CM89sett.tex COMPLEMENTI DI MATEMATICA a.a Laurea magistrale in Ingegneria Elettrotecnica

Transcript

1 1 CM89se.ex COMPLEMENTI DI MATEMATICA a.a Laurea magisrale in Ingegneria Eleroecnica Nona seimana lunedì (2 ore) Commeno della prova parziale (vd. file CM8IcoA-B-C-D.pdf). Definizione del prodoo di convoluzione in R, sua associaivià e commuaivià, sua sommabilià Teorema sulla rasformaa di Fourier del prodoo di convoluzione (3.6). Menzione del eor. di Fubini-Tonelli sull inveribilià dell ordine di inegrazione e sull uguaglianza ra inegrale doppio e inegrale ierao. Definizione di larghezza di banda: banda rigorosamene limiaa: se ω : [F(f)](ω) = per ω > ω ; banda praicamene limiaa: deo M = max ˆf() se ω : [F(f)](ω) < am per ω > ω, dove soliamene a =, 5. L esremo inferiore ω di ali ω si dice larghezza (convenzionale) di banda. Campionameno...1 Teorema. (di Shannon) - Sia F a banda rigorosamene limiaa, e sia ˆf(ω) = per ω > ω. Allora f() = + k= Grafico delle sinusoidi smorzae. ( kπ ) sin[(ω ( (kπ/ω ))] = f ω ω ( (kπ/ω )) Caso paricolare (accenno): la rasformaa di Fourier della funzione h() = A rec T, che rappresena una funzione che vale A per compreso ra T/2 e +T/2 e alrove, risula essere una sinusoide smorzaa. In paricolare, prendendo

2 2 A = 1, =, T = 2a si ha ˆf sin aω = 2 che non è sommabile su R. ω Peralro, se la si considera sommabile e si fa l inegrale generalizzao G(ω) = 2 lim K + K sin a 2 cosω d si oiene proprio (quasi) la funzione rec, a pare due puni di disconinuiaà. Non si raa di una rasformaa di Fourier, ma quasi. Peralro, considerando nello spazio delle frequenze una funzione di ipo rec che vale 1 per ω ω e applicando a quesa la formula di inversione si ha: 1 + g(ω) e iω d = 1 2π 2πi (eiω e iω ) = sin ω π che è un sinusoide smorzaa. Teorema del cambiameno di scala (f(a)). Noare che viene il faore 1/a maredì (2 ore) Disinzione ra gli inegrali di una funzione che ha inegrale su una semirea qualunque sia la successione di inervalli che la invade e invece K lim K f(x) dx che considera il limie su quella successione paricolare di inervalli invadene la semirea che cominciano sempre da e erminano a K. In generale, un inegrale su un insieme su cui una funzione non è coninua, oppure su un insieme non limiao, calcolao come limie di inegrali fai su una successione invadene ale insieme, si dice inegrale improprio e il suo valore si dice valore principale (di Cauchy) e davani al segno di inegrale si scrive v.p. per indicare che l inegrale è sao calcolao come limie di inegrali fai su una successione paricolare. Un esempio è l inegrale 1 di fao come limie di inegrali calcolai su successioni di coppie di inervalli simmerici rispeo all origine. Ovviamene, come per ue le fun- x zioni dispari, il suo valore principale è nullo. Un alro esempio, che ine- K ressa la L-rasformaa, è l inegrale dao come lim K f() e s d. A vole, per insisere che si raa di quel ipo di inegrale, invece che scrivere K lim K f() e s d si anepone una piccola freccia e si scrive: f() e s d.

