= 1. Le equazioni della trave su suolo elastico considerata illimitata, in presenza di uno spostamento relativo imposto y 0 (Figura 1.

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1 STUDIO TEORICO DEL COMPORTAMENTO DELLE GIUNZIONI Appendice A: Valuazione eorica della rigidezza della conneione. Vengono ucceivamene riporai i paaggi maemaici che porano alla formulazione della rigidezza della conneione (Figura.a) penaa come rave u uolo elaico di lunghezza illimiaa in preenza di una conneione ra gli elemeni (Figura.b). Noe le caraeriiche del conneore: d è il diamero del piolo; E è il modulo di elaicià; J P 4 π d è il momeno d inerzia della ezione reiene. 64 Noa la rigidezza k e k dei maeriali nei quali è inerio il conneore: k k d k k d Le equazioni della rave u uolo elaico conideraa illimiaa, in preenza di uno poameno relaivo impoo (Figura.c), divenano: e ponendo: IV EJ P + k per <; IV EJP + k ( + ) per >. k 4, 4 4EJ k ; 4EJ i oiene: IV IV ( + ) per <; per >. Gli inegrali delle due equazioni differenziali riulano: e e ( A co + B en) + e ( C co + D en ( A co + B en) + e ( C co + D en ) ) per <; per >.

2 Per il ripeo delle condizioni al conorno e ' per i ha A B. Dovendo anche eere e ' per +, i ha C D. (a) (b) (c) (d) configurazione indeformaa Figura : (a) Giunzione degli elemeni; (b) modellazione per il calcolo della rigidezza; (c) rave u uolo elaico di lunghezza illimiaa dalle due pari oggea ad uno poameno impreo ad un'eremià; (d) equilibrio della porzione di conneore all inerno della conneione. Perano gli inegrali delle equazioni differenziali i riducono a : ( e C co + D en ) per <; e ( A co + B en ) per >. In paricolare, per <: [ C (co en ) + D (co + en )] ' e ( C en D ) ' ' e co

3 [ C ( en + co ) D (co en )] ' '' e Per è poibile allora calcolare l abbaameno, la roazione, il momeno ed il aglio all eremià del piolo inerio nel maeriale : ( C ϕ ) ' () ( C + ) D M ' '() EJP DEJ P T () ' ''() EJP ( D C EJ P ) Menre per >: [ A (co + en ) + B ( en co )] ' e '' + e ( Aen B co ) [ A ( en co ) B ( en + co )] ''' e Sempre per, l abbaameno, la roazione, il momeno ed il aglio all eremià del piolo inerio nel maeriale ono le egueni: ( A + ϕ ) A '() ( B ) M ' '() EJP + BEJ P T () '''() EJP ( A + B EJ P ) Scrivendo il legame ra aglio, momeno, poameno e roazione alle eremià del rao di conneore compreo nello peore, i oiene il eguene iema di equazioni: T T M ϕ M + T + ϕ + T M EJP EJ P ϕ M + T EJP EJ P

4 Soiuendo le epreioni di T e M nelle ulime due equazioni il iema divena: T T M ϕ M + T + ϕ + T M 6EJP EJ P ϕ M + T EJP EJ P () Soiuendo in () le epreioni di () e () i ricavano le epreioni delle coani di inegrazione C, D, A e B : A B + ( ( + Z + + Z ) ) C D ( + + ) + (4) Z + ( + Z ) eendo: Z ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + Per e ponendo, i può allora ricavare l epreione della rigidezza della conneione come: K P T (5) Soiuendo le (4) in (5) i oiene: K P ( D C) EJ P La rigidezza riula perano: K P Z EJ P (6)

