipendenza può tracurari, adottando, per un determinato materiale, un opportuno valore medio. Va, inoltre, evidenziato che la conduttività termica è anche funzione della maa volumica (denità) del materiale; per tale motivo nella Norna UNI i valori di λ vengono riportati tenendo conto anche di queta dipendenza. La potenza termica tramea attravero ad una uperficie ioterma di area A è data: Q & = qn & da (.) n A nell ipotei di fluo cotante ulla uperficie A ed utilizzando la legge di Fourier (.), la (.) i modifica: & T = Aλ n (.3) Q n che nel Sitema Internazionale viene miurata in W (J - ). 3

4 Fig.. Conduttività termica di divere otanze al variare della temperatura. Equazioni per lo tudio della conduzione Nel eguito della trattazione della tramiione del calore per conduzione i farà riferimento a olidi omogenei ed iotropi, e cioè con proprietà termofiiche cotanti in tutto lo pazio ed indipendenti dalla direzione coniderata. In queta trattazione i affronteranno la formulazione e la oluzione di problemi di cambio termico per geometrie e per condizioni ai limiti molto emplici. Il metodo con cui i affrontano i problemi è comunque etendibile a cai più complicati, la cui oluzione può eere ottenuta utilizzando, ove neceario, le moderne tecniche numeriche. L equazione generale che permette di tudiare i problemi di cambio conduttivo viene ricavata dal principio di conervazione dell energia (primo principio della termodinamica) u di un generico volume di controllo di olido o di fluido in quiete, la cui maa di controllo, eendo il mezzo non in movimento, rimane cotante nel periodo di oervazione temporale. Con riferimento al volume di controllo rappreentato in Fig..3, il bilancio di energia termica per unità di tempo (potenza) può eere chematizzato come egue: 4

5 Potenza termica entrante nel volume di controllo + Potenza termica generata nel volume di controllo = Potenza termica ucente dal volume di controllo + Variazione dell energia nel volume di controllo nell intervallo θ (.4) z. q x. q z+dz y. q y+dy ρc T θ Ω Ω. q y. q z. q x+dx u. x Fig..3 - Volume di controllo per la derivazione dell equazione generale della conduzione Si precia che pur eendo la grandezza energia una grandezza conervativa che, quindi, non i genera né i ditrugge, il termine relativo alla coidetta potenza termica generata, che compare nella (.4), include l energia nell unità di tempo ottenuta da tutti quei fenomeni (reazioni nucleari e chimiche, diipazione per effetto Joule, etc) i cui procei di converione non vengono per brevità inclui nella tramiione del calore, ma il cui effetto non può eere tracurato. In intei, l energia per unità di tempo ottenuta da queti fenomeni viene inclua nell ambito di queto tudio enza invetigarne la genei, ottenendo, in concluione, un termine noto in ingreo riconducibile ad una generazione. Scelto un itema di riferimento in coordinate carteiane ortogonali (0,x,y,z), il campo di temperatura nel mezzo riulta funzione delle tre coordinate paziali e del tempo θ, T=T(x,y,z,θ). Il vettore fluo termico q & viene analizzato come omma delle ue tre componenti lungo gli ai (qx, q y, q z ) ripettivamente ortogonali alle uperfici dydz, dxdz e dxdy. Quindi, il prodotto q x per l area dydz rappreenta la potenza termica entrante nel volumetto dxdydz lungo la direzione x; analogamente q x+dx rappreenta la potenza termica ucente da dxdydz nella medeima direzione. Con riferimento alla Fig.3, i termini relativi al bilancio (.4) poono ingolarmente eplicitari come egue: - la potenza termica entrante nel volume di controllo riulterà: Q& = q da= q dydz; Q& = q da= q dxdz; Q& = q da= q dxdy (.5) x x x y y y - la potenza termica ucente dal volume di controllo riulta pari a: z z z & x+ dx= x+ dx ; Q& y+ dy = qy+ dydx dz ; Q& z+ dz = qz+ dzdx dy (.6) Q q dydz 5

6 - le potenze termiche nette (differenza tra quelle entranti e quelle ucenti), viluppata in erie di Taylor arretata al termine, riulteranno: qx (qx qx+ dx) dydz = dx dydz x ; qy (qy qy+ dy) dx dz = dy dxdz ; (.7) y qz (qz qz+ dz) dx dy = dz dxdy z ; - la potenza termica generata Q & gen nel volume di controllo può eere eprea come: gen ( Q& = u& dx dydz) (.8) dove u è la potenza termica generata per unità di volume (W m -3 ); - la variazione di energia del volume di controllo nell unità di tempo (potenza termica accumulata Q & ) è pari: acc E U T Q & acc = = =ρc ( dx dydz ) θ θ θ (.9) dove, eendo il mezzo in quiete, l energia cinetica e potenziale ono nulle e, quindi, l energia E (J) del itema preenta il olo contributo dell energia interna U. Quet ultima, nell ipotei di olido e fluido incomprimibile, può eere viluppata in funzione della maa volumica ρ (kg m - 3 ), del calore pecifico c (J kg - C - ), della temperatura T e del volume dxdydz (m 3 ). Inoltre, i è ipotizzato che il mezzo ia omogeneo anche nei confronti della maa volumica e del calore pecifico e che tali proprietà non variaero nel tempo. Sotituendo le (.5), (.6), (.7), (.8) e (.9) nella (.4), i ha: q q x y qz T + + dxdydz + u '''dxdydz =ρc ( dx dy dz) (.0) x y z θ Utilizzando la legge di Fourier (.), dividendo la (.0) per il volume elementare dxdydz, i ottiene l'equazione: T T T T λ + λ + λ + u& = ρc x x y y z z θ (.) valida in ogni punto (volume elementare) del itema coniderato. Dividendo entrambi i membri della (.) per la conduttività termica λ, nell ipotei in cui queta è cotante e indipendente dalla direzione coniderata (mezzo omogeneo e iotropo), i ottiene l epreione dell'equazione generale della conduzione in coordinate carteiane: 6

