Stima ai minimi quadrati e cinematica inversa controllo del peso di end-point. Sommario

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Mirella Garofalo
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1 Sima ai minimi quadrai e cinemaica inversa cnr de pes di end-pin Prf. Aber Brghese N.B.: I diri di scaricare ques fie è riserva samene agi sudeni regarmene iscrii a crs di Rbica ed Animazine Digiae. A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Smmari Più gradi di iberà che end-pin m < n, sisemi sdeerminai Suzine agebrica Regarizzazine: priviegi di acuni parameri di cnr A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

$Animazine Digiae. A.A. 8-9 9 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

2 Cinemaica inversa Cnsideriam a rasfrmazine end_pin -> jin. La rasfrmazine jin -> end_pin è: P = f,, Τ, Τ,. O z e ΔP e P A = e ABS_ABS sin sin cs cs T T A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese P cs cs cs sin sin sin JW,L = Z X Y Esempi m =, n = d dp e d d d d cs cs cs sin sin sin JW,L = b = d dp e e Suppniam: = = 5 T = T = = d dt d dt d d JW,L = = J T *J - * J T * b cs 5 ink A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese cs 5 cs 5

$i\ brghese P cs cs cs sin sin sin JW,L = Z X Y Esempi m =, n = d dp e d d d d cs cs cs sin sin sin JW,L = b$

3 3 Suzine m=, n= cs 5 cs 5 = J T *J - * J T * b de ink A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese I sisema è indeermina, ammee inifinie suzini. Vgi perne deerminare una secnd un quache crieri ragineve. Smmari Più gradi di iberà che end-pin m < n, sisemi sdeerminai Suzine agebrica Regarizzazine: priviegi di acuni parameri di cnr A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

Vgi perne deerminare una secnd un quache crieri ragineve.

4 Suzine m=, n= de? cs 5 = J T *J - * J T * b ink = V W - U J T b cs 5 I sisema è indeermina, ma pss deerminare uguamene una suzine W è csiuia ad esempi csì: w Gi zeri crrispndn ai vari singari nui w A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Sisema ineare: suzine rbusa A X = B A A X = A B X = A A - A B Numer di cndizinamen varia circa cn A *A. Suzine ramie Singuar Vaue Decmpsiin Numer di cndizinamen varia circa cn A. A X = B U W V X = B = V W - U b Ornrmae M N Diagnae N N Ornrmae N N V T W - U T U W V X = V T W - U T B X = V T W - U T B La marice C nn viene frmaa. W - cniene i reciprci degi eemeni di W. W - è diagnae. w ii - = w ii A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

$singari nui w A.A. 8-9 79 hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Sisema ineare: suzine rbusa A X = B A A X = A B X = A A - A B Numer di cndizinamen varia circa cn A *A.$

5 Suzine m=, n= de? cs 5 = J T *J - * J T * b ink = V W - U J T b cs 5 I sisema è indeermina, ma pss deerminare uguamene una suzine W è csiuia ad esempi csì: w w Gi zeri crrispndn ai vari singari nui. Cme cac W -? A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Rank-deficienc nea marice dei cefficieni = A *A - A * b = V W - U A b Se A è rank-deficien, A *A è singare. Si può facimene sservare vauand i vare singare più picc dea marice W. In ques cas i prbema è svraparamerizza. A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 5

$esempi csì: w w Gi zeri crrispndn ai vari singari nui. Cme cac W -? A.A. 8-9 99 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

6 6 Suzine m=, n= cs 5 cs 5 d J T *J? = J T *J - * J T * b de = V W - U J T b ink I sisema è indeermina, ma pss deerminare uguamene una suzine Se A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese W - è csiuia ad esempi csì: Gi zeri crrispndn ai vari singari nui. w w Se w ii = w ii = Suzine m=, n= cs 5 cs 5 =V W - U b de = V W U b Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = ink A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 7 J T *J W,L =

$Se A.A. 8-9 9 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

7 =V W - U b U = Suzine m=, n= 7 ink >>[U W V] = svdjj Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = W = V = de A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese =V W - U J b Suzine m=, n= 7 ink Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = W - =.55 de.68 >> = V * W - * U' * J' * bb = Nrma pari a NB: Maab frnisce già V s frma di raspsa A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 7

$A. 8-9 39 hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese =V W - U J b Suzine m=, n= 7 ink Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = W - =.55 de.$

8 Verifica Suzine J= cs 5 Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = =V W - U J b Suzine mediane pseud-inversa ink J * Δw = ΔP cs 5 J Spsamen enu = spsamen desidera.5.8 = [ ].5.8 Δw T ΔP Uiizz più men cn a sessa ampiezza ui i gradi di iberà A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Prprieà dea Suzine Prprieà: suzine a nrma minima Are suzini ipssibii ai per cui A = b, si prebber enere, ma aumenan a nrma dea Oend effecr suzine Quae ara suzine sarebbe pssibie per enere spsamen desidera: { }? Suppniam: = =5 T =T = = = ΔP e = ΔP e = r A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 8

$i\ brghese Prprieà dea Suzine Prprieà: suzine a nrma minima Are suzini ipssibii ai per cui A = b, si prebber enere, ma aumenan a nrma dea Oend$

