Polarità rispetto ad una conica e problema delle tangenti. (a cura di Santangelo Maurizio).

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1 lrià rispe d un cnic e prblem delle ngeni ( cur di Snngel Murizi Ringrzimeni uesi ppuni nn srebber si pubblici senz l precipzine dell im rf Spgnl Filipp del GRIMM di lerm; essi sn si cnrlli dl cr e vlidissim rf erez Emnuele cn prfnd e cersin enzine In gni cs vvimene l ure si prende ue le respnsbilià per evenuli errri Indice Inrduzine pg Deerminzine dell equzine dell re ngene d un cnic rele nn degenere in un su pun pg rprieà dell re plre p del pun rispe ll cnic rele C pg 4 3 Appliczini: ngeni d un cnic e frmul di sdppimen pg 9 4 Cnclusini: rccl di medi per l sudi dell plrià di un pun rispe d un cnic e per l deerminzine delle ree ngeni d un cnic pg 6 cnde d un pun esern; riferimeni didici A Appendice sull frmul dell re plre p pg 7 A Appendice sull risluzine del sisem di secnd grd pg 8 A3 Appendice sul erem di reciprcià pg 3 Bibligfi pg

2 lrià rispe d un cnic e prblem delle ngeni di Snngel Murizi Inrduzine In quesi ppuni l ure si prpne di sudire le prprieà dell re plre di un pun rispe d un cnic rele puni reli nn degenere, uilizznd sln le crdine cresine nn mgenee; in quese pgine sn uilizzi rgmeni e frmule che si sudin in un rienni di scul superire Nel cs di pun esern ll cnic è pssibile deerminre le equzini delle due ree ngeni d ess cnde d scrivend l equzine dell re plre di rispe ll cnic e rvnd le equzini delle due ree che uniscn il pun cn ciscun dei due puni di inersezine r cnic e re plre Appre evidene che in qulche pgin si perviene clcli lbrisi, e ciò induce preferire sicurmene l sudi del prblem ffrn cn l gemeri prieiv che risul più gevle ed elegne rispe quell uilizz in quesi ppuni cn le crdine nn mgenee Sn preseni lcuni esempi numerici cme ppliczini degli rgmeni ri A cnclusine di quese pche pgine è ripr un rccl episemlgic dei medi più imprni uilizzi per l risluzine del prblem ffrn in quesi ppuni lrià rispe d un cnic e prblem delle ngeni (di Snngel Murizi Deerminzine dell equzine dell re ngene d un cnic rele nn degenere in un su pun Assegn in un sisem di riferimen cresin rgnle pin mnmeric O un cnic rele C nn degenere di equzine: cn ij ji 3 ed A (i, j,,3, numeri reli si vgli deerminre inizilmene l equzine dell re ngene ll cnic C in un su pun (,; pern per l vrrà: 3 3 L equzine del fsci di ree pssni per il pun è: ( 3 m cn m cefficiene nglre dell re generic del fsci

3 Srend l dll si iene: 4 ( ( ( 3( 3 ( ed uilizznd l 3 segue: 5 ( + 3 m( ( ( + m( (( + m( 3 ( + d cui segue: [ ( + m( + ( + m m] 6 ( 3 3 L equzine 6 in cui ed rppresenn le crdine dei puni di inersezine r l re generic del fsci di cenr (, pprenene ll cnic C e l C sess, mmee cme sluzine, vvimene; ffinché il vlre di m che cmpre nell 6 rppreseni il cefficiene nglre m dell re ngene in ll cnic C ssegn, deve verificrsi che i due puni di inersezine r re e cnic sin cincideni, ciè nell equzine enu pnend il fre in prenesi qudr ugule zer deve vlere,, ciè: 7 m m 3 3m d cui, islnd m si iene: 8 m 3 3 Ugulmene ll frmul 8 si può pervenire cnsidernd il sisem r le equzini e 3 e nell equzine di secnd grd in enu si può imprre vvimene che un sluzine si ; si può pern bbssre di grd l equzine dividend il plinmi in per - ed impnend nuvmene si iene l frmul 8 Tle prcedimen lerniv però è più lung e lbris del precedene Ssiuend l 8 nell 3 si iene l equzine dell re ngene richies: 9 ( 3 ( + ( 3 ( L 9 può ssumere diverse frme equivleni: sviluppndl ed uilizznd l si iene l frmul d nche: ( 3 + ( ( 3 + (

4 Ancr: ( + 3 ( + 3( + ues ulim è denmin frmul dell sdppimen(in riferimen ll Fign C (, Avend deermin l equzine dell re ngene ll cnic C ssegn nel pun (,,, che presen un delle frme equivleni 9, ppure,se in un di quese ed nn rppresenn più le crdine di un pun pprenene ll cnic C ssegn m bensì un pun qulunque del pin cnenene l cnic, llr le suddee equzini rppresenn un re, denmin re plre p del pun (,, denmin pl rispe ll cnic C, che ssume un ben deermin psizine gemeric cn delle priclri prprieà che si vedrnn in quesi ppuni rprieà dell re plre p del pun rispe ll cnic rele C Tle re h quindi equzine 9(d un equivlene ll d, cme vis precedenemene, e si suppng il pun (, esern ll cnic rele nn degenere C, ciè il pun è siu nel semipin cncv deermin d C: ciò è vlid si per cniche chiuse (ellissi che per cniche pere (prble ed iperbli Menre un qulunque pun pprenene l semipin cnvess è inern ll cnic Si sudin i puni di inersezine r l re p plre di esern ll cnic e l cnic C sess; i puni di inersezine sn due reli, (, e (, d che ll re crrispnde un equzine di prim grd e ll cnic un equzine di secnd grd ed il sisem di secnd grd rislvene il prblem mmee due sluzini: pern il sisem 3 ( 3 + (