7 T T T u& T = x x x λ a θ (.) dove a=λ/ρc è una proprietà del materiale detta diffuività termica, la cui unità di miura nel SI è m -. La diffuività termica rappreenta fiicamente il rapporto tra l attitudine del materiale di tramettere l'energia termica per conduzione ripetto alla ua capacità di accumulo. Ricordando che la divergenza del gradiente di una funzione calare è pari al laplaciano econdo, l equazione (.) può eere genericamente critta come: u& T + = λ a T θ (.3) La oluzione dell equazione (.3) per eere univocamente determinata neceita di ulteriori informazioni circa l interazione tra la uperficie di controllo e l'ambiente circotante (condizioni al contorno), ed il campo di temperatura nel volume di controllo all'itante iniziale dell'oervazione del fenomeno conduttivo (condizione iniziale). Pertanto, una volta fiate in maniera opportuna le condizioni ai limiti (condizione iniziale e condizioni al contorno), i può dimotrare che la oluzione del problema è unica e fiicamente valida. Se la temperatura nel materiale non varia al variare del tempo ( T/ θ=0), allora il problema è detto in regime tazionario e l equazione generale della conduzione viene denominata equazione di Poion: u& T + = 0 λ (.4) Nell ulteriore ipotei di aenza della generazione interna, l equazione della conduzione, in queto cao denominata equazione di Laplace, diventa: T = 0 (.5) Infine, nell ipotei di regime tranitorio ed aenza di generazione, l equazione della conduzione, denominata in queto cao equazione di Fourier, aume la forma: T T = a θ (.6) Inoltre, per alcune geometrie regolari, e due dimenioni (ad eempio y, z) ono preponderanti ripetto alla terza (x), nell ipotei che la generazione di energia termica uniforme nel mezzo e in preenza di uniformità delle condizioni al contorno (cfr paragrafi ucceivi), il problema conduttivo è riconducibile ad un itema monodimenionale, e quindi la temperatura può riteneri funzione olamente di una ola coordinata paziale (x). Infine, in un itema di riferimento cilindrico (r, φ, z), applicando l epreione della divergenza del gradiente (laplaciano), l equazione generale della conduzione (.3) aume la forma: T T T u& T r r r r = z r φ λ a θ (.7) Nel eguito, dopo aver elencato le varie tipologie di condizioni al contorno, vengono preentati alcuni emplici problemi conduttivi monodimenionali in regime tazionario in aenza di 7

8 generazione di energia termica, ricorrenti nella pratica ingegneritica. Condizioni ai limiti (condizione iniziale e condizioni al contorno) La oluzione dell equazione differenziale alle derivate parziali (.3) per eere determinata univocamente neceita della conocenza delle condizioni ai limiti, in particolare di una condizione iniziale (quindi riferita al tempo) e delle condizione ul contorno del volume di controllo coniderato. Si ricorda che il numero di condizioni al contorno per ciacuna variabile indipendente è uguale al relativo ordine maimo di derivazione dell equazione differenziale che governa il problema. Ne conegue che un problema tridimenionale di conduzione in regime tranitorio neceita di 6 condizioni al contorno e di una condizione iniziale. condizione iniziale La condizione iniziale decrive una ditribuzione nota della temperatura Tˆ in qualiai punto del mezzo all itante che è coniderato di inizio per il fenomeno. Ea viene formulata per un mezzo di dimenioni L, L e L 3, in un itema di riferimento carteiano, come: T = Tˆ (x, y, z) per θ=0 e per 0 x L; 0 y L ; 0 z L 3 (.8) la condizione iniziale più emplice è quella per la quale la ditribuzione della temperatura nel mezzo Tˆ ia uniforme e pari ad un valore noto T. Ne conegue: T = T per θ=0 e con 0 x L; 0 y L ; 0 z L 3 (.9) e T =0, la condizione i dice omogenea. condizioni al contorno Le condizioni al contorno pecificano la ditribuzione della temperatura o del fluo termico ul contorno del mezzo in eame. Ee rappreentano le caue per cui i determina una ditribuzione di temperatura nel mezzo conduttivo divera da quella iniziale. Nella maggior parte dei cai quete caue ono connee ad un traferimento di energia ulla uperficie del corpo dovute ad un altro meccanimo di cambio termico (convettivo e/o radiativo). In ogni cao, condizioni al contorno opportune poono eere empre ricavate ulla bae di bilanci di prima legge critte per la uperficie di controllo. Fig..4 Condizioni al contorno 8

9 Si prenda ad eempio una muratura (vita in ezione nella Figura.4) u cui incide un fluo radiativo olare uniforme (cao a) o un fluo convettivo che ricaldi la muratura (cao b, fluo conduttivo entrante) o in alternativa un fluo convettivo che raffreddi la muratura (cao c, fluo conduttivo ucente), queti ultimi due caratterizzati da una temperatura inditurbata del fluido T uniforme e da una conduttanza convettiva h c anch ea uniforme. Dove, con temperatura inditurbata del fluido i intende la temperatura del fluido ad una ditanza dalla parete tale da non rientire più l effetto della perturbazione termica indotta dallo cambio termico convettivo. Individuato un volume di controllo elementare di uperficie da a cavallo dell interfaccia della parete ed aunto un itema di riferimento carteiano in cui l ae x ia ortogonale alla uperficie della parete, per il principio di conervazione dell energia poiamo ripettivamente dedurre: & r & k q & r da= q & k da & r = & k Q =Q q q A A k cao a) (.0) Q & =Q & q & da= q & da q & = q& cao b) e cao c) (.) r k c k c A A dove q& r è il fluo termico radiativo incidente (entrante) ulla parete, q & c quello convettivo (entrante cao b e ucente cao c) e q & k è il fluo termico conduttivo che i propaga all interno del mezzo determinando una variazione del campo di temperatura. Nell ipotei di flui radiativi e convettivi uniformi ulla parete di intefaccia, utilizzando la legge di Fourier i ottiene: T q& r = λ cao a) (.) x P T T q & = λ h ( T T ) = λ cao b) (.3) x c c p x P P T T q& = λ h ( T T ) = λ x c c p x P P cao c) (.4) dove p indica il gradiente calcolato ulla uperficie d interfaccia tra la parete e il fluido. Se i ipotizza che la conduttanza convettiva tenda ad infinito, per un valore finito di potenza termica tramea, la differenza di temperatura tra il fluido T e la parete T p deve tendere a zero. In tal cao i può aumere con buona approimazione che la temperatura della parete T p ia pari a T (T p = T ), ne conegue che la condizione di fluo convettivo impoto degenera in una condizione al contorno di temperatura impota. Nella terminologia adottata nella tramiione del calore la condizione al contorno di temperatura impota viene indicata come condizioni al contorno del primo tipo, la condizione al contorno di fluo impoto come condizioni al contorno del econdo tipo, la condizione al contorno di fluo convettivo impoto come condizioni al contorno del terzo tipo. Si ottolinea che le condizioni al contorno poono preentari non uniformi ulla uperficie di contorno, in queti cai i avrà: T p(x, y,z) = T(x, y,z) condizione al contorno di tipo (.5) 9

