n 1 Un esempio di sistema rappresentabile con equazioni differenziali lineari del tipo (1) è illustrato in Appendice.

Transcript

1 RICHIAMI SULLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO, TRASFORMATE DI FOURIER E LAPLACE E DIAGRAMMI DI BODE Univerià di Padova Facolà di Ingegneria Coro di Fondameni di Eleronica A.A.4/5 Padova, 4//5 Le noe egueni ono un richiamo di nozioni che ono già noe dai Cori precedeni. Ee hanno lo copo di dare un uidio alle Lezioni e coiuire un concio riferimeno a concei di imporanza fondamenale per lo udio dell Eleronica. La maeria che egue, anche e la ua conocenza è necearia, non coiuice uavia oggeo direo delle domande di eame del Coro di fondameni di Eleronica. Siemi differenziali lineari In moli iemi fiici le grandezze in gioco, funzioni del empo, i poono coniderare legae ra loro da relazioni differenziali lineari. Cioè, e i hanno n grandezze u, u,., u n, i poono crivere un cero numero r di equazioni del ipo n p= A du n n p p up + Bp + Cp upd + D = p= d p= n n du n p A p up + Bp + Cp upd + D = p= p= d p= () n n du n p Arp up + Brp + Crp upd + Dr = p= p= d p= che, per derivazione, i poono ricondurre ad equazioni differenziali nel empo. Se in ogni relazione ogni addendo coniene una ola variabile o una ua derivaa od inegrale, enza prodoi o elevameni a poenza delle variabili, o delle loro derivae o dei loro inegrali, il iema gode della proprieà della ovrappoizione degli effei. e i conidera lineare. Normalmene nelle () moli dei coefficieni A, B e/o C ono nulli, cioè in ognuna delle equazioni mancano una o più variabili.. Se i coefficieni A, B, C e D ono coani, cioè indipendeni dal empo e dai valori delle u i, il iema lineare viene deo a coefficieni coani. Eempi di iemi che poono eere rappreenai con equazioni lineari del ipo delle () ono i circuii elerici, alcuni movimeni inerziali e graviazionali a parameri concenrai e moli alri fenomeni fiici lineari. Il comporameno di moli alri iemi può eere rappreenao dalle () con approimazioni più o meno grandi, ad eempio limiando il campo di variazione delle grandezze in gioco. Un eempio di iema rappreenabile con equazioni differenziali lineari del ipo () è illurao in Appendice. Tra le variabili u i del iema,alcune poono eere aegnae o deerminae da vincoli eerni. Ee ono quindi variabili indipendeni con il ignificao fiico di caue. Le alre variabili ono deerminae dalle equazioni () e ono variabili dipendeni da coniderare come effei. Il numero e la ruura delle equazioni () deve eere ale da deerminare gli effei in funzione delle caue. Si deve ener preene uavia che nelle () la diinzione ra caue ed effei non compare. Ea è deerminaa da coniderazioni aggiunive che non alerano la ruura delle relazioni ee. Ad eempio nel cao del circuio coniderao in Appendice, nelle relazioni (A.) le variabili che i poono coniderare caue, cioè il generaore di enione e ed il generaore di correne h 5, compaiono nelle relazioni aieme alle alre variabili, enza paricolari diinzioni. Ovviamene, le () e/o le (A.) poono eere rielaborae in modo da porre in evidenza le caue e/o gli effei. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

2 Sovrappoizione degli effei Se il iema coniene una ola variabile o una ua derivaa od inegrale, enza prodoi o elevameni a poenza delle variabili, o delle loro derivae o dei loro inegrali, i dimora facilmene che vale il principio di ovrappoizione degli effei, che dice che e un inieme di variabili u, u,, u n oddifa il iema (), cioè ne è una oluzione, ed un alro iema di variabili u, u,, u n oddifa anch eo lo eo iema, anche l inieme di variabili u = (u + u ), u = (u + u ),, u n = (u n + u n ) è una oluzione, cioè oddifa il iema. In al cao il iema è deo lineare. Da quea proprieà dicende immediaamene che le oluzioni del iema i poono calcolare rovando gli effei di ciacuna caua eparaamene dalle alre (cioè coniderando ucceivamene una caua e ponendo a zero le alre) e ommando poi per ciacuna variabile gli effei coì calcolai. Nauralmene quano deo è valido e le divere caue ono realmene indipendeni, cioè non dipendono né dalle oluzioni né dalle alre caue. La oluzione del iema () i fa eguendo le noe ecniche di oluzione delle equazioni differenziali lineari (i veda l eempio in Appendice). Un alra coneguenza del principio di ovrappoizione degli effei è il principio di proporzionalià. che dice che e un inieme di variabili u, u,, u n oddifa il iema (), anche l inieme di variabili u = K u, u = K u,., u n = K u n, dove K è coane ed uguale per ue le variabili, è una oluzione del iema. Ne dicende che e una caua varia di ampiezza, anche ui i uoi effei variano in proporzione. 3 Regime azionario La oluzione del iema () può riulare aai laborioa anche nel cao di iemi emplici (nel noro cao un emplice circuio). Una noevole emplificazione i ha quando ue le variabili u i (ia quelle indipendeni ia quelle dipendeni) ed i coefficieni non dipendono dal empo e non vi ono ermini inegrali (cao azionario o in coninua ). In ale cao ue le derivae ono nulle e le equazioni () divenano normali equazioni lineari di oluzione aai più agevole (non ci ono da inegrare equazioni differenziali). Un eempio di regime azionario e della corripondene oluzione è daa in Appendice, par.a.3. 4 Regime periodico Per un iema lineare del ipo (), a coefficieni coani nel empo, e le variabili indipendeni ono inuoidi di pulazione ω, anche ue le variabili dipendeni, cioè gli effei, ono inuoidi di pulazione ω e di ampiezza e fae opporune (regime alernao inuoidale). Più in generale, applicando la ovrappoizione degli effei, ogni variabile indipendene g i che ia inuoidale con pulazione ω i genera in ue le variabili dipendeni ermini della ea pulazione. Se vi ono più variabili indipendeni inuoidali di pulazione divera, nelle variabili dipendeni compaiono ermini inuoidali con ue e ole le pulazioni delle variabili indipendeni (ad eempio, e vi ono olo due variabili indipendeni g di pulazione ω e g di pulazione ω, nelle variabili dipendeni compaiono olo due ermini inuoidali, l uno di pulazione ω e l alro di pulazione ω ). Un cao imporane i ha quando divere variabili indipendeni, o anche una ea variabile, conenga ermini inuoidali di pulazione ω, ω, 3ω,, n ω. Tali pulazioni muliple della pulazione fondamenale ω vengono dee armoniche. I relaivi ermini i propagano a ue le variabili dipendeni, ma normalmene con variazioni di fae e di ampiezza divere ra loro e ripeo alla fondamenale. La forma d onda compleiva varia quindi da una variabile dipendene all alra e ripeo alla fondamenale (diorione). E bene ricordare che la ripoa inuoidale ad ingrei inuoidali i ha nell ipoei che il iema ia a regime, il che equivale a upporre che le variabili indipendeni inuoidali agicano da empre e che ogni coneguenza di raniori precedeni i ia eauria. La proprieà opra enunciaa ha una grande imporanza praica. Infai, in un iema elerico anche molo eeo e i generaori producono enioni inuoidali, ali enioni i propagano in ua la ree con forma inaleraa, anche e con ampiezza e fae variabili da puno a puno. E quea la principale ragione dell adozione di un andameno inuoidale nelle rei di diribuzione dell energia elerica. Ragioni imili valgono, almeno in pare, anche per la ramiioni di egnali radio e eleviivi. Come è noo dall Eleroecnica, nel cao che le variabili indipendeni, e quindi anche quelle dipendeni, abbiano andameno inuoidale del ipo u i = A i in(ω+γ i ), ee poono eere rappreenae da veori roani con velocià angolare ω e di ampiezza A i e fae γ i. Coniderando la iuazione in un dao iane (uualmene =), il veore relaivo ad una daa variabile u i può eere poo in corripondenza ad un numero compleo U i, la cui pare reale è daa dalla proiezione del veore ull ae X (ae reale Re) e la pare immaginaria dalla proiezione ull ae Y (ae immaginario Im). In al modo il numero Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