5 mmeerà le sluzini,, ed,, reli Sffermndsi sul pun il sisem 3 diviene: 4 ( 3 + ( e srend membr membr si h: ( ( ( 3( 3 ( ciè ( ( (( + ( 3( 3 ( d cui segue: 5 ( 3 ( + ( 3 ( L frmul 5 rppresen un relzine r le crdine, ed,, rispeivmene dei puni e Se nell 5 si ssiuisce cn ed cn si iene l equzine: 6 ( 3 ( + ( 3 ( (che si iene dll 9 cmbindl di segn e scmbind ed cn ed (vedere ppendice L 6 rppresen un nuv frm dell equzine dell re plre p del pun (, rispe ll cnic C(vedere ppendice iù velcemene si può pervenire ll frmul 5 scrivend l equzine dell plre del pun rispe ll cnic C ed impnend che le re pssi per il pun Adess si cnsideri l re pssne per i puni e e ci si chiede se le re è secne ngene ll cnic C ern si deermini l equzine dell re pssne per i puni e d cmprre sisem cn l equzine, d cui il sisem lgebric di secnd grd: che si rislve islnd dll prim equzine(linere un delle due incgnie e ssiuend nell secnd equzine pervenend d un equzine di secnd grd; il prcedimen nche se cnceulmene semplice, implic clcli ml lunghi e lbrisi Si s cmunque che un evenule sluzine deve essere :, Se si errnn due sluzini reli e disine, signific gemericmene che l re risulerà secne ll cnic C, se si errnn due sluzini reli cincideni 5

6 significherà che l re risul ngene ll cnic C nel pun Nn si pssn rvre due sluzini cmplesse cniuge perché è esern ll cnic per ipesi Il sisem 7 può essere semplific bbinnd ll prim equzine dell sess sisem scri s l frm: 8 ( ( ( ed un secnd equzine differenz r l equzine dell cnic e l seguene: d che il pun (, ppriene ll cnic C, enend Uilizznd l 8, l diven: ' d cui segue il sisem di secnd grd: ( ( ( 3( 3 ( ( ( + ( 3 ( ( ( ( + ( ( ( + ( ( + ( ( ( ( + ( ( (( + ( ( che mmee l sluzine:, E un risul che si pev prevedere, d che il sisem rppresen l inersezine r l re e l cnic C, essend un pun pprenene ll cnic L lr sluzine si iene rislvend il sisem di prim grd : ( ( ( + ( ( + ( (

7 Islnd l dll prim equzine e ssiuend nell secnd equzine, si iene, dp semplici pssggi: ( ( ( - - ( 3 ( ( ( ( ( ( ( - + ( + Dll 5 si iene: 4 ( 3 ( + ( 3 ( ( e l 3 diven: 5 - ( - ( Tenend cn che l 4 si può scrivere s l frm: 6-3 ( ( ( ( 3 ( ( - - ( ( ( ( ( - ( 3 ( ( ( ( - ( ( - 3 ( ( ( + ( + dll 5 segue l equzine in : 7 ( ( ( ( d cui ; pern il sisem di prim grd mmee l sluzine,, ed il sisem di secnd grd mmee l medesim sluzine cincidene cn due vle Nell ppendice è ripr un med lerniv per l risluzine del sisem 7 Osservzine - Al fine di rislvere il sisem di prim grd, si può prcedere, lernivmene qun vis precedenemene, nel seguene md ml più rpid, nche se men dire Si risle l signific gemeric di le sisem,(ciè il sisem rppresen le crdine del secnd pun di inersezine r l cnic ssegn e l re, e si n che, se l sluzine è,, ciò signific che l re presen due puni di inersezine cincideni in cn l cnic, ciè l re è ngene ll cnic C nel pun, lrimeni le re è secne l cnic e l sluzine del sisem rppresen le crdine del secnd pun di inersezine disin d Si ni che, se, è l sluzine del ( ( ( ( 7

8 sisem, l secnd equzine del sudde sisem, dp ver divis per mb i membri e mliplic per - divers d zer diven: 8 3 ( ( 3 ( ( + ] + d cui l 5 che rppresen l crre frmul che leg r di lr, e,,, rispeivmene crdine dei puni e ern si è verific che l sluzine del sisem è,, ciè l re è ngene ll cnic C nel pun L sess prcedimen si può uilizzre per l lr pun di inersezine dell re plre p cn l cnic ssegn C: cninun d essere vlide ue le frmule dll 5 ll 8, dve l ps di si ssiuisce ed l ps di All sess md si perviene l risul che l re è ngene ll cnic nel pun ern segue l figur n: [ ( ( Fign C L figur n msr che, se il pun è esern ll cnic, l re plre p del pl rispe ll cnic C ssegn inersec l sess cnic in due puni e li che le ree e risuln ngeni ll cnic rispeivmene nei puni e er il erem di reciprcià, se l plre di rispe C pss per, llr l plre di (sempre rispe C pss per, se l plre di pss per llr l plre di pss per, pern l plre di rispe C pss per i due puni e uò cpire che il sisem 3 nn mme sluzini reli, nel qul cs nn si può ipizzre l esisenz di due puni reli e di inersezine r re plre p e cnic C, (p esern C e ciò si verific qund il pl è inern ll cnic C( per esclusine, per qun sudi precedenemene Difi se il pun risul inern ll cnic d ess nn si pssn rccire ree ngeni ll cnic d che ue le ree del fsci risuln secni,e quindi, nn esisend in ques cs i puni di ngenz e reli, l re plre p nn può inersecre l cnic ssegn, m risulerà esern Assegni in un pin un re p ed un cnic nn degenere C, il pl di p rispe C è unic(vedere ppendice n3 p 8

9 3 Appliczini: ngeni d un cnic e frmul di sdppimen Il cnenu di ques prgrf è fcilmene prpnibile sudeni del erz nn di scul superire in cui è previs l sudi delle cniche L frmul di sdppimen, pplic d un equzine di secnd grd in ed, che rppresen un cnic C rele nn degenere, si iene ssiuend d ; + d d ; d + ; d + ; dve ed sn le crdine del pun generic L frmul che si iene è di prim grd e rppresen grficmene un re: se ppriene ll cnic l frmul di sdppimen rppresen l equzine dell re ngene in ll cnic C, se nn ppriene ll cnic C l equzine enu rppresen grficmene l re plre del pun rispe ll cnic ssegn C Di segui si pssernn in rssegn i csi più cnsuei di equzini di cniche che usulmene si sudin nell scul superire, deerminnd l equzine delle ree ngeni lle rispeive cniche in un su pun, l frmul dell sdppimen e l equzine dell re plre Ovvimene ui i cefficieni che cmpin nelle equzini delle cniche devn essere numeri reli - Equzine dell prbl cn sse di simmeri prllel ll sse delle rdine Ess è del ip: 9 + b + c cn Si d un pun (, pprenene ll prbl ssegn: pern vle b c L equzine del fsci di ree di cenr e di cefficiene nglre generic m è: ( 3 m Srend l 3 dll 9 ed uilizznd l 3 si iene: 3 ( [( + + b - m] 9

