CAPITOLO 9 - RETI DINAMICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

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1 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA TODUZO l meodo della raformaa di aplace, chiamao anche analii nel dominio della frequenza, è una ecnica molo poene applicabile a iemi lineari a parameri coani. Perano è adao allo udio dinamico delle rei eleriche lineari invariani. Si uilizza il conceo di funzione di raferimeno f. di. ra le variabili di ingreo e le variabili di ucia. ipeo all analii mediane il iema dinamico in forma normale, chiamaa analii nel dominio del empo, i hanno le egueni differenze: - il iema deve eere reamene lineare invariane - la rappreenazione è di ipo ingreo-ucia funzione di raferimeno - rappreenazione eerna, in conrappoizione alla rappreenazione inerna con le variabili di ao, quindi conidera più direamene il riulao pecifico di ineree - le funzioni di raferimeno ono lo rumeno del conrollo auomaico compoizioni, reroazioni, abilià, ecc. - manca della nozione eplicia di ao del iema e di condizioni iniziali - le condizioni iniziali poono eere rappreenae mediane opporuni generaori impulivi o coani con raformazioni erie-parallelo - ha il grande pregio di geire nauralmene anche le condizioni criiche. Conene di ignorare l ordine della ree, le variabili di ao e le degeneranze dinamiche. - le variabili energeiche poenze ed energie i oengono olo dall analii nel dominio del empo. Più in inei, l analii nel empo con variabili di ao è più complea, evidenzia la ruura e le proprieà del iema e le caue di condizioni anomale o degeneri. videnzia in modo chiaro l ordine del iema e lo ao iniziale. nolre la formulazione del iema in forma normale è il preuppoo dell inegrazione numerica con meodi auomaici ieraivi. analii in frequenza è più emplice ed omnicompreniva. Si focalizza ul comporameno ingreo-ucia e non richiede una analii preliminare di deerminazione dell ordine del iema, cela delle v. di. o riconocimeno di iuazioni degeneri. Tali dai eguono nauralmene dalla relazione ingreo-ucia che ne riula. nolre l analii in frequenza è in grado di geire e riolvere le condizioni criiche o degeneri. n ciò è più poene dell analii nel empo in quano raa anche le funzioni impulive. Gli impuli non ono, a rigore, funzioni ono funzioni generalizzae o diribuzioni quindi non ono dominabili dalle uuali equazioni differenziali, invece ono raformabili econdo aplace. l meodo andard calcola il raniorio compleo a condizioni iniziali nulle. e evenuali condizioni iniziali non nulle neceiano di un calcolo eparao, conrariamene a quano avviene per l analii nel empo. Queo inconveniene è uperabile applicando il meodo del raniorio auonomo a condizioni iniziali modificae.

2 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / POCDUA STADAD l meodo andard di uilizzo della raformaa di aplace ricalca le linee di ui i meodi che ricorrono a raformae, ovvero - Si raforma con aplace la forzane o le forzani ingrei. Uualmene i ricorre a abelle e regole di raformazione. - Si raforma la relazione ingreo-ucia per più ingrei o più ucie vale la ovrappoizione oppure meodi mariciali. el noro cao le relazioni raformae one le auo o muue impedenze/ammeenze generalizzae, o in generale funzioni di ree comprei rappori di enione e rappori di correne. - Si moliplica la funzione di ree per la forzane raformaa e il riulao è l ucia raformaa. - l riulao eplicio nel empo i oiene dalla aniraformazione dell ucia. Sineicamene vale la. che i ricrive Y F U 9. Per le rei eleriche i paricolarizza nelle Y V, V Z, V H V, H a econda dei cai. a 9. lega una forzane generaore indipendene all ucia. n preenza di più forzani vale la 9. per ogni forzane eparaamene. l riulao compleivo i oiene per ovrappoizione. a aniraformazione della 9. fornice l andameno compleo, regime più raniorio, a condizioni iniziali nulle. Da noare che il procedimeno raa allo eo modo le variabili di ao e le alre variabili di ree. l meodo della raformaa di aplace ignora le variabili di ao. Condizioni iniziali Delle condizioni iniziali non nulle i può enere cono con l aggiuna di generaori equivaleni ad ogni pora induiva e capaciiva, come vio al Cap.. e condizioni iniziali ed i generaori equivaleni vanno aegnai anche alle pore non variabili di ao. evenuale incongruenza dei valori iniziali con le eggi di Kirchhoff è compaibile con la Traformaa. e incongruenze generano andameni impulivi. Un valore iniziale X è equivalene nel dominio del empo ad un generaore impulivo X δ. a raformaa del generaore impulivo è la coane X quale ingreo nella 9.. [ X δ ] X egole di aniraformazione noo che, per rei coiuie da componeni coniderai in quei appuni, la f. di. o funzione di ree F è coiuia dal rapporo di due polinomi in

