MATEMATICA PER L ELABORAZIONE DEI SEGNALI a.a

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1 MATEMATICA PER L ELABORAZIONE DEI SEGNALI a.a Crs inegra cn Teria dei Segnali Maredì 8,30-11,30 Mercledì 8,30-10,30 Givedì 8,30-10,30

2 Esame del crs inegra: è cmplea quand si è supera sia sia Maemaica per i segnali Teria dei Segnali Le due pari devn essere cmpleae enr 6 mesi

3 Esame di Maemaica per l Elabrazine dei segnali: cnsise di 2 pari: Esercizi (scri: 45 minui) Teria (scri: 2 dmande, 45 minui) Il superamen della pare Esercizi è prpedeuic alla pare di Teria. E cnsiglia svlgere Esercizi e Teria nell sess girn.

4 Tesi di riferimen: Teria: Appuni in Cpiseria, Diapsiive sul si Esercizi: Badia - Mari MaES Piagra Edirice Orari ricevimen: Maredì 11,30-13,00 press Palazzina Presidenza E. mail: mai@unife.i

5 Maemaica per l elabrazine dei segnali Teria dei segnali segnale: segn cnsciu cnvenu fra due più persne cn il quale si dà nizia, avverimen simili, di qualcsa.

6 può essere di diverse specie: -ic(di fum, sradale, manifes...) -acusic(sirena, clacsn...) -eleric(cardigramma ) - elermagneic (Mrse, radi ) -.

7 presuppne: - una srgene che l emea inenzinalmene usand cdici cnvenui - un ricevene che l racclga e sappia radurne il significa Sl a quese cndizini si ha un segnale, ciè la rasmissine di un infrmazine

8 Per sudiare, elabrare e caraerizzare un segnale si è slii schemaizzarl, uilizzand il linguaggi maemaic, mediane pprune funzini - di 1 più variabili reali ( cmplesse) - a valri reali veriali ( cmplessi)

9 In ques crs sudierem sl segnali che pssn essere descrii da funzini: - di una variabile reale - definie su un inervall di I - a valri reali cmplessi

10 Tali segnali pssn perciò essere schemaizzai nel md seguene: x: I, I inervall,.c. ppure : ( ) x z : I, I inervall,.c. ( ) = ( ) + j ( ) z x y j= (0,1) c.. j = 1 2

11 Esempi 1. La funzine sinusidale: x() = sin E un segnale cninu su

12 csì cme cs = sin ( + ) sn segnali reali cninui su u, ciè per gni di π 2 peridici di perid 2π sin è dispari: sin (- ) = - sin cs è pari: cs (- ) = cs

13 Esempi 2. sinc sin ( π ) 0 = π 1 = 0 E un segnale cninu su La funzine è pari: per 0: sin ( π) sin ( π) = = π π sinc( ) = sinc

14 per 0: sin ( π ) 1 π π ciè 1 sin ( π ) 1 π π π e: sinc = 0 sin π = 0 π = kπ k \ 0 vver : sinc = 0 = k, k \ 0 ( ) { } {}

15 sinc sin ( π) = π 0 1 = 0

16 Esempi 3. La funzine espnenziale cmplessa: z() = cs + j sin = e j E un segnale cmpless cninu su peridic di perid 2π di ampiezza ( mdul) uniari: j 2 2 z = e = cs + sin = 1 () ( ) ( )

17 Mli segnali NON sn cninui su ma cninui a rai Definizine: Una funzine f definia su si dice cninua a rai se, cmunque si scelga un inervall limia e chius ab,, in ale inervall f è cninua ranne al più un numer fini di puni in cui f presena discninuià di ip sal.

18 In alre parle: se a, b è un pun di discninuià per ( ) f allra esisn finii: lim + f ( ) f ( + ) ( ) e f lim f ( ) Si chiama sal di f in il valre e che vengn indicai rispeivamene cn s f f ( ) ( + ) ( ) =

19 Esempi 4. Il gradin uniari è il segnale defini da : u () 1 > 0 1 = = < 0 u( ) è cninu a rai (brevemene: C-rai ) il su grafic è:

20 u() 1 1/2 0 C è un unic pun di discninuià in = 0. ( ) + Piché u 0 1 e u 0 = 0 risula = ( ) s ( 0) = 1

21 Definizine. Un segnale x si dice causale se x ( ) ( ) = 0 < 0 Dunque u è un segnale causale. () Si sservi che per gni funzine f definia in si ha che u f è un segnale causale. ( ) ( )

22 Esempi 5. Cnsideriam la funzine f ( ) = cs Il segnale x( ) = u( )cs è un segnale causale. C è un unica discninuià in = 0 cn s 0 = 1 ( )