10 Nell equzine 3 l incgni rppresen l sciss dei puni d inersezine dell re generic del fsci di cenr cn l prbl; un sluzine è, difi il pun ppriene ll prbl Affinchè l lr pun d inersezine r re e prbl si ncr ( ciè re ngene ll prbl cn cefficiene nglre m si deve prre nel secnd fre dell 3, enend: 3 ' m + b d cui l equzine dell re ngene richies è: ( + b( 3'' Applicnd ll frmul 9 l frmul dell sdppimen si iene: b + c E immedi verificre che, uilizznd l 3, le frmule 3 e sn equivleni L frmul 3 cmunque è significiv perché pne in evidenz l espressine ml n del cefficiene nglre di un re ngene ll prbl in un su pun Se il pun (, nn ppriene ll prbl l equzine rppresen grficmene l re plre di pl rispe ll prbl ssegn Se il pun è esern ll prbl l re plre è secne ll prbl, ed i due puni d inersezine e sn li che le ree e risuln ngeni ll prbl rispeivmene nei puni e - Equzine dell prbl cn sse di simmeri prllel ll sse delle Ess è del ip 34 + b + c cn Se si vule deerminre l equzine dell re ngene ll prbl ssegn in un su pun (,, si ni che vle l b Srend l 35 dll 34 ed uilizznd l 3 si iene: ( [ m( + + mb ] 36 c

11 Un sluzine è Affinchè l re di cefficiene nglre m risuli ngene in ll prbl 34 deve risulre nel secnd fre, ciè: 37 m + b E pern l equzine dell re ngene richies è: 38 ( + b Applicnd l frmul dell sdppimen ll 34 si iene: b + + c che equivle ll 38 se si uilizz l 35 Se (, ppriene ll prbl ssegn, l 39 rppresen l equzine dell re ngene ll prbl in, se nn ppriene ll prbl ssegn l 39 rppresen l equzine dell re plre di pl rispe ll prbl ssegn Cniche cenr( ellissi ed iperbli cn cenr nell rigine degli ssi crdini L lr equzine è del ip: 4 ± b Si (, un pun pprenene ll cnic di equzine 4: deerminre l equzine dell re ngene ll cnic nel pun Dll 4 segun: 4' 4" b Srend l 4 dll 4 si iene: b ed uilizznd nell 4 l equzine 3 del fsci di ree di cenr, si deduce: ± ± b 4 b ( ( + ± ( ( + b 4 ( (b ( + ± m( + Impnend che enrmbi i puni di inersezine r l re generic del fsci e l cnic cincidn cn (,, l re diven ngene cn cefficiene nglre m, e dll 4 segue:

12 b 43 m m d cui l equzine dell re ngene richies è: d nche, dp semplici pssggi: b 44 m ( 44' ± ± b b D che il pun (, ppriene ll cnic, il secnd membr dell 44 vle, e pern dll 44 segue: 45 ± b che rppresen l equzine dell re ngene richies ll cnic di equzine 4 in un su pun (, Se il pun (, nn ppriene ll cnic, l re di equzine 45 rppresen l equzine dell re plre di pl rispe ll cnic C - Circnferenz generic (rele e ricerc delle ree ngeni- Si d un circnferenz C di equzine : b + c cn + b - 4c > ed un pun (, pprenene ll circnferenz d C, ciè vle l : b + c er deerminre l equzine dell re ngene in ll cnic C, cl sli prcedimen si sre l 47 dll 48, e enend cn dell 3 si deduce: 48 ( ( + + m( + + mb Affinchè l re di cenr risuli ngene in ll cnic C, l equzine 48 deve mmeere l sluzine, due vle cincideni, ciè: 49 + m + m b

13 ed islnd m si iene: 5 + m b + e ssiuend nell 3 si iene l equzine dell re ngene richies: ( b + ( + ( + ( 5 L 5 si può scrivere nche s l frm: ( + + b( c Difi sviluppnd l 5, smmnd e srend +b+c ed uilizznd l 47 si iene l frmul 5, n cme frmul dell sdppimen dell equzine dell circnferenz Se ppriene ll circnferenz l 5 rppresen l equzine dell re ngene in ll circnferenz, se nn ppriene ll circnferenz l 5 rppresen l equzine dell re plre di pl rispe ll circnferenz ssegn - Iperble equiler cn sini cincideni cn gli ssi crdini Un le iperble h equzine del ip: 53 k Assegn un pun (, pprenene ll iperble d, vrrà l frmul: 54 k Se si vule deerminre l equzine dell re ngene in ll iperble ssegn, srend l 54 dll 53 e cnsidernd l 3 si iene: ( ( + m 55 e si deve imprre che i puni di inersezine sin due vle cincideni in, ciè deve risulre 56 m d cui, ssiuend l 56 nell 3 si iene l equzine dell re ngene richies: 3

14 57 + e per l 54 l 57 diven: + 58 k n cme frmul dell sdppimen dell 53 A secnd se ppriene nn ppriene ll iperble d, l equzine 58 rppresen rispeivmene l equzine dell re ngene dell re plre rispe ll iperble Esempi numeric n: prbl cn sse prllel ll sse delle rdine Assegn su un sisem di riferimen cresin rgnle mnmeric O l prbl di equzine: ed i puni (, ed S(5,-3, deerminre l equzine dell re ngene nel pun ll prbl ssegn le equzini delle ree pssni per il pun S e ngeni ll prbl ssegn Si n che il pun ppriene ll prbl, menre il pun S è esern ll prbl Risluzine del quesi er deerminre l equzine dell re ngene in (, ll prbl d, si pplic l cn,, d cui l equzine: 6 ( e pern l equzine dell ngene richies è: 6 ' + Risluzine del quesi er deerminre le equzini delle due ree ngeni pssni d S(5,-3, ccrre scrivere l equzine dell re plre di pl S rispe ll prbl : ess si iene uilizznd ncr l m cn 5, -3, d cui e rislvend il sisem csiui dlle equzini 59 e 6 si iene l equzine: 6 3 4