3 compleo ha modulo A i, fae γ i, pare reale R ai = A i co(γ i ) e pare immaginaria I ai = A i in(γ i ). Si ha quindi U i = R ai + j I ai (rappreenazione imbolica) Come è noo, la derivaa di una funzione inuoidale di ampiezza A i, pulazione ω e fae γ i, è una inuoide di ampiezza ω A i e fae γ i +π/. In corripondenza, il numero compleo U i, corripondene alla derivaa, i oiene dal numero compleo U i, che rappreena la funzione originaria, moliplicando per jω e oenendo jω U i. In modo immerico, all operazione di inegrazione corriponde una diviione per jω, e quindi l inegrale è rappreenao da U i./jω. Perciò, i poono oiuire nelle () alle varie grandezze u i i relaivi numeri complei U i, moliplicando per jω ad ogni operazione di derivaa e dividendo per jω nel cao di operazioni di inegrazione. Si oiene coì un iema di equazioni lineari nelle variabili complee U i, i cui coefficieni ono anch ei complei e funzioni di jω. Tale iema può eere riolo in modo molo più agevole del iema originario. Infai, la inegrazione delle equazioni differenziali i riduce alla oluzione di emplici equazioni ordinarie (i veda ad eempio in Appendice il par.a4). La oluzione dà per ciacuna variabile dipendene a m un valore imbolico A m epreo dalla omma di vari ermini, del ipo Nm (jω) Nm(jω) N (j )... nm ω A m = G + G + + Gn () Dm (jω) Dm(jω) Dnm(jω) Ogni addendo della A m nella () è dao dalla moliplicazione della rappreenazione imbolica G k di una variabile indipendene g k per un rapporo di due polinomi in jω (polinomio numeraore N km (jω ) e polinomio denominaore D km (jω )). Nel cao di grandezze eleriche, ale rapporo, che è un numero compleo funzione olo di jω, aume il ignificao di faore di raferimeno, o di ran-impedenza oppure di ran-ammeenza a econda della naura di a m e di g k (enioni o correni). Eendendo una definizione che è più propriamene valida nel cao di regime raniorio, il rapporo può anche eere indicao come Funzione di Traferimeno ra la variabile indipendene g k e la variabile dipendene a m. 5 Regime raniorio Nel cao che le variabili u i non abbiano andameno periodico, ma i poa upporre che iano ue nulle prima di un deerminao iane (auno uualmene come =) è poibile inrodurre una raformazione di dee variabili che facilia molo la oluzione del iema, e inolre i prea a moli alri viluppi ed alla illurazione di variae proprieà fondamenali. La definizione della raformazione, dea Traformaa di Laplace o ineicamene L-raformaa, è daa come egue. Per una funzione del empo f(), i oiene una funzione raformaa F() econdo l inegrale F () = f() e d (3) La raformazione invera è daa da a+ j + f () = F() e d (4) π a j dove a è un valore reale maggiore della coiddea acia di convergenza α c (che dipende dalla ruura della F()). La variabile può aumere un qualiai valore nel campo compleo, con la limiazione di rimanere enro i limii di convergenza degli inegrali delle (3) e (4). Il ignificao della variabile riula dalle definizioni (3) e (4) e non è di immediaa comprenione. Qui ci i può limiare a dire che la dipendenza di F() da nell inero campo di validià eprime l inero andameno di f() nel empo. Le dimenioni fiiche di ono l invero di un empo, cioè, e perciò ea è omogenea ad una frequenza o ad una pulazione. Per le funzioni f() più comuni, i riulai delle raformazioni (3) e (4) ono raccoli in abelle (i veda ad eempio Tab.A.), e perciò raramene i deve fare epliciamene il calcolo econdo la (3) o la (4).. Similmene al cao della rappreenazione imbolica (cioè con numeri complei), le operazioni di derivazione o di inegrazione delle variabili u i () corripondono alla moliplicazione o diviione per della relaiva raformaa U i (). Si ha cioè per la derivaa U i () e per l inegrale U i ()/. Inolre, la moliplicazione di una u i () per una coane K corriponde a K U i (). In bae a ciò, nella () i poono oiuire alle u i le U i (), alle derivae du i /d i prodoo U i (), ed agli inegrali u i d i rappori U i ()/. Si oiene coì un iema di equazioni lineari nelle raformae U i () delle divere variabili, con coefficieni funzione di. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

