LA CONDUZIONE TERMICA IN PARETE (SERIE E PARALLELO)

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1 L CONDUZIONE ERMIC IN PREE (SERIE E PRLLELO Capiolo quino La conduzione 5. Inroduzione Il meccanimo conduivo fa riferimeno al raferimeno di energia ermica in un mezzo o ra più mezzi in conao fiico, unicamene a caua di una non uniforme diribuzione della emperaura nel mezzo o ra i mezzi poi a conao. Linerpreazione del fenomeno a livello microcopico vede la conduzione come uno cambio di energia cineica ra molecole poe in regioni a differene emperaura: ale cambio può aribuiri principalmene agli uri elaici di molecole nei ga e nei liquidi, al moo degli eleroni liberi nei olidi meallici ed alle vibrazioni degli aggregai molecolari nei olidi non conduori. La paree in muraura moraa in Fig. 5.. rappreena una geomeria che verrà prea in coniderazione nel eguio per lo udio dello cambio ermico ra edificio ed ambiene eerno. Se i definice uperficie ioerma il luogo di puni aveni lo eo valore di emperaura, le uperfici e poono coniderari con buona approimazione ioerme. Se poi i fa lipoei che la uperficie ia a emperaura più elevaa della uperficie, in accordo con levidenza perimenale i può affermare che il calore fluirà ponaneamene dalla uperficie vero la nella direzione dellae, perpendicolare alle uperfici ioerme. z z y Sezione della paree con piano perpendicolare all ae y Fig. 5. Si definice fluo ermico lenergia ermica ramea nellunià di empo aravero una uperficie ioerma di area uniaria [W/m ] in direzione ad ea perpendicolare. Il fluo ermico è un veore avene direzione orogonale alle uperfici ioerme e vero che va dalla emperaura più elevaa a quella più baa. La legge fondamenale della conduzione, legge di Fourier, afferma che il fluo ermico è proporzionale alla derivaa della emperaura valuaa nella direzione perpendicolare alla uperficie ioerma, ovvero che q è proporzionale al gradiene della emperaura lungo la direzione orogonale alle uperfici ioerme: q q (5. 4

2 La preenza della derivaa parziale indica che la emperaura, nel iema che i a eaminando, può variare nel empo e nello pazio. Nella relazione (5. q è direo nel vero delle emperaure decreceni; e ad eempio è direo in modo concorde all ae, oia nel vero delle creceni, lungo ale ae le riuleranno decreceni e perano < 0 e > 0. uindi il rapporo aume un valore negaivo. E perano neceario un egno negaivo al econdo membro della (5. per oenere un fluo q poiivo, oia concorde con il vero dell ae. La coane di proporzionalià ra il fluo ermico ed il gradiene di emperaura, è dea conduivià ermica, ed è una proprieà fiica del maeriale. Ea rappreena il fluo ermico relaivo ad un gradiene uniario. Dalla (5. è poibile ricavare le unià di miura della conduivià ermica. Infai epliciando i ha: - nel Siema Inernazionale (SI eprimendo in m W m q in q in kelvin lunià di miura di riulerà: W m m K W mk nel Siema ecnico (S: eprimendo q kcal in hm in m in Kelvin lunià di miura di riulerà: kcal m hm K kcal hmk Si oervi che lunià di miura della differenza di emperaura, che al denominaore compare eprea in kelvin (K, per quano deo in precedenza ulla converione dei gradi Celiu ( C in kelvin (K, può eere eprea uilizzando una qualiai delle due unià enza che il valore di cambi. In ab. 5. ono riporai gli ordini di grandezza della conduivià ermica per differeni ai di aggregazione della maeria. In ab.5. vengono riporai i valori della conduivià ermica di alcuni maeriali moli diffui. 5

