Geometria dello spazio

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1 Gemeria dell spazi RETTE E PINI NELLO SPZIO Una rea è individuaa in md univc da due puni. Un pian può essere individua in md univc da: re puni nn allineai una rea e un pun esern ad essa due ree incideni due ree parallele Psizine reciprca di due ree nell spazi Due ree nell spazi pssn essere: parallele: sn due ree cmplanari che nn hann puni in cmune incideni: sn due ree cmplanari che hann un pun in cmune sghembe: sn ree che nn sn cmplanari (e che perciò nn hann nessun pun in cmune) Dae due ree sghembe r e s la disanza ra r e s è l unic segmen perpendiclare ad enrambe. Tale segmen può essere deermina racciand il pian α passane per s e perpendiclare a r e, de P il pun di inersezine di r cn α, calcland la disanza PH ra P e s. 58

2 Psizine reciprca di due piani nell spazi Due piani nell spazi pssn essere: paralleli: sn due piani che nn hann puni in cmune incideni: sn due piani che hann una rea in cmune Per i piani paralleli vale il Terema di Talee nell spazi Un fasci di piani paralleli inersecai da due rasversali inercea su di esse segmeni crrispndeni prprzinali. 59

3 Due piani incideni, hann invece una rea in cmune e dividn l spazi in quar pari chiamai diedri angli diedri. La rea cmune ai due piani è dea spigl del diedr. Da un diedr, le sezini del diedr enue cn piani perpendiclari all spigl sn angli ui cngrueni. La misura di una qualunque sezine nrmale di un diedr è la misura dell ampiezza del diedr sess, perciò se la sezine nrmale del diedr αβ è 60, direm che il diedr αβ misura 60. Psizine reciprca di una rea e di un pian nell spazi Daa una rea r ed un pian α r è parallela ad α se nn hann puni in cmune r appariene ad α se ui i puni di r sn anche puni di α r è incidene cn α se r e α hann un pun P in cmune In ques ulim cas la rea r frma un angl cn il pian α. Tale angl si iene prieand i puni di r su α ed è minre dell angl che r frma cn una qualunque alra rea di α passane per il pun di inersezine P. Un cas pariclare del precedene si ha quand l angl che r frma cn a è 90. Direm che r è perpendiclare al pian α se è perpendiclare a ue le ree del pian passani per il pun di incidenza P. 60

4 ll erema delle re perpendiclari Se dal piede P di una rea r perpendiclare ad un pian α, si raccia la perpendiclare P ad una rea s del pian α, se Q è un qualunque pun su r, allra Q è perpendiclare alla rea s. Prendiam i puni e C sulla rea s in md che Si sserva che i riangli Ma allra anche i riangli P e QP e C. PC sn cngrueni e quindi QPC sn cngrueni e quindi P PC. Q QC. llra il riangl QC è isscele e piché Q è mediana risula anche alezza e quindi Q è perpendiclare alla rea s. 6

5 nglide L anglide è la pare di spazi individuaa da n (n>) semiree aveni rigine cmune, a re a re nn cmplanari e ali che il pian individua da due semiree successive lasci ue le alre dalla sessa pare. Le semiree sn dee spigli dell anglide, la lr rigine cmune è il verice e gli angli frmai da due spigli cnsecuivi sn le facce dell anglide. Un anglide cn re spigli facce è de anglide riedr semplicemene riedr, cn quar facce abbiam un anglide eraedr. Vale la seguene prprieà: In gni anglide di verice V la smma degli angli in V delle facce è minre di un angl gir. 6

6 POLIEDRI Definizine di pliedr Si chiama pliedr cnvess la przine di spazi delimiaa da pligni a due a due nn cmplanari ale che gni la dell un sia in cmune ad un alr di essi e il pian individua da gni plign lasci ui gli alri dalla sessa pare. Per ui i pliedri cnvessi vale la Relazine di Euler Da un qualunque pliedr cnvess, indica cn F il numer delle facce, cn V il numer dei verici e cn S il numer degli spigli si ha che FVS Dimsrazine Cnsideriam una sla faccia: F e VS, per cui FVS. (*) ggiungiam un alra faccia: F aumenerà di e se V aumena di x, S aumenerà della quanià x, e quindi vale ancra che e la relazine (*) resa invariaa. (F)(Vx)(Sx) Cninuiam ad aggiungere csì una faccia alla vla in md che alla fine rimanga da aggiungere sl l ulima faccia: in ques cas F aumenerà di e V e S rimarrann invariai, perciò si avrà FVS 6