15 ciè, 3; i due puni d inersezine r l prbl d e l re plre di equzine 6 sn pern (,3 e (3,, e rppresenn pure, per qun sudi ericmene, i puni di ngenz delle ree pssni per S e ngeni ll prbl ssegn Le ree ngeni richiese sn le ree S e S di equzini rispeivmene (enue cn l n frmul dell re pssne per due puni: S 3-4 ; S -6 Esempi n: deerminre l equzine dell circnferenz C ngene nel pun A(,3 ll re di equzine 63 + e pssne per il pun B(,5 Svlgimen-Si può uilizzre l equzine dell re plre del pun A rispe ll circnferenz C scri, d esempi cn l frmul dell sdppimen, d che l ngene in A cincide cn le re plre Si suppng che l equzine dell circnferenz si: b + c cn,b,c prmeri d deerminre pprunmene L equzine dell re plre del pun A(,3 (di equzine rispe ll circnferenz C è: 65 (++(6+b++3b+c Siccme l equzine 65 deve risulre idenic ll 63 scri s frm implici, men di un fre di prprzinlià k, si iene : b b + c k - d cui : (k- b-6-k ck+ ; pern l equzine del fsci di circnferenze ngeni nel pun A ll re di equzine risul: (k - - (6 + k + k + Impnend il pssggi dell circnferenz del fsci per il pun B(,5, si iene l equzine dell circnferenz richies: L ure h r l spun per ques med di risluzine in segui d un chicchier vu cl brv clleg prf D Accrdi Giuseppe 5

16 Cnclusini: rccl di medi per l sudi dell plrià di un pun rispe d un cnic e per l deerminzine delle ree ngeni d un cnic cnde d un pun esern; riferimeni didici In ques prgrf cnclusiv si frà un breve cmpendi dei medi principli Fign3 uilizzi per l sudi dell plrià rispe d un cnic e per l deerminzine delle ree ngeni d un cnic D qun vis in quesi ppuni ppre chir che ffrnre il prblem dell re plre rispe d un cnic medine crdine nn mgenee cnduce, in ceri puni, clcli lbrisi menre l uilizz delle crdine nn mgenee è cnveniene per l deerminzine dell re ngene d un cnic in un su pun L leerur sul prblem dell plrià rispe d un cnic è ml vs e ffnd le sue rigini sin dll nic Greci nelle figure dei due grndi memici Apllni d erg(c6-9c e pp, vissu circ nel III secl dc Apllni si è ccup ml, nell su per Sezini cniche, dell sudi delle cniche,(già Archimede, Euclide, Arise (IIIsecC e Menecm (IVsecC, si ern ineressi ll sudi delle cniche nche se in md più frmmenri, ed è s sicurmene r i primi sudire pl e plre rispe d un cnic pp cninuò gli sudi di Apllni sulle cniche nell su per Cllezine memic e fu r i primi d uilizzre i birppri per l sudi dell gemeri er diversi secli gli sudi di gemeri lnguirn menre ripreser cn fri impulsi subi dp il rinscimen cn Viee, Descres per l gemeri nliic e cn sviluppi dell gemeri prieiv che si suddiviviser in più filni: inizilmene di ip grfic (Seiner, Sud, Desrgues, scl, Mnge, L Hire, ncele ui memici del XVII secl e successivmene di nur nliic (Gergnne, Mbius, Slveser, Cle(ui del XVIII secl; per pprfndimeni sui Memici []; le prblem è s ffrn pure cn l nlisi memic i cui mggiri espneni di ques filne sn si Newn, Leibniz, Ferm, lucker, Euler,Mc Lurin e Tlr (vedere [] Si inizi l rssegn di quesi medi sineizznd sul prblem qun h scri Guid Cselnuv nelle sue lezini di gemeri Si pre dll cnic rele K nn degenere di equzine scri in crdine mgenee,, 69 f(,, 3 3 e sull sess pin dell cnic K sin di due puni (,, e (,,; le crdine generiche del pun R dell re pssne per i puni e sn: 6

17 Rk+ ; Rk+ ; Rk+ dve k è il prmer vribile che gener ui i puni dell re richies Affinchè il pun R ppreng ll cnic K deve vlere: f(r,r,r, ciè 7,, 7 f,, ( f(k +,k + ( 3,k + ( + ( + kf(,, 3 3 (, + f + ( ( + cn i, j,,3 L nzine che cmpre nell frmul 7 è denmin dll Aure frm mis E imprne nre che il plinmi 7è simmeric rispe lle vribili,, e,,; ciè nell frm mis è leci scmbire l prim rig cn l secnd Le rdici k e k dell equzine di secnd grd in k sn i vlri crrispndeni i due,, 7 f,, puni e di inersezine r re e cnic in quesine Se il pun ppriene ll cnic K, ciè f(,,, llr l equzine 7 di secnd grd in k diven spuri, ciè k e quindi i puni e sn cincideni; se inlre k, ciè: e pern rppresen il pun generic sull re ngene in ll cnic K ; quindi l equzine 7 è l equzine dell re ngene nel su pun ll cnic KSe il pun nn ppriene ll cnic K, l re generic per è ngene ll cnic K qund i due puni di inersezine e r re e cnic sn cincideni, ciè nell 7 kk,,, 3 ( 3 + f( 3, + ( 3, 3 3 cn ij ji Fign4 Ciò ccde qund nell equzine di secnd grd in k 7 si nnull il discriminne:,, 73 f f(,,,, f(,, 7

18 Tle frmul è un equzine di secnd grd nelle vribili, e e rppresen le equzini dell cppi di ree pssni per e ngeni ll cnic d; per deerminre le equzini di ciscun re bs rislvere l equzine di secnd grd 73 rispe d un delle vribili Si sservi che se ppriene ll cnic K si iene l 7 cn due vle, e rppresen l equzine dell re ngene in ll cnic K, cme vis precedenemene Nel cs che nn ppreng ll cnic K, se si cnsidern un dei due puni (,, di inersezine r cnic e cppi di ree ngeni d, per essi vle 74 f(,, e cnsidernd il sisem r le 73 e 74 si iene l 7, che rppresen l equzine dell re plre q crrispndene l pl rispe K Nre che se in un equzine di un curv d in crdine mgenee,, si pne, si iene l crrispndene equzine in crdine nn mgenee Fign5 q T T q L Aure nel su fndmenle es ripr l seguene prprieà: se si rcci un qulunque re r pssne per il pun scel cme pl ed indic cn il pun di inersezine di le re cn l plre q e e i due puni di inersezine di r cn l cnic, llr ( -, ciè i qur puni,,, csiuiscn un grupp rmnic di puni(per i birppri ed i riferimeni vedere [] Si ni che vle: 75, f,,, f f + f + f f + f + e pern si per le equzini dell re ngene in un pun dell cnic che per l equzine dell re plre di un pun rispe ll cnic K vlgn le 75 (dve cmpin le derive przili pse uguli zer: li frmule esprimeni l cndizine di ngenz di un re d un curv in un su pun semplice rmie le derive przili in crdine mgenee è s uilizz per l prim vl d lucker In crdine nn mgenee l 75 diven:, f, f,, ( f + ( 8