4 Indicando con a m le variabili u i che i coniderano variabili dipendeni (o effei) e con g k quelle che i coniderano variabili indipendeni (o caue), il iema può eere riolo ripeo alle raformae A m () delle a m.mediane i comuni meodi di rioluzione delle equazioni lineari (i veda ad eempio in Appendice il par.a.5). La oluzione dà, per ogni A m (), una epreione conenene la omma di ermini del ipo N () N () N () A () G () m G () m... G () nm m = n (5) Dm () Dm() Dnm() Ciacuno degli addendi della A m () nella (5) coniene la raformaa G k () di una variabile indipendene g k moliplicaa per il rapporo di due polinomi in (che i poono indicare come polinomio numeraore N km () e polinomio denominaore D km ()). Tali rappori, che coiuicono i coefficieni delle G k (), ono dei Funzioni di Traferimeno ra g k ed a m. Le funzioni di raferimeno ono, come deo, funzioni di ed eprimono il faore di proporzionalià ra le raformae G k () e A m (). In paricolare ee indicano il legame ra una daa G k ()ed una cera A m () quando, applicando il principio di ovrappoizione degli effei, i valuino gli effei della g k conideraa, immaginando che agica da ola. Aniraformando le epreioni delle A m () oenue, i deerminano gli andameni nel empo delle variabili dipendeni a m in funzione delle variabili indipendeni g k. Speo queo procedimeno riula aai più agevole della oluzione direa e della inegrazione delle equazioni inegro differenziali (). Infai, olre alla emplificazione della rioluzione del iema di parenza, per l aniraformazione dei diveri ermini che danno la oluzione delle A m () è applicabile generalmene una ecnica che facilia la oluzione e rivee, come i vedrà, anche un noevole ineree eorico. Per decrivere brevemene ale ecnica di aniraformazione, i ricorda che, come deo, le funzioni di raferimeno, e di olio anche il loro prodoo con le relaive G k (), poono eere epree come rapporo di due polinomi in. E noo che, nel cao (che i verifica normalmene in praica) che il grado n del polinomio numeraore ia minore di quello p del polinomio denominaore, ogni rapporo di polinomi può eere poo nella forma B B Bi B n (6) p p pi pp dove pi è una delle P radici del polinomio denominaore ed i cui coefficieni B i i deerminano in funzione dei coefficieni del numeraore e denominaore econdo emplici procedure. Ognuno degli addendi della (6) ha come aniraformaa una funzione eponenziale B i exp( pi ) per cui l aniraformazione delle oluzioni i riduce alla deerminazione delle radici del polinomio denominaore di ciacuna Funzione di Traferimeno (i veda l eempio di par.a.5). L'epreione (6) vale nel cao le pi iano radici emplici del polinomio denominaore. Con radici muliple, l'epreione riula più complicaa e la ua aniraformaa coniene anche ermini eponenziali moliplicai per il empo o per poenze di. Si può oervare che, e la radice pi è complea, la ua pare immaginaria dà luogo ad una ripoa ocillaoria, il cui morzameno dipende dalla pare reale di pi. Se ale pare reale è negaiva, la ripoa è morzaa e diminuice nel empo e la ripoa è abile. Se, vicevera, la pare reale è poiiva, i ha una ripoa crecene nel empo che i può claificare come inabile. E immediao conaare che il procedimeno indicao per la oluzione alle L-raformae delle variabili del iema () ha una rea analogia con quello indicao per la rappreenazione imbolica. In paricolare i rappori dei polinomi che coiuicono le funzioni di raferimeno per le L-raformae hanno uno reo legame formale con quelli che i oengono dalla oluzione col meodo imbolico. Si può paare dalle epreioni delle funzioni di raferimeno a quelle dei rappori di polinomi dai dal meodo imbolico emplicemene oiuendo ad il numero compleo jω, e vicevera. L analogia ra le due rappreenazioni e la raformazione ra l una e l alra ono molo uili e molo uae in praica. Tuavia i raa di una analogia olo formale, perché le due rappreenazioni, anche e riguardano lo eo iema, i rifericono a variabili di naura divera, l una relaiva al regime periodico (quindi valido da un empo ad un empo + ), l alra relaiva ad andameni raniori, con valori nulli prima dell iane iniziale. Quea diinzione (enza menzionare qui le analogie con alri regimi ed alre raformazioni come ad e. l inegrale di Fourier) peo non è ben percepia e può porare a concluioni e riulai errai. In paricolare, ono probabili errori quando i raa di ener cono, nei fenomeni raniori, delle condizioni iniziali. Mole vole la rappreenazione imbolica delle variabili di un iema, o la loro raformazione di Laplace, hanno un proprio ignificao ed uilià indipendenemene dalla effeiva rioluzione del iema e dalla deerminazione degli andameni delle variabili dipendeni. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

5 6 Rappreenazione grafica delle Funzioni di Traferimeno Diagrammi di Bode Una Funzione di Traferimeno ra una variabile indipendene (caua) ed una variabile dipendene, che corriponde al legame ra l una e l alra variabile, può eere eprea in funzione di o di jω, come indicao in par.6, con le preciazioni dae per la validià dell equivalenza ra le due formulazioni. L epreione può eere del ipo di rapporo di polinomi in o in jω, come quelli delle eq. () o (5), o qualiai ua raformazione. In ale epreione ono conenue ue le informazioni relaive alla Funzione di raferimeno ea, anche e non in forma eplicia (ad eempio le radici del numeraore e del denominaore devono eere deerminae riolvendo i ripeivi polinomi). E poibile rappreenare in forma grafica una Funzione di Traferimeno, a parire dalla ua epreione imbolica, in funzione di jω, racciando i diagrammi del uo modulo e della ua fae in funzione della pulazione ω. Tale rappreenazione è faa di olio riporando in cala logarimica il modulo ed in cala lineare la fae ed uando per enrambi i diagrammi una cala logarimica per la pulazione ω. Quea rappreenazione viene indicaa come Diagramma di Bode. Due eempi di diagrammi di Bode ono morai in Appendice, al par.a.6, Fig.A.5 I diagrammi di Bode ono molo uai, perché meono in evidenza alcune caraeriiche imporani delle Funzioni di raferimeno che rappreenano. Ad eempio l andameno del modulo mora enro che campo (o campi) di frequenza l effeo di una daa caua è rilevane o racurabile (ali campi vengono peo chiamai Bande Paani ). Le caraeriiche di Paa Bao, Paa Banda, Paa Alo, Elimina Banda ecc. di un iema riulano immediaamene evideni. Gli andameni del modulo e/o della fae conenono di individuare con maggiore o minore preciione le locazioni delle radici del numeraore (dee zeri ) e di quelle del denominaore (dee poli ) e, in cao di radici complee, di valuarne lo morzameno (i veda l eempio di par.a.6). Quee e alre caraeriiche, nel cao di iemi a caena chiua (conroreazione), conenono inolre di predire la maggiore o minore abilià del iema. Il diagramma di Bode ha una grande uilià nel lavoro di progeazione. Infai, per le caraeriiche opra ricordae, e per l evidenza inuiiva della rappreenazione grafica, eo è di coniderevole aiuo ad individuare le modificazioni da inrodurre in un dao iema per avvicinari al comporameno voluo. Normalmene il diagramma di Bode i eende u uo il campo di ineree della pulazione ω. Speo (ma non empre) ale campo comprende ui i poli e gli zeri, ma in moli cai ci i limia ad inorni più rirei. Si ricorda comunque che, per deerminare univocamene la Funzione di Traferimeno, baa in generale la conocenza di un numero di puni Z+P, dove Z è il numero degli zeri (radici del numeraore) e P è il numero dei poli (radici del denominaore). Un diagramma di Bode, per quano limiao ad un rireo ambio di pulazione, coniene quindi una ridondanza di informazioni, che faciliano le applicazioni. In moli cai in acia, al poo della pulazione ω, i indica la frequenza f ad ea proporzionale (i ricorda che ω=πf). Può eere non inuile ricordare che l acia ω, o la corripondene frequenza f, rappreena una variabile che conene di valuare le caraeriiche della Funzione di Traferimeno conideraa. Tale variabile non ha normalmene neuna relazione con le variabili effeivamene preeni nel iema (grandezze alernae periodiche o raniori) e con le frequenze degli evenuali egnali periodici applicai al iema. Si ua peo una rappreenazione emplificaa del diagramma di Bode, dea Diagramma di Bode Ainoico. Per piegare ale emplificazione i pone l epreione della Funzione di Traferimeno nella forma ( jω ) ( jω )... ( jω ) N(jω) FDT(jω ) = = K z z zz p (7) D(jω) ( jω p) ( jω p )... ( jω pp ) dove zk è una delle Z radici del numeraore, cioè uno zero, e pi è una delle P radici del denominaore, cioè un polo. Coniderando un cero valore di ω, i approimano i ermini dei prodoi del numeraore con (jω zk ) zk e ω< zk, e con (jω zk ) jω e ω> zk. Analogamene, i approimano i ermini dei prodoi del denominaore con (jω pj ) pj e ω< pj, e con (jω pj ) jω e ω> pj. Ordinando le radici (zeri e/o poli) in ordine di modulo crecene, con ali approimazioni la (7) divena FDTa (jω) = Kp = Kp n ( jω) ( zn ) ( z )... ( ) zz = m ( jω) ( pm ) ( j p )... ( pp ) ( zn ) ( z )... ( zz ) n m n m (j) ( ω) ( ) ( j )... ( ) pm p pp (8) Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