7 Prisma Un prisma è un pliedr delimia da due basi uguali e ugualmene dispse su piani paralleli, avene per facce laerali dei parallelgrammi enui cngiungend i verici crrispndeni dei pligni di base. La disanza ra i piani delle basi è l alezza del prisma. Un prisma è re se le se gli spigli laerali sn perpendiclari ai piani delle basi e se perciò le facce laerali sn reangli. In un prisma re gli spigli laerali sn anche alezze. Un prisma re è reglare se ciascuna delle basi è un plign reglare. Vlume e superficie di un prisma re S S L T p S V S base base base h h S L Parallelepiped Un parallelepiped è un prisma in cui anche le basi sn parallelgrammi. Le facce del parallelepiped sn a due a due cngrueni e parallele. Un parallelepiped è reangl se ha per facce reangli a due a due ppsi, cngrueni e paralleli. E un prisma re che ha per basi dei reangli. Vlume e superficie di un parallelepiped reangl S p h ( a b) c S L T S V S d a base 6 base base h abc b S L c ab ( a b) c ( ab bc ac)

8 Cub Il cub esaedr reglare è un pliedr che ha per facce sei quadrai uguali. E evidene che il cub è un pariclare parallelepiped, avene le re dimensini uguali: abcl. Vlume, superficie, diagnale di un cub di la l S T 6l V S base h l d ( l) l l Piramide La piramide si iene agliand un anglide cn un pian che nn passi per il verice e che incnri ui gli spigli. E perciò un pliedr limia da un plign (base) e da riangli (facce laerali). secnda del ip di plign di base si parla di piramide rianglare eraedr, quadranglare, penagnale. L alezza della piramide è la disanza dal verice V al pian della base. Una piramide dice rea se il plign di base è circscrivibile ad una circnferenza e l alezza cade nel cenr di quesa. Una piramide rea si dice reglare se il plign di base è un plign reglare. Se una piramide è rea, le alezze delle facce laerali sn ue uguali e prendn il nme di apema che indichiam cn a.. 65

9 Superficie e vlume di una piramide rea a S S L T h S ( V S r base base p base S h a) L S base ( p base Prge Maemaica in Ree a) Vlume della piramide Per ricavare il vlume della piramide ricrdiam il Principi di Cavalieri Due slidi che si pssn disprre rispe ad un pian in md che gni pian parallel a ques individui su di essi sezini equivaleni, sn ra lr equivaleni, hann ciè l sess vlume. Uilizzand ques principi si può dimsrare che due piramidi che hann basi equivaleni e sessa alezza hann l sess vlume. Dimsriam la frmula del vlume per una piramide a base rianglare. D E F Cnsideriam la piramide a base rianglare CE e csruiam un prisma avene la sessa base C e E cme spigl laerale. P P P C Il pian CE divide il prisma in due piramidi:la piramide CE (P) e la piramide DFCE (PP) che può essere scmpsa nelle piramidi P e P dal pian EDC. Si sserva che P e P, avend basi DC e DFC equivaleni (enrambe meà dell sess parallelgramm), e la sessa alezza (avend l sess verice E) sn equivaleni. D alra pare P e P sn equivaleni avend basi C e EFG cngrueni e sessa alezza (quella del prisma). Segue che P, P, e P sn equivaleni e la piramide P ha vlume pari alla erza pare del prisma. V Piché una qualunque piramide a base plignale può essere scmpsa in più piramidi a base rianglare aveni ue la sessa alezza si ha che V ST h ST h... STn h Sbase h T T T 66

10 Trnc di piramide Il rnc di piramide si iene agliand una piramide cn un pian parallel alla base. V L alezza del rnc di piramide è la disanza ra i piani delle basi. apema della piramide x h apema del rnc Un rnc di piramide si dice rnc di piramide rea se è sa enu sezinand una piramide rea. Un rnc di piramide rea si dice rnc di piramide reglare se il plign di base è reglare. Nel rnc di piramide rea le alezze delle facce laerali, che sn ue rapezi, sn ue uguali e prendn il nme di apema del rnc a. Vlume e superficie di un rnc di piramide rea Indichiam cn la base maggire e cn b quella minre SL [( p pb) a ] ST b SL b [( p pb ) a ] V ( b b) h Dimsriam la frmula per il vlume. x Per la similiudine si ha ( x h) e quindi si ha b x da cui ( x h) b x x b ( x h) b h b ( b ) b h b e quindi V ( x h) bx h ( b) h [ h h b bh] [ b b] [ x] [ h b h( b )] 67

11 Pliedri reglari Un pliedr cnvess si dice reglare quand le sue facce sn pligni reglari ui uguali e i sui anglidi sn uguali. Quani sn i pliedri reglari? Ricrdiam che in un anglide le facce sn almen re e che la smma degli angli delle facce è minre di un angl gir. Ciò limia la pssibilià di enere pliedri reglari a cinque casi. Pligni reglari Triangli equilaeri (angli 60 ) Numer di facce in un verice Smma degli angli delle facce Nme del pliedr N. Verici N. Spigli N. Facce 80 <60 Teraedr 6 0 <60 Oaedr <60 Icsaedr Nn esise Quadrai 70 <60 Cub Esaedr 8 6 (angli di 90 ) Nn esise Penagni <60 Ddecaedr 0 0 (angli di 08 ) >60 Nn esise Esagni (angli 0 ) Nn esise Sricamene l sudi dei pliedri reglari si fa risalire a Piagra nella cui scula assunser un rul magic e venner chiamae figure csmiche. Plane li cllegava alle frme degli elemeni della naura: cub paricelle di erra eraedr fuc aedr aria icsaedr acqua ddecaedr la frma dell Univers 68