3 ab.5. - Ordini di grandezza della conduivià per diveri ai di aggregazione Sao di aggregazione Conduivià (W/mK eriforme Liquido Solidi non meallici -0 Solidi meallici 0-0 ab Valori della conduivià ermica di alcuni maeriali a 73 K. Maeriale Conduivià W/mK Solidi meallici argeno 48 rame 387 alluminio 03 zinco 3 ferro 73 Solidi non meallici uarzo 9 monoido di magneio 4 marmo 3 vero pyre Liquidi Mercurio 8 cqua 5 Freon, Ca F 0,07 Ga Idrogeno 0,8 Elio 0,4 ria 0,04 Sperimenalmene i riconrano le egueni proprieà: a i maeriali a ruura criallina, meallici o non, conducono il calore meglio di quelli amorfi; b nei maeriali criallini e in ui gli alri a ruura orienaa (ovvero i maeriali fibroi come il legno la conduivià ermica aume valori differeni a econda della direzione ruurale del maeriale, caraeriica ipica dei maeriali anioropi; c le impurià chimiche nel reicolo criallino riducono il valore della conducibilià ermica ripeo allo eo maeriale allo ao puro: i mealli puri hanno, perano, una conduivià maggiore di quella delle leghe mealliche; d i maeriali in fae olida hanno una conduivià maggiore dei loro corripeivi in fae liquida (il ghiaccio conduce meglio che lacqua liquida; e le oanze in fae aeriforme ono meno conduive delle corripeive in fae liquida. 6

4 E da oervare che la conduivià ermica è funzione della emperaura. uavia, nelle applicazioni in cui le ecurioni ermiche non ono elevae, ale dipendenza può racurari, adoando, per un deerminao maeriale, un opporuno valore medio. Va inolre evidenziao che la conduivià ermica è anche funzione della maa volumica (denià del maeriale: per ale moivo in ppendice B Proprieà ermofiiche dei maeriali i valori di vengono riporai enendo cono di quea dipendenza. nche e nel eguio della raazione i farà riferimeno a olidi omogenei ed ioropi (e cioè con proprieà ermofiiche uguali in uo lo pazio ed indipendeni dalle direzioni i deve ener cono che i valori riporai nelle abelle ono comunque valori medi. Non è infai poibile penare che una muraura perimerale di un edificio ia realizzaa con maeriale omogeneo ed ioropo: i peni olano alla preenza del legane, coiuio diveramene a econda del ipo di maone uao, che ha ceramene caraeriiche fiiche divere dal maeriale che coiuice gli ei maoni. Perano il valore di arà empre un valore medio che iene cono della diomogeneià del maeriale celo. Prima di proeguire nelle valuazioni quaniaive ul meccanimo di cambio ermico conduivo va inrodoa qualche informazione uleriore ul modello emplificao cui i farà riferimeno. Nelledilizia, in paricolare con riferimeno alle ruure vericali ed orizzonali quali le parei perimerali i olai di coperura e di calpeio, ci i rova a udiare iemi che hanno una dimenione molo più piccola delle alre due. Nei moderni edifici le parei perimerali di un ambiene hanno in genere uno peore che può variare ra alcuni cenimeri a qualche decina di cenimeri menre lalezza e la larghezza ono dellordine dei meri. Nella Fig. 5. è rappreenaa una iuazione vicina a quella cui ora i fa riferimeno: la dimenione relaiva allae è molo inferiore ripeo alle alre due lungo gli ai y e z. In ali condizioni i può aumere con buona approimazione, come già deo con riferimeno alla ea Fig.5., che le uperfici limie della paree iano ioerme e che il fluo ia direo nella direzione perpendicolare ad ee e nel vero che va dalla emperaura più elevaa vero quella più baa. Se inolre le emperaure che caraerizzano ciacuna uperficie ioerma reano coani nel empo i dice che il iema è a regime azionario. ale uleriore emplificazione equivale a dire che in ciacun puno della paree non i avrà, nel empo, una variazione del valore di emperaura, oia che la diribuzione delle emperaure rimane invariaa nel empo. Una uleriore ipoei emplificaiva conene di coniderare la conduivià indipendene dalla emperaura, il che, a rigore, non i verifica. uavia facendo riferimeno alle applicazioni che inereano ledilizia ed alla maggior pare dei maeriali impiegai in queo eore ai fini degli errori di calcolo indoi, lipoei riula acceabile. Infine, i upporrà che non iano preeni allinerno del iema generazioni di energia. Riepilogando, lo udio della conduzione i effeua aumendo le egueni ipoei:. iemi caraerizzai da geomerie piane in cui una delle dimenioni riuli molo inferiore alle alre due;. maeriali omogenei ed ioropi; 3. conduivià ermica indipendene dalla emperaura; 4. regime azionario; 5. aenza di generazioni di energia allinerno del iema; 6. fluo ermico monodimenionale. Ciò conene di ricrivere la (5. nella eguene forma: q d d (5. 7