6 dove zn è la più piccola radice del numeraore il cui modulo è maggiore di ω e pm è la più piccola radice del denominaore con modulo maggiore di ω. L epreione (8) rimane inaleraa finchè ω, crecendo, non upera il modulo di una radice. Se, ad eempio, zn < pm, ω crecendo inconra prima zn. Appena quea viene uperaa, nella (8) n aumena di una unià e l eponene di jω al numeraore viene incremenao di. Analogamene per il denominaore e zn > pm. Si hanno coì inervalli ucceivi ra i puni di pezzameno, che ono quelli in cui ω eguaglia il modulo di una radice. In ali inervalli l epreione (8) rimane la inaleraa e, come mora l ulimo membro della (8), il modulo di FDT a (ω) varia econdo una poenza inera della ω menre la fae rimane coane. In corripondenza, il diagramma del modulo FDT a (ω), in coordinae logarimiche, decrive una rea di pendenza dipendene da (n m). La fae invece rimane coane e varia a gradino nei puni di pezzameno. Si può morare che il diagramma del modulo non preena diconinuià, perché i rai reilinei i inconrano nei puni di pezzameno. Il diagramma ainoico rappreena una buona approimazione del diagramma eao, almeno nelle zone lonane dalle radici. Poiché il uo andameno, uando coordinae logarimiche per il modulo, è compoo da egmeni (inclinai per i moduli, orizzonali per le fai), eo può eere racciao facilmene a mano. In moli calcoli i ua perciò il diagramma ainoico, invece di quello eao, con acceabili riulai. In Appendice, par.a.6, Fig.A.5, ono morai due eempi di diagrammi di Bode con i loro corripondeni diagrammi ainoici. Bibliografia [] A.Chiffi: Analii Maemaica ; Ed. Alceo, 98. [] C.Minnaja: Meodi Maemaici per l Ingegneria ; Ed. Libreria Progeo, Padova, 997. [3] C.Minnaja: Argomeni di Maemaica per l Ingegneria ; III Edizione, Ed. Libreria Progeo, Padova, 99. [4] V.I.Smirnov: Coro di Maemaica Superiore ; Ed. Ediori Riunii, Roma, 978. [5] G.Someda: Elemeni di Eleroecnica Generale ; Ed. Paron, Bologna, 977. [6] M.Fauri, F.Gneoo, G.Marchei e A.Machio: Lezioni di Eleroecnica ; Ed. Progeo Leonardo, Bologna,998. [7] C.A.Deoer e E.S.Kuh: Baic Circui Theory ; Ed. McGraw Hill, New York, 969. [8] A.Lepchy e U.Viaro: Guida allo Sudio dei Conrolli Auomaici ; Ed. Paron, Bologna, 983. [9] A..Oppenheim e R.W.Schafer: Elaborazione Numerica dei Segnali ; Ed. Franco Angeli, Milano, 99. [] A.Papouli: Fourier Inegral ; Ed. McGraw Hill, New York, 96. [] G.Cariolaro, G.Pierobon e G.Calvagno: Segnali e Siemi ; Ed. McGraw Hill Libri, Milano, 3. [] M.R.Spiegel: Theory and Problem of Laplace Tranform ; Ed.Schaum Ouline Serie, McGraw Hill, New York, 965. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

7 Appendice A. Eempio di circuio ed equazioni fondamenali Per illurare il ignificao dei concei relaivi ai iemi rappreenai da equazioni inegro-differenziali del ipo delle (), e morare i meodi di oluzione decrii, può eere uile riferiri ad un emplice eempio relaivo al circuio elerico di Fig.A.. i v 6 + e - L C 3 i 3 R 4 i 4 h 5 Fig.A..Circuio di eempio In ale circuio coiuicono grandezze di ineree le enioni dei nodi e le correni dei rami. Si può porre u =e, u =i, u 3 =i 3, u 4 =i 4, u 5 =i 5, u 6 =i 6, u 7 =h 7, u 8 =v 8, u 9 =v 9. Per il circuio i poono crivere le egueni equazioni, che ono equazioni di Kirchhoff ai lai ed ai nodidella ree di e v L 6 = d v 6 i3 d = v 6 i4 = (A.) i i3 i4 + h5 = Come i vede, le 5 equazioni () hanno la forma delle (), dove A =, A 6 =, B = L, A 6 =, C 3 = /C 3, A 36 =, A 34 = R 4, A 4 =, A 43 =, A 44 =, A 45 =, e ui gli alri coefficieni ono nulli. Le variabili e le loro derivae ed i loro inegrali compaiono ui al primo grado, enza prodoi ra le variabili. Inolre i coefficieni ono coani. Perciò il iema è lineare e a coefficieni coani. Come i ricava dalla ruura del circuio (ma non dalle equazioni (A.)), è ovvio coniderare variabili indipendeni la enione imprea dal generaore e e la correne imprea dal generaore h 5. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

8 A. Sovrappoizione degli effei Per il circuio di Fig.A. i poono coniderare eparaamene gli effei del generaore di enione e e del generaore di correne h 5. Coniderando e, annullando h 5 (che equivale a oiuire il generaore di correne h 5 con un circuio apero) e riolvendo ripeo alle ingole variabili dipendeni, i ricava dalle (A.) d i L di de L C i = + e d d d d i 3 L di de C 3 L i C = 3 (A.) d d d d i 4 L di 4 L C i 4 = e d d d v 6 L dv 6 L C v 6 = e d d Coniderando invece h 5, annullando e (che equivale a oiuire il generaore di enione e con un coro circuio) e riolvendo ripeo alle ingole variabili dipendeni, i ricava dalle (A.) d i L di L + + i = h5 d d d i 3 L di 3 d h5 L C i 3 = L (A.3) R d 4 d d d i L di dh C L i4 = L d d d d v 6 L dv d h C 6 5 L v 6 = L d d d Per ricavare le (A.) e le (A.3) i è derivaa la econda delle (A.) per raformarla in una equazione differenziale, enza inegrali. Le (A.) e le (A.3) ono equazioni differenziali in una delle variabili dipendeni (effei) ed in una delle variabili indipendeni (caue). Ciacuna di quee equazioni, e è noa la variabile indipendene relaiva, può eere inegraa, deerminando la variabile dipendene corripondene. Sommando poi le oluzioni oenue dalle (A.) e dalle (A.3) i oengono le oluzioni compleive. Ad eempio, per la i, e è noa la e, dalla prima delle (A.) i deermina la i e, e è noa la h 5, dalla prima delle (A.3) i deermina la i. Per ale variabile la oluzione compleiva è quindi i =i +i. (Non i dà qui un eempio di inegrazione direa perché quea, come i vedrà, è molo più agevole con i meodi egueni). A.3 Regime azionario Si upponga che i generaori di enione e di correne abbiano valori coani e = E e h 5 =H 5. Ad eempio ia E = V, H 5 = A, L = mh, C 3 =5 µf, R 4 =75 Ω. Si upponga inolre che ue le varabili dipendeni abbiano valori coani. Ciò equivale ad ammeer che ui i raniori, corripondeni alle oluzioni delle equazioni omogenee delle (A.), i iano morzai fino ad annullari. Applicando la ovrappoizione degli effei, nelle (A.) i annullano ue le derivae. Ponendo e =E i ricava dunque Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