3 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 3/ F F 9. DF in cui il numeraore F ha grado uperiore di uno, uguale o inferiore di uno ripeo al denominaore D F. l polinomio D F denominaore della f. di. coincide con il polinomio caraeriico della marice di ao. e radici del denominaore della f. di., che coiuicono i poli delle f. di., ono ancora gli auovalori della marice di ao. Sono chiamae frequenze naurali del iema o frequenze proprie, o modi naurali, propri. e radici del numeraore ono gli zeri della f. di. Sono poibili cancellazioni ra zeri e poli. Anche la forzane è, in moli cai di ineree, il rapporo ra due polinomi in. Ciò avviene per forzani cioidali o combinazioni lineari di cioidi, polinomi in e prodoo fra polinomi e cioidi. Ci limiiamo a quei cai. ienrano in quei le coani, inuoidi, eponenziali, rampe. U U DU Per ingrei non impulivi il grado del numeraore è inferiore al grado del denominaore. Quindi la ucia 9. da aniraformare è un rapporo di polinomi in. oare che, eclui ingrei impulivi, il numeraore è di grado non uperiore al denominaore. F U Y 9.3 D D D F U a procedura canonica di aniraformazione di rappori di polinomi richiede la decompoizione in omma di frazioni parziali. Per fare ciò è neceario calcolare le radici del denominaore poli. oe le radici, il denominaore è faorizzabile. Da noare che il denominaore è già per coruzione il prodoo fra i denominaori della funzione di ree e della forzane, quindi le radici i calcolano eparaemene per i due ermini, dopo di che il riulao è decomponibile in omma di frazioni parziali con procedimeni andard. el cao qui coniderao di polinomi a coefficieni reali, le radici ono reali o complee coniugae a coppie. Senza perdere di generalià i fa l ipoei che il ermine n di grado più elevao nel denominaore abbia coefficiene uniario. evenuale coefficiene i conidera facene pare del numeraore. Si preenano re cai principali - radici ue diine - alcune radici muliple, enza radici comuni alla f. di. e all ingreo - radici comuni alla f. di. e all ingreo. ulimo cao verrà eaminao più avani. ei cai di radici diine i ha

4 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / a C B Y 9. a λ α λ α Si ono voluamene manenui eparai lo viluppo dalla f. di. e dalla forzane. a 9. conene di deerminare i coefficieni C B reidui dei corripondeni poli. Meodi ono - Confrono direo. Conie nel ridurre a denominaore comune i ermini a dera dell uguale in 9. e imporre l idenià ra i numeraori a inira e a dera dell uguale. - Deerminazione dei reidui con la formula ineica formula di Heaviide C lim[ λ Y ] λ B lim[ α Y ] α o equivalene λ α C B 9.6 d d D λ D α d d a aniraformazione della 9. dà luogo alla y a λ α Ce Be el cao di emplificazioni ra poli e zeri della f. di., uno o più coefficieni C ono zero. ei cao di radici muliple del denominaore, enza radici comuni alla f. di. e all ingreo, i procede come egue. el cao di radici doppie, il polo doppio λ i epande in omma di due frazioni parziali C C λ λ coefficieni i valuano o con il meodo direo o con d C lim[ λ Y ] C lim [ λ Y ] λ d λ dopo di che le regole di aniraformazione danno C C λ C C e λ λ n generale un polo λ di moleplicià m i epande in omma di m frazioni parziali C C Cm K 9.8 λ m λ λ i idenificano le m coani C per confrono direo oppure con la formula eenione della formula di Heaviide