10 Txyz (,, ) q& r( x, y, z) = λ condizione al contorno di tipo (.6) x T(x, y,z) h c(x, y,z) (T T p(x, y,z)) = λ x P P condizioni al contorno di 3 tipo (.7) dove h c (x,y,z) è la conduttanza convettiva locale. Si vuole ora offermari u di un particolare tipo di condizione al contorno di tipo, in particolare quella in cui la uperficie di contorno ia adiabatica. In queto cao neun fluo termico attravera queta uperficie (uperficie adiabatica), per cui la condizione al contorno arà: T(x, y,z) λ = 0 x condizione al contorno di tipo omogenea (.8) Si eamini ora un olido omogeneo di forma parallelepipeda (cfr. Figura.5) di conduttività termica λ avente una temperatura iniziale T p immero in un fluido avente temperatura T, entrambi i mezzi hanno temperatura uniforme con T >T p. Aunto un itema di coordinate carteiane con origine nel baricentro del parallelepipedo, upponendo uniforme anche la conduttanza convettiva h c, le condizioni al contorno i preentano uniformi u tutte le uperfici del olido. Indipendentemente dal campo termico che i vilupperà nel mezzo al variare del tempo fino al raggiungimento delle condizioni di equilibrio, ulla bae del concetto di immetria geometrica e dell uniformità delle condizioni al contorno, i può affermare che le temperature dei punti T(x,y,z) e T(-x,y,z) ono T(x, y,z) uguali. Ne conegue che il fluo termico conduttivo tra queti due punti è nullo λ = 0 e x quindi, il piano avente equazione x=0 viene definito come piano di immetria termico. z -y -x x -z Fig..5 Piani di immetria termici y 0

11 Analogamente anche i piani aventi equazioni y=0 e z=0 ono anch ei piani di immetria termica ed inoltre: T(x,y,z)=T(-x,y,z)=T(x,y,-z)=T(-x,y,-z)=T(-x,-y,z)=T(-x,-y,-z)=T(x,-y,z)=T(x,-y,-z) o più generalmente i campi delle otto zone di olido individuate dall interezione dei piani di immetria termica ono uguali. In concluione i può affermare che i piani di immetria termica ono piani adiabatici e, quindi, caratterizzati da una condizione al contorno di tipo con fluo termico nullo. Problemi di cambio termico conduttivo in regime tazionario La rioluzione analitica dell equazione generale della conduzione per mezzi aventi geometria complea e con condizioni al contorno non uniformi non è quai mai poibile, in queti cai è poibile utilizzare tecniche di rioluzione numeriche (differenze, elementi e volumi finiti) che permettono di determinare con buona approimazione il campo di temperatura. Nel eguito verranno eaminati alcuni emplici problemi di cambio termico conduttivo in regime tazionario, in aenza di generazione di energia interna e in regime monodimenionale in cui vicevera è poibile determinare analiticamente il campo di temperatura. Latra piana indefinita Si conideri una parete piana chematizzata in Figura.6 di lunghezza L, altezza H e peore, (con L>> e H>>), cotituita da materiale omogeneo ed iotropo avente conduttività termica λ. Queto tipo di problema, molto comune nella pratica tecnica, è denominato latra piana indefinita. Si ipotizzi che in condizioni di regime tazionario la temperatura delle interfaccie della parete rivolte vero l eterno iano ioterme ripettivamente alla temperatura T e T, con T >T. S z y x L Fig..6 Latra piana indefinita Il fluo termico è dunque diretto ortogonalmente alla parete nel vero delle temperature decrecenti. Aunto per il problema in oggetto un itema di riferimento carteiano, tante l iotermia delle due uperfici al contorno e coniderando che due dimenioni ono preponderanti

12 ripetto alla terza, tracurando la variazione del campo di temperatura preo gli pigoli (effetti di T bordo) i può concludere che i gradienti di temperatura lungo l ae y = 0 e lungo l ae z y T = 0 poono eere coniderati nulli. z Il problema, quindi, i preenta in geometria monodimenionale, ne conegue che tutte le ioterme del campo di temperatura nel olido ono piani paralleli alle facce etreme della latra (cfr. Fig..7) e che, quindi, il vettore q& è orientato in ogni ezione normalmente a quet ultime. La componente di tale fluo termico può eere valutato in bae alla (.), che i particolarizza in queto cao come egue: Qx dt qx = & Ax ( ) = λ dx & (.9) T T T(x) T 0 x x L Fig..7 Sezione della latra piana indefinita. La componente del fluo q& x è, dunque, determinato una volta noto l andamento della temperatura nel mezzo, T(x). Quet ultimo, a rigore, può eere ottenuto dalla oluzione analitica del problema rappreentato dall equazione della conduzione (formulata in regime tazionario, aenza di generazione interna e geometria adimenionale) e dalle relative condizioni al contorno. In definitiva: dt(x) = 0 0 x dx T ( x = 0) = T T ( x = ) = T (.30) (.3) (.3) L integrale generale della (.30) è dato dalla relazione lineare: T(x) = c x + c (.33) in cui le due cotanti di integrazione, c e c, poono eere ricavate imponendo che queta