9 i = E i 3 = (A.4) i 4 = E v 6 = E Similmene, nelle (A.3) i annullano ue le derivae. Ponendo h 5 =H 5 i ricava dunque i = H5 i 3 = (A.5) i 4 = v 6 = Sommando i oiene la oluzione compleiva i = i + i = E H5 i 3 = i 3 + i = (A.6) i 4 = i 4 + i 4 = E v 6 = v 6 + v 6 = E Con i valori uppoi opra, i ha i =.667 A, i 3 = A, i 4 =.333 A, v 6 = V. A.4 Regime periodico Si upponga che il generaore di enione fornica una enione inuoidale di frequenza f, pulazione ω=π f e di valore efficace E (ampiezza maima E ) e di fae γ. La rappreenazione imbolica di e è daa quindi dal numero compleo E = E co(γ )+j E in(γ ). Ad eempio ia f=5 Hz, ω=34 rad/, E =8 V eff, γ = (i aume come origine dei empi l iane in cui e è nulla). La rappreenazione imbolica di e è daa quindi dal numero compleo con pare immaginaria nulla E = 8 co()+j 8 in( )= 8+j. I valori dei componeni paivi iano ancora L = mh, C 3 =5 µf, R 4 =75 Ω. Si upponga poi che il generaore di correne h 5 imprima una correne inuoidale della ea frequenza f del generaore e, e quindi con la ea pulazione ω=π f. Allora h 5 può eere rappreenao con un veore ruoane alla ea velocià angolare di e, e la ua rappreenazione imbolica può eere daa da un numero compleo nella ea rappreenazione imbolica (e le due frequenze foero ae divere, nelle variabili dipendeni i arebbero avui ermini inuoidali di frequenze differeni, indipendeni ra loro). L ampiezza efficace di h 5 ia H 5, la ua fae ia in riardo di un angolo ϕ ripeo alla e. Perciò la fae di h 5 vale γ 5 = γ ϕ e la rappreenazione imbolica di h 5 è daa dal numero compleo H 5 = H 5 co(γ 5 )+j H 5 in(γ 5 ). Ad eempio ia H 5 =. A eff, ϕ=6 = π/3 rad. La rappreenazione imbolica di h 5 è quindi H 5 =. co( π/3) +j. in( π/3) =.6 j.39 Ammeendo anche in queo cao che i ermini raniori i iano compleamene morzai, i ha che ue le variabili dipendeni ono funzioni inuoidali nel empo di pulazione ω e poono eere rappreenae con numeri complei, econdo la rappreenazione imbolica.. Con quee premee, enendo cono che, come deo, le derivae delle variabili i eprimono moliplicando per jω e gli inegrali dividendo per jω, dalla (A.) i ricava. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

10 I 3 I E V6 jωl I = V 6 I3 jω = V 6 R 4 I4 = (A.7) I I3 I4 + H5 = dove con I, I 3, I 4, V 6 i ono indicai i numeri complei che rappreenano i, i 3, i 4, v 6. Si noi che, eguendo un uo comune, i moduli dei numeri complei delle variabili ia indipendeni ia dipendeni ono pari ai valori efficaci delle ripeive grandezze e non ai valori maimi, come arebbe più correo coniderando la rappreenazione delle grandezze inuoidali mediane veori roani. Riolvendo le (A.7) ripeo alle divere variabili dipendeni i oiene + jω I = E H ( jω) L C R + jωl + R ( jω) L + jωl + ( jω) L ( jω) L + jωl + jω I 3 = E + H 5 (A.8) ( jω) L + jωl + I 4 = E + H5 jωl ( jω) L + jωl + ( jω) L + jωl + R V = 4 6 E + H5 jωl ( jω) L + jωl + ( jω) L + jωl + Nelle prime re equazioni delle (A.8) i faori che moliplicano E hanno le dimenioni di una ammeenza menre quelli che moliplicano H 5 ono numeri puri, cioè ono coefficieni di proporzionalià. Invece nell ulima delle (A.8) il faore che moliplica E è un coefficiene di proporzionalià menre quello che moliplica H 5 ha le dimenioni di una impedenza. Come deo, a quei faori i può eendere la denominazione di Funzioni di Traferimeno. Im Im I" I'" E Re E Re H 5 I ' H 5 I 4 V 6 a b Fig.A..Rappreenazione veoriale delle grandezze periodiche inuoidali dell eempio a Veori E, H 5 dei generaori, veori delle componeni I e I e riulane I. b Veori E, H 5 dei generaori e veori I, I 3, I 4, V 6, delle grandezze dipendeni. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

11 Soiuendo i valori uppoi inizialmene, i poono calcolare i valori di ali faori. Ad eempio il coefficiene di E nella prima equazione vale Y = j Moliplicando per E = 8+j i ricava il primo addendo I = E Y =.546 j.565 A eff. Il coefficiene di H 5, ancora nella prima equazione, vale K 5 =.973+j.. Moliplicando per H 5 =.6 j.39 i ricava il econdo addendo I = H 5 K 5 =.66 +j.73 A eff. Sommando i oiene la correne oale I = I + I =3.9 +j.675 A eff. La I ha dunque un modulo I =3.6 A eff ed uno faameno γ =.48 rad= In Fig.A.a è morae la rappreenazione veoriale E del generaore di enione ed H 5 del generaore di correne, delle componeni I e I e della riulane I, calcolae opra. Invece in Fig.A..b. ono riporai i veori di ue le grandezze nello eo circuio, con gli ei generaori. Infine, per confrono, in Fig.A.3 ono morai gli andameni nel empo delle grandezze rappreenae in Fig.A..b. V A i i 4 v e i 3 h 5 h 3 4 m 5 e i v 6 Fig.A.3.Andameno nel empo delle enioni e correni nel circuio di Fig.A. nel cao dell eempio coniderao di grandezze periodiche inuoidali. A.5 Regime raniorio Si upponga che all iane = nel circuio di Fig.A. le variabili iano ue nulle (ciò equivale a dire che non vi ono condizioni iniziali). Si upponga che, a parire da ale iane, il generaore e produca una enione variabile di andameno da preciare, la cui L-raformaa verrà indicaa con E (). Analogamene avvenga per il generaore di correne h 5 che genererà una correne di andameno variabile avene una L-raformaa H 5 (). Ad eempio, l andameno di e ia a gradino, cioè auma un valore E = V all iane = che i maniene coane per uo il empo ucceivo. Come è noo (e i può ricavare da abelle, come ab.a.)), la L-raformaa di una funzione a gradino di ampiezza E con inizio al empo = è eprea da E ()=E /. Analogamene, anche l andameno di h 5 ia a gradino, con ampiezza.5 A ed inizio al empo =. Dunque, la L-raformaa di h 5 è H 5 ()=H 5 / I valori dei componeni paivi iano ancora L = mh, C 3 =5 µf, R 4 =75 Ω. Soiuendo nella (A.) alle variabili le loro L-raformae e enendo cono che, come deo, le derivae i eprimono moliplicando per e gli inegrali dividendo per, i ricava. E () V6() L I() = V6 () I3() = V6 () I4() = I ( ) I3() I4() + H5() = (A.9) dove con I (), I 3 (), I 4 (), V 6 () i ono indicae le L-raformae delle variabili dipendeni i, i 3, i 4, v 6. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