5 in cui la preenza dalla derivaa oale conferma la dipendenza della emperaura dalla olo acia, in bae alle ipoei di regime azionario e di fluo ermico monodimenionale. 5.. Lara piana indefinia: andameno delle emperaura, fluo e poenza ermica, conduanza e reienza ermica. Nelle ipoei già inrodoe nel paragrafo precedene di maeriale omogeneo ed ioropo con conduivià ermica indipendene dalla emperaura, i conideri la geomeria che ripei inolre la condizione. del precedene paragrafo. Si parla in al cao di lara piana indefinia, chemaizzaa in Fig.5.. Il fluo ermico è definio dalla (5.. z z y Sezione della paree con un piano perpendicolare all ae delle y Fig Lara piana indefinia. Come già oervao in precedenza le uperfici limie della paree piana ono ioerme ed il fluo ermico è orienao nella direzione ad ee orogonale e nel vero delle emperaure decreceni. Inolre, eendo il campo di emperaura monodimenionale, ogni piano parallelo alle uperfici ereme riula ancheo ioermo. In ali condizioni il fluo ermico definio dalla (5. è coane nel empo ed in ogni puno della ezione della paree moraa in Fig.5.. La poenza ermica che aravera la paree piana indefinia è, in ali condizioni, coane nel empo. Ea riula, dalla (5., pari a: d d (5.3 è eprea in wa nel Siema Inernazionale o in kcal/h nel Siema ecnico. Con viene indicaa larea delle uperfici ioerme, ue di uguale eenione pari a quella delle uperfici limie della paree. E evidene come laggeivo indefinia riferio alla paree deve eere inerpreao nel eno che le dimenioni y e z ono molo maggiori della dimenione, alrimeni larea arebbe anchea indefinia e quindi non calcolabile. 8

6 Nellipoei che iano noe le emperaure l e delle due uperfici limie della paree, è poibile ricavare landameno delle emperaure allinerno di ea, al variare di dellacia. Nella Fig.5.3 che mora la ezione rea della paree già riporaa in Fig.5., lae z coincide con lae delle emperaure : z, Fig. 5.3 Separando le variabili dellequazione differenziale (5.3, i ha: d d (5.4 ed inegrando ra i valori, l in corripondenza di = 0, e, emperaura generica corripondene allacia correne, i oiene: z, d 0 d ( 0 ( Fig.5.4 (5.5 Come i deduce dalla (5.5, landameno della emperaura in una paree piana indefinia nelle ipoei poe, è lineare: nel piano (,, la (5.5 rappreena infai lequazione di una rea. In Fig.5.4 la emperaura va decrecendo linearmene dal valore maggiore l, in corripondenza di = 9

7 0, fino al valore, in corripondenza di =, con una pendenza o inclinazione (coefficiene angolare pari a: Se ora i inegra la (5.4 ra le emperaure delle uperfici limie della paree i oiene lepreione della poenza ermica: d 0 d ( 0 ( ( (5.6 La relazione (5.6 mora che la poenza ermica ramea per conduzione è direamene proporzionale: - alla conduivià ermica del maeriale di cui è coiuia la paree; - allarea della paree, ; - alla differenza ra le emperaure delle uperfici eerne, l - ; ed inveramene proporzionale: - allo peore della paree,. Nella (5.6 la grandezza / rappreena la conduanza ermica (conduiva che, nel Siema Inernazionale i eprime in W/K e nel Siema ecnico in kcal/h C ea nel eguio verrà indicaa con C. Il uo invero R C (5.7 viene dea reienza ermica (conduiva e, nel SI, viene eprea in K/W, menre nel S è eprea in h C/kcal. Dividendo ali grandezze per larea della paree i oengono ripeivamene la conduanza e la reienza ermiche uniarie, ripeivamene epree da: c r (5.8 (5.9 Dalla (5.6, per la (5.7, i ha dunque: C R Dividendo enrambi i membri della (5.0 per l area della paree, i oiene: (5.0 0