12 Prblemi di gemeria slida Pliedri. Cnsidera un eraedr reglare di spigl l. Deermina superficie e vlume. Deermina l angl diedrα frma da due facce del eraedr. [S l ;V l ; csα α 70, 5 ]. Cnsidera una piramide rea avene per base un riangl equilaer C di la l e avene angl diedr HV (H alezza del riangl relaiva a C ). Deermina superficie e vlume della piramide. [S l ; V l ] C di la l.. Cnsidera una piramide rea avene per base un riangl equilaer Esprimi in funzine dell angl diedr x HV (H alezza del riangl relaiva a C, V verice della piramide) superficie e vlume della piramide. Per quale x il vlume risula l? l [S(x) l ( ); V ( x) gx x ] cs x. Cnsidera una piramide rea avene per base un quadra CD di la l e de x OHV (O cenr del quadra, H pun medi di un la del quadra, Vverice piramide) deermina superficie e vlume della piramide in funzine di x. [S(x) l ( ) cs x ; V(x) l 6 gx ] 5. Per quale x dell esercizi precedene si iene meà di un aedr reglare? [cs x x 5, 7 ] 6. Cnsidera una piramide rea avene per base un esagn reglare di la l. Se OHV dve O è il cenr dell esagn, H il pun medi di un spigl di base e V il verice, deermina superficie e vlume della piramide. [S 9 l ;V l ] 69

13 7. Cnsidera una piramide avene per base un reangl CD cn l e C l e avene il piede dell alezza O pun di incnr delle diagnali di base. Se OHV (dve H pun medi di C, V verice piramide ) deermina superficie e vlume della piramide. [S ( ) l ; V l ] 8. Cnsidera una piramide P di alezza h e verice V e agliala cn un pian parallel alla base, disane h da V, individuand csì una piramide P di alezza h. Dimsra che ra il vlume V di P e il vlume V di P esise la relazine: V ' h' V h 9. quale disanza h dal verice V di un eraedr reglare VC di spigl l si deve cndurre un pian parallel alla base C in md da saccare un eraedr V C avene vlume pari alla meà del vlume del eraedr VC? [h l * ] 0. Deermina l spigl dell aedr reglare inscri in un cub di spigl l (si cngiungn i cenri delle facce del cub). l [ ]. Deermina l spigl del cub inscri in un aedr reglare di spigl l. [ l ]. Deermina l spigl del eraedr reglare inscri in un eraedr reglare di spigl l. [ l ] 70

14 SOLIDI DI ROTZIONE Si chiama slid di razine il slid genera dalla razine di una figura piana inrn ad una rea r secnd un angl α. Se α è un angl gir allra si dice che la razine è cmplea. In gni razine cmplea gni pun P della figura piana descrive una circnferenza apparenene al pian perpendiclare a r passane per P. Fra i slidi di razine iniziam cn l sudiare cilindr, cn e sfera. Cilindr circlare re ( semplicemene cilindr) Un cilindr si dice equilaer quand hr Il cilindr circlare re ( semplicemene cilindr) è il slid di razine genera dalla razine cmplea di un reangl arn ad un dei sui lai. Il la arn a cui rua il reangl è de alezza del cilindr. Gli alri due lai perpendiclari all alezza sn dei raggi di base. Vlume e superficie di un cilindr S S L T p base S V h r h r h L r h r h La frmula del vlume è analga a quella del prisma piché per il principi di Cavalieri il cilindr è equivalene ad un prisma che ha base equivalene e uguale alezza. Un prisma re è inscri in un cilindr se le basi del prisma sn inscrii nelle basi del cilindr Un prisma re è circscri ad un cilindr se le basi del prisma sn pligni circscrii ai cerchi di base del cilindr ed gni faccia laerale del prisma è angene alla superficie laerale del cilindr. 7

15 Cn circlare re ( semplicemene cn) Il cn circlare re ( semplicemene cn) è il slid di razine genera dalla razine cmplea di un riangl reangl arn ad un dei sui caei. Il la arn a cui rua il riangl è de alezza h del cn. L alr cae è il raggi di base r. L ipenusa del riangl reangl descrive la superficie laerale ed è dea apema a. Un cn si dice equilaer quand ar, ciè quand la sezine che si iene agliandl cn un pian perpendiclare alla base passane per il verice è un riangl equilaer. Vlume e superficie di un cn S S V L T p S base L a r a r h r r a h La frmula del vlume è analga a quella della piramide piché per il principi di Cavalieri il cn è equivalene ad una piramide avene la sessa alezza e la cui base abbia la sessa area della base del cn. La frmula dell area della superficie laerale si iene dal fa che ale superficie può essere sviluppaa in un sere circlare di raggi pari all apema a e perciò essa, ricrdand che l area di un sere circlare è pari a * arc * raggi, S l r a r a 7