12 Operazioni ulle Traformae A f() (A = coane) f() () F() f() () F() d F () () f d f() ( ) n f( ) () τ f τ dτ A F() A f () + B f () f() d F() d (A e B coani) f ( τ)dτ F() f () f τ τ n ( ) F() d n d F() d dτ f τ τ τ = ( )f( )d f τ τ τ ( )f( )d (inegrale di convoluzione) Traformae () e Aniraformae A F () + B F () F()d F() d F () F () () (gradino uniario a =) ( a) (gradino uniario a =a) a e (nullo per <) n (n=,, 3,.) ( n )! in( ω ) in( ω + ϕ) f() () F() f() () F() U () (impulo uniario a =) a e U( a) (impulo uniario a =a) a a n ω e ω e inh( ω ω ) = ω / ω ξω e in( ω ξ ) ξ ω e / ω ξω e in ξ ω + arcin ξ ξ e a a (rampa) π ω co( ω ) + ω ω coϕ+ inϕ co( ω + ϕ) + ω + ξω + ω + ξω + ω ω ( + ξω + ω ) (ξ<) + ω ω e + ω e coh( ω ) = ω / ω ω ξ ξ e ξ ω ξ+ ξ e ω (ξ=) ( + ω ) e (ξ<) ξ + ξ ξ e ξ ξ ξ ξ+ + e ξ ξ ω + ξ ω ω inϕ + coϕ + ω + ξω + ω ω ( + ξω + ω ) ω ( + ξω + ω ) (ξ>) (ξ=) (ξ>) () Noa: Le epreioni delle funzioni del empo f() valgono per. Per < il valore delle f() è nullo. Tab.A.. Traformae e Aniraformae di Laplace e relaive Operazioni Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

13 Riolvendo le (A.9) ripeo alle divere variabili dipendeni i oiene + I() = E() L + L + R H 4 5() L + L + L I3() = E() + H 5() (A.) L + L + L + L + I4() = E() L + L + R V 4 6() = E() L + L + L + H 5() L + L + L R + H 4 5() L + L + Nelle prime re equazioni delle (A.) i faori che moliplicano E () hanno le dimenioni di una ammeenza menre quelli che moliplicano H 5 () ono numeri puri, cioè ono coefficieni di proporzionalià. Invece nell ulima delle (A.) il faore che moliplica E () è un coefficiene di proporzionalià menre quello che moliplica H 5 () ha le dimenioni di una impedenza. Come deo, a quei faori ono dei Funzioni di Traferimeno. Come deo in par.5, aniraformando le epreioni (A.) i poono deerminare gli andameni raniori nel empo delle variabili dipendeni. Come eempio dell applicazione del meodo decrio ommariamene in par.5, ed in paricolare con riferimeno all equazione (6), i ripora qui il procedimeno di deerminazione della i () a parire dalla prima delle (A.). Tale equazione può eere mea nella forma I() = I() + I5() = E() FDT () + H5() FDT5 () (A.) che mee pone in evidenza che la I () è daa dalla omma di due ermini, I () e I 5 (), il primo che è il prodoo della E per la FDT (Funzione di raferimeno ra e ed i ), il econdo che è il prodoo della H 5 per la FDT 5 (Funzione di raferimeno ra h 5 ed i ). Per ricavare i () i calcolano eparaamene le aniraformae i () di I () e i 5() di I 5 () e poi i ommano. Per deerminare i () i rovano anziuo le radici del denominaore D() della FDT. In queo cao, raandoi di un polinomio di econdo grado, le radici ono due e i deerminano con la comune formula di oluzione dell equazione di econdo grado corripondene. L + L 4L p = (A.) L L L 4L p = (A.3) L Con i valori dei componeni auni prima, L = mh, C 3 =5 µf, R 4 =75 Ω, i ha p = j p = j (A.4) (A.5) I due poli p e p ono complei coniugai, come deve eere, perché le radici di un polinomio a coefficieni reali, come è il denominaore D(), o ono reali o ono a due a due coniugae. Inroducendo l epreione della L-raformaa di e daa opra, cioè E ()=E /, ed eprimendo il denominaore della FDT in funzione delle ue radici, il primo addendo I () della I () riula E C R E C R I () = = (A.6) L ( p)( p ) L ( p)( p) La (A.6), olre a p e p, ha anche il polo (cioè la radice del denominaore) p3 =. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