5 Appendice B - Prove di rifollameno del legno Con queo udio i inendono acquiire per via perimenale i valori della preione di rifollameno f h e della rigidezza in campo elaico k w del legno, ia nella direzione parallela che perpendicolare alle fibre, neceari per l uilizzo del modello eorico propoo (Capiolo 5, Pare I). Nelle prove il carico viene rameo all'elemeno di legno in direzione parallela e perpendicolare alle fibre ramie un piolo vincolao ad un elaio in acciaio. Il provino aemblao viene dipoo nella prea e ucceivamene caricao, in funzione del ipo di prova, a razione o compreione. La rigidezza iniziale del legno (k w ) corriponde alla angene alla curva perimenale carico poameno, in un inervallo di valori ucceivo alla fae iniziale di aeameno della prova, ed è calcolaa con la eguene formula: K w V dove K w è miuraa in [N/mm ]; è peore della avola di legno [mm]; è lo corrimeno del piolo [mm] e V è carico applicao [N]. La preione di rifollameno f h, auna uniformemene diribuia, è pari a: f h Vu d dove V u è la reienza ulima [kn]; è lo peore dell ae di legno [mm] e d è il diamero del piolo [mm]. I valori della rigidezza in direzione parallela e perpendicolare alle fibre i morano in buon accordo nelle due prove di razione e compreione. L unica eccezione è la preione di rifollameno in direzione perpendicolare alle fibre che può eere miuraa con la ola prova a compreione poiché nella prova a razione la roura coincide con l'aperura delle prime feure di pliing che i propagano per ua la larghezza dell'elemeno ed avviene perano enza che inervenga il rifollameno del legno Prove di razione. La geomeria degli elemeni di rovere oopoi a prova di razione in direzione parallela e perpendicolare alle fibre è preenaa ripeivamene nelle Figure e.

6 forcella in acciaio pioli Ø8 9,5,85 ae di rovere comparaore piolo Ø infio in foro calibrao forcella in acciaio Figura : Geomeria dell elemeno di legno provao a razione in direzione parallela alle fibre e configurazione del provino aemblao. direzione fibre del legno lamina in acciaio infilaa in una aca ed imboia di colla fino a rifiuo 5 8,85 ae di rovere fibre perpendicolari al carico piolo Ø Figura : Geomeria dell elemeno di legno provao a razione in direzione perpendicolare alle fibre e configurazione del provino aemblao. Lo poameno relaivo del piolo ripeo ad un puno fio della avola di legno è regirao da una coppia di comparaori milleimali induivi dipoi ulle due facce del provino. Il valore medio delle leure rappreena la deformazione della fibra media dell elemeno. L allungameno elaico della pare di legno e di piara meallica comprea ra i puni di applicazione dei comparaori è racurabile ripeo agli corrimeni in gioco. Infai, nel cao di carico in direzione parallela alle fibre, aumendo E N/mm, E w 6N/mm e V u 77N (Figura 5), i oengono valori di deformazione elaica di due ordini di grandezza inferiori agli poameni rilevai durane la prova:

7 Δl Δl w V E w l A V l E A u w w mm mm 8 I riulai perimenali delle prove condoe in direzione parallela alle fibre ono raccoli in Figura 5. Le prove ono ae condoe a poameno impoo con velocià pari a di,5mm/min. Si oerva un comporameno inizialmene lineare eguio da un andameno perfeamene plaico, cui corriponde il raggiungimeno della preione di rifollameno ul legno. I riulai delle prove in direzione perpendicolare alle fibre, condoe a conrollo di carico, ono raccoli in Figura 6. Si oerva che la curva abbandona l andameno lineare in dai primi incremeni di carico. In queo cao la roura avviene in modo fragile per pliing enza che il legno manifei rifollameno delle fibre. Per lo udio del rifollameno in direzione perpendicolare alle fibre i predipone allora la prova di compreione decria al eguene paragrafo. I riulai di quee prove perimenali ono raccoli in Tabella. Figura 4: Provino aemblao e collocao nella prea.