5 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 5/ C j lim d d m j m j m j! λ m [ λ Y ] 9.9 dopo di che i frua la formula generale di aniraformazione n C n λ C n n e 9. λ n! n precedenza i è ipoizzao il numeraore di grado inferiore al denominaore. Si conideri ora il numeraore di grado uguale al denominaore o al più uperiore di uno. Con operazioni elemenari di diviione ra polinomi i perviene alla decompoizione ' a b 9. D D con di grado inferiore a D. ulimo ermine i elabora come in precedenza. a aniraformazione della coane b corriponde a un impulo bδ impulo del primo ordine di ampiezza b. a aniraformazione del ermine a corriponde ad un impulo del econdo ordine a δ. mpuli di ordini uperiori non ono al momeno conemplai. Andameni impulivi non poono apparire in raniori di iemi dinamici auonomi con rappreenazione in forma normale nel dominio del empo. Appaiono in oluzioni criiche di iemi degeneri, oluzioni non raabili nel dominio del empo. TASTOO D SSTMA AUTOOMO Come già morao in precedenza, il meodo peo più efficace di affronare un raniorio è di uilizzare la ovrappoizione per eparare il calcolo del regime o più correamene ermine forzao dal raniorio del iema enza forzani. l ermine di regime i deermina con meodi pecifici in relazione al ipo di forzane regime in coninua, faori, viluppo in erie, forma chiua, ecc.. Dal regime i deermina lo ao del iema all iane di inizio raniorio. Dopo di che rimane da calcolare il raniorio del iema auonomo oggeo, per ovrappoizione, a uno ao iniziale pari alla differenza ra lo ao iniziale effeivo e lo ao iniziale del regime. Solamene per queo raniorio i fa ricoro alla raformaa di aplace. andameno effeivo del iema arà poi la omma del regime e del raiorio auonomo coì valuao. l raniorio da riolvere è quindi con ingrei olo impulivi, corripondeni ai valori iniziali, modificai, delle variabili di ao. quindi da riolvere una o più relazioni del ipo Y F X g 9. dove l ingreo è divenao la coane X g. l meodo di oluzione è come quano vio opra, ma più emplice in quano i deve iviluppare e aniraformare olo la f. di. ei cai frequeni di radici emplici valgono le relazioni

6 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 6/ F F C y X g X g 9.3 DF λ λ C F X g d DF d a aniraformazione della 9.3 dà luogo alla oluzione del ipo y λ Ce 9. ei cai di radici muliple cao generale valgono ancora le formule del paragrafo precedene applicae alla ola f. di. n ui i cai i devono calcolare olamene le coani C dell inegrale generale e queo calcolo è emplificao dal fao che dipende olo dalla f. di., non dalla forzane. Della forzane i iene cono in modo implicio nel valore modificao dei valori iniziali. Queo approccio è poibile olo e le frequenze proprie delle forzani non coincidono con alcune delle frequenze naurali della ree. Di ale condizione ci i accorge al momeno della deerminazione del regime, in cai di frequenze coincideni le relazioni di regime non hanno oluzione o i inconrano ermini infinii. SMPO l circuio di Fig 9. è alimenao da un generaore di enione coane e a condizioni iniziali nulle. Si chiede la enione v ul condenaore. a ree raformaa è C V Dal pariore di enione i oiene V C e radici del denominaore ono Fig. 9.. Circuio C raformao. C

