Trasmissione di Simboli Isolati

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1 Coro di COMUNICAZIONI ELETTRICHE Docente : Prof. Roberto Gaudino Tutore : Prof. Vito De Feo Eercitazione n 6 Tramiione di Simboli Iolati Anno Accademico

2 Eercizio Quale delle forme d'onda h(t) in fig. e la ripota all'impulo del filtro adattato al egnale (t)? Soluzione Coniderando che la ripota all impulo di un filtro adattato è il compleo coniugato del egnale (t) in (-t): h ( t) * ( t) Nel cao propoto il egnale (t) non ha parte immaginaria, quindi è ufficiente leggere al contrario ull ae dei tempi il egnale teo, trovando che la ripota cercata è il egnale h(t):

3 Eercizio Qual e il valore della ditanza minima d per la cotellazione di fig.? Soluzione Premea: Coniderando che la figura decritta dai punti,, 3,, è un quadrato, la diagonale, 3, è uguale a L ; ottraendo la ditanza 5, 6,e dividendo per due otteniamo il econdo cateto del triangolo formato da, 5 con la diagonale, 3. La oluzione algebrica è: 5 ), ( + D L D d Sapendo che D L 3 + otteniamo ( ) D D D D D D D D D D quindi la ditanza 5, 6 è uguale alla ditanza, 5 che la ditanza minima ed è pari a D.

4 Eercizio 3 In un itema di tramiione numerica i uano due egnali che, ripetto ad una bae ψ(t) e ψ(t) hanno componenti: [, ] [, ] Il ricevitore proietta il egnale ricevuto r(t) lungo ψ(t) e lungo ψ(t) ottenendo le due componenti r e r, ripettivamente. Quale relazione deve intercorrere tra r e r affinché il deciore ottimo decida che più probabilmente è tato trameo il egnale (t)? Soluzione Affinché il deciore decida che più probabilmente ia tato trameo il egnale (t) deve trovari nella parte uperiore della biettrice della bae; queto i verifica per r r

5 Eercizio Calcolare l'energia media E della cotellazione di 8 egnali indicata in fig. 3 Soluzione L'energia media i calcola ommando l'energia di ogni imbolo intea come ditanza al quadrato dall'origine degli ai. Data la formule generale: E M media d i M i (.) Per la cotellazione in figura 3 vale: ( d ) ( 3d ) ( d ) + ( 9d ) [ ] 5,5d E media E le grandezze caratteritiche ono: d d E d min min Eercizio 5 E 9d max

6 Calcolare l'energia media E della cotellazione di 8 egnali indicata in fig. Soluzione Applicando la formula. 9, d d d d d E media + + E le grandezze caratteritiche ono: d d min min d E max 8d E Eercizio 6

7 Calcolare l'energia media E della cotellazione di 8 egnali indicata in fig. 5 Soluzione Applicando la formula. E media 8 8 [ ( ) ] d + d [ d + 6d ],5d E le grandezze caratteritiche ono: d d min E min d E max d Eercizio 7

8 Calcolare l'energia media E della cotellazione di 8 egnali indicata in fig. 6 Soluzione Applicando la formula. ( d ) ( d ) [ 8d + 3d ] 5d E media E le grandezze caratteritiche ono: d d E d min min E 8d max

9 Eercizio 8 Si deve tramettere un egnale -PSK u un canale di banda BT khz. Qual e la maima velocità di tramiione dei bit, e i ua un filtro a coeno rialzato con roll-off 0.5? Soluzione Un egnale -PSK ignifica che tramette con imboli, quindi u bit. Date le relazioni: T S R + rolloff (.) T S B T (.3) R b nr (.) i calcola: + 0,5 T S 0, m R,33 kimboli / Rb nr,33,66 kbit /

10 Eercizio 9 Si deve tramettere un egnale 8-PSK u un canale di banda BT khz. Qual e la maima velocità di tramiione dei bit, e i ua un filtro a coeno rialzato con roll-off 0.5? Soluzione Un egnale 8-PSK ignifica che tramette con 8 imboli, quindi u 3 bit. Utilizzando le formule (.), (.3) ed (.) otteniamo una velocità di tramiione pari a: Rb nr 3,33 3,9 kbit / Eercizio 0 Si deve tramettere un egnale 6-QAM u un canale di banda BT khz. Qual e la maima velocità di tramiione dei bit, e i ua un filtro a coeno rialzato con roll-off 0.5? Soluzione Un egnale 6-QAM ignifica che tramette con 6 imboli, quindi u bit. Utilizzando le formule (.), (.3) ed (.) otteniamo una velocità di tramiione pari a: Rb nr,33 5,3 kbit / Eercizio In un itema di tramiione numerica i uano egnali, cui corripondono i vettori E [,0] E [ 0,] 3 E[,0] E [ 0, ] Qual è la regione di deciione per il egnale?