16 7 Trnc di cn Il rnc di cn si iene agliand un cn cn un pian parallel alla base, ppure può essere pensa cme la razine cmplea di un rapezi reangl inrn al la perpendiclare alle basi. Vlume e superficie di un rnc di cn Cn una simblgia ed una dimsrazine analga a quella visa per il rnc di piramide si ha, indicand cn la base maggire di raggi R, cn b quella minre di raggi r e cn a l apema del rnc: [ ] [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Rr r R h h b b V a r R r R a p p b S b S a r R a r R a p p S b L T b L

17 Sfera La sfera è il slid di razine genera dalla razine cmplea di un semicerchi inrn al diamer, ppure è l insieme dei puni dell spazi la cui disanza da un pun fiss, de cenr, è minre uguale alla lunghezza di un segmen assegna de raggi. I puni per cui la suddea disanza dal cenr è pari al raggi frman la superficie sferica. Tagliand la superficie sferica cn un qualunque pian α si iene una circnferenza che ha raggi massim quand α passa per il cenr. Vlume e superficie di una sfera S V r r Vlume della sfera Dimsriam la frmula per il vlume mediane passi successivi. ) Un cilindr avene raggi e alezza r è equivalene alla smma di un cn avene raggi e alezza r e di una semisfera di raggi r. Infai se agli i re slidi cn un pian parallel ad una disanza h dal pian di appggi, le sezini hann aree rispeivamene r, h e ( r h ) che sn quindi legae dalla seguene relazine r h r h ) Per il principi di Cavalieri si ha ( ) vlume cilindr vlume semisfera vlume cn e quindi vlumesfera V ( vlumecilindr vlumecn) r r r r r 7

18 Superficie della sfera Dimsriam ra in md inuiiv e nn rigrs la frmula della misura della superficie. Suppniam di dividere la superficie sferica in aree,,, n individuae da paralleli e meridiani. Pssiam cnsiderare il vlume cme la smma dei vlumi delle n piramidi di base i e alezza r. Quindi r r r... r n r r r Pari della superficie sferica e della sfera Cala (segmen sferic ad una base) e zna sferica (segmen sferic a due basi). Da un pian α secane una sfera, ess divide la sua superficie sferica in due pari ciascuna delle quali è dea cala (la circnferenza della sezine è dea base della cala, il diamer della sfera passane per il cenr della base della cala, incnra la cala in un pun de verice e la disanza del verice al cenr della base è dea alezza della cala). Se invece cnsideriam la sfera agliaa da un pian, individuiam due pari ciascuna delle quali è dea segmen sferic ad una base. Due piani paralleli dividn una superficie sferica in re pari: due cale e la pare cmpresa ra i due piani chiamaa zna sferica (la disanza ra i cenri delle basi della zna sferica è l alezza della zna). Cnsiderand la sfera agliaa da due piani paralleli, la pare cmpresa ra i due piani è dea segmen sferic a due basi. 75

19 Fus sferic Si chiama fus sferic ciascuna delle due pari in cui resa divisa una superficie sferica da due semipiani aveni cme rigine una rea passane per il cenr della sfera. Dea α l ampiezza del diedr si ha che S f : R α : 60 Spicchi sferic L spicchi sferic è la pare di sfera delimiaa da un fus sferic e dai due semicerchi, lai del fus V S : R α : 60 76

20 lri slidi di razine Olre a cilindr,cn, sfera pssiam sudiare mli alri slidi enui dalla razine cmplea di una figura arn ad una rea. Vediam alcuni esempi. Esempi Cnsideriam un riangl, per esempi acuangl, C e ruiaml inrn alla base. Nella razine il verice C descriverà una circnferenza di raggi CH (vedi figura) e il slid risulerà csiui da due cni di raggi CH unii per la base. Pssiam calclare superficie e vlume del slid enu: S V CH C CH C (smma delle superfici laerali dei due cni) CH H CH H CH ( H H) CH 77

21 Esempi Prge Maemaica in Ree Cnsideriam il slid enu dalla razine cmplea di un rapezi reangl CD inrn alla sua base minre. In ques cas eniam un cilindr \ cn (un cilindr a cui si srae un cn) e quindi: S S S D CD cilindr l( cilindr) l( cn) V V cilindr V cn D HD Esempi Cnsideriam il slid enu dalla razine cmplea di un rapezi isscele CD arn alla rea r (vedi figura). Si iene un rnc di cn \ cn e quindi: S b b S S rnc rnc V V rnc V cn cn l( rnc) l( cn) 78