7 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 7/ Per l aniraformazione i decompone in omma di frazioni parziali, un ermine per ogni radice. B A V Per idenificare le coani A e B reidui dei ripeivi poli i può procedere in due modi. Primo modo. Si impone che le due epreioni di V iano ideniche e i rova A B Aniraformando i oiene l andameno compleo nel empo e v Secondo modo più poene. Per il calcolo dei reidui i valua il rapporo di polinomi D d d r C andameno compleo nel empo è e e r r v SMPO Conideriamo la ree di Fig. 8. v. prima con il generaore di enione coane e le condizioni iniziali C V. Si richiede la correne i nel generaore. Si riolve per ovrappoizione del regime e del raniorio proprio. e variabili di ao di regime in coninua ono p 3 3 V p Cp 3 3 a correne di regime è p p e condizioni iniziali del raniorio proprio ono Cp V C V V p a ree auonoma raformaa con le impedenze imboliche è

8 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 8/ CV 3 C Fig. 9.. Circuio auonomo C raformao. Con procedura elemenare di compoizione delle impedenze imboliche i oiene C CV * * * 3 C C Si calcolano le radici del polinomio del econdo ordine in al denominaore poli λ, λ Per il calcolo dei reidui i valua il rapporo di polinomi C CV r * d C C D d andameno compleo nel empo è λ λ i p r λ e r λ e T DG analii con aplace ricorre all uo delle funzioni di raferimeno. Quee ono relazioni ingreo-ucia nelle quali evenuali condizioni degeneri come agli dinamici di pore con ucia in correne o maglie dinamiche di pore con ucia in enione, ono riole. empi emplici ono induori in erie, condenaori in parallelo. Anche i ooiemi non oervabili ad auovalori nulli e. maglie di induori, agli di condenaori ono conglobai nelle f. di. e la dinamica inerna non appare. nfai nella coruzione delle funzioni di ree generalizzae i opera ui componeni in modo algebrico con le ee regole di compoizione delle rei reiive. n inei, evenuali mulipora induivi o capaciivi ono vii come algebrici e olo ai erminali eerni. Solo i valori iniziali ai erminali eerni ono rilevani. Se le f. di. ono dedoe dalla raformazione del iema dinamico compleo, i poli corripondeni a evenuali dinamiche inerne non oervabili paricono dal riulao finale per effeo di eliminazione ra poli e zeri. Ovviamene i modi non oervabili poono eere evidenziai coniderando una variabile inerna come ucia.

9 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. 9/ AAS D CODZO COGUT CO APAC l meodo della raformaa di aplace è in grado di riolvere le configurazioni in cui i preenano maglie degeneri dinamiche e agli degeneri dinamici anche oo condizioni iniziali non congrueni. Ciò i piega con il fao che le relazioni differenziali degli induori e condenaori i raformano con aplace in relazioni algebriche, inveribili, ra enione e correne, quindi gli elemeni dinamici divenano ui conrollabili ia in enione che in correne, analogamene ai reiori. Maemaicamene la raformazione di aplace opera u un campo più ampio delle uuali funzioni, il campo delle diribuzioni, nel quale ono empre lecie e definie le operazioni di derivazione ed inegrazione. nfai nei cai degeneri dinamici la analii con aplace fa apparire andameni impulivi. Si danno due eempi elemenari. Generaore di enione in parallelo al condenaore i C i Z C Z Si eamina il raniorio di un generaore ideale di enione coane conneo al condenaore C carico, il uo collegao ad una ree di impedenza generica Z. Y C a correne i deermina nel modo claico c Y C Aniraformando, la correne nel condenaore in funzione del empo ha andameno impulivo. ampiezza dell impulo è la carica elerica da fornire al condenaore per porarlo iananeamene alla enione. i c Cδ a correne nel reo del circuio rimane la generica z / Z l parallelo del generaore ideale e del condenaore, inerio in una ree, dà luogo alla carica iananea del condenaore con correne impuliva, come vio. Dopo di che al parallelo è impoa la enione coane del generaore ideale. Serie di induori carichi