8 5 5 V / [N/mm] 5 Kmed5N/mm V [KN] Figura 5: Riulai delle prove di razione in direzione parallela alle fibre V / [N/mm]. Kmed45N/mm V [KN] Figura 6: Riulai delle prove di razione in direzione perpendicolare alle fibre Prove di compreione. La geomeria degli elemeni di rovere oopoi a prova di rifollameno a compreione in direzione parallela e perpendicolare alle fibre è preenaa in Figura 7.

9 Tue le prove ono ae condoe a poameno impoo con velocià pari a di,5mm/min. Durane la prova i comparaori induivi, dipoi come indicao in Figura 7.c, miurano lo poameno relaivo del piolo ripeo alla piara della prea. Il legame carico-poameno delle prove di compreione in direzione parallela alle fibre mora un andameno inizialmene lineare cui egue un andameno perfeamene plaico che accompagna il rifollameno del legno (Figura 8). La prova è aa inerroa per il raggiungimeno di grandi deformazioni dovue allo chiacciameno del legno ed alla coneguene pronunciaa ovalizzazione del foro (Figura.b). I riulai delle prove in direzione perpendicolare alle fibre ono raccoli in Figura 9. Il legame è bilineare ed è caraerizzao da una pendenza iniziale kw pari a 4N/mm nel campo dei piccoli poameni. Inizialmene il bullone ollecia le fibre a fleione ed il legno i compora come una rave u uolo elaico due vole incaraa alle eremià. Al crecere dello poameno impreo i ha l'aperura di una feura di pliing che i propaga laeralmene. A roura i oerva il ollevameno delle eremià della porzione di legno accaa dalle feure (Figura.b). I riulai perimenali ono raccoli in Tabella (a) 6 (b) 6 (c) Figura 7: Configurazione del provino aemblao per le prove a compreione in direzione (a) perpendicolare e (b) parallela alle fibre; (c) dipoizione dei comparaori.

10 5 V [kn] 5 5 V/ [N/mm] K45N/mm Figura 8: Riulai della prova di rifollameno a compreione in direzione parallela alle fibre. 5 5 V [kn] 5 V/ [KN/mm] 4 K4 kn/mm Figura 9: Riulai della prova di rifollameno a compreione in direzione perpendicolare alle fibre.

11 (a) (b) Figura : Prova di compreione in direzione parallela alle fibre: (a) dipoizione del provino nella prea; (b) plaicizzazione delle fibre del legno. (a) Figura : Prova di compreione in direzione perpendicolare alle fibre: (a) dipoizione del provino nella prea; (b) roura del provino. (b)

12 5... Analii dei riulai I riulai delle due prove di razione e compreione ono riauni ripeivamene nelle Tabella e. Si può noare che la rigidezza in direzione parallela alle fibre è circa vole quella in direzione perpendicolare. Il riulao è confermao in enrambe le prove di razione e compreione. La preione di rifollameno, miuraa in direzione parallela alle fibre, è pari a circa il doppio della preione di rifollameno in direzione orogonale. Si oerva che olano con la prova di compreione è poibile cogliere il comporameno a rifollameno del legno in direzione orogonale alle fibre. Nella prova a razione, infai, la roura avviene in concomianza dell'aperura delle prime feure di pliing che i propagano iananeamene u ua la larghezza dell'elemeno. Tabella : Prove a razione. K w f h Direzione del carico [N/mm ] [Mpa] Parallela alle fibre Perpendicolare alle fibre 45 - Tabella : Prove a compreione. K w f h Direzione del carico [N/mm ] [Mpa] Parallela alle fibre Perpendicolare alle fibre 4. Trao da: A. Marini (). Problemi di abilià del Palazzo della Loggia di Brecia. Tei di doorao. Doorao in: Progeo e conervazione delle ruure, XIII ciclo. Univerià degli Sudi di Triee, Univerià degli Sudi di Brecia, Univerià degli Sudi di Padova, Univerià degli Sudi di Treno, Iiuo Univeriario di Archieura di Venezia (IUAV),.