19 Il rf Cselnuv definisce il pun (rele esern rispe d un cnic rele e nn degenere un pun le che d ess si pssn cndurre due ree ngeni reli ll cnic, inern ll cnic se d ess nn è pssibile rccire ree ngeni reli ll cnic, pprenene ll cnic se le due ree ngeni ll cnic sn reli e cincideni ;un cnseguenz di ciò è che se è esern ll cnic l re plre crrispndene q sec l cnic, se il pun è inern ll cnic l re plre q è esern ll cnic(vedere A3, se ppriene ll cnic l re plre q cincide cn l ngene nel pun ll cnic e pern ppriene ll re plre q Nell mbi di ques eri è di rimrchevle imprnz il erem di reciprcià il cui enunci è il seguene: ssegn in un pin un cnic rele nn degenere K ed un pun, se l plre di rispe K pss per un pun, llr l plre di rispe K pss per -Dim: L equzine dell re plre q di rispe K è: 76, f,,, Se il pun ppriene ll re plre q, llr: f,,,, f,,,, e le frmul equivle cnsiderre l seguene:,, 78 f cn,,,, D che l frmul 78 indic l equzine dell re plre p del pl rispe ll cnic K, il erem è csì dimsr Un lr grnde sudis di gemeri del venesim secl è s Luigi Cmpedelli che nel su es( ffrn il prblem dell plrià rispe d un cnic in md simile l Cselnuv, uilizznd cme nzine di frm mis r i due puni e l espressine f(, che nicip il simbl di frm bilinere( vedere Sk, Sernesi, Rsi er cncludere ques prim pre di indgine, ssegn in un pin un cnic rele K, esise un priclre rsfrmzine prieiv r pini svrppsi (denmin plrià pin le che d un pun (pl crrispnde un re q(plre e vicevers ; il lug gemeric dei puni ucniugi del pin(ciè dei puni che pprengn ll prpri plre è l cnic K(per uleriri pprfndimeni si rimnd i esi di Cselnuv, di Dnni-Mmmn e di Cmpedelli 9

20 Dgli nni 7 in pi sn pubblici diversi esi universiri ml vlidi in cui, per l risluzine del prblem dell plrià rispe d un cnic ed in generle per l impszine di u l gemeri, si segue il med mricile; sricmene le med è s sudi d Cle, Slveser,Jcbi, Hmiln e Lplce A l prpsi l ure di quesi ppuni ripr in breve il cnenu di lcuni esi sceli Si inizi dl Rsi Si d un cnic rele nn degenere K su un pin prieiv di equzine in crdine mgenee 69, cn Sceli due numeri reli k ed h e due puni e le cui crdine mgenee sn de di due veri clnn X ed X, le crdine del generic pun dell re sn: 8 kx+hx Se si vglin deerminre le crdine dei puni di inersezine r l cnic K e l re si devn ssiuire le 8 nell 8, enend: e sviluppnd si iene: 3 A i, j,,3, dea, X 3 ij ji 3 3 d cui l'equzine dell cnic K in frm mricile 8 XAX ( kx + hx'a(kx + hx' 8 k XAX + kh XAX' + kh X' AX + h X' AX' Si ni che 83 X' AX XAX' essend i due membri due numeri, vver due mrici di rdine, ed il prim membr è il rsps del secnd Dll 8 ed 83 segue: 84 k XAX + kh X' AX + h X' AX' L frmul 83 indic l uguglinz r i plinmi bilineri simmerici in,,, ed,, (vedere frmul 7 cn,, l ps di,, X' AX ( XAX' ( ' ' 3 3 ' + ( ' + ( ' ' 3 3 ' + ( ' + ( 3 3 ' 3 3 ' ' '

21 Se nell equzine 84 in k ed h si impne che le due sluzini sin cincideni cn il pun (,, nn pprenene ll cnic, segue: ( X' AX Tle equzine è di secnd grd in,, e rppresen l equzine delle cppie di ree ngeni ll cnic e pssni per e si può fcilmene rislire ciscun delle equzini delle due ree rislvend l equzine di secnd grd rispe d un delle vribili L Aure inlre definisce un pun esern ll cnic rele ed irriducibile se d ess si pssn cndurre due ree ngeni reli e disine, un pun inern ll cnic se d ess nn si pssn cndurre ngeni reli ll cnic, un pun pprenene ll cnic se le ree ngeni sn due reli e cincideni Fig n 6 ( XAX ( X' AX' p p Il pun (,, rppresen il pun crrene che si muve sulle due ree ngeni ll cnic pssni per ; se, lre che pprenere lle due ree ngeni, ppriene nche ll cnic, llr: 87 X' AX ern l frmul 87 rppresen l equzine dell re p pssne per i due puni di ngenz delle due ree ngeni cnde dl pun ll cnic; le re di equzine 87 si definisce re plre di rispe ll cnic Se il pun ppriene ll cnic irriducibile llr cninu d essere vlid l 87 che rppresen l equzine dell re ngene ll cnic nel su pun (cn due vle L Aure, dp ver ffrn il prblem delle ngeni d un cnic, r dell plrià pin rispe d un cnic rele nn degenere definendl cme un crrispndenz che ssci d un pun (pldel pin dell cnic un re(plre del medesim pin; di segui l Aure ripr lcune imprni prprieà dell plrià pin Si ssegn, in un pin, un cnic rele irriducibile K di equzine mricile 8 e sin di due puni (,, e (,, rppreseni di rispeivi veri clnn X ed X Sceli cmunque due numeri reli k ed h, le crdine prieive del generic pun dell re sn espresse dl vere clnn 88 kx +hx ; essend le equzini delle ree plri dei puni e rispe ll cnic K : 89 X' AX 89' X"AX