10 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / v v v i Conideriamo due induori in erie e caricai all iane iniziale con correni differeni, collegai alla reienza. V V V a omma nulla delle enioni di maglia conene di ricavare la correne comune epreione è il raniorio u un circuio con induanza pari alla erie e oenuo dal valore iniziale del fluo oale ψ ψ ψ. Si fanno ora alcune coniderazioni ull iane iniziale. a correne comune all iane iniziale i oiene dal eorema del limie e correni negli induori i adeguano a gradino al valore comune con diconinuià ripeivamene e diconinuià corripondono ad impuli uguali e di egno oppoo ulle due enioni di induore all iane iniziale, come i oiene oiuendo la correne nelle epreioni delle enioni v v δ l riulao imporane è che le correni iniziali di induore i riconfigurano iananeamene ripeando i vincoli di nodo ulle correni ed i vincoli di maglia ugli impuli di enione. Da noare che le diconinuià iniziali non conervano la energia magneica oale. FQUZ COMU TA FOZAT T Si è vio che la ree inere è caraerizzaa da un cero numero di frequenze proprie frequenze caraeriiche, modi caraeriici. Anche gli ingrei ono caraerizzai da frequenze proprie. Sono i poli della raformaa dell ingreo. Finora i è ammeo che le frequenze proprie dell ingreo e della ree foero differeni.

11 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / ei cao anomalo di una o più frequenze coincideni ra ingreo e ree, i ece dai meodi andard vii e la oluzione divena meno immediaa. l principio è che in quei cai non è lecio eparare la oluzione forzaa dal raniorio proprio. n ermini maemaici non è lecio decomporre la oluzione in inegrale paricolare della equazione complea più inegrale generale dell omogenea aociaa. nfai la oluzione forzaa oluzione di regime o inegrale paricolare non eie eparaamene. Queo fao è indicao anche dalle relazioni raformae con aplace. n ermini circuiali la ree non va a regime, non i rova il regime della ea forma della forzane. Ciò indipendenemene dal fao che la ree auonoma ia abile. a oluzione i oiene dall inegrazione del iema in modo uniario enza poer eparare la oluzione forzaa dal raniorio proprio. Quindi non è lecio in quei cai la decompoizione più vole propoa. inegrazione del iema può oeneri ricorrendo a meodi non andard nel dominio del empo, ciò è facile in cai emplici. l meodo della raformaa di aplace i rivela in quei cai eremamene poene, enza ricorrere a ecniche divere dall uuale porge la oluzione del raniorio compleo. el deaglio, i preenano radici muliple e i opera come indicao in precedenza per il iema compleo. l riulao è l andameno compleo a condizioni iniziali nulle. empi Generaore coane u induore condizioni iniziali nulle v V frequenza propria Y frequenza propria el empo la oluzione è immediaa i vd d andameno è una rampa indefinia. a correne diverge. - n aplace Y V i Generaore inuoidale u C condizioni iniziali nulle ω v in ω V frequenze proprie ± jω ω C Y frequenze proprie ± jω C ω Per ω ω la oluzione con i faori non è poibile. Y V ω ω ω jω jω

12 G. SUPT FUGA MT D TOA D T ovembre CAPTOO 9 - T DAMCH DOMO DA FQUZA pag. / n frazioni parziali j jω jω jω jω i [ e e ] in ω j a correne diverge. 3 Generaore eponenziale morzao u condizioni iniziali nulle α v e V frequenza propria α α Y frequenza propria Per α vale la formula dell inegrale paricolare per forzane cioidale α α i p Y α e e α α andameno compleo è i e e α - α Per α Y V i e α α