ALGEBRA DEGLI SCHEMI A BLOCCHI. La figura seguente rappresenta una relazione ingresso/uscita in forma grafica.

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1 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). ALGEBRA DEGLI SCHEMI A BLOCCHI La figura eguene rappreena una relazione ingreo/ucia in forma grafica. U( G( Y( La relazione ingreo-ucia è eprea graficamene aravero un blocco funzionale. L ingreo è rappreenao ramie una freccia enrane e l ucia ramie una freccia ucene. Il legame ra l ingreo e l ucia è: Y(=G(U(. I blocchi elemenari poono eere collegai in modo compleo per rappreenare la dinamica di iemi complei coiuii da iemi elemenari inerconnei. Di eguio eporremo le operazioni per raformare un inieme di blocchi inerconnei in un blocco elemenare. Collegameno in parallelo Il eguene collegameno è deo in parallelo G G U( U( + G U+ G U=U(G +G ) G G U( Può eere raformao nel blocco equivalene G +G In alre parole blocchi collegai in parallelo ono equivaleni ad un blocco dao dalla omma dei blocchi. Il cerchieo con il egno + i chiama nodo ommaore. Eo effeua la omma delle variabili rappreenae dalle frecce enrani. Le variabili ono inee poiive a meno che non vi ia un egno negaivo eplicio come nella figura eguene: U ( Y(=U (+U ( + - U ( Collegameno in erie

2 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). Il eguene collegameno è deo in erie o in cacaa: U( G G (U( G G (G U( Può eere raformao nel eguene blocco equivalene: G G In alre parole blocchi collegai in erie ono equivaleni ad un blocco che è il prodoo dei blocchi. Eempio: Coniderao il circuio RC erie vio in precedenza, i è vio che V ( = RI ( + I( = R + I( C C Si può quindi rappreenare con lo chema a blocchi eguene RI( I( R C I ( C I ( RI ( + + C oppure, orienando il iema in un alro modo Lo chema a blocchi divena V ( V ( C I( = = = V ( RC + + RC R + C C V( V(G ( C=G ( V(G =G ( (G ( + RC

3 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). Collegameno conenene un ramo di reroazione Si conideri il iema decrio dal eguene chema a blocchi r() e() G( y() - + L apeo fondamenale di ale iema è la preenza di un ramo di reroazione o di feedback che ripora indiero la variabile d'ucia. In queo cao l'ingreo del iema divena l errore e()=r()- y(). Speo i iemi in reroazione preenano il vanaggio di ridurre a zero o a valori piccoli l'errore e(). Ciò ignifica che la variabile y() inegue il valore di riferimeno r(). Un iema in reroazione "funziona" anche e i ha una G+ G (anziché la ola G(), oia il iema è in grado di funzionare anche in preenza di incerezza ulla funzione di raferimeno. La reroazione in genere è negaiva (i dice conroreazione) ed eplica coì un azione ull ingreo che ende ad oppori alle variazioni dell ucia. Si può avere anche una reroazione poiiva che in genere produce un iema inabile o un ocillaore. Un eempio dell effeo di una reroazione poiiva è il caraeriico fichio che i produce quando i avvicina un microfono al uo aloparlane: in queo cao i verifica che il egnale audio all ucia di un aloparlane enra nel microfono generando un "loop" poiivo o rigeneraivo. In paricolare in queo cao il fichio è l effeo del rumore ad ala frequenza che viene amplificao. Rumore di fondo aloparlane voce + amplificaore G( Il egnale che enra nell amplificaore è la omma della voce voce più il riorno dall'aloparlane e quindi la G( amplificherà la ua ea ucia generando una ucia ancora più ala e coì via. E' evidene che il iema è inabile. In aenza di parlao, arà il rumore di fondo ad eere amplificao e i udirà un fichio. La reroazione, anche quella negaiva, può generare un iema con dinamica inabile. Un eempio i ha nel cao della regolazione di emperaura effeuaa da un uomo oo la doccia. In al cao il comporameno dell'uomo realizza una reroazione negaiva in quano aumena la poraa di acqua