9 Smmari Più gradi di iberà che end-pin m < n, sisemi sdeerminai Suzine agebrica Regarizzazine: priviegi di acuni parameri di cnr A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Cme rendere risubie i sisema dp = J dθ min dp J dθ dθ a nrma minima Inserisc i vinc dθ a nrma minima a inern dea funzine cs da minimizzare. I prbema si rasfrma in un prbema di regarizzazine min J dθ dp λ dθ Dve a nrma è inesa in. min [ J dθ dp λ dθ ] Risua un funzinae quadra di facie minimizzazine A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 9

$i\ brghese Cme rendere risubie i sisema dp = J dθ min dp J dθ dθ a nrma minima Inserisc i vinc dθ a nrma minima a inern dea$

10 Sviupp dea regarizzazine min J dθ dp λ dθ dθ penaizza ampie variazini di rienamen Ne cas di funzine quadraica i risua è reaivamene sempice [J T J dθ dp λ dθ]δθ = Ne cas di funzine quadraica, i risua è reaivamene sempice J T J dθ dp λ dθ = Da cui risua: A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese J T J dθ dp λ dθ = dθ = J T J λ I - J T dp Suzine regarizzaa m=, n= cs 5 cs 5 d J T *J =V W - U b de = V W U b Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = λ = dej T *J I ink A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese λ λ λ λ 7 J T *J W,L I =

$A. 8-9 99 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

11 J T *JI = λ 7 Esempi regarizzazine λ λ λ Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = =V W - U b dej T *JI >>de = >>dp =.955. ink >>Ws = Spsamen enu spsamen desidera Suzine cn regarizzazine cn λ = >>dw = dw =.67, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese λ J T *J λ I = =V W - U b Esempi regarizzazine 7 λ ink λ λ Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *JλI Suzine cn regarizzazine cn λ =. dej T *JλI =.7 >>dw = >>dp = dw =.6 Suzine cn regarizzazine cn λ = dej T *JλI = >>dw = >>dp = A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

$A.A. 8-9 9 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

12 Cme inrdurre un pes sui jin dp = J dθ min dp J dθ dθ a nrma minima Inserisc i vinc dθ a nrma minima a inern dea funzine cs da minimizzare e pes i cs sui vari jin in md differene. min J dθ dp λ C dθ Dve a nrma è inesa in e C è una marice diagnae min [ J dθ dp λ CdΘ ] Risua un funzinae quadra di facie minimizzazine A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Sviupp dea regarizzazine min J dθ dp λ C dθ dθ penaizza ampie variazini di rienamen Ne cas di funzine quadraica, i risua è reaivamene sempice [J T J dθ dp λ CdΘ]δθ = J T J dθ dp λ CdΘ = Da cui risua: J T J dθ dp λ CdΘ = dθ = J T J λ C - J T dp A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

$A. 8-9 39 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

13 c J T *JC = =V W - U b Esempi regarizzazine cn pesi 7 c c 3 c Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = Suppniam: c = c = c3 = c = dej T *JC Incrpriam λ denr i c i >>de = >>dp =.955. ink >>Ws = Spsamen enu spsamen desidera Suzine cn regarizzazine cn pesi uniari >>dw = dw =.588, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese Esempi regarizzazine cn pesi nn uguai c J T *JC = =V W - U b 7 c c 3 c Suppniam: c = c = ; c3 = c = ink >>Ws = >>dp = Spsamen enu spsamen desidera Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = >>dw = dej T *JC >>de =.3539e Suzine cn regarizzazine cn pesi inferiri ae rasazini Uiizz m T dw =.6, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 3

$588, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. A.A. 8-9 59 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

14 p J T *JC = Esempi regarizzazine più crre =V W - U b >>dp = p ink p 3 p >>Ws = Spsamen enu spsamen desidera ma m vicin Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *JC Suppniam: c = c = ; c3 = c =. >>de =.99 >> Uiizz quasi escusivamene T dw =.5, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. Inre i cs cnsidera ne funzinae di minimizzazine viene divis per per e cmpneni di dt e dt A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese c J T *JC = Esempi regarizzazine più crre =V W - U b >>dp = c ink c 3 c Suppniam: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *JC Suppniam: c = c =.; c3 = c =. >>Ws = Spsamen enu spsamen desidera ma m vicin >>de =.7 - >> Uiizz quasi escusivamene T dw =.7, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. Inre i cs cnsidera ne funzinae di minimizzazine viene divis per per e cmpneni di dt e dt A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese

$5, ma aa funzine cs parecipa anche i cs di nn essere riuscii ad arrivare a pun [ ]. Inre i cs cnsidera ne funzinae di minimizzazine viene divis per per e cmpneni di dt e dt A.A. 8-9 79 hp:\\hmes.dsi.$

15 Smmari Più gradi di iberà che end-pin m < n, sisemi sdeerminai Suzine agebrica Regarizzazine: priviegi di acuni parameri di cnr A.A hp:\\hmes.dsi.unimi.i\ brghese 5

$di cnr A.A. 8-9 99 hp:\\hmes.dsi.unimi.$

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