14 Perciò, econdo la (6), la (A.6) può eere eprea come omma di re ermini B B B3 I () = + + (A.7) p p p3 dove, purchè le radici iano diine, il generico coefficiene B i relaivo alla radice i-eima è dao dal rapporo del numeraore N( pi ), calcolao per = pi, e della derivaa del denominaore D ( pi ), calcolaa per = pi. Si ha dunque B i = N( pi )/ D ( pi ). Nel cao in eame riula perciò E + p R 4 E + p R B = ; 4 E B = ; B 3 = L p ( p p ) L p ( p p) L p p (A.8) inroducendo i valori numerici dell eempio e quelli dei poli p, p, p3 i ricava B =.666 j.849 ; B = j. 849 ; B 3 =. 333 (A.9) E imporane noare che B e B, che corripondono a radici complee coniugae, ono anch ei complei coniugai. Come è noo e i ricava da abelle (ad e. da Tab.A.), l aniraformaa di F() = B/( p ) vale f() = B exp( p ). Quindi, l aniraformaa f () del primo ermine della (A.7) è dao da B p f () = L = B e (A.) p e, indicando con Re p la pare reale di p e con Im p la pare immaginaria di p (dae dalla (A.4)), e ricordando la formula di Eulero, i può crivere [ co( Im ) + jin ( Im ) ] (A.) p (Rep+ jimp) Rep f() = B e = B e = B e p p o anche / T f() = Be [ co( ω ) + j in ( ω ) ] (A.) avendo indicao con T = /Re p la coane di empo e con ω = Im p la pulazione, relaive a p. Inroducendo dalle (A.4) e (A.9) i valori numerici i oiene (.666 j.849) e 3 /(7.5 ) [ co( 386 ) + jin ( 386 ) ] f() = (A.3) riulando da (A.) T = /Re p = /( 33.33)= e ω = Im p = rad/. La f () rappreena una ocillazione morzaa con coane di empo di morzameno T e pulazione ω. Procedendo in modo analogo, enendo cono della (A.), (A.) e dei valori numerici i calcola l andameno della funzione f () che è l aniraformaa del econdo addendo della (A.7) (.666 j.849) e 3 /(7.5 ) + [ co( 386 ) jin ( 386 ) ] f() = (A.4) dove i è enuo cono che co( α)=co(α) e in( α)= in(α), e riula T = /Re p = /(-33.33)= = T e ω = Im p = rad/ = ω. Le due oluzioni f () e f () hanno la ea coane di empo di morzameno, pulazioni uguali in modulo ma oppoe in egno e ono moliplicai per faori complei coniugai. L aniraformaa f 3 () del erzo ermine della (A.7), poiché p3 =, i riduce ad una coane (i veda a.a.) B3 f 3() = L = B3 (A.5) Tenuo cono della (A.9) e della (A.5) i ricava f 3 () =.333 (A.6) Infine, ommando le f (), f () e f 3 (), dae dalle (A.3), (A4), (A.6),. i oiene l andameno nel empo della correne i () /(7.5 i() = f() + f() + f3() = e 3 ) [.333 co( 386 ) +.699in ( 386 ) ] (A.7) In Fig.A..a ono morai gli andameni di e () e di i () E da noare che, pur eendo complei i coefficieni B e B delle due oluzioni eponenziali f () e f (), la i () riula reale, come deve eere, perché ia B e B ia f () e f () ono complei coniugai. Ciò è coneguenza del fao che il denominaore D() della FDT. è un polinomio in a coefficieni reali. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

15 V A h 5 e. A m i i V 4 6 A i 4 h i m i e i 3 i m i 3 i i -. i i 5 -. a b Fig.A.4. Andameni delle enioni e delle correni nel circuio di Fig.A. in raniorio a Correne i () e ue componeni b Tenioni e correni (caue ed effei) nelle varie pari del circuio La deerminazione di i 5 () i fa con lo eo procedimeno eguio per i (). Dalla prima delle (A.) i può conaare che la FDT 5, definia dalla (A.), ha denominaore uguale a quello della FDT Queo fao non è cauale. Si può infai dimorare che, per un dao iema di parenza (A.), e in paricolare per un dao circuio, ue le FDT hanno denominaori con le ee radici, cioè hanno gli ei poli (al più, in qualcuna di ee qualche polo manca). Nel cao di circuii elerici, il numero maimo di ali poli non può uperare il numero di elemeni reaivi della ree. Nel iema (A.), che corriponde al circuio di Fig.A. ed al iema (A.), gli elemeni reaivi ono due (l induanza L ed il condenaore C 3 ) e ad ei corripondono due poli. Ei compaiono in ui i denominaori delle (A.), per cui ui i denominaori delle FDT ono uguali. Poiché, come deo, il denominaore della FDT 5 è uguale a quello della FDT, anche le relaive radici ono le ee. Ee ono epree dalle relazioni (A.), (A.3) ed aumono i valori dai dalle (A.4), (A.5). Inroducendo l epreione della L-raformaa di h 5 daa opra, cioè H 5 ()=H 5 /, ed eprimendo il denominaore della FDT 5 in funzione delle ue radici, il econdo addendo I 5 () della epreione (A.) della I () riula, in bae alla prima delle (A.) H R H I () = = (A.8) L ( p)( p) L ( p)( p) La (A.8), olre a p e p, ha anche il polo (cioè la radice del denominaore) p3 =. Perciò anche in queo cao, econdo la (6), la (A.8) può eere eprea come omma di re ermini B5 B5 B53 I 5() = + + (A.9) p p p3 Procedendo come nel cao precedene, i deerminano i coefficieni B 5, B 5, B 53 H5 H5 H5 B5 = ; B5 = ; B53 = L p ( p p ) L p ( p p) L p p (A.3) inroducendo i valori numerici dell eempio e quelli dei poli p, p, p3 i ricava B 5 = j.59 ; B 5 = +.75 j. 59 ; B 53 =. 5 (A.3) Da quei valori e dalla (A.9), in bae ai valori Re p della pare reale di p e Im p della pare immaginaria di p (dai dalla (A.4)), aniraformando analogamene a quano fao per la (A.7), i oiene l epreione di i 5 () [ +.5 co( 386 ).58 in ( 386 ) ] 3 /(7.5 ) i5() =.5 + e (A.3) dove la coane di empo di morzameno T = /Re p = /( 33.33)= e la pulazione ω = Im p = rad/ ono le ee di i (). Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