4 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). calda e percepice una emperaura baa e vicevera. A caua del riardo con cui una variazione di emperaura impoa ramie il micelaore raggiunge l uomo (il riardo è dovuo al empo di propagazione dell'acqua nei ubi) l'uomo ende ad un ecceo di correzione perché non ene immediaamene l'effeo della ua azione. L ecceo di correzione richiede una ucceiva correzione in eno conrario. Anche ale correzione può eere ecceiva per i moivi già dei per cui i inneca un ciclo d'ocillazioni (caarofe di regolazione). Modello e chema a blocchi della regolazione di emperaura nel cao di una doccia L=v T(-) 38 C k y=t e - T() al micelaore Poraa acqua fredda Poraa acqua calda Schema a blocchi Sia 38 C la emperaura deideraa e T la emperaura reale dell'acqua. La emperaura T al micelaore raggiunge l uomo dopo aver percoro la dianza L a velocià v, cioe dopo il empo =L/v. Quindi ra correzione ed effeo eie un riardo puro che può eere rappreenao dalla funzione di raferimeno e -. Calcoliamo ora la fd equivalene nel cao generale in cui nel ramo di reroazione è preene una fd G ( come in figura. R( + E( G ( Y( - G ( Si ha che:

5 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). Y=E(G ( e poichè E(=R(-G (Y( riula: Y(=[R(-G (Y(]G ( da cui, riolvendo ripeo a Y(: G Y(= + G G Nel cao di reroazione poiiva (ramo di reroazione enrane col egno + nel nodo ommaore) la fd equivalene è: Y R( G = R + GG SISTEMI DEL PRIMO ORDINE Si definice ordine di un iema l'ordine del polinomio al denominaore della funzione di N ( raferimeno G ( =, cioè l'ordine è il grado del polinomio D(. Equivalenemene, l'ordine D( corriponde al grado maimo con cui compare la derivaa dell'ucia nella equazione differenziale lineare a coefficieni coani che decrive un iema LTI. Per eempio, coniderao il circuio RC vio in precedenza, upponiamo di eere inereai alla enione v C () ai capi del condenaore in ripoa alla enione d'ingreo e()=v(). Dall'Eleroecnica è noo che un qualiai elemeno circuiale può eere epreo ramie una grandezza chiamaa impedenza operazionale, indicaa normalmene con Z, che è pari a Z = R + + L C dove R,C,L ono ripeivamene la reienza, la capacià e l induanza. La definizione di impedenza permee di oiuire alle equazioni inegro-differenziali una equazione algebrica, poiché riula empre valida la legge di Ohm generalizzaa V = Z I Nauralmene il conceo d impedenza operazionale deriva dalla raformazione econdo Laplace delle equazioni differenziali del prim ordine decriive della dinamica di un condenaore e un induore. Applicando la regola del pariore di enione poiamo agilmene ricavare la relazione ra V( e V C ( V ( V ( V c ( = = C + RC R + C da cui, indicando con = RC la coane di empo, i ricava la eguene fd

6 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). Vc ( G( = = V ( + Si raa della forma andard di un iema del primo ordine (il grado del denominaore è pari a ). Si oervi che nella forma andard G(0)=. G(0) i dice guadagno aico del iema. Chiariamo brevemene il ignificao di guadagno aico. Conideraa una generica inuoide di pulazione ω=πf è noo che diminuendo la frequenza il egnale divena empre più lenamene variabile. Al limie per ω 0 la inuoide è coì lenamene variabile da divenare praicamene un egnale coane. Aumendo =jω, per ω 0 riula 0 per cui, in condizioni lenamene variabili, G( G(0) e G(0) rappreena il guadagno aico, cioè abilice una relazione ra l ingreo e l ucia ucia a regime. Queo conceo verrà ripreo e chiario ucceivamene quando i illurerà la funzione di ripoa armonica. Nel dominio del empo un iema del prim'ordine in forma andard è decrio dalla equazione differenziale dy dy Y( = U ( U ( = Y( + Y( u( ) = y( ) + oppure = y( ) + u( ) + d d Riolvendo l omogenea aociaa la oluzione è y( ) = y(0) e che rappreena un'evoluzione libera perché è il riulao della ola condizione iniziale y(0) e non dell'ingreo u(). Dall Analii i a che la oluzione di un equazione differenziale non omogenea è pari alla omma della oluzione generale più una oluzione paricolare; perano la oluzione complea è y( ) = y(0) e + g( ) u( ) d =y L ()+y p () in cui l inegrale rappreena l evoluzione forzaa (cioè dipendene dall ingreo). 0 Abbiamo vio che la fd G( è uno rumeno di decrizione/previione del comporameno ingreo-ucia di un iema lineare empoinvariane. U( G( Y( Aniraformando la relazione Y(=G(U(:

7 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). y( ) = g( ) u( ) d 0 I egnali canonici coniderai hanno le egueni raformae: Funzione f() Traformaa di Laplace impulo δ() gradino () rampa uniaria () rampa parabolica coω () inω () () 3 + ω ω + ω La ripoa all'impulo del iema è la raformaa di Laplace dell'impulo, cioè L[δ()]=. Quindi la ripoa impuliva è L - [Y(]=L - [G(]=g() La ripoa impuliva è una caraerizzazione complea del iema perché fornice la funzione di raferimeno G(=L[g()], cioè la ua equazione differenziale nel empo. Eercizio Coniderao un circuio RC erie, i conideri come ingreo del iema la enione e() e come ucia la enione v c (). R e() C v c ()

8 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). Si è vio che queo iema ha funzione di raferimeno G(= + dove =RC. Eendo noa la G( i può rovare la ripoa del iema a qualunque ingreo. Supponendo che l'ingreo ia un impulo i oiene che U(= e quindi Y(=G(=V c ( cioè la ripoa è l'aniraformaa della funzione di raferimeno. In queo cao: v c ()=L - [V c (]=L - + Poichè L[e k ]= k egue che, evidenziando, la aniraformaa riula G( = + L e = v ( ) cioè è un andameno eponenziale endene ainoicamene a zero per. Aumendo un impulo di enione e()=δ(), la funzione v c () raffiguraa di eguio v c () c RC rappreena l'evoluzione libera a parire da 0 + (poiché il egnale d'ingreo è nullo a parire da 0 +. L'impulo ha infai cambiao la condizione iniziale del iema (i è uppoo che le condizioni iniziali iano nulle e che l'impulo ia ao applicao a =0). In alre parole paando da 0 - a 0 + il iema cambia le ue condizioni per effeo dell impulo.

9 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). L'impulo è un paricolare ingreo che è divero da zero olo per un iane; i noi che e la funzione d'ingreo non è impuliva non i può avere una variazione finia in un inervallo infinieimo (0 -,0 + ). Coniderao un ingreo a gradino e()=e() che, per eempio, può rappreenare un inerruore che viene chiuo all'iane =0, i oiene: =0 R E C E Y(=G(U(= + Per aniraformare econdo Laplace la Y( i può applicare queo ragionameno: la funzione di raferimeno è moliplicaa per una coane E e poi per il ermine che corriponde ad un'operazione di inegrazione in. Per cui inegrando la aniraformaa di + (cioè e ) e moliplicando per E (proprieà di linearià): ' E ( e 0 y ) = d' = -E e = E e 0 che rappreena la carica di un condenaore; graficamene i ha che y() E La derivaa di y()

10 Lezioni di Teoria dei Siemi. CdL in Ingegneria dell Ambiene e del Terriorio (A.A. 00/0. Bozze). dy = d E e calcolaa nell'origine rappreena il coefficiene angolare della angene alla curva, cioè y& (0)= E. E Queo ignifica che e la pendenza della rea è allora dopo il empo la rea aume il valore E. La coane di empo di un iema di primo ordine quindi miura la velocià del iema. Infai, miurando il empo come muliplo di i oiene che: per =4 y() = 0.98E per =3 y() = 0.95E I empi 3 e 4 ono anche dei empi di aeameno (eling ime) ripeivamene al 5% e al % poiché in quell'iane l'ucia raggiunge ripeivamene il 95% ed il 98% del valore a regime. Come precedenemene vio, il valore a regime i calcola ramie il guadagno aico, cioè il valore della G( per =0; infai G ( 0) = = per cui Y(0) = G(0)E = E + 0