8 q c (5. r Se la conduivià non è coane con la emperaura, ipoei alla bae della preene raazione, landameno della emperaura allinerno della paree non è più lineare. In paricolare per valori di creceni con la emperaura, il diagramma delle emperaura arà rappreenao da una curva con la concavià rivola vero il bao; per valori di decreceni con la emperaura la curva avrà la concavià vero lalro. Un eempio qualiaivo è morao in Fig.5.5 a e b. z, z, a b Fig ndameno della emperaura in lara piana con crecene [a] e decrecene[b] con la emperaura Parei compoe da più rai dipoi in erie E molo frequene il cao di ramiione di calore per conduzione in una paree piana compoa da più rai di maeriale divero, ciacuno omogeneo ed ioropo, caraerizzai, in generale, da peori e conduivià diveri. Eempio claico in edilizia è la paree coiuia da uno rao eerno di inonaco, da una muraura ed uno rao dinonaco inerno, come morao in Fig Nelle ipoei definie al ermine del paragrafo 5., il fluo ermico aravera perpendicolarmene in ucceione, uno dopo lalro i re rai, ed è orienao dalleerno allinerno o vicevera a econda dellandameno delle emperaure. In generale in eae il fluo è direo dalleerno della paree vero linerno degli ambieni, menre il conrario accade durane linverno. La dipoizione dei re rai moraa in figura è dea in erie. inonaco inerno inonaco eerno muraura Fig Paree coiuia da re rai dipoi in erie

9 Con riferimeno alla Fig.5.6 eendo, nellipoei di regime azionario, landameno delle emperaure in paree coane nel empo ed in aenza di generazione inerna, la poenza ermica, che aravera ogni uperficie ioerma, parallela alle uperfici limie della paree, è coane. Il vero, nel cao indicao in figura va dalla uperficie a emperaura l a quella a emperaura Indicando con le conduivià ermiche dei maeriali e con, ed gli peori dei ingoli rai della paree compoa chemaizzaa di Fig.5.7, applicando a ciacuno degli rai la (5.6 i può crivere: Superficie Superficie a Superficie b Superficie z, a 3 b 4 Fig Paree piana compoa da più rai dipoi in erie. - per lo rao - per lo rao ( a - per lo rao 3 ( a b (b La, per le ipoei poe, è coane in ogni puno della paree e quindi in ciacuno dei re rai. Ricavando ora da ognuna delle precedeni relazioni le differenze di emperaura i oiene:

10 3 ( a ( b a ( b Sommando membro a membro le relazioni precedeni i oiene: b b a a La poenza ermica che aravera la paree riula quindi: enendo cono delle (5.6, (5.7 e (5.8 la precedene relazione i può crivere: c c c oppure, uilizzando le reienze ermiche: (5.

11 r r r r o (5.3 La poenza ermica che aravera una paree coiuia da più rai dipoi in erie può eere calcolaa con le relazioni (5. o (5.3. Per la paree con più rai dipoi in erie è più immediao luo della reienza ermica. Nella (5.3 i è poo: r o = r +r +r (5.4 La reienza ermica uniaria della paree coiuia da più rai in erie è pari alla omma delle reienze ermiche uniarie dei ingoli rai. q r r r r o (5.5 Nel cao in cui la paree ia coiuia da n rai dipoi in erie, le precedeni relazioni poono eere generalizzae come egue: r o n r i i in cui il ermine al econdo membro rappreena la omma delle reienze degli n rai che coiuicono la paree. Per il fluo ermico i ha: q r n n (5.6 Eempio Si calcolino la reienza e la conduanza ermica uniaria e oale della paree la cui ezione è moraa in figura, che ha unarea =0 m ed è coiuia dai egueni rai: - Calceruzzo cellulare = 0cm = 0,0m = 800 kg/m 3 = 0,5 W/mK 3 - Lara di acciaio ino = 3,0 mm = 0,0030 m = 8000 kg/m 3 = 7 W/mK 3 - Muraura in maoni pieni = cm = 0,m = 00 kg/m 3 = 0,43 W/mK 4