11 Supponendo di aver trameo un certo egnale, corripondente a un dato punto p dello pazio, la regione di deciione è cotituita da un poliedro a ν dimenioni contenente al uo interno il punto p e le cui facce ono gli iperpiani luoghi dei punti a egual ditanza da p e dai punti ad eo vicini. Indichiamo con r la ditanza fra p e il punto più vicino. Conideriamo ora un iperfera a ν dimenioni di raggio r/, centrata u p. Tale fera ta icuramente tutta all'interno del poliedro a ν dimenioni che rappreenta la regione di deciione aociata a quel punto, e pertanto la probabilità di errore condizionata alla tramiione del punto p è icuramente maggiorata dalla probabilità che,per effetto del rumore, il punto ricevuto ia al di fuori di tale fera. In bae a quete coniderazioni poiamo concludere che la regione di decione per la cotellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione: r r

12 Eercizio In un itema di tramiione numerica i uano egnali, cui corripondono i vettori E [,0] E [ 0,] 3 E[,0] E [ 0, ] Qual è la regione di deciione per il egnale? In bae alle coniderazioni dell eercizio poiamo concludere che la regione di decione per la cotellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione: r r

13 Eercizio 3: In un itema di tramiione numerica i uano egnali, cui corripondono i vettori E [,0] E [ 0,] 3 E[,0] E [ 0, ] Qual è la regione di deciione per il egnale 3? In bae alle coniderazioni dell eercizio poiamo concludere che la regione di decione per la cotellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione: r r

14 Eercizio Stimare la probabilità d'errore ul imbolo per la cotellazione di 8 egnali indicata in figura 7, uando la formula "union bound". Premea: Coniderando trutture di egnali di tipo multidimenionale in generale non è poibile trovare epreioni in forma chiua per la probabilità di errore. Si può invece ricavare un limite uperiore. Tale limite uperiore è detto Union Bound, in quanto ottenuto utilizzando le proprietà della probabilità di un evento definito come unione di altri eventi. La probabilità di errore ul imbolo P(E) e tenendo conto del numero n di bit per imbolo è: P n ( E) [ P( e) ] np( e) paando alla probabilità di errore equivalente ul bit P(e), i ottiene: P () e n erfc n d min N 0 (.5) Nel notro cao, tenendo conto che biogna timare la probabilità di errore per cotellazioni formate tutte da 8 imboli, abbiamo un numero cotante di bit (n3), quindi l'unico parametro che influice è la ditanza minima tra i imboli.

15 Quindi per queta cotellazione otteniamo: d min d e la probabilità di errore, applicando la formula (.5), diventa: P () e 7 6 erfc d N 0 Eercizio 5 Stimare la probabilità d'errore ul imbolo per la cotellazione di 8 egnali indicata in figura 8, uando la formula "union bound".

16 In bae alle coniderazioni fatte nell eercizio, per queta cotellazione otteniamo: d min d e la probabilità di errore, applicando la formula (.5), diventa: P () e 7 6 erfc d N 0 Eercizio 6 Stimare la probabilità d'errore ul imbolo per la cotellazione di 8 egnali indicata in figura 9, uando la formula "union bound".

17 In bae alle coniderazioni fatte nell eercizio, per queta cotellazione otteniamo: d d min e la probabilità di errore, applicando la formula (.5), diventa: P () e 7 6 erfc d N 0 Eercizio 7 Stimare la probabilità d'errore ul imbolo per la cotellazione di 8 egnali indicata in figura 0, uando la formula "union bound".

18 In bae alle coniderazioni fatte nell eercizio, per queta cotellazione otteniamo: d min d e la probabilità di errore, applicando la formula (.5), diventa: P () e 7 6 erfc d N 0 Oervando che la probabiltà di errore, utilizzando la formula di 'union bound', riulta inveramente proporzionale alla ditanza tra i vari imboli, poiamo concludere che la cotellazione di Fig. 7 ha una probabilità di errore miniore ripetto alle altre cotellazioni perché ha la ditanza minima maggiore.