13 oluzione ripetti le condizioni al contorno (.3) e (.3): T = T(0) = c0+ c c = T (.34) T T T = T() = c+ T c= (.35) Sotituendo le due cotanti di integrazione qui ricavate nella (.33) i ottiene il campo di temperatura all interno della muratura: T T T(x) = T x (.36) Dalla (.9) e dalla (.36) è facilmente ottenibile anche la potenza termica conduttiva tramea all interno della muratura T(x) Q& λ x = Aλ = A ( T T ) x (.37) La relazione (.37), che ovviamente rappreenta nuovamente legge di Fourier, motra che la potenza termica tramea per conduzione è direttamente proporzionale: - alla conduttività termica del materiale di cui è cotituita la parete, λ.; - all'area della parete, A; - alla differenza tra le temperature delle uperfici eterne, T -T ; ed inveramente proporzionale: - allo peore della parete,. Nella (.37) la grandezza λa/ viene denominata conduttanza conduttiva, nel Sitema Internazionale è miurata in W/K. Ea nel eguito verrà indicata con K: λa K = [W K - ] (..38) Il uo invero R viene detta reitenza conduttiva, e nel SI viene eprea in K/W. R = [K W - ] (.39) λ A Dividendo tali grandezze per l'area A della parete i ottengono la conduttanza conduttiva unitaria k e la reitenza conduttiva unitaria r, ripettivamente epree da: K k = λ A = [W m - K - ] (..40) R r = = [m K W - ] (.4) A λ Geometria cilindrica In molte applicazioni pratiche, come ad eempio tubazioni, rivetimenti di iolante per cavi elettrici etc., i incontrano geometrie cilindriche come quelle decritte in queto paragrafo. In particolare, i 3

14 conideri una parete a geometria cilindrica (cilindro cavo come in Figura.8), di lunghezza L molto maggiore del raggio r, le cui uperfici eterne iano ioterme ed a divera temperatura uniforme T e T, con T >T. Fig..8 Cilindro cavo in aenza di generazione Nelle ipotei di regime tazionario, materiale omogeneo ed iotropo, conduttività termica indipendente dalla temperatura, in un itema di riferimento in coordinate cilindriche, coniderata l uniformità delle condizioni al contorno, tracurando gli effetti di bordo il gradiente di temperatura T lunzo l ae z è nullo = 0. Inoltre, il campo di temperatura non dipende dalla coordinata φ, e z riulta quindi è monodimenionale, per le condizioni di immetria termica e geometrica che caratterizzano il itema. Le ioterme ono dunque dei cilindri coaiali alle uperfici eterna ed interna e, quindi, il vettore fluo termico q & è orientato in ogni ezione normalmente all ae z del cilindro, ovvero parallelamente al raggio r. In concluione la formulazione del problema conduttivo è eprea dall equazione generale della conduzione in coordinate cilindriche ottenuta emplificando la (.7): d T(r) r = 0 rdr r (.4) con le condizioni al contorno: T(r = r ) = T T(r = r ) = T (.43) (.44) Integrando una prima volta la (.4) i ha: T(r) r = c (.45) r Dalla (.45) i rileva che al crecere di r il gradiente di T decrece. Ciò è deducibile anche 4

15 coniderando che per il principio di conervazione dell energia Q(r) & è cotante, per cui: dt(r) dt(r) Q(r) & = λ A(r) = λπ rl = cotan te (.46) dr dr analoga alla (.45). Integrando ancora la (.45) i ottiene: T(r) = cln(r) + c (.47) imponendo che queto integrale generale verifichi le condizioni al contorno (.43) e (.44), è poibile ricavare le cotanti di integrazione, c e c, dal itema di equazioni: T(r ) = T = c ln(r ) + c T(r ) = T = c ln(r ) + c (.48) (.49) in particolare, ottraendo membro a menbro le equazioni (.48) e (.49) e rammentando le proprietà dei logaritmi i ottiene: r T T T T = c ln(r ) ln(r ) = c ln c = (.50) [ ] r otituendo la (.50) nella (.48) i ottiene: T T c = T ln(r r ln r r ln r ) (.5) L equazione che decrive il campo di temperatura T(r) i ottiene otituendo le cotanti d integrazione (.50) e (.5) nella (.47) ottenendo: T T r T(r) = T ln( ) r r ln r (.5) L andamento, quindi, del campo di temperatura nel cilindro cavo è logaritmo (cfr. Fig..9). Noto il campo di temperatura, l equazione di Fourier (.) fornice la potenza termica: dt(r) Q& = λa(r) (.53) dr ancora una volta dalla (.53) i deduce qualitativamente che, al crecere di r, poiché l area della uperficie ioterma A(r) crece, decrece il gradiente di temperatura. Derivando la (.5) e otituendo nella (.53) i ottiene: 5

16 Fig..9 - Andamento della temperatura di un campo monodimenionale in geometria cilindrica con le uperfici limiti a temperatura uniforme e cotante. T T T T T T Q& = λπ rl =λπ L = K(T T ) = r r r r ln ln R r r (.54) avendo poto che: πlλ K = r ln r r ln r R = = K π L λ (.55) (.56) Che rappreentano ripettivamente la conduttanza e la reitenza conduttive nel cao di immetria cilindrica. Analogia elettrica In entrambe le geometrie tudiate nei paragrafi precedenti, come in altre applicazioni che verranno eaminate nel proieguo, è tato ricavato il legame tra la potenza termica che attravera il itema monodimenionale e la differenza di temperatura che induce il fluo di energia termica. Queta epreione è del tutto analoga a quella relativa al fluo di corrente che attravera una reitenza elettrica oggetta ad una differenza di potenziale V. In fiica, due fenomeni ono analoghi e vengono decritti da leggi o equazioni imili, dove due 6