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13 Per quano riguarda la dipoizione dello rao iolane, non vi è alcuna collocazione che, al fine di un aumeno della reienza ermica o riduzione della conduanza, riuli più conveniene poiché la dipoizione degli rai è in erie. 4.4 Parei compoe da più rai in parallelo Una paree a rao ingolo può eere coiuia da maeriali che, pur eendo omogenei ed ioropi, preenano differeni valori della conduivià ermica. Nella Fig.4.8 è moraa una paree di queo ipo e la ua ezione. La dipoizione delle divere zone, ripeo alle due uperfici limii, viene dea in parallelo. In al cao, e le due uperfici eerne ono a emperaure divere, ciacuna delle zone in parallelo riula oopoa allo ea differenza di emperaura. z, y Fig Paree con più rai in parallelo. La poenza ermica che aravera la paree è omma delle poenze che araverano in parallelo le ingole zone. Come morao in Fig. 4.8 la poenza ermica che aravera la paree è pari alla omma delle poenze, e che araverano le ingole zone coiuie da maeriali diveri. Ciacuna di quee può eere calcolaa uilizzando la (4.6: 40

14 ( ( ( La poenza ermica che compleivamene aravera la paree è: ( ( ( Si noi che, nelle ipoei adoae nello udio della lara piana, le uperfici limii della paree ono ioerme e uperficie piana parallela ad ee, allinerno della paree, ono ioerme. Perano ciacuna delle re zone è oopoa alla ea differenza di emperaura l -. Idenici nel cao coniderao ono anche gli peori di ciacuna zona. Sono invece divere a econda della zona di paree conideraa, le uperfici, ed, le conduivià ermiche, e e quindi le poenze ermiche. ( Ricordando che il rapporo / rappreena la conduanza ermica C, la precedene relazione e la (4.6 i poono crivere: (C C C ( (4.4 ( C ( Dal confrono ra le due precedeni relazioni i oiene: C C C C (4.5 Dalla (4.5 riula che la conduanza ermica oale, per la paree coiuia da più zone in parallelo, è pari alla omma delle conduanze ermiche oali dei ingoli rai. E poibile ora ricavare la conduanza ermica uniaria della paree coiuia da più zone in parallelo. Ricrivendo la relazione che definice la conduanza ermica oale: C (4.6 4

15 quella uniaria riula: C C e quindi C C C C C C C C (4.7 La (4.7 rappreena la conduanza ermica uniaria della paree e corriponde alla media peaa delle conduanze uniarie delle differeni zone che la coiuicono. La (4.4 può anche criveri: ( R R R (4.8 Poiché per definizione di reienza ermica oale R C (4.9 ( ( ( R (4.0 Confronando le (4.8 e (4.0 i oiene R R R R R R R R La reienza ermica della paree, nel cao della configurazione in parallelo, è pari allinvero della omma degli inveri delle reienze ermiche delle ingole zone. La reienza ermica uniaria per una qualiai paree i eprime, enendo cono della (4.9: R R E quindi la paree in parallelo: R R R R R 4

16 R R R R ua la raazione fin qui vola è fondaa ullipoei che i maeriali iano omogenei ed ioropi; e cade ale ipoei, il calcolo delle conduanze e delle reienze ermiche i complica ed eula comunque dalle finalià di queo coro. R Eempio numerico Si calcolino la conduanza ermica oale di una paree coiuia da una lara meallica di acciaio inoidabile e da due pannelli in cemeno dipoi come in figura Lara in acciaio inoidabile di maa volumica pari a 8000 kg/m 3, avene dimenioni di 0,0030,0 3,00 m; =7 W/mK,00m,0 m Pannelli di calceruzzo in blocchi con cavià iolae di dimenioni 0,,03,0 m e conduivià inerna = 0,800 W/mK,00m 0,m Le re zone della paree riulano in parallelo; la conduanza ermica oale è fornia dalla relazione: C = C +C +C C 0,800 6,00 7 3,60 0,800 6,0 = 0, 0,0030 0, = = W/K Si oervi ora che per la dipoizione in parallelo la conduanza ermica oale riula è pari alla omma di quelle relaive alle ingole zone. E evidene che un inerveno che enda a migliorare liolameno ermico dovrà eere effeuao ulla pare ermicamene più debole della paree, e cioè ulla lara in acciaio. 43