19 Eercizio 8 In un itema di tramiione numerica i uano egnali che, rappreentati u un'opportuna bae, corripondono ai eguenti vettori: [,0, ] [ ] [,3, ] [ 0,0,0],, 3 Il egnale ricevuto, proiettato ulla tea bae fornice il vettore: r [ 0,5,0,,, ] Qual e il egnale che più probabilmente è tato trameo? Per valutare il egnale che più probabilmente è tato trameo biogna calcolare la ditanza tra r ed i egnali i, applicando la eguende formula: ( r ) + ( r ) + ( r ) d( r, i ) x ix y iy z iz (.6) E per i egnali i otteniamo i eguenti riultati: d ( r, ) 0,96 d ( r, ),7 d ( r, 3 ),8 d ( r, ),35 Dato che d(r,) riulta eere la ditanza minore, ed ha una grande differenza ripetto agli altri, poiamo concludere che il egnale trameo è icuramente. Eercizio 9 Calcolare la probabilità d'errore ul imbolo eatta per la cotellazione indicata in fig..

20 Dalla viione della figura, per queta cotellazione otteniamo d min d Ed una tramiione di 8 imboli, che corriponde ad un numero di bit pari a n 3 Utilizzando la formula.5, la probabilità di errore diventa: P () e 7 6 erfc N 0

21 Eercizio 0 In un itema di tramiione numerico i uano egnali, cui corripondono i eguenti vettori in uno pazio a dimenioni: [,0,0,0] [ 0,,0,0] 3 [ 0,0,,0] [ 0,0,0,] Calcolare la probabilità d'errore ul imbolo uando l'approimazione "union bound". Eaminando i egnali i poiamo affermare che formano una bae in R, dato che ono linearmente indipendenti fra loro, infatti il loro prodotto calare è nullo a due a due. Con riferimento alla formula.6, i calcolano le ditanze tra i egnali prei a due a due, e troviamo che la ditanza è uguale per tutti ed è pari a d min Per una cotellazione di imboli otteniamo un numero di bit pari a n Utilizzando la formula.5, la probabilità di errore diventa: P () e 3 erfc N 0 Eercizio In un itema di tramiione numerico i ua la cotellazione indicata in fig. (quattro egnali in uno pazio monodimenionale).

22 Il egnale ricevuto r(t) viene proiettato ul verore ψ(t) e i ottiene il valore r Quale egnale è tato più probabilmente trameo? Analizzando la Fig. poiamo vedere che il egnale trameo è icuramente 0, dato che è il più vicino a r. Eercizio Occorre traferire dei dati binari da un calcolatore ad un altro utilizzando una modulazione numerica. Si decide di prendere i bit a gruppi di otto ( byte) e di tramettere un egnale per ogni byte. Quanti egnali diveri devono eere preenti nella cotellazione? Coniderando che in una cotellazione ono preenti tutte le poibili combinazioni aociabili ai bit d informazione, la formula che determina il numero di imboli preenti è: numero di imboli dove n rappreenta il numero di bit. Nel cao dell eercizio i vogliono tramettere 8bit ( byte), di coneguenza il numero di imboli arà pari a: n numero di imboli 8 56

23 Eercizio 3 Diegnare le regioni di deciione per la cotellazione di punti indicata in fig. 3. Le linee tratteggiate rappreentano le regioni di deciione. Eercizio Diegnare le regioni di deciione per la cotellazione di punti indicata in fig..

24 Le linee tratteggiate rappreentano le regioni di deciione. Eercizio 5 Si calcoli la probabilità d'errore per la modulazione OOK (on-off keying) caratterizzata dalla tramiione di due egnali equiprobabili di coordinate [] 0 [ A] ed eprimerla in funzione dell'energia media E tramea dal modulatore in un intervallo T. Eercizio 6 Si upponga di tramettere una modulazione binaria con i due egnali: ) ( t) in(πt / T u T ( t) co(πt / T ) ut trovare la bae dei egnali che conente di rappreentare (t) e (t) diegnare la cotellazione e le regioni di deciione ottime progettare il demodulatore a filtri adattati calcolare la probabilita d'errore