22 Prblemi di gemeria slida Slidi di razine. Cnsidera il slid enu dalla razine cmplea di un riangl reangl isscele C inrn all ipenusa. Sapend che i caei misuran C C a, deermina superficie e vlume del slid. [S a ; V a ] 6. Cnsidera un rapezi isscele CD avene la bliqu C l e base minre CD l e gli angli adiaceni alla base maggire uguali a. Cnsidera il slid enu dalla razine cmplea del rapezi inrn alla base maggire e deerminane superficie e vlume. ; V [S l l ]. Cnsidera un riangl C avene cs( C ), C l e C. Cnsidera il 5 6 slid enu dalla razine cmplea del riangl inrn al la e deerminane la superficie. 5 [S l ] 5. Cnsidera un riangl isscele C di base l e pni gli angli alla base uguali ad x. Cnsidera il slid enu dalla razine cmplea del riangl inrn alla rea per perpendiclare ad e deerminane superficie e vlume (in funzine di x). Per quale x il vlume risula l? [S(x) l ( ) ; V(x) l gx ; x ] cs x 5. Cnsidera un rapezi reangl CD avene base maggire l, base minre CD l e C. Cnsidera il slid enu dalla razine cmplea del rapezi arn alla 5 base minre CD e deerminane superficie e vlume. [S l (5 ) ; V l ] 6. Deermina il raggi r della sfera inscria e il raggi R della sfera circscria ad un cn di raggi l e alezza l. l 5 [ r ; R l ] 5 7. Deermina il raggi r della sfera inscria e il raggi R della sfera circscria ad un cn l l equilaer di diamer l. [r ; R ] 6 8. Deermina il raggi r della sfera inscria e il raggi R della sfera circscria ad un a) cub di spigl l; b) eraedr reglare di spigl l ; c) aedr reglare di spigl l. l l l 6 [ r ; R ; r ; R l 6 ; r l 6 ; R l ] 79

23 Prblemi di ricapilazine di gemeria slida ) Sia CV una piramide rea avene per base un riangl equilaer C di la l. De O il piede dell alezza VO e ps x OV, deermina superficie e vlume della piramide in l funzine di x. Per quale x il vlume risula V? [ ( x) l ( g x ) l S ; V ( x) gx ; x ] ) Cnsidera una piramide avene per base un reangl CD cn a e C a. Suppnend che l alezza cada nel pun di incnr O delle diagnali di base e de x OHV, dve H è il pun medi di C, deermina, in funzine di x, superficie e vlume della piramide. a Per quale valre di x il vlume risula V? a a [ S ( x) a g x ; V ( x) a gx ; cs x x ] ) Cnsidera il riangl C avene C l e C. Deermina superficie e vlume del slid che si iene dalla razine cmplea di C inrn ad. S l ; V [ ( ) l ] ) Cnsidera un rapezi reangl CD re in e in D, avene D DC a e base maggire a. Deermina superficie e vlume del slid che si iene ruand CD inrn alla rea per C (la bliqu). [ S a ; 7 V a 6 ] 80

24 5) Cnsidera una piramide rea avene per base un quadra CD di la l. De O il piede dell alezza OV e ps x OCV, deermina, in funzine di x, superficie e vlume della piramide. Deermina per quale x il vlume risula V l. 6 Se la piramide viene sezinaa cn un pian parallel alla base saccand un segmen VK VO, deermina il rappr ra il vlume del rnc di piramide che si iene e il vlume della piramide CDV. S ; V ( x) l gx ; 6 [ ( x) l ( g x ) x ; V V rnc piramide 6 7 ] 6) Cnsidera un riangl C avene 5 a, g C, superficie e vlume del slid enu dalla razine cmplea di C parallela ad. g C. Deermina C inrn alla rea per [ S 55 a ; V 00 a ] 7) Cnsidera una piramide rea avene per base un quadra CD di la l e, de H il pun medi di C e O il cenr del quadra, suppni che OHV. Deermina superficie e vlume della piramide. Deermina il raggi r della sfera inscria. l [ S l ; V l ; r 6 6 ] 8) Da un cn di raggi r e alezza h, esprimi in funzine di r e h il raggi r i della sfera inscria nel cn e il raggi r c della sfera circscria al cn. rh [ r i ; r r h r h r c ] h 8

25 9) Cnsidera una piramide rea di verice V e avene per base un riangl equilaer C di la l. Indica cn O il piede dell alezza, sapend che OV, deermina superficie e 6 vlume della piramide. Calcla inlre (apprssimandl cn l us della calclarice) l angl diedr α frma ra la faccia laerale e il pian di base della piramide. [ S 7 ) ( l ; l 6 V ; 9, α ] 0) Cnsidera una piramide avene per base un riangl reangl C, re in, cn a e C a.sia V a l alezza della piramide. Deermina superficie e vlume della piramide. Deermina inlre il vlume del rnc di piramide enu sezinand la piramide daa cn un pian parallel alla base passane per il pun medi di V. [ S 6a ; V a ; 7 a VT ] ) Cnsidera un rapezi isscele di base minre DC l e la bliqu di misura l. Se C D deermina la superficie e il vlume del slid enu dalla razine cmplea del rapezi arn alla base minre. [ S l ( ) ( ) V l ] ) Cnsidera un riangl C avene che si iene dalla razine cmplea di vlume. 7 cs e 5 cs e 5l. Disegna il slid 5 C inrn alla rea per. Calcla superficie e [ S 9 l ; V l ] 5 5 )*Cnsidera una piramide avene per base il quadra CD di la l e avene alezza V l (sserva che nn si raa di una piramide rea). Deermina superficie e vlume della piramide (ricrda il erema delle re perpendiclari ). [ S l l ; l V ] 8