16 Sommando la i (), daa dalla (A.5), e la i 5 (), daa dalla (A.3), i oiene la oale correne i () /(7.5 i() = i() + i5() =.67 + e 3 ) [ +.67 co( 386 ) +.8 in ( 386 ) ] (A.33) In Fig.A.4.a, inieme agli andameni di e () e di i (), ono morai anche gli andameni di h 5 (), di i 5 () e della correne riulane i (). In Fig.A.4.b ono morai invece gli andameni oali di ue le variabili, indipendeni e dipendeni, che i hanno nel circuio di Fig.A. nel cao del raniorio coniderao come eempio. Come i è pouo conaare, la rioluzione dei raniori con le L-Traformae, anche e emplifica l inegrazione delle equazioni differenziali, è comunque abbaanza laborioa. Inolre, e le variabili indipendeni non hanno andameni emplici e di cui iano noe le L-raformae, le funzioni che i oengono ono di difficile raformazione ia direa ia invera. Perciò riula quai empre preferibile per lo udio dei raniori l impiego di programmi di imulazione. L imporanza dell approccio alle L-raformae a oprauo nella definizione di imporani concei, quali le Funzioni di Traferimeno e le loro radici, le relazioni ra lo udio in frequenza e quello alle L-Traformae, i diagrammi di Bode ecc. e nello udio della abilià dei iemi a conroreazione. A.6 Rappreenazione grafica delle Funzioni di Traferimeno Diagrammi di Bode L epreione della Funzione di Traferimeno FDT ra E e la componene I, definia nella (A.), i ricava dalla prima delle (A.) e, analogamene a quano fao per la (A. 6), può eere mea in una forma che pone in evidenza i poli e gli zeri + C R ( ) FDT () 3 4 z = = (A.34) L C R L R L ( p)( p ) dove i poli p e p hanno i valori 33.33± dai dalle (A.4) e (A.5) e dove lo zero vale z = /(C 3 R 4 )= /τ = /( )= 66 rad/. Soiuendo jω a nella (A.34) e racciando gli andameni del modulo e della fae in funzione di c, i oiene il diagramma di Bode eao morao in Fig.A.5.a (cale logarimiche). Il diagramma ha inizialmene un andameno quai coane, inizia a crecere quando ω i avvicina al modulo dello zero, cioè ω z, e orna a calare quando ω ha uperao il modulo dei poli, cioè per ω> p = p = ( )=48.4 rad/. Si può noare una ovraelongazione (overhoo) del modulo della FDT in corripondenza della pulazione dei due poli complei coniugai. Tale ovraelongazione i verifica in generale quando i inconrano di radici complee coniugae ed è ano più grande quano maggiore è il rapporo ra la pare immaginaria e quella reale della radice ea. Il diagramma eao delle fai è proimo a fae nulla nel rao prima dello zero. Eo ende ad aumenare in proimià del polo, per poi diminuire e endere a 9 dopo i poli. Si può in generale affermare che il diagramma eao delle fai ende a eguire, con andameno addolcio, quello del diagramma ainoico delle fai ee. Per il racciameno del diagramma ainoico della ea FDT, i oerva che il erzo membro della (A.34) ha una forma del ipo indicao dalla (7) di par.6. Ordinando le radici in ordine di modulo crecene, i vede che lo zero precede, di poco, i due poli complei coniugai. Prima dello zero, il diagramma ainoico ha andameno orizzonale, perché l approimazione ponendo = in ui i faori, econdo il crierio indicao in par.6, dà per la FDT un valore del modulo coane z /(L p p ) =/R 4 = Dopo lo zero, a 66 rad/, il faore al numeraore è approimao con =jω, e quindi i ha un coro rao crecene, proporzionale ad ω, rilevabile in figura. I due poli complei coniugai hanno modulo uguale 48.4 rad/. Dopo ale pulazione, i due faori al denominaore i approimano con (jω jω) e nel compleo la FDT i approima con jω/(l jω jω)=/(l jω). Il diagramma cende quindi con legge iperbolica. E opporuno ricordare che, nel diagramma del modulo M in funzione della pulazione ω, con cale logarimiche le acie ono del ipo X=A o log(ω) e le ordinae del ipo Y=A v log(m), con A o e A v faori di cala opporuni. Se il modulo è proporzionale a ω, cioè M=K ω, coniderando due valori ω e ω di ω, ed i corripondeni valori M e M di M, i rappori di incremeno ono uguali, i ha cioè ω / ω =M /M. Ad eempio e ω crece di vole (una decade), anche M aumena di vole. Se i eprime il rapporo dei moduli in Decibel (db), definii come M(dB)= log (M /M ), un rapporo equivale a db. Si può dunque dire che, e il modulo è proporzionale a ω, il rapporo di incremeno è db/decade. Facendo riferimeno ad un incremeno ω / ω = (oava), i parla invece di Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

17 6 db/oava (aualmene meno uao). Nel cao di proporzionalià ra M e ω coniderao, la relazione ra acia ed ordinaa è del ipo Y=A v log(m)= A v log(k ω )= A v [log(k)+log(ω)]= A v [log(k)+(/a o )X]= =A v log(k)+(a v /A o )X. Gli incremeni di Y riulano dunque proporzionali a quelli di X con andameno reilineo e pendenza (A v /A o ), che divena 45 e A v =A o. Se il modulo è invece proporzionale a ω, cioè M=K ω, la relazione ra i rappori di incremeno divena M /M = =(ω /ω ). Ad una crecia di ω vole (una decade) corriponde un aumeno di m di vole, cioè 4 db. Si ha quindi un rapporo di incremeno di 4 db/decade (o db/oava). Nel grafico, la relazione ra acia ed ordinaa divena Y=A v log(m)= A v log(k ω )= A v [log(k)+ log(ω)]= A v [log(k)+ (/A o )X]= =A v log(k)+(a v /A o )X. Gli incremeni di Y ono dunque ancora reilinei, ma con pendenza (A v /A o ), che divena e A v =A o. Si ha dunque pendenza (rigonomerica) doppia ripeo al cao proporzionale. Analogamene i ha pendenza di 6 db/decade per M proporzionale a ω 3, e coì via. In ui i cai i grafici riulano reilinei con pendenze che poono avere olo valori definii. Nel cao di proporzionalià invera, del ipo M=K /ω n, i rappori di incremeno hanno eponene negaivo e la miura in db, che è logarimica, cambia emplicemene egno. Si hanno coì decremeni di db/decade, 4 db/decade ecc, ed i grafici riulano ancora reilinei, decreceni e con pendenze ( A v /A o ), ( A v /A o ), ecc. Per quano riguarda il diagramma delle fai, eo ha valori coani corripondeni alle divere pendenze del diagramma ainoico: e la pendenza è nulla, ±9 per pendenze ± db/decade, ±8 per pendenze ±4 db/decade e coì via. Nel cao opra coniderao, di dicea con legge iperbolica, cioè con proporzionalià invera, l ulima pare del grafico ainoico è dunque reilinea decrecene con pendenza db/decade e fae 9, come morao in Fig.A.5.a. k k rad/ k k rad/ m Diagramma di Bode eao m ainoico Diagramma di Bode eao m FDT m FDT 5 ainoico m 8 m 8 9 gradi -9-8 ainoico Diagramma delle fai eao 9 gradi -9-8 ainoico Diagramma delle fai eao a b Fig.A.5. Diagrammi di Bode relaivi alle Funzioni di Traferimeno di I () Ricavae dalle eq. (A.8), (A.), (A.) a Diagrammi eai e ainoici della Funzione di raferimeno FDT ra E e I b Diagrammi eai e ainoici della Funzione di raferimeno FDT 5 ra E e I 5 L epreione della Funzione di Traferimeno FDT 5 ra H 5 e la componene I 5, definia nella (A.), i ricava dalla prima delle (A.) e, analogamene a quano fao per la FDT, può eere mea nella forma R FDT () 4 5 = = (A.35) L C R L R L ( p)( p) dove i poli p e p hanno ancora i valori 33.33± dai dalle (A.4) e (A.5) e dove il numeraore non ha radici, cioè non vi ono zeri. Il diagramma di Bode eao che i oiene oiuendo jω a nella (A.35) è morao in Fig.A.5.b. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..

18 Il diagramma ha inizialmene un andameno quai coane, inizia a crecere quando ω i avvicina al modulo modulo dei poli, cioè ω p = p = ( )=48.4 rad/. Superao ale valore, eo inizia un rao dicendene più ripido di quello della FDT. Ciò è dovuo all aenza dello zero, per cui il rao dicendene approima un andameno ainoico proporzionale a /ω. Anche in queo cao i una ovraelongazione in corripondenza della pulazione dei due poli, dovua alla pare immaginaria dei poli ei. Con coniderazioni analoghe a quelle fae per FDT, i vede che prima dei poli il diagramma ainoico ha andameno orizzonale di valore /(L C 3 p p )= e perciò la ua fae ainoica in ale inervallo è nulla.. Dopo i due poli complei coniugai, che hanno modulo uguale 48.4 rad/, nel compleo la FDT 5 i approima con /(L jω jω)= /(L ω ). Il diagramma cende quindi con pendenza 4 db/decade e quindi con fae ainoica pari a 8. Coro di Fondameni di Eleronica - A.A Richiami ulle Funzioni di Traferimeno..