17 equazioni ono imili e poono eere convertite l una nell altra emplicemente cambiando le variabili in gioco ed i relativi coefficienti, enza alterare l epreione che li lega. Dunque, nel cao pecifico le due equazioni imili ono: ( T T ) & = Q R I = ( V V ) R ele in cui la econda relazione lega il fluo di corrente I attravero una reitenza elettrica, R ele, alla differenza di potenziale elettrico V. Per queto motivo, i problemi termici vengono peo mei in analogia con problemi elettrici. Fig..0 Eempi di analogia con reitenze elettriche. Come nel cao elettrico, anche in campo termico nella pratica i trovano diveri itemi in cui le reitenze termiche vengono dipote in erie o parallelo. Queto tipo di trutture poono eere tudiate analogamete al cao elettrico, e dunque non neceiterebbero di una rigoroa preentazione. Tuttavia, per completezza vengono introdotte nei proimi paragrafi. Dipoitivi in erie Nella pratica tecnica è molto frequente il cao della tramiione di calore per conduzione in una parete piana compota da più trati di materiali diveri, ciacuno omogeneo ed iotropo, caratterizzati, in generale, da peori e conduttività termiche divere. Con riferimento alla Fig..0, nell'ipotei di regime tazionario, l'andamento delle temperature è cotante nel tempo ed in aenza di generazione interna, per il primo principio della termodinamica, l energia termica per unità di tempo Q & che attravera ogni uperficie ioterma (parallela alle interacce eterne ed ortogonale allo peore della parete) è cotante. Indicando con λ, λ e λ 3 le conduttività termiche dei materiali e con, ed 3 gli peori dei ingoli trati della parete compota chematizzata in Fig..0, nell ipotei che le temperature T e T 4 iano impote ulle uperfici di interfaccia e con T >T 4, i ha: 7

18 Fig..0 - Parete piana compota da più trati in erie: immetrie piana e cilindrica. Q& A λ Q& = ( T T ) T T = A λ A λ & = ( T ) Q A λ & = 3 ( T ) Q Q& T 3 T T3 = A λ Q& T 4 T 3 3 T4 = A λ Sommando membro a membro le relazioni critte ulla detra, tenendo preente che, come detto per il principio di conervazione dell energia, la potenza termica che attravera la parete, e quindi i ingoli trati, è cotante ( Q& = Q& = Q& 3 = Q& ) i ottiene: T T4 = Q& + + A λ A λ A λ3 3 da cui riulta che la potenza che attravera la parete cotituita da più trati dipoti in erie può eere eprea come: 3 3 T T Q& = A 4 R + R + R 3 (.57) Dalla (.57) i deduce che, la reitenza conduttiva totale R k della parete in erie è pari alla omma delle reitenze conduttive dei ingoli trati. Più in generale: 8

19 T T Q= A R & 4 (.58) k dove, per una parete compota da n trati dipoti in erie i ha: Rk n = Ri i= (.59) Eendo la uperficie di cambio A uguale per tutti gli n trati e ricordando che la conduttanza conduttiva K k è ovviamente l invero della reitenza conduttiva, i ottiene: - reitenza unitaria conduttiva totale dell intera parete: rk n = r i i= (.60) dove r i è la reitenza termica unitaria conduttiva del ieimo trato della parete - conduttanza conduttiva totale dell intera parete: K = = R i A k n n λ i i= i= i (.6) - conduttanza conduttiva unitaria totale dell intera parete: k = = r k n n i λ i i= i= i (.6) Il concetto di reitenza e conduttanza termica può eere eteo anche allo cambio termico convettivo tra un fluido ed una parete. Infatti in queti cai la potenza termica cambiata tra una uperficie piana ed il fluido è data da: c c [ ] [ ] Q& = h A T(x) T con T(x)>T Q& = h A T T(x) con T > T(x) (.63) dove T è la temperatura inditurbata del fluido ipotizzata uniforme, T(x) è la temperatura uniforme dell interfaccia della parete a contatto con il fluido (x=0 o x=l), h c è la conduttanza convettiva del fluido uppota anch ea uniforme. Quindi, in analogia con le (.38) e (.39) la conduttanza K c e la reitenza termica uperficiale R c riultano: K c = h c A (.64) 9

20 R c = (.65) ha mentre la reitenza unitaria convettiva riulta: r c c c = (.67) h Coneguentemente la (.59), la (.60), la (.6) e la (.6) poono eere etee per analogia ommando alla reitenza conduttiva della truttura le due reitenze convettive h ce e h ci relative alle interfacce tra la parete ed il fluido (cfr. Figura.): - reitenza totale della parete: RT n = + Ri hcea + h i cia = (.68) - reitenza totale unitaria della parete: rt n = + ri + hce h i= ci (.69) - tramittanza termica della parete K = = T n n i + Ri ce i= ci ce λ i= i ci h A h A h A A h A (.6) - tramittanza termica unitaria della parete k = = T n n i + ri h + + e h i i h + = e λ i= i hi (.6) 0

21 Fig.. Andamento della temperatura in un parete piana multitrato con cambi termici convettivi ulle uperfici laterali Il concetto di reitenza e conduttanza termica convettiva può eere più in generale eteo anche allo cambio termico tra ambiente circotante e uperficie introducendo anche lo cambio termico radiativo (cfr capitolo meccanimi combinati). Nel diagramma di Figura. dove ono tati riportati gli andamenti qualitativi delle temperature di un parete multitrato, gli andamenti in proimità delle interfacce dove avvengono gli cambi termici uperficiali ono tati tracciati con curve non lineari in quanto ia la conduttanza convettiva ia la conduttanza uperficiale ono funzioni non lineari della temperatura (vedi capitoli ucceivi) ed inoltre la variazioni variazione di temperatura dovuta agli cambi termici radiativi e/o interea oltanto uno trato di peore limitato a ridoo dell interfaccia della parete. Fig.. - Parete di geometria cilindrica compota in erie Anche per cambi termici monodimenionali in geometria cilindrica è poibile coneguire con analoghe dimotrazioni gli tei riultati. In particolare per un cilindro di lunghezza L molto maggiore del raggio eterno compoto da più trati (cfr Fig..), riprendendo le epreioni (.55) e (.56) i ha: - reitenza termica conduttiva totale:

22 R k r i n n ln + r i Ri (.63) πlλ i= i= i = = - conduttanza conduttiva totale K k = n i= r ln r i πlλ i+ i (.64) - tramittanza termica del cilindro K T = ri n ln + r i + h A + πlλ h A e e i= i e i (.65) dove h e e h i ono ripettivamente le conduttanze unitarie uperficiali interne (A i ) ed eterne (A e ) del cilindro; - reitenza totale del cilindro R T ri n ln + r i = + h A + πlλ h A e e i= i e i (.66) Eempio numerico Si calcolino la reitenza e la conduttanza termica unitaria e totale per una parete che ha un'area di 0 m ed è cotituita dai eguenti trati: Calcetruzzo cellulare = 0 cm = 0,0 m ρ = 800 kg m -3 λ = 0,5 W m - K - Latra di acciaio inox = 3,0 mm = 0,0030 m ρ = 8000 kg m -3 λ = 7 W m - K - 3 Muratura in mattoni pieni 3 = cm = 0, m ρ 3 = 00 kg m -3 λ 3 = 0,43 W m - K -

23 Supponendo di voler aumentare del 50% la reitenza termica unitaria (o ridurre del 50% la conduttanza termica unitaria) della parete, utilizzando latre di poliuretano epano di maa volumica, ρ i, pari a 40 kg m -3, e di conduttività termica, λ i, pari a 0,03 W m - K -, i calcoli lo peore dello trato iolante neceario. 3 ' " ''' Fig;.3 - Parete piana compota da più trati in erie. Dalla relazione (.60) la reitenza termica conduttiva unitaria della parete riulta pari alla omma delle ingole reitenze, ciacuna delle quali può eere calcolata coniderando la (.4): 3 0,0 0,0030 0, m K rk = r+ r + r3 = + + = + + =,08 λ λ λ3 0,5 7 0,43 W La conduttanza conduttiva unitaria della parete riulta: k = = 0,94 W k r k mk Per incrementare del 50% la reitenza unitaria di tale parete, indicando con della reitenza, deve riultare: e quindi * k k k r =,5 r = r + r i * r k il nuovo valore ri = 0,50 rk =,08 0,50 = 0,54 mk W da cui è poibile ricavare lo peore dello trato iolante che riulta i = ri λ i = 0,54 0, 03 = 0, 073 m Eempio numerico Per lo teo eempio volto precedentemente i determino le temperature all interfaccia dei vari trati, nell ipotei che: a) le temperature dell aria eterna ed interna iano ripettivamente pari a 0 C 3

24 ed a 0 C, b) le conduttanze uperficiali eterne ed interne iano ripettivamente pari a,0 ed 8,0 W m - K -, c) lo trato di iolante ia poto in un cao ull interfaccia eterna della parete e in un econdo cao ull interfaccia interna. Dalla relazione (.6) i può calcolare la tramittanza termica unitaria della parete W kt = = = 0,547 4 i, 6 mk h + λ h,0 8,0 e i= i i per cui dalla la potenza termica totale traferita dalla parete è pari: ( ) Q& = kta Ti Te = 0,547 0 (0 0) = 09, 46 W per il principio di conervazione, la potenza termica tramea nei vari trati riulta cotante. Ne conegue: cao a) iolante poizionato ull interfaccia calda (lato caldo) Q 09,46 T i-i =Ti - =0,0- =9,09 C ha 8,00 i Q 09,46 T i-=ti-i- =9,09- =3,8 C λia 0,03 0 0,08 i Q 09,46 T - =Ti-- =3,8- =4,4 C λa 0,5 0 0, 0 Q 09,46 T -3=T-- =4,4- =4,4 C λa 7,0 0 0,003 Q 09,46 T 3-4 =T-3- =4,4- =,37 C λ3a 0, 0 0, 43 e 3 Q 09,46 T 4-e =Ti - =,37- =0 C ha 8,00 cao b) iolante poizionato ull interfaccia eterna della parete (lato freddo) Q 09,46 T i-=ti - =0- =9,09 C ha 8,00 i 4

25 Q 5,0 T - =Ti- - =8,- =0,33 C λ A 0,5 0 0,0 Q 09,46 T -3=T-- =0,33- =0,33 C λa 7,0 0 0,003 Q 09,46 T 3-4 =T-3- =0,33- =7,7 C λ3a 0, 0 0, 43 3 Q 09,46 T 4-i =T3-4 - =7,7- =,37 C λia 0,03 0 0,08 e i Q 09,46 T 4-e =Ti - =,37- =0 C ha 8,00 Da quanto opra riportato è poibile dedurre alcune intereanti coniderazioni: - la conduttanza (reitenza) termica dei materiali metallici è molto elevata (baa), per cui è poibile tracurare nel calcolo della tramittanza della parete il loro contributo. Si noti, infatti, come in entrambi i cai eaminati la caduta di temperatura nello trato metallico è praticamente nulla; - la caduta di temperatura tra l interfaccia eterna e quella interna della parete è la medeima ia nel cao a) che nel cao b). Ciò è evidente e i conidera che le reitenze termiche uperficiali rimangono le tee in entrambi i cai coì come le temperature dell aria eterna ed interna; - malgrado la caduta compleiva di temperatura nella parete rimanga la tea in entrambi i cai, profondamente diveri i preentano gli andamenti di temperatura. Infatti, nello trato di iolante avviene la maggiore caduta di temperatura coneguentemente la ua poizione fa ì che gli trati a monte i trovino a temperatura più elevata ripetto quelli di valle (cfr Fig..4). Quindi, nel cao di iolante poizionato ull interfaccia eterna della parete (cao b) tutti gli trati di poti a monte i trovano a temperatura più calda ripetto ad una analoga ituazione con l iolante poizionato ull interfaccia interna (cfr Fig..4). 5

26 Fig..4 Effetto della dipoizione di iolante ul campo di temperatura in una parete compota Reitenze in parallelo Una parete a trato ingolo può eere cotituita da materiali che, pur eendo omogenei ed iotropi, preentano differenti valori della conduttività termica. Nella Fig..4 è motrata la ezione di una parete di queto tipo. La dipoizione delle divere zone, ripetto alle due uperfici limiti, viene detta in parallelo. In tal cao, materiali diveri ono oggetti alla tea differenza di temperatura, e ognuno di ei viene attraverato da differenti potenze termiche. La parete è attraverata da una potenza termica che è data dalla omma delle potenze relative ad ognuno dei materiali. Per ciacuno di queti materiali (con differente conduttività termica), la potenza termica che lo attravera può eere calcolata utilizzando la (.37): A λ & = ( T T ) Q A λ & = ( T T ) Q A & = 3 3 ( T T ) Q λ 3 3 dunque la potenza totale che attravera la parete è la omma delle tre aliquote: A λ A λ A λ Q Q Q Q T T & = & + & + & = ( ) 3 6