26 COMPLEMENTI DI GEOMETRI DELLO SPZIO La gemeria analiica dell spazi Il sisema di riferimen caresian rgnale nell spazi Un sisema di riferimen caresian rgnale nell spazi è csiui da re ree x, y,z incideni in O (rigine), a due a due perpendiclari ed rienae cme in figura: un qualsiasi pun P del pian è quindi individua da una erna rdinaa di numeri reali ( x ; y; z) dei rispeivamene ascissa, rdinaa e qua. x; y rappresena la priezine di P sul pian Oxy. Il pun ( ) Disanza di un pun dall rigine del sisema La disanza OP si può calclare deerminand prima O x y e pi applicand ancra il erema di Piagra al riangl reangl OP (re in ): OP O z. In cnclusine : OP x y z Disanza ra due puni Dai due puni ( x ; y ; z ) e ( x y ; z ) ; la disanza si calcla in md analg al prcedimen usa per la disanza di un pun dall rigine, pensand di prare l rigine del sisema di riferimen in e si ha quindi: ( x x ) ( y y ) ( z z ) 8

27 Veri Nella gemeria analiica dell spazi è pariclarmene uile saper perare cn i veri. Osserviam che ad un pun P ( x y; z) ; pssiam sempre assciare il vere OP dve O è l rigine del sisema di riferimen. Smma di veri Se cnsideriam i veri O cn ( x ; y ; z ) e O cn ( x y ; z ) ; si dimsra facilmene che O O è un vere applica nell rigine e avene cme secnd esrem il pun x x ; y y ; z z ). ( Differenza di veri Se cnsideriam i veri O cn ( x ; y ; z ) e O cn ( x y ; z ) che ; si dimsra facilmene O O è un vere applica nell rigine e avene cme secnd esrem il pun ( x. x ; y y ; z z ).E imprane sservare che il vere O O è parallel al vere Cnsideriam per esempi ( 0,0,) e ( 0,,0) : il vere O O ha cme secnd esrem ( 0,, ) ed è parallel al vere Veri perpendiclari Cnsideriam due veri O ( x, y, z ) e O ( x y, z ), : se sn perpendiclari il riangl O è re in O e quindi applicand il erema di Piagra avrem: O O x y z x y z ( x x ) ( y y ) ( z z ) Sviluppand, dp aver semplifica, eniam x x y y z z 0 8

28 Equazine di un pian Cnsideriam un pian α : pssiam individuarl cnscend un vere n ( a, b, c) perpendiclare ad ess (viene chiama vere nrmale) e un pun ( ) α (figura realizzaa cn Gegebra D) P x, y, z. P α P P è perpendiclare ad n e quindi a ( x x ) b ( y y ) c ( z z ) 0 Sviluppand abbiam ( ax by cz ) 0 ax by cz Pnend ( ax by cz ) d pssiam scrivere in definiiva ax by cz d 0 che quindi rappresena l equazine di un pian α perpendiclare al vere v ( a, b, c). Osserviam che se d 0 il pian α passa per l rigine O del sisema di riferimen. 85

29 Esempi Suppniam di avere n (,, ) e ( 0,,0) P. Il pian di vere nrmale n passane per P avrà equazine: ( y ) z 0 x y 0 x z Na: se nn abbiam a dispsizine un sfware D e dbbiam disegnare un pian di daa equazine pssiam aiuarci rvand le inersezini cn gli assi. Nel nsr cas per esempi abbiam (,0,0), P (0,,0), (0,0,) Osservazini Il pian Oyz ha equazine x 0 e un pian parallel al pian Oyz ha equazine x k. Il pian Oxz ha equazine y 0 e un pian parallel al pian Oxz ha equazine y k. Il pian Oxy ha equazine z 0 e un pian parallel al pian Oxy ha equazine z k. Se c 0 α è parallel all asse z; Se b 0 α è parallel all asse y; Se a 0 α è parallel all asse x. 86

