Stima ai minimi quadrati e cinematica inversa controllo del peso dei joint

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Adolfo Pinna
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1 Sim i minimi qudri e cinemic invers cnr de pes dei jin Prf. Aer Brghese N.B.: I diri di scricre ques fie è riserv smene gi sudeni regrmene iscrii crs di Reà Virue. A.A Smmri Più grdi di ierà che end-pin m < n, sisemi sdeermini Suzine geric Regrizzzine: priviegi di cuni prmeri di cnr A.A

2 A.A O + + z e P P Cinemic invers Cnsiderim rsfrmzine end_pin -> jin. L rsfrmzine jin -> end_pin è: P = f,, T, T,. DP e A = e ABS_ABS sin sin cs cs T T cs cs cs sin sin sin JW,L = Z X Y A.A Esempi m =, n = = d dp d dp e e Suppnim: = = 5 T = T = = d dt d dt d d d d JW,L = = J T *J - * J T * cs cs cs sin sin sin JW,L = ink

3 Suzine m=, n= = J T *J - * J T * ink de I sisem è indeermin, mmee inifinie suzini. Vgi perne deerminre un secnd un quche crieri rgineve. A.A Smmri Più grdi di ierà che end-pin m < n, sisemi sdeermini Suzine geric Regrizzzine: priviegi di cuni prmeri di cnr A.A

4 Suzine m=, n= de? = J T *J - * J T * ink = V W - U J T I sisem è indeermin, m pss deerminre ugumene un suzine W è csiui d esempi csì: w w Gi zeri crrispndn i vri singri nui A.A Sisem inere: suzine rus A X = B A A X = A B X = A A - A B Numer di cndizinmen vri circ cn A *A. Suzine rmie Singur Vue Decmpsiin Numer di cndizinmen vri circ cn A. A X = B U W V X = B = V W - U Ornrme M N Digne N N Ornrme N N V T W - U T U W V X = V T W - U T B X = V T W - U T B L mrice C nn viene frm. W - cniene i reciprci degi eemeni di W. A.A W - è digne. w ii - = w ii

5 Suzine m=, n= de? = J T *J - * J T * ink = V W - U J T I sisem è indeermin, m pss deerminre ugumene un suzine W è csiui d esempi csì: w w Gi zeri crrispndn i vri singri nui. Cme cc W -? A.A Rnk-deficienc ne mrice dei cefficieni = A *A - A * = V W - U A Se A è rnk-deficien, A *A è singre. Si può fcimene sservre vund i vre singre più picc de mrice W. In ques cs i prem è svrprmerizz. A.A

6 6 A.A Suzine m=, n= = J T *J - * J T * de? = V W - U J T W - è csiui d esempi csì: Gi zeri crrispndn i vri singri nui. w w ink I sisem è indeermin, m pss deerminre ugumene un suzine Se w ii = w ii = A.A Suzine m=, n= de = V W - U Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = 7 J T *J W,L = ink

7 = V W - U A.A Suzine m=, n= 7 ink Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = >>[U W V] = svdjj de U = W = V = = V W - U J Suzine m=, n= 7 ink Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = W - = >> = V * W - * U' * J' * = Nrm pri de NB: M frnisce già V s frm di rsps A.A

8 Verific Suzine J= Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = = V W - U J Suzine medine pseud-invers ink J J * Dw = DP Spsmen enu = spsmen desider.5.8 [.5.8 Dw T ] DP Uiizz più men cn sess mpiezz ui i grdi di ierà A.A Prprieà de Suzine Prprieà: suzine nrm minim + Are suzini pssiii i per cui A =, si preer enere, m umenn nrm de Oend effecr suzine Que r suzine sree pssiie per enere spsmen desider: { }? Suppnim: = = 5 T = T = = = DP e = DP e = + r A.A Nrm pri 8

9 Smmri Più grdi di ierà che end-pin m < n, sisemi sdeermini Suzine geric Regrizzzine: priviegi di cuni prmeri di cnr A.A Cme rendere risuie i sisem dp = J dq min dp J dq dq nrm minim Inserisc i vinc dq nrm minim inern de funzine cs d minimizzre. I prem si rsfrm in un prem di regrizzzine min J dq dp + dq Dve nrm è ines in. min [ J dq dp + dq ] Risu un funzine qudr di fcie minimizzzine A.A