22 rispeivmene, d quese ulime segue: 9 k X' AX + h X"AX L frmul 9 rppresen un cmbinzine linere r le 89 ed 89, ciè l equzine del fsci di ree di cenr il pun d inersezine r l plre di e l plre di, e per il erem di reciprcià le pun è il pl dell re p pssne per i puni e, cme r pc si prverà ern menre il pl si muve sull re di crdine mgenee 88, l crrispndene re plre descrive un fsci di cenr il pl dell re Alr prprieà imprne è che nel pin dell cnic esise un crrispndenz biieiv le che d gni pun (pl crrispnde un re(plre e vicevers D l re plre di equzine: d nche X cn 3 l plre del pun generic, di crdine,, incgnie, rispe ll cnic ssegn K, h equzine 87 ; dl cnfrn r le espressini 87 e 9 si iene: 9 X' A r cn r numer rele nn null ; il sisem 9 mmee un ed un sl sluzine in,,, men del fre di prprzinlià r Vicevers, ni,, si pssn deerminre in md univc,,3 L ulim pun che l Aure r prpsi dell plrià pin è il erem di reciprcià, il cui enunci è il seguene: ssegn in un pin un cnic rele irriducibile K, se il pun (,, ppriene ll plre del pun (,, rispe K,llr il pun ppriene ll plre di rispe K Indici rispeivmene cn X ed X i veri clnn dei puni e, l equzine dell re plre p di rispe K è: 93 X' AX Nell ipesi che ppreng ll re p di equzine 93 deve vlere: per l 83, ciè: X' AX" X"AX' 94 X"AX cn X X' m l equzine 94 rppresen l re plre p del pun rispe ll cnic K, ciè il pun ppriene ll re plre p cvd

23 I puni e si dicn cniugi rispe ll cnic E ineressne nre che se nell frmul 93 si ipizz l pprenenz del pun ll cnic, si iene l 8, ciè il lug gemeric dei puni ucniugi(ciè che pprengn ll prpri plre è l cnic K sess er qun rigurd le frme bilineri simmeriche e frme qudriche vedere Sk, Sernesi e Rsi Nell Sk si generlizz l rzine sulle cniche e sulle qudriche rnd nche le iperqudriche(curve del secnd rdine in spzi cn più di re dimensini e di plrià subrdin d un iperqudric; l Aure inizi cn le iperqudriche per pi pssre lle cniche ed lle qudriche Il rf Sernesi Edrd ffrn il prblem dell re plre rispe d un cnic nn degenere K cnsidernd inizilmene un curv lgebric pin di rdine n e definend per ess l plre di rdine r(che in generle nn è un re m un curv lgebric di rdine n-r e l plre di rdine, che è sempre un re; l Aure cnsider l equzine (di un curv lgebric pin F(X,X,X, dve F è un plinmi mgene di grd n nelle crdine mgenee X, X,X, rppreseniv di un curv lgebric pin di rdine n, e scel un pun (p,p,p sul pin prieiv, svilupp cn l frmul di Tlr l funzine F(X+ dve (X+ (X+p,X+p,X+p Il cefficiene reliv l grd r di ps ugule zer indic l equzine dell plre di rdine r, menre il cefficiene del ermine di prim grd di ps ugule zer indic l equzine dell re plre, plre del prim rdine Ess vle: 95 F(Xp+F(Xp+F(Xp dve Fi(X indic l deriv przile dell F rispe ll vribile reliv ll indice i Se il pun T è il pun d inersezine r l re plre p e l cnic K llr: 96 F(Tp+F(Tp+F(Tp, F(T Affinchè vlg l 96 deve verificrsi: che ue le re derive przili di F nel pun T sin nulle, ciè T si un pun singlre, m ques ipesi nel cs in esme di cnic nn degenere K è d escludere d che K nn può pssedere puni singlri b ppure che il pun ppreng ll re ngene in T ll cnic, d che l equzine di le re è 97 F(TX+F(TX+F(TX e che cn l ssiuzine delle crdine del pun nell 97 si iene l 96 uindi il pun T di inersezine r re plre p e cnic K ppriene ll plre p del pun (pl Ciò signific che se il pl ppriene ll cnic K, l re plre di rispe K cincide cn l ngene ll cnic in Nel cs di pl nn pprenene ll cnic K l plre di pss per i due puni T e T di ngenz delle due ree ngeni ll cnic e cneneni er uleriri pprfndimeni cnsulre Sernesi er qun rigurd il prblem delle ngeni nel Dnni-Mmmn è ripr un med bs sul fsci delle cniche bingeni D un cnic rele nn degenere K ed un pun esern ll cnic, per deerminre le equzini delle due ree ngeni ll cnic pssni per, si scrive l equzine dell re plre p di rispe ll cnic; l equzine del fsci di cniche bingeni ll cnic K nei puni T e T è: 3

24 98 K + r p dve per semplicià di rppresenzine si sn indice le equzini cn le leere crrispndeni ll cnic ed ll re Impnend che l cnic generic del fsci pssi per il pun di crdine ssegne, si deermin r e quindi l equzine di secnd grd in,, si scinde nelle due cmpneni lineri enend le equzini delle due ree richiese E ineressne nre(vedere Mrinelli il fre cllegmen r il med del fsci delle cniche bingeni, espress rmie l frmul 98, ed il med dell plre rispe ll cnic l fine di deerminre l cppi di ree ngeni d un cnic e pssni per un pun ; difi indic cn f(, l equzine dell cnic in crdine nn mgenee ed esprimend l equzine dell re plre di pl cn l nzine dell frm mis di Cselnuv in crdine nn mgenee(d esempi, l 98 diviene: 99,, f(, + hf,, dve h è il prmer vribile del fsci di cniche in esme Impnend il pssggi dell cnic generic del fsci per il pun, ciè richiedend implicimene l deerminzine dell cppi di ree per e ngeni ll cnic d(cnic degenere del fsci, l 99 diviene: f(, + h f(, d cui ' h - f(, d cui, ssiuend l nell 98 si iene:,, f(, f(, - f,, che cincide cn l frmul 73 scri in crdine nn mgenee Un lr med per l deerminzine delle due ree ngeni ll cnic pssni per un pun cnsise nel cnsiderre un pun indeermin T(, sull cnic ssegn, cn ed incgnie, ed imprre che l ngene in T ll cnic pssi per ; ssiuend nell equzine dell re ngene per T ll cnic l cppi di crdine ed rve cme sluzini del sisem di secnd grd si perviene lle equzini delle due ree ngeni richiese (vedere Cselnuv e Mrinelli Diversi Auri(Cselnuv,Cmpedelli, Dnni-Mmmn, Mrinelli, Rsi riprn nei lr esi l deerminzine dell equzine dell re ngene 4