30 Piani paralleli Due piani α : ax by cz d 0 e β : a' x b' y c' z d' 0 sn paralleli quand i veri a' b' c' nrmali sn paralleli e quindi quand ( a', b', c' ) k( a, b, c). a b c a ' b' c' d' Se si ha i due piani sn cincideni. a b c d Piani perpendiclari Due piani α : ax by cz d 0 e β : a' x b' y c' z d' 0 sn perpendiclari quand i veri nrmali sn perpendiclari ciè quand il lr prd scalare è null e quindi quand a a' b b' c c' 0. Pian passane per re puni nn allineai Cme si deermina l equazine di un pian passane per re puni assegnai? Cnsideriam per esempi ( 0;0;0) ( ;; ) e ( 0;0;) C. Per deerminare le incgnie a,b,c,d dell equazine ax by cz d pssiam ssiuire nell equazine generale le crdinae dei puni e rislvere il seguene sisema: d 0 a b c d c d 0 d 0 0 a b c 0 a b 0 b a c 0 Quindi l equazine del pian è del ip: ax ay 0 e piché a 0 (alrimeni a,b,c sarebber ui nulli) dividend per a pssiam scrivere x y 0. Osserviam che il pian passa per l asse z. 87

31 88 Equazine di una rea L equazine di una rea nell spazi può essere espressa cme inersezine di due piani nn paralleli e quindi abbiam: 0 ' ' ' ' 0 : d z c y b x a d cz by ax r (cn c c b b a a ', ', ' nn uguali ra lr) Osservazine: nauralmene cppie diverse di piani incideni pssn rappresenare la sessa rea. Ma c è un md più significaiv di scrivere le equazini di una rea r : se cnsciam un pun P r 0 e la direzine della rea daa da un vere parallel alla rea ( ) c b a v,, (chiama vere direzine), un qualsiasi pun ( ) P P r z y x P,, è parallel a v ciè c z z b y y a x x c z z b y y a x x dve è un paramer reale (da qui il nme di equazini parameriche della rea) Nella figura seguene è sa disegna il pun P crrispndene al valre del paramer. Esempi Le equazini parameriche della rea r di direzine ( ),, v passane per ( ) 0,0, 0 P sn: z y x

32 Osservazini a) Le equazini parameriche pssn anche essere scrie anche in frma più cmpaa (è la scriura che cmpare nella visa algebra di Gegebra D): ( x, y, z) ( x, y, z ) ( a, b c), b) Se v ( a, b, c) è il vere direzine della rea, l sn anche i veri k v( ka, kb, kc) cn k 0 c) Se una rea è daa cme inersezine di due piani pssiam deerminare la sua equazine paramerica pnend una variabile (ra quelle che cmpain nelle equazini dei due piani) uguale al paramer e ricavand le alre in funzine di. z 0 Per esempi se abbiam e pniam x eniam y x y 0 z Rea passane per due puni Cme pssiam deerminare le equazini parameriche della rea passane per due puni assegnai? Cnsideriam per esempi i puni (,0,0 ) e ( 0,, ). Se cnsideriam i veri assciai ai due puni ciè O (,0,0 ) e ( 0,,) O appare evidene che la direzine della rea per e è daa dal vere ( dal vere pps) e quindi pssiam prendere cme vere direzine il vere differenza O O ciè v (,, ) e scrivere le equazini parameriche scegliend cme pun P il pun ppure ( a piacere). Per esempi pssiam scrivere: r y z Ecc cme appare quesa rea uilizzand Gegebra D : 89

33 90 Psizine reciprca di due ree Sappiam che due ree pssn essere incideni parallele (se sn cmplanari) ppure sghembe. Vediam cme pssiam dedurre dalle equazini infrmazini sulla lr psizine reciprca. ) Cnsideriam per esempi le ree segueni λ λ λ, z y x z y x Si sserva che i veri direzine delle due ree ( ) ( ) ;;, ;; sn paralleli e quindi le ree sn parallele (nn sn cincideni perché si verifica facilmene che nn hann puni in cmune). ) Cnsideriam ra le ree di equazine 0 5 :, : z y x s z y x r λ λ In ques cas i veri direzine ( ) ( ) ;;0, ;; nn sn paralleli. Vediam allra se le ree hann un pun in cmune ppure n. Prendiam il sisema frma dalle equazini relaive a due crdinae, per esempi alla y e alla z 0 5 λ λ Quindi abbiam rva per ra 0, z y : andiam a ques pun a ssiuire i valri dei parameri nelle rispeive equazini per rvare l ascissa:, x s x r Dal mmen che abbiam rva la sessa ascissa le ree sn incideni nel pun ( ) ;;0 P. Na: se due ree incideni hann veri direzine perpendiclari allra sn perpendiclari. ) Se nell esempi precedene ssiuisc al ps di nell ascissa di r ciè 0 5 :, : z y x s z y x r λ λ quand vad a ssiuire i valri rvai di e λ nn rv più l sess valre anche per l ascissa e quindi le ree nn hann puni in cmune e, nn essend parallele, sn sghembe.