27 Fig..4 - Parete con più trati in parallelo. Ovvero, nel cao di pareti dipote in parallelo la conduttanza totale è pari alla omma delle ingole conduttanze: Kk = K+ K + K 3 (.67) Dalla (.67) riulta che la conduttanza termica conduttiva, per la parete cotituita da più zone in parallelo, è pari alla omma delle conduttanze termiche conduttive dei ingoli trati. Da quete ultime relazioni è poibile ricavare la conduttanza termica conduttiva unitaria della parete cotituita da più zone in parallelo: k k ka + k A + ka = A + A + A (.68) La (.68) rappreenta la conduttanza termica unitaria della parete e corriponde alla media peata delle conduttanze unitarie delle differenti zone che la cotituicono. La reitenza termica della parete, nel cao della configurazione in parallelo, è pari all invero della omma degli inveri delle reitenze termiche delle ingole zone. È importante notare che la trattazione fin qui volta è fondata ulle ipotei fatte, che i materiali iano omogenei ed iotropi; e cadono tali ipotei, il calcolo delle conduttanze e delle reitenze termiche i complica. Dalla norma UNI poono ricavari i valori delle conduttanze unitarie per i materiali di frequente impiego nell edilizia. Infine, ono frequenti i cai in cui la parete i preenta con una erie di trati in erie di cui, uno o più cotituiti da materiali di divera conduttività termica (trati in parallelo), come ad eempio il cao di Figura.5. 7

28 0, A. Carotenuto & N. Maarotti Fondamenti di tramiione del calore cap. conduzione Fig..5 Parete con elementi in erie e parallelo In paticolare la muratura è cotituita da 3 trati in erie di cui il econdo preenta a ua volta due trati in parallelo indicati con i imboli. e.. La tramittanza termica della parete è data: KT = = A+ A 3 + R+ R + R ha e ha i ha e λa λa λa + λ3a ha i ottenuta coniderando inizialmente i tre trati in erie (e quindi ommando le reitenze conduttive e le reitenze uperficiali della parete, econdo la relazione (.6)) e otituendo ucceivamente alla reitenza conduttiva dello trato, cotituita da due trati in parallelo, l invero della omma delle due conduttanze conduttive (vedi (.68)). Eempio numerico Si calcolino la conduttanza e la reitenza termiche totali di una parete cotituita da una latra metallica di acciaio inoidabile e da due pannelli in cemento dipoti come in Fig..6. 3,00,00,0 Fig..6 - Simmetria piana dipota in parallelo. Pannelli di calcetruzzo in blocchi con cavità iolate di dimenioni: 0,,0 3,0 m 3 ; λ =λ 3 =0,800 W m - K -. Latra in acciaio inoidabile di maa volumica pari a 8000 kg m -3, avente dimenioni di 8

29 0,0030,0 3,00 m 3, λ =7 W m - K -. Volendo ridurre la conduttanza termica ad /00 di quella calcolata, i dica quale zona della parete è più conveniente iolare e, celto il materiale, i calcoli lo peore neceario. Le tre zone della parete ono in parallelo, inquanto tutte oggette alla tea differenza di temperatura; la conduttanza termica conduttiva della parete è ricavabile dalla relazione (.7); i ha quindi: Aλ Aλ A3λ3 Kk = + + = 3 0,800 6,00 7 3,60 0,800 6, W + + = 40 +, =,0 0 0, 0, , K Volendo ridurre ad /00 tale valore i ha, indicando con parete iolata: 4 *,0 0 W Kk = =, K K * k la conduttanza termica totale della Tenendo conto che la dipoizione è in parallelo e che in tal cao la conduttanza termica totale riulta pari alla omma di quelle relative alle ingole zone, è evidente che l intervento per l iolamento deve eere effettuato ulla parte termicamente più debole (meno iolante) della parete, e cioè ulla latra in acciaio. Indicando con iolata, i ha: * K la conduttanza di tale zona quando ea è tata * * k = + + = K 40 K 40,0 0 W K da cui i può ricavare la reitenza termica unitaria * * r = K A = 0,8 mk W Tale valore della reitenza può eere ottenuto aggiungendo del materiale iolante in erie alla latra di acciaio: * r i = + = 0,8 λ λi mk W per cui utilizzando come iolante del legno di quercia, avente conduttività pari a 0, W m - K -, lo peore da utilizzare riulterebbe: * 0,0030 i m K r = + = 0,8 i=0,040 m 7 0, W Mentre impiegando del politirene, con maa volumica di 40 kg m -3 e di conduttività pari a 0,03 9

30 W m - K -, i ha: * 0,0030 i m K r = + = 0,8 i=0,0056 m 7 0, 03 W Si noti che, a parità di iolamento realizzato, il politirene richiede uno peore minore ripetto al legno di quercia. 30