10 A.A Sviupp de regrizzzine min J dq dp + dq dq penizz mpie vrizini di rienmen [J T J dq dp dq]dq Ne cs di funzine qudric, i risu è reivmene sempice J T J dq dp dq D cui risu: J T J dq dp dq dq J T J + I - J T dp A.A Suzine regrizz m=, n= de = V W - U Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = = 7 J T *J W,L + I = dej T *J + I ink

11 J T *J+I = 7 Esempi regrizzzine = V W - U dej T *J+I Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = >>de = >>dp =.955. ink >>Ws = Spsmen enu spsmen desider S uzine cn regrizzzine cn = >>dw = dw =.67, m funzine cs precip nche i cs di nn essere riuscii d rrivre pun [ ]. A.A J T *J + I = Esempi regrizzzine 7 Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = = V W - U dej T *J+I ink Suzine cn regrizzzine cn =. dej T *J+I =.7 >>dw = >>dp = dw =.6 A.A S uzine cn regrizzzine cn = dej T *J+I = >>dw = >>dp =

12 Cme inrdurre un pes sui jin dp = J dq min dp J dq dq nrm minim Inserisc i vinc dq nrm minim inern de funzine cs d minimizzre e pes i cs sui vri jin in md differene. min J dq dp + C dq Dve nrm è ines in e C è un mrice digne min [ J dq dp + CdQ ] Risu un funzine qudr di fcie minimizzzine A.A Sviupp de regrizzzine min J dq dp + C dq dq penizz mpie vrizini di rienmen Ne cs di funzine qudric, i risu è reivmene sempice [J T J dq dp C dq]dq J T J dq dp C dq D cui risu: J T J dq dp C dq dq J T J + C - J T dp A.A

13 c J T *J+C = = V W - U Esempi regrizzzine cn pesi >>dp = c c 3 c Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *J+C Suppnim: c = c = c3 = c = Incrprim denr i c i >>de = ink >>Ws = Spsmen enu spsmen desider S uzine cn regrizzzine cn pesi uniri >>dw = dw =.588, m funzine cs precip nche i cs di nn essere riuscii d rrivre pun [ ]. A.A Esempi regrizzzine cn pesi nn ugui c J T *J+C = = V W - U 7 c c 3 Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = c dej T *J+C Suppnim: c = c = ; c3 = c = >>de =.3539e+ >>dp =.536. ink >>Ws = Spsmen enu spsmen desider A.A Suzine cn regrizzzine cn pesi inferiri e rszini >>dw = Uiizz m T dw =.6, m funzine cs precip nche i cs di nn essere riuscii d rrivre pun [ ]. 3

14 p J T *J+C = = V W - U Esempi regrizzzine più crre >>dp = A.A p ink p 3 p >>Ws = Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *J+C Suppnim: c = c = ; c3 = c =..68 Spsmen enu spsmen desider m m vicin >>de =.99 >> Uiizz qusi escusivmene T dw =.5, m funzine cs precip nche i cs di nn essere riuscii d rrivre pun [ ]. Inre i cs cnsider ne funzine di minimizzzine viene divis per per e cmpneni di dt e dt hp:\\hmes.dsi.unimi.i\rghese c J T *J+C = = V W - U Esempi regrizzzine più crre >>dp = A.A c ink c 3 c Suppnim: = = 5 T = T = = = dp e = dp e = dej T *J+C Suppnim: c = c =.; c3 = c =. >>Ws = Spsmen enu spsmen desider m m vicin >>de =.7 - >> Uiizz qusi escusivmene T dw =.7, m funzine cs precip nche i cs di nn essere riuscii d rrivre pun [ ]. Inre i cs cnsider ne funzine di minimizzzine viene divis per per e cmpneni di dt e dt hp:\\hmes.dsi.unimi.i\rghese

15 Smmri Più grdi di ierà che end-pin m < n, sisemi sdeermini Suzine geric Regrizzzine: priviegi di cuni prmeri di cnr A.A

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