25 nell rigine O degli ssi d un cnic nn degenere pssne per O; le med cnsise nel prre ugule zer l smm di ui i ermini di prim grd, e si perviene l risul impnend che le due inersezini r l cnic d e l re generic del fsci pssne per O e di cefficiene nglre generic m sin cincideni cn sciss nullues med è ml diffus e si può pplicre in generle curve lgebriche pine di rdine n Un med didicmene ml vlid e ml sudi nelle scule superiri per deerminre l cppi di ree ngeni d un cnic rele nn degenere cnde d un pun esern, cnsise nell scrivere l equzine del fsci di ree di cenr e, fcend sisem cn l equzine dell cnic, si deve imprre che il discriminne del sisem, in cui figur il cefficiene nglre m dell re generic del fsci, risuli ugule zer; i due vlri di m rvi csiuiscn i cefficieni nglri delle due ree richiese(vedere Mrschini lm Dder -Brncini Nel cs dell circnferenz le equzini delle due ree ngeni d ess e pssni per un pun esern ssegn si pssn deerminre impnend che l generic re del fsci di cenr bbi disnz dl cenr dell circnferenz pri l rggi e deerminnd csì i due cefficieni nglri delle ree richiese; il med però diven scnveniene se si devn clclre nche le crdine dei puni di ngenz er qun rigurd le cnsiderzini di crere didic sul med dell re plre di pl rispe d un cnic i fini dell deerminzine delle due ree ngeni ll cnic cnde dl pun, bisgn slinere l semplicià del med spru cnsidernd che cnsene di deerminre diremene le crdine dei puni di ngenz Assegni nel pin un cnic nn degenere K ed un pun esern ll cnic, per deerminre le equzini delle ree ngeni d ll cnic bs scrivere l equzine dell re plre di pl rispe ll cnic, inersecre le re cn l cnic deerminnd i due puni di inersezine T e T, e per cncludere scrivere le equzini delle due ree pssni per T e (prim re ngene richies e per T e (secnd ngene richiesinlre il med dell plre (vver uilizz dell frmul dell sdppimenh il duplice spe che qund il pl ppriene ll cnic, l su plre è l re ngene in ll cnic; quindi il med è ml pene e ml generle, cnsenend un vs pplicbilià in mli csi(ciè per ue le cniche che si sudin l erz nn del superire L ure di quesi ppuni, vend insegn memic nelle erze clssi del lice scienific sperimenle e nell infrmic, h vu md di ppurre cme gli lunni ssimilin cn fcilià ques med in crdine nn mgenee; è chir che le cnsiderzini di clcl ripre nelle prime pgine di quesi ppuni gli lunni nn pssn ineressre si perché si incnrn clcli lbrisi, si perchè prescindn dl med in sé uò essere uile prprre il med gli lunni medine un lvr svl nel lbrri d infrmic; il sscri us ml il Derive fcend vedere che uilizznd l frmul dell sdppimen nel cs di pun (pl pprenene ll cnic si iene l re ngene ll cnic, se si pplic l sess frmul dell sdppimen cn un pl esern ll cnic, si iene un re che inersec l cnic in due puni che vedn il pun 5

26 ngenzilmene ll cnic E d slinere cmunque che gli lunni è gius che imprin spru i medi più semplici(dl pun di vis cnceule e quelli che rggn spun d prprieà gemeriche elemenri A l prpsi d esempi è bene che gli lunni cnscn e sppin pplicre, per qun rigurd l deerminzine delle due ree ngeni d un cnic cnde d un pun esern, il med del discriminne del sisem di secnd grd cui i perviene inersecnd l cnic cn l re generic pssne per il pun cn il cefficiene nglre vribile; se il discriminne è mggire, minre d ugule zer l re risul rispeivmene secne, esern ngene ll cnic Il med vle presen clcli lbrisi, m è gius che gli lunni l cnscn perché bs su cncei elemenri Ad esempi,nel cs di deerminzine di re ngene d un circnferenz in un su pun, secnd il sscri è imprne che gli lunni cnscn il med bs sull perpendiclrià dell re ngene in un pun dell circnferenz cn il rggi pssne per ; deermin il cefficiene nglre dell re che unisce il pun cn il cenr C dell circnferenz, l re perpendiclre (ciè il cui cefficiene nglre è l nireciprc del precedene pssne per il pun è l re ngene richies(vedere 5 Didicmene è bene che gli lunni cnscn ques med perché bs su prprieà gemeriche elemenri dell circnferenz 6

27 A Appendice sull frmul dell re plre p (di Snngel Murizi D l cnic rele nn degenere C di equzine ed un pun (, del pin cresin, un lr frm dell equzine dell re plre del pun rispe C è: ( 3 ( + ( 3 ( er verificre l vlidià dell frmul cnviene prire dll frmul di sdppimen, svilupprle enrmbe e cnfrnrle, enend: b 3 3 Vlend, per l equzine dell cnic C: ed uilizznd ques ulim frmul nell b, dividend per si iene l frmul 7

28 ARisluzine del sisem di secnd grd (di Snngel Murizi In ques ppendice si ripr un erz med lerniv di risluzine del sisem di secnd grd che cnsene di deerminre i puni di inersezine r l re e l cnic rele C nn degenere ssegn, dve ppriene nche ll cnic C ed il pun è esern C Il sisem di secnd grd è: ed mmee sicurmene cme sluzine, ern si può islre dll prim equzine linere del sisem l incgni, l espressine rv ssiuirl nell equzine di secnd grd ed bbssre di grd l equzine enu in, dividend il plinmi per - in virù del erem del res: per effeure l divisine si può uilizzre l regl di Ruffini In l md si perviene ll equzine di secnd grd in : b3 3 3 ( ( + + ( + + Mliplicnd mm per il qudr di - ed rdinnd rispe ll incgni si iene l seguene equzine: c3-3 ( 3 ( ( ( ( ( - 3 ( ( ( ( - ( ( ( ( ( ( ( - + ( 3 ( ( ( + ( ( + + di cui si cnsce l sluzine ; pern, bbssnd di grd il plinmi di secnd grd in medine l regl di Ruffini, si iene un plinmi di prim grd del ip : c+c, dve c è il cefficiene del ermine di secnd grd nell frmul c3e c è ugule l prd di c per più il cefficiene del ermine di 8