23 Esempi 5bis. Cnsideriam la funzine f ( ) = sin Il segnale x( ) = u( )sin è un segnale causale. x() 1 Il segnale nn ha discninuià; è cninu in

24 Esempi 6. Cnsideriam la funzine f ( ) = e ( ) = ue ( ) Il segnale x è un segnale causale. x() 1 0 C è un unica discninuià in cn s 0 = 1 ( ) = 0

25 Esempi 7. Cnsideriam la funzine 1 > 0 sgn( ) = 0 = 0 1 < 0 x() 1 0-1

26 C è un unica discninuià in cn s ( 0) = 2 = 0 L sess segnale può essere anche espress cme: ppure: sgn( ) se 0 = 0 se = 0 sgn( ) = 2u 1 ( )

27 Esempi 8. Cnsideriam la funzine rec() 1 1 < = = > 2

28 x() 1 1/2-1/2 1/2 L sess segnale può essere anche espress cme: 1 1 rec() = u + u 2 2

29 Ci sn due puni di discninuià: = 1 = 2 2 cn 1 s = 1 2 Si sservi: s ( ) s 1 ( ) 2 1 s 2 = 1 > 0 sal" in su" < 0 sal" in giù"

30 Definizine. Un segnale x( ) si dice a duraa limiaa se esise un inervall limia e chius ab, ale che x a b ( ) = 0 [, ] Dunque rec è un segnale a duraa limiaa. ( )

31 Il segnale rec ( ), insieme cn i sui raslai, è spess uilizza per selezinare rai di duraa limiaa di segnali esprimibili in frma analiica. A al fine si ricrdi che: se A, e Arec 2T è un reangl di alezza, di asse e duraa 2T 0 0 T > 0 A 0 =

32 Arec 2T 0

33 Esempi 9. Cnsideriam la funzine f ( ) 1 = x() Se la mliplichiam per il reangl raeggia in figura, ciè rec 2 eniam:

34 x = 1 rec 2 () ( ) x() Ques segnale, cninu su è chiama: riang ( )

35 Ricrdand che: Un segnale x( ) si dice cninu a rai se, cmunque si scelga un inervall limia e chius ab,, in ale inervall x( ) è cninu ranne al più un numer fini di puni in cui presena discninuià di ip sal. Pssiam dedurre che:

36 1. Se x( ) è C-rai, allra è limia su gni inervall di lunghezza finia ab,. 2. Se 0, 1, 2..., n+ 1 sn i puni di discninuià di x( ) in ab,, ne segue che x( ) è Riemann inegrabile in ab, e risula: b a f d n = () i+ 1 () i= 0 i f d

37 Definizine. Un segnale x( ) C-rai su è de peridic di perid T > 0 se: x + T = x ( ) ( ) Osservazine 1. Se x() è C-rai e peridic, essend Riemann inegrabile su gni inervall di lunghezza finia, l è su gni inervall di lunghezza T; inlre, per la peridicià

38 risula che, per gni a vale: a+ T a /2 () = () xd T T /2 xd Osservazine 2. Se x( ) è C-rai e peridic, essend limia su gni inervall di lunghezza finia, l è su gni inervall di lunghezza T, e quindi, per la peridicià, su u.

39 Esempi 10. Il segnale: + kt () x = rec k = T cn 0 < T < T è enu ripeend peridicamene (cn perid ), il reangl, T 0 rec T

40 rec T è un reangl alezza 1, asse e ampiezza T = 0 + kt () x = rec k = T ha il seguene grafic: x() 1 -T /2 T /2 T -T/2 0 T/2

41 + x() = rec k = T kt x() 1 -T /2 T /2 T -T/2 0 T/2 è un segnale C-rai chiama nda quadra di perid T

42 Esempi 11. Il segnale: + kt () x = riang k = T /2 T > 0 è enu ripeend peridicamene (cn perid ), il riangl, T 0 riang T /2

43 riang è un riangl di alezza 1, asse T /2 = 0 e base T0 + x() = riang k = T kt /2 ha il seguene grafic: x() 1 -T /2 0 T /2 T

44 + x() = riang k = T kt /2 x() 1 -T /2 0 T /2 T è un segnale cninu chiama nda rianglare di perid T

45 Esempi 12. Il segnale: + kt () kt x = rec k = T /2 T T è enu ripeend peridicamene (cn perid ), il segmen, T 0 rec T /2 T > 0

46 il segmen è enu agliand la rea di equazine r() = cn il reangl rec T /2 T x() 1 -T /2 0 T /2

47 + kt kt () x = rec T /2 T k = x() 1 -T /2 0 T /2 è un segnale C-rai chiama nda a dene di sega di perid T