3 3 Inroduzione alla rasformaa di Laplace. Valgono i segueni eoremi: I) Una funzione sempre posiiva (o nulla) ha inegrale (finio oppure + ) indipendene dalla successione. II) Una funzione ha inegrale finio indipendene dalla successione se e solo se il suo modulo f(x) ha inegrale finio (L inegrale del modulo, sane il eor. precedene, è indipendene dalla successione). Nauralmene ciò riguarda la finiezza oppure no degli inegrali; il lorovalore, se la f non è sempre dello sesso segno,è chiaramene diverso. Ovviamene, se una funzione ha inegrale finio indipendene dalla successione, il calcolo viene poi effeuao su una paricolare successione comoda, che molo spesso è proprio la successione di inervalli simmmerici rispeo ad un puno di non coninuià o, sulla rea, la successione degli inervalli simmerici [ K, K], o, sulla semirea, la successione degli inervalli [, K]. Poiché il calcolo viene sempre effeuao così, nella praica ingegnerisica viene perduo il senso della evenuale dipendenza dell inegrale dalla successione invadene e viene chiamao ranquillamene inegrale quello che è invece il valore principale. Ovviamene, sane il eor. I), una funzione che ha inegrale su una rea (o semirea) dipendene dalla successione invadene la rea (o semirea) può essere solo una funzione di segno variabile. L unica che abbiamo inconrao di queso ipo è la sinusoide smorzaa sin il cui inegrale non esise finio (l inegrale del modulo risula + ), ma il cui valore principale fao come limie per K degli inegrali sulla successione di inervalli [, K] è invece finio (vale π). 2 Noi considereremo solo la rasformaa assolua di Laplace, cioè la rasformaa di quelle funzioni per le quali esise finio l inegrale del modulo (def , p. 168) e ue le vole che parleremo di inegrale inenderemo, a meno che non sia specificao alrimeni, l inegrale effeivo, non semplicemene il valore principale. Definizione dello spazio L loc R +. Definizione di rasformabilià assolua (4.1.11) e di rasformaa assolua (4.1.14). Si noi la possibilià (che noi applicheremo sempre) di omeere l aggeivo assolua.

4 4 Esisenza della rasformaa (assolua) in un semipiano (enunciao del eor ), che si dirà semipiano di convergenza. Ascissa di convergenza (assolua), indicaa con ρ (4.1.15). Calcolo della L-rasformaa della funzione di Heaviside (funzione gradino ), dell esponenziale e k, delle funzioni seno e coseno come combinazioni lineari di esponenziali (ali rasformae sono anche assolue, quindi non viene evidenziaa differenza). Trasformabilià delle funzioni O(e k ), O( k ). Trasformabilià dei polinomi (4.2.6). Convergenza uniforme di un inegrale. Uniforme convergenza dell inegrale di Laplace su un angolo convesso del suo semipiano di convergenza (eor , dove ρ è da inendersi l ascissa di convergenza assolua ρ). Tendenza a della rasformaa enro un angolo convesso (4.2.7, senza dim.) Tendenza a di [L(f)](s) s sulle ree vericali (4.2.1) giovedì (2 ore) Esempio di funzione pur localmene sommabile che non ha rasformaa di Laplace per nessun valore di s (4.1.8). Esisenza dell inegrale di Laplace per ue le funzioni sommabili (e non solano localmene sommabili), e endenza a zero di ale inegrale per ui gli s con Re(s) (4.2.8, 4.2.9). Prima formula fondamenale e olomorfia della L-rasformaa (4.2.12) [L(f)] [n] = ( 1) n L( n f()) Confrono con la rasformaa di Fourier riguardo alla derivabilià e endenza a zero.

5 5 Trasformaa di f() : ( f() ) L = s [L(f)](σ) dσ Si noi che l inegrale va da un puno s all infinio su un qualsiasi cammino inerno ad una ngolo convesso del ipo A(s, θ). Si fa prima la derivaa della rasformaa di Ff)/ e viene L(f), e poi si inegra da s a s e viene un +c; ma poiché il primo membro è una rasformaa, deve endere a e quindi l inegrale da s all infinio vale c, e quindi rimane l inegrale da s all infinio. ***************************************** Non fanno pare del programma d esame: 3.8.1; 3.8.2; da alla fine del Cap. 3; 4.1.3; 4.1.6; ; dim. di 4.2.1; 4.2.3; dim. di 4.2.7; dim. di