34 Disanza pun pian Cnsideriam un pian α : ax by cz d 0 e un pun P ( x; y ; z ). P dal pian α si dimsra una frmula analga al cas pian Per calclare la disanza del pun disanza pun rea ciè si ha ax by cz d d( ( x ; y; z ); ax by cz d 0). a b c Na: basa cnsiderare l equazine della rea per vere direzine ( a b; c) Disanza pun rea P perpendiclare ad α (che avrà cme ;, inersecarla cn α e de H il pun di inersezine, calclare P H. Da un pun P e una rea r ( P r ), per rvare la disanza ra P e r si deve rvare l equazine del pian α per P perpendiclare ad r, inersecare α cn la rea r e de H il pun di inersezine calclare P H. Equazini di superfici Farem sl un semplice esempi (per un apprfndimen rimandiam alla scheda della Gemeria analiica dell spazi del labrari di infrmaica). Quali sn le equazini di una superficie sferica di cenr C ( xc yc ; zc ) Piché ui i puni P ( x y; z) Per esempi se ( ;; ) ; e raggi r? ; appareneni alla superficie sferica hann disanza PC r avrem: C e r abbiam: ( x x ) ( y y ) ( z z ) r C C C ( x ) ( y ) ( z ) 9

35 Esercizi Gemeria analiica dell spazi I) Piani nell spazi. Scrivi l equazine del pian passane per i puni ( ;0;0 ) ( 0; ; ) ( ; ;0) C. ] [ x y 5z 0. Disegna il pian α di equazine x y z 0. (Suggerimen: inerseca α cn gli assi crdinai). Deermina l equazine del pian α passane per P ( ;; ) equazine x y z 0 e parallel al pian β di [ x y z 0 ]. Deermina la disanza ra l rigine e il pian passane per i puni ( ;0;0 ) ( 0;;0 ) ( 0;0; ) C. [ ] 5. Deermina la disanza ra i piani α : x y 0 e β : x y 0 ( α // β ) [ ] 6. Cme risulan i piani α : x y z 0 e β : x y z 0? [paralleli] 7. Cme risulan i piani α : x y 0 e β : x y 0? [perpendiclari] 8.Verifica che i puni ( ;0;0 ) ( 0;;0) ( 0;0; ) l equazine del pian passane per essi. C e D ;;0 sn cmplanari e deermina [ x y z 0 ] 9

36 II) Ree nell spazi Prge Maemaica in Ree. Deermina le equazini parameriche della rea r passane per ( ;; 5) e ( 0;; ) a) Il pun ( ;; ) P appariene alla rea?. b) Deermina l inersezine di r cn il pian xy. [ r y ; P r ; ; ;0 ] z. Scrivi la rea z 0 r in frma paramerica. y z 0 [ y z ]. Cme risulan le segueni ree? r y z ; λ s y λ z λ [parallele]. Cme risulan le ree segueni? 5λ r y 7 ; s y λ z z λ 5. Cme risulan r : ( x, y, z) (,0,0 ) λ( ;; ) : ( x, y, z) (,0,0 ) ( ;;0 ) s? [sghembe] [incideni e perpendiclari] 6. Deermina la rea passane per ( ;0;0 ) P e perpendiclare al pian x y 0 x, y, z ;0;0 ; ;0 ] [ ( ) ( ) ( ) 9

37 Esercizi di ricapilazine gemeria analiica dell spazi. Deermina l equazine del pian passane per i puni ( ;0; ), ( 0;; ), C( 0;0;). [ x z 0 ]. Deermina l equazine del pian passane per i puni ( ;0; ), ( 0;; ), C( 0;0;). Deermina l equazine del pian passane per il pun ( ;;) equazine x y z 5.. Scrivi le equazini parameriche della rea passane per ( ; ;5) direzine v ( ;;0 ).. [ x z 0 ] P e parallel al pian di [ x y z 7 0 ] P e avene cme vere [ y z 5 5. Scrivi le equazini parameriche della rea passane per i puni ( ;;0 ) e ( ;; ). [ y ] z y z 6. Deermina le equazini parameriche della rea. x y z x [ y ] z 7. Cme risulan le ree y y λ? [ sghembe] z 6 z 5 λ ] 8. Cme risulan le ree y z λ y λ? [ parallele] z 6λ 9

38 9. Deermina l equazine della rea passane per il pun P ( ;5;6 ) perpendiclare alla rea di equazini y. z 0. Cme risulan le ree y z λ y 6 λ? z λ [ y 5 ] z 6 [ incideni in P ( ;; ) ]. Cme risula la rea y z rispe al pian di equazine x y z 0? [ incidene nel pun ( 8;; ) P ]. Cme risula la rea z 7 y 6 rispe al pian di equazine x y z 0? [ parallela ]. Deermina la disanza del pun ( ;; ) P dal pian di equazine x y z 0. [ ]. Deermina la disanza ra i piani α : x y z 0, β : x y z [ 6 ] 5. Deermina l equazine del pian passane per il pun ( ;; ) equazine x y z 5 0. Calcla la disanza ra essi. P e parallel al pian di [ x y z 6 0, ] 95