17 i =R i i = 0,55 0,03 = 0,08 m Per quano riguarda la dipoizione dello rao iolane, non vi è alcuna collocazione che, al fine di un aumeno della reienza ermica o riduzione della conduanza, riuli più conveniene. ESERCIZI DI RSMISSIONE DEL CLORE IN REGIME SZIONRIO CONDUZIONE Eercizio Calcolare la conduanza, la reienza ermica e la poenza ermica aravero una paree (6 m 3 m di maoni pieni, pea cm ed avene una maa volumica di 000 kg/m 3 le cui uperfici ereme ono ripeivamene alla emperaura di 5 C e 6 C. SOLUZIONE La conduanza è pari a: C Eendo l area della paree pari a 6 3 = 8 m, lo peore cm = 0, m e la conduivià ermica = 0,36 W/mK, avendo ricavao ale dao dalla abella riporaa in ppendice B relaivamene ai laerizi con maa volumica pari a 000 kg/m 3, parei inerne proee, i ha: 0,36 8 W C 0,54 0, K La reienza ermica, eendo l invero della conduanza, è: R C 0,54,85 La poenza ermica aravero la paree i valua mediane la (5.0, eendo pari a 5-6 = 9 C = 9K: C R 0,54 9 4,86W. Eercizio Deerminare la emperaura della uperficie fredda di una paree in calceruzzo (di abbia e ghiaia avene una maa volumica di 000 kg/m 3 ed uno peore di 5 cm, araveraa da una poenza ermica per unià di uperficie di 93 W/m, ed avene la uperficie calda a 35 C. K W SOLUZIONE Dalla (5. i ricava che q c q r. 6

18 La conduivià del calceruzzo in abbia e ghiaia i ricava dall ppendice B (calceruzzo confezionao con aggregai naurali per parei inerne o proee: =,6 W/mK. Perano per la (5.9 i ha: 0,5 m K r 0,6,,6 W e quindi: 93 0,6 0,K 0,C La emperaura ulla uperficie fredda della paree vale: f c 35 0, 4,9C Eercizio 3 Deerminare la poenza ermica dipera per unià di uperficie aravero una paree coiuia (eerno - inerno dai egueni rai dipoi in erie: - inonaco di mala di cemeno: peore = 0mm - muraura di maoni forai ( = 800 kg/m 3 : peore 0 mm - inonaco di geo: peore 0 mm; le emperaure ulle uperfici ereme ono di 8 C e 4 C. SOLUZIONE Il fluo ermico, oia la poenza ermica per unià di uperficie, nel cao di paree compoa da più rai dipoi in erie i calcola mediane la (5.5: q, r r r ro in cui le reienze conduive relaive a ciacuno rao i valuano mediane la (5.9: 0,0 0, 0,0 ro r r r,4 0,30 0,35 mk 0,04 0,400 0,057 0,47 W vendo ricavao i valori delle conduivià ermiche dei maeriali, eprei in W/mK, dalla abella riporaa in ppendice B. Si ha perano: 84 W q 9,7 r 0, 47 m Eercizio 4 Una paree mulirao è coiuia (eerno - inerno da: - inonaco di mala di cemeno: peore = 40 mm - muraura di maoni pieni ( = 600 kg/m 3 : peore 0 mm - inonaco di geo: peore 0 mm; le emperaure ulle uperfici ereme ono ripeivamene di 5,0 C e 5,0 C. Si calcolino: a la poenza ermica dipera per unià di uperficie, aravero la paree. o 7

19 b lo peore di maeriale iolane coiuio da un pannello rigido di cloruro di polivinile epano ( = 30 kg/m 3, = 0,039 W/mK, da aggiungere alla ruura perché la poenza ermica dipera ia un decimo del valore precedenemene calcolao, a parià di emperaura ulle uperfici ereme. SOLUZIONE a Il fluo ermico i calcola mediane la (5.5: q, r r r ro in cui la reienza oale uniaria è la omma delle reienze uniarie relaive a ciacuno rao: 0,04 0, 0,0 ro r r r,4 0,59 0,35 mk 0,08 0, 030,057 0, 88 W vendo ricavao i valori delle conduivià ermiche dei maeriali, eprei in W/mK, dalla abella riporaa in ppendice B. Si oiene: 55 W q 34,7 ro 0, 88 m i aggiungendo lo rao di iolane di reienza uniaria pari a ri, il fluo ermico della paree i compoa da 4 rai, q i riduce ad un decimo di quello precedenemene calcolao: da cui: Lo peore dello rao di iolane vale quindi: q q, * 0 0ro ro ri 0r r r 9r r 9r i o o i o i o i i 9ro i 90, 880,039 0,0 m 0 cm 8