31 Tabella.3 Proprietà termofiiche di olidi metallici 3

32 Tabella.4 proprietà termofiiche delle leghe metalliche 3

33 Tabella.5 Proprietà termofiiche di materiali 33

34 Eercitazioni numeriche (tratti da Fondamenti di tramiione del calore volume econdo di R.Matrullo, P. Mazzei, V. Nao, R. Vanoli, Liguori editore). Dato un vetro ingolo di peore 4,0 mm, valutare la riduzione percentuale di fluo termico trameo ripetto ad una truttura cotituita da due latre di vetro ingolo dello teo peore con interpota camera d aria di 6,0 mm. Si auma che le conduttanze uperficiali interne ed eterne iano uniformi e ripettivamente pari a 4,0 e 8,5 W m - K -. (oluzione: 56%). Una parete iolata è cotituita da due trati di ughero, come motrato nella figura. Si determini la reitenza termica unitaria della parete, nell ipotei che i pori iano riempiti di aria atmoferica e i confronti tale valore con quella di una analoga parete cotituita olo da ughero. (oluzione: r =0,5 K m W - ; r =0,50 K m W - ) 3. Uno trato di mattoni refrattari (λ=,8 W m - K - ) dello peore di 50 mm è collocato tra due piatre di acciaio (λ=53,7 W m - K - ) dello peore di 6,3 mm. Le uperfici dei mattoni adiacenti la piatra ono rugoe ed il contatto olido-olido avviene olo ul 30% dell area totale con una altezza delle aperità di 0,80 mm. Determinare la potenza termica dipera da,0 m di uperficie apendo che le temperature eterne delle piatre ono ripettivamente di 93,0 C e 47,0 C. (oluzione: Q& = 7,8 0 3 W) 4. Si hanno a dipoizione, per realizzare la coibentazione di un forno, due materiali: dei mattoni refrattari reitenti ad alte temperature e dei mattoni comuni impiegabili fino ad una temperatura maima di 850 C. Dovendo realizzare una parete con peore compleivo di 0 cm, determinare gli peori di due materiali uddetti ai quali corriponda la minima diperione termica. La temperatura della faccia interna della parete compota è di 00 C; l ambiente eterno è a 0 C; la conduttanza unitaria uperficiale è 0 W m - K -. Per i mattoni comuni i auma λ=0,69 W m - K - e per i refrattari λ=,43 W m - K -. (oluzione: =0,59 m, =0,6 m) 5. La parete di un frigorifero è cotituita da uno trato di lana di vetro dello peore di 5,0 cm racchiuo tra due lamine di alluminio dello peore di 0,80 mm (λ=04 W m - K - ). Le conduttanze uperficiali interna ed eterna, uppote entrambe uniformi, ono ripettivamente pari a 0 W m - e 7,0 W m -. Relativamente ad,0 m di parete i calcoli: a) la reitenza termica della parete e le reitenze termiche uperficiali; b) la tramittanza della parete; c) il fluo termico apendo che le temperature dell aria all interno ed all eterno del frigorifero ono ripettivamente pari a,0 C e 3,0 C. (oluzione: R=,3 K W - ; U= 0,65 W m - K - ; q= W m ) 6. Due piatre di uperficie 0 x 0 cm ciacuna alle temperature di 70 C e 50 C ono eparate da una barra di rame lunga 50 cm e di 5 mm di diametro che è aldata ad entrambe le piatre. Lo pazio tra due piatre è riempito con lana di vetro che iola anche la uperficie laterale della barra. Determinare la potenza termica che va da una piatra all altra. aumendo per il rame λ=379 W m - K -. (oluzione: Q& =,5 W ) 7. La parete di un forno è cotituita da due trati: ) 5,0 cm di argilla refrattaria; ),5 cm di 34

35 mattoni iolanti di malta di geo. La temperatura della uperficie interna del forno è di 650 C; la temperatura dell atmofera circotante il forno è di 7 C; la conduttanza uperficiale unitaria eterna e di 0 W m - K - ; la conducibilità termica dei mattoni di geo è di 0,485 W m - K - mentre quella dei mattoni refrattari è di,48 W m - K -. Calcolare: a) il fluo termico dipero; b) la temperatura della uperficie di eparazione mattoni refrattari-mattoni iolanti; c) la temperatura della uperficie eterna. Diegnare, inoltre, qualitativamente l andamento delle temperature per il itema in eame. 8. Una oluzione, la cui temperatura di ebollizione è di 8 C, bolle all eterno di un tubo di acciaio (,5 %C) di,5 cm di diametro e 0,30 cm di peore. All interno del tubo corre vapor d acqua aturo alla preione di 4,0.0 5 Pa. Le conduttanze termiche unitarie lato vapor d acqua e lato eterno della tubazione ono ripettivamente di 7500 e di 550 W m K. Si calcoli l incremento percentuale di potenza termica cambiata che i ha con un tubo di rame e quella che i ha con un tubo di acciaio. (oluzione: Q & = 4 % ) 9. Una portata maica di vapor d acqua pari a, kg - attravera una condotta di acciaio inox da ¾ di pollice (6,7 mm di diametro eterno e mm di diametro interno). La conduttanza convettiva interna è di 4800 W m - K. La preenza di incrotazioni ulla uperficie interna comporta una reitenza termica aggiuntiva per unità di uperficie della condotta di 0,0 m K W -. Valutare la potenza termica diipata per metro di condotta in ciacuna delle eguenti ipotei: a) condotta nuda; b) condotta ricoperta da uno trato di amianto dello peore di 50 mm. In ambedue i cai aumere per la uperficie eterna una conduttanza unitaria di 0 W m - K - ed una temperatura ambiente di 8 C. Valutare in entrambi i cai la potenza termica per metro lineare. (oluzione Q& =, 0 W m - ; Q& = 7, 0 W m - ) 0. Una parete piana è cotituita da due trati di mattoni da muratura con conducibilità termica di 0,658 W m - K aventi uno peore di 6,0 cm e da uno trato di materiale iolante, interpoto, di peore 5,0 cm. Le uperfici eterne ono, ripettivamente, alla temperatura di C e di 0 C; ul lato freddo del materiale iolante i miura una temperatura di C. Valutare: a) la reitenza termica conduttiva della parete compota; b) la potenza termica dipera da 0 m di parete; c) la conducibilità termica del materiale iolante. (oluzione: 0,55 m K W -, Q& = 440, W, λ=0,4 W m - K - ). Un conduttore elettrico di,00 mm di raggio è iolato uniformemente in modo da formare un elemento a immetria cilindrica di,50 mm di raggio. Il conduttore che è percoro da una corrente di 50 A, è poto in un ambiente alla temperatura di 0 C. Determinare il valore minimo della conduttanza uperficiale eterna per il quale la temperatura all interfaccia conduttore-iolante non uperi il maimo valore conentito per l iolante che è di 60 C. Le caratteritiche del conduttore e dell iolante, cotanti per i valori di temperatura di eercizio, ono ripettivamente: a) reitenza elettrica del conduttore 3, Ω m - ; b) la conducibilità termica dell iolante: 0,00 W m - K -. (oluzione: h=5 W m - K - ) 35