Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Sintesi delle teoria e guida alla risoluzione di esercizi

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1 Equzioni e disequzioni rimiche ed esponenzili Sinesi delle eori e guid ll risoluzione di esercizi

2 Esponenzile Definizione: si definisce funzione esponenzile, con come vlori l qunià elev ll poenz. è l rgomeno dell esponenzile, menre è l esponene. Osservimo i grfici dell funzione esponenzile, quell funzione che resiuisce,, Possimo osservre di grfici che l funzione esponenzile può vere due ipi di compormeno: crescene se decrescene se Dimo un definizione più precis dei ermini uilizzi Definizione: un funzione dll essere f f Definizione: un funzione f : R R, f si definisce crescene se R., f : R R, f si definisce decrescene se R dll essere f f., Nel cso di un funzione crescene quindi d un incremeno dell vribile corrisponde un incremeno dei vlori ssuni dll vribile (se cresce l crescono nche i vlori di ). Per un funzione decrescene d un incremeno dell vribile corrisponde un decremeno dei vlori ssuni dll vribile (se cresce l diminuiscono i vlori di ).

3 In enrmbi i csi si può vedere che qundo, ed in generle qundo l esponene è nullo, l funzione esponenzile vle sempre, possimo ffermre. Inolre i grfici evidenzino un lro imporne compormeno dell funzione esponenzile, ess ssume sempre vlori posiivi. Quindi Osservzione, R. L funzione esponenzile non si nnull mi Proprieà dell esponenzile ) Il prodoo di esponenzili veni l sess bse è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene l somm degli esponeni. ) Il quoziene di esponenzili veni l sess bse è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene l differenz degli esponeni. : ) L poenz di esponenzili è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene il prodoo degli esponeni. ) Proprieà disribuiv dell esponenzile rispeo l molipliczione z z z b b ) Proprieà disribuiv dell esponenzile rispeo l divisione z z z : b : b Osservzioni ) (l esponenzile con esponene zero d come risulo ) )

4 Logrimo Definizione: si definisce rimo in bse di un qunià quel vlore le per cui vle Si scrive. Dove rppresen l bse del rimo, menre è l rgomeno. L rgomeno del rimo può ssumere solno vlori posiivi (è un conseguenz dell resrizione pos sull immgine dell esponenzile). Vedimo i grfici del rimo. (nore come il grfico si poss oenere dl grfico dell esponenzile fcendo il simmerico rispeo l biserice del primo-erzo qudrne). Il rimo è quindi l funzione invers per l esponenzile (vle nche che l esponenzile è l funzione invers del rimo). Allor vle l seguene relzione: M nche: Proprieà del rimo.

5 . n. n... b (formul per il cmbimeno di bse). b Vedimo di individure un crierio che perme di risolvere le equzioni con i rimi e con gli esponenzili. Primo d un semplice conszione, sino ssegne due qunià uguli, b e vedimo di svolgere l seguene operzione di elevmeno poenz. Cioè se b Allor srà nche Se e b rppresenno l sess qunià le poenze scrie sopr vrnno lo sesso vlore in quno d esponene c è il medesimo vlore. Possimo nche scrivere, sempre nell ipoesi b b Cioè se e b rppresenno l sess qunià l rdice qudr dell prim dovrà essere ugule ll rdice qudr dell second. Poremmo scrivere moli esempi, m l ide che s ll bse è sempre l sess: De due qunià uguli se pplichimo d enrmbe l sess operzione, o le sess serie di operzioni, oerremo ncor due qunià uguli. b Vedimo or di uilizzre le principio per poer compiere il percorso inverso. Sino de due qunià uguli b Allor è possibile pplicre loro l funzione esponenzile, oppure l funzione rimo, ssumendo che, b rppresenino rispeivmene bse e rgomeno. Allor: Esponenzile Logrimo b b

6 b c c b Seguendo il rgionmeno espresso in precedenz le qunià oenue pplicndo l funzione esponenzile e rimic sono uguli. Cioè: se fccimo il rimo di qunià ideniche oenimo lo sesso risulo. se fccimo l esponenzile di uno sesso esponene in bsi uguli oenimo lo sesso risulo. Vedimo di inverire or il rgionmeno. Sino ssegne or due qunià esponenzili o rimiche uguli: Poiché l esponenzile è lo sesso e le qunià rppresene sono uguli, dl momeno che le bsi sono ideniche dovrnno essere uguli r loro gli esponeni, quindi b Anmene per i rimi possimo osservre che de due qunià uguli: c b Poiché i rimi rppresenno qunià uguli, dl momeno che le bsi sono ideniche dovrnno essere uguli r loro gli rgomeni, quindi Poremmo scrivere b Se due funzioni uguli e biieive hnno lo sesso vlore dovrnno vere rgomeni uguli. c b Vedimo or come risolvere gli esercizi su esponenzili e rimi uilizzndo ques ulim proposizione. Esercizio Log Log Log Per prim cos si deve sbilire qule si il cmpo di esisenz, in quno l funzione rimo richiede che l rgomeno ssum solno vlori posiivi, quindi C.E. le condizioni per C.E. devono essere messe sisem, in quno si richiede che i vlori ccebili per l soddisfino l condizione di esisenz per ogni rgomeno di rimo presene nell equzione.

7 che essendo l sess disequzione possimo scrivere come C. E. Or, per poer uilizzre l proposizione precedene è fondmenle vere un unic qunià primo membro e un unic qunià secondo membro. Uilizzndo le proprieà del rimi possimo scrivere un unico rimo secondo membro, quindi Log Log Log Log Log Abbimo or un uguglinz r due funzioni ideniche, sono enrmbe rimi, llor ess srà verific se i rispeivi rgomeni sono uguli r loro, cioè possimo pssre dll equzione rimic ll equzione r gli rgomeni: impossibile per C.E. Esercizio C.E.

8 Quindi C.E.. Scrivimo un unico rimo primo e secondo membro. Per scrivere due soo form di rimo, possimo considerre e n n quindi Pssimo or ll equzione r gli rgomeni , Sono enrmbe ccebili in quno soddisfno le C.E. Non è necessrio fre C.E. in quno sono già comprese nelle C.E. per il rimo, poiché vevmo richieso che gli rgomeni fossero >, quindi bbimo compreso nche il cso che i denominori sino

9 Esercizio C.E. Tle equzione si risolve ponendo, 7 7 Poiché bbimo poso deve porre Sosiuendo si h 7, per clcolre le soluzioni per l incogni del eso inizile si e Pssndo ll equzione r gli rgomeni, cioè, cioè Esercizio

10 ;.. E C 7 7, 7 Esercizio

11 C.E. Esercizio C.E., ; - C.E.

12 N: D: S: S C.E. Soluzioni. Esercizio 8 F 8

13 F, S: Ricordndo mi verifico Soluzioni.