29 prim grd dell equzine c3 s nell c3,b,c rispeivmene i cefficieni di secnd grd, prim grd di e ermine n, si h: c, c+b e si dimsr che d3 c -(( ( ( ( - Difi, per qun sseri spr, segue: e3 - c ( ( ( ( ( ( 3 ( - ( ( 3 ( ( ( + ( + Mliplicnd per l 4 ed ddizinnd e srend il ermine si iene l: ( f3 - - ( ( ( ( ( - ( ( ( - 3 ( - ( ( ( 3 ( ( ( ( ( + + d cui, cnfrnnd l e3 cn l f3 segue l d3rissumend, si è rv che b+- ciè -b/ e pern l equzine c3 presen discriminne null, ciè l equzine di secnd grd c3 pssiede due rdici reli e cincideni ed uguli d Ciò cmpr che il res r dell divisine si sicurmene ugule zer; difi r c - essend per l secnd frmul di Cresi : c nel cs di rdici reli cincideni 9

30 Si è dimsr che r e che quindi, per il erem del res, il plinmi di secnd grd in è divisibile per - D qun precede si iene che il plinmi bbss di grd è : -, ciè l equzine c3 bbss di grd diven - d cui segue Le due rdici dell equzine c3 sn enrmbe cincideni cn e pern l re è ngene ll cnic nel pun Osservzine- Dll d3 si può verificre, in md lerniv qun vis in precedenz,che il res dell divisine è zer; difi g3 3 ( ( ( - ( 3 ( ( ( ( - ( ( ( + ( ( d cui si iene: h3 + (- ( ( ( ( + D che il pun (, ppriene ll cnic ssegn C di equzine, vle l frmul: i ( 3 Tenend cn dell frmul i3 e mliplicnd per l frmul 4, si deduce l frmul h3 e quindi si è verific che il res dell divisine è ugule zer (risul già precedenemene dimsr 3

31 A3:Terem di reciprcià e crrispndenz biunivc r pl e plre p rispe d un cnic nn degenere ( cur di Snngel Murizi Il erem di reciprcià è un erem ml imprne di gemeri e l dimsrzine ripr è ml cnsciu Tle erem si enunci nel seguene md: ssegn in un pin cresin rgnle mnmeric un cnic rele nn degenere K di equzine ed un pun (,, se l re plre p del pun (de pl rispe ll cnic K pss per il pun (,,llr l re plre p del pun rispe K pss per il pun Dim: per ques dimsrzine cnviene uilizzre l equzine dell plre p s l frm : ( ( Se l re p pss per il pun (, llr deve vlere l b ( 3 + ( che può essere scri nel seguene md(si ricrdi che ijji per i,j,,3: c ( 3 + ( Se si vule scrivere l equzine dell re plre p del pun rispe K e si impne il pssggi di le re per il pun (, si iene l c;pern si è dimsr che l plre p pss per il pun Un imprne ppliczine (grfic di ques erem è l csruzine dell re plre p di un pun rispe ll cnic ssegn K qund è inern K In ques cs l re p è esern K e pss per due puni ed R li che le rispeive ree plri si inersecn in (vedere l fig 3ues perché se l plre di pss per llr l plre di pss per, se l plre di R pss per llr l plre di pss per R; pern l plre di (sempre rispe K pss per i puni ed R Fign3 p R 3

32 Il cs di pl esern ll cnic è ripr negli ppuni(pg7 fig n Si può ripeere l sess rginmen di spr dve ed R ques vl sn i puni d inersezine dell re p cn l cnic K ern l plre di rispe K è l re pssne per i due puni di ngenz dell cppi di ree ll cnic cnde dl pun Esise un crrispndenz biunivc r il pl (, e l su re plre p di equzine generic +b+c rispe d un cnic K nn degenere di equzine,cn lmen un dei cefficieni,b c diversi d zer; ciè d un pun scel cme pl rispe d un cnic, crrispnde un re plre, ed ssegn l re plre crrispnde rispe d un cnic un sl pl Tle prpsizine, per qun rigurd l deerminzine del pl ssegn l re plre p, si può prvre immedimene medine cnsiderzini grfiche sul erem di reciprcià esè dimsr; ccrre disinguere due csi l re plre p inern ll cnic K: l re p inersec l cnic K in due puni e d cui cnducend le due ree ngeni K si iene un pun di inersezine che è il pl dell re p rispe K Il pl esise ed è unic Re plre p esern ll cnic K: dll fig n3 presi due puni cs ed R sull re p e cnducend l cppi di ree ngeni K di rispeivi puni, il pl dell re p rispe K è il pun d inersezine delle due ree pssni per i rispeivi puni di ngenz enui dlle cppie di ree ngeni K cnde rdinmene di due puni ed R; le pun esise ed è unic Se nell fign3 si rcci un qulunque re pssne per, indic cn il pun di inersezine cn l re plre p di e cn e i puni di inersezine cn l cnic, i due puni e dividn rmnicmene i puni di inersezine e, ciè il birppr dei qur puni è ugule, e si scrive: (, ',, ' : ' er uleriri pprfndimeni, cnsulre il Cselnuv 3

33 Bibligrfi [] Guid Cselnuv: Lezini di gemeri-cs edirice Dne Alighieri [] Luigi Cmpedelli :Lezini di gemeri-edcedam [3] Dnni- Mmmn: Lezini di gemeri-cs edirice Di Sefn [4] Sk: Lezini di gemeri-edcedam [5] Sk-ipine: Lezini ed esercizi di gemeri, Vl I EdCEDAM [6] Rsi : Lezini di gemeri- Edizini Libreri Crin dv [7] Sernesi: Gemeri I-EdBlli Bringhieri [8] Mrinelli: Med delle crdine- Rm Edirice V Veschi [9] Mrris Kline :Sri del pensier memic, vll I e II-Ed EINAUDI [] Mrschini-lm: Frm, VlI SE, Ed rvi