Capitolo 3 - Trasformata di Fourier (I)

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1 Appuni di Teori dei Segnli Cpiolo 3 - Trsform di Fourier (I Definizione... Proprieà generli...3 Osservzione: nlogie con lo sviluppo in serie di Fourier...4 Esempio: rsform del rengolo...5 Esempio: rsform del segnle esponenzile posiivo...7 Esempio: rsform del segnle esponenzile negivo...9 Proprieà dell rsform di Fourier...9 Proprieà di linerià...9 Esempio... 0 Proprieà di rslzione nel empo... Esempio: rengolo rslo... Proprieà di rslzione in frequenz... 3 Esempio... 3 Trsform del prodoo di convoluzione... 5 Esempio: convoluzione di due rengoli... 6 Proprieà di modulzione... 7 Proprieà di scl... 8 Conseguenz: riblmeno emporle di un segnle... 9 Proprieà energeic... 9 Proprieà di derivzione nel empo... 0 Conseguenz: derivzione nel empo di ordine n... Esempio... Esempio... 3 Esempio... 3 Proprieà di derivzione in frequenz... 4 Conseguenz... 4 Proprieà di inegrzione nel empo... 5 Osservzione... 6 Esempio... 6 Proprieà: segnle coniugo... 7 Proprieà di dulià... 8 Esempio... 8

2 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 DEFINIZIONE Sppimo che, do un segnle x(, rele o complesso, PERIODICO, è possibile rppresenrlo, olre che con l su normle espressione nliic, medine il seguene sviluppo in serie di Fourier: j fn x( x n e π n dove f n n/t è l cosidde frequenz, dove T è il periodo del segnle e dove i coefficieni dello sviluppo hnno espressione x n T T/ jπfn T/ x( e jπfn Si r cioè di esprimere x( come somm di infinii segnli esponenzili del ipo x n e. Adesso voglimo rovre un lro srumeno rverso cui è possibile rppresenre un segnle. Si perciò s( un generico segnle (rele o complesso. Fccimo l ipoesi (lmeno per il momeno che esso NON SIA PERIODICO, il che signific che non mmee lo sviluppo in serie di Fourier cio poco f. Si definisce invece rsform di Fourier di s( (o nche spero di mpiezz compless di s( o semplicemene spero l funzione d jπf S(f s( e d Si r evidenemene di un funzione nell vribile f (che prende ncor un vol il nome di frequenz e, in generle, si r di un funzione compless. E bbsnz fcile verificre che, no l rsform di Fourier S(f di un segnle s(, è possibile deerminre s( medine un operzione di nirsformzione di Fourier: jπf s( S( f e df Ques ulimo conceo proviene d un risulo fondmenle (che non dimosrimo: se esise, l rsform di Fourier di un cero segnle è unic. Quindi c è un corrispondenz biunivoc r ciscun segnle e l su rsform di Fourier (se esise. Il significo concreo dell formul di nirsformzione è il seguene: è possibile esprimere s( come somm di infinii segnli esponenzili del ipo S( f e jπ f : ciscuno di quesi segnli è conrddisino d un modulo e d un fse, che sono evidenemene di d M(f S(f e jπf φ(f rg S(f e S(f jπf [ ] rg[ S(f ] + πf

3 Trsform di Fourier (pre I Viene d chiedersi qundo esise l rsform di Fourier di un segnle. E subio chiro che le condizioni di esisenz dell rsform di Fourier sono quelle necessrie per l convergenz dei due inegrli fornii nelle definizioni de prim. Senz però esminre nel deglio quese condizioni, ci limiimo cire un solo risulo fondmenle: do un segnle -periodico s(, esso mmee cermene rsform di Fourier se è d energi fini. Quindi, il fo che un segnle si d energi fini è condizione sufficiene perché esis l su rsform di Fourier. Ovvimene, il fo che si ri di un condizione sufficiene e non necessri signific che, nel cso il segnle non si d energi fini, è comunque possibile che mme l rsform. Vedremo infi che queso ccde per i segnli periodici, che sono noorimene segnli d energi null (e poenz fini. Ad ogni modo, slvo diverse specifiche, d or in poi noi considereremo sempre segnli d energi fini, per i quli quindi è possibile clcolre l rsform. Vle l pen llor ricordre che l ipoesi di vere un segnle s(d energi fini equivle richiedere che si rele o l più null l qunià E S s ( d e ricordimo nche che un segnle d energi fini è poenz infini. PROPRIETÀ GENERALI Fccimo qulche rgionmeno sull rsform S(f di un segnle s( che god di qulche proprieà pricolre: inno, se pplichimo l definizione d prim e le formule di Eulero cos x e jx + e jx sinx e jx e j jx bbimo che ( π ( S f ( π jπf S( f s( e d s( cos f d + j s( sin f d Re ( Im ( ( S f (* Abbimo cioè suddiviso l rsform di s( come somm di un pre rele e di un pre compless. Il secondo inegrle, ossi Im ( S( f, risul evidenemene nullo qundo l funzione inegrnd è dispri (in quno l inervllo di inegrzione è simmerico: do che l funzione Seno è già dispri, perché il suo prodoo con s( si dispri, è necessrio che s( si rele e pri. Possimo dunque concludere ffermndo che l rsform di Fourier di un segnle s( REALE e PARI è un funzione rele e precismene è ( π S(f s( cos f d 3

4 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Al conrrio, l rsform di Fourier di un segnle s( che non si REALE e PARI è cermene un funzione compless. Inolre, dll sess relzione (* e con rgionmeni nloghi, è evidene che l rsform di Fourier di un segnle s( REALE e DISPARI è purmene immginri e precismene vle ( π S(f j s( sin f d Infi, in quese ipoesi, d nnullrsi è il primo inegrle di quell relzione, viso che risul dispri l su funzione inegrnd. Ancor in bse ll relzione (* e in bse l fo che l funzione Coseno è pri, menre l funzione Seno è dispri, si no subio che, se s( è rele, si h [ S(f ] [ S( f ] [ S(f ] [ S( f ] Re Re Im Im Quese relzioni dicono in pric che l pre rele dell rsform di Fourier di un segnle rele è un funzione pri, menre il coefficiene dell pre immginri è un funzione dispri (ovvimene rispeo ll vribile f. Quese due proprieà possono essere sineizze scrivendo che [ ] S( f S(f * dove il simbolo * indic ovvimene il complesso coniugo. Ancor, ques sess proprieà si può esprimere in ermini di modulo e fse dell rsform di Fourier: è infi evidene che S(f S( f S(f S( f Osservzione: nlogie con lo sviluppo in serie di Fourier Le proprieà ppen elence per l S(f sono del uo nloghe quelle vise suo empo per lo sviluppo in serie di Fourier di un segnle periodico. Infi, per lo sviluppo di Fourier bbimo rovo quno segue: inno, bbimo viso che i coefficieni dello sviluppo di Fourier sono in generle complessi e li bbimo espressi nell form x n T/ T x ( f n d + j / x sin( f n d T ( cos π T ( π T/ T / Re( x Im( x n n 4

5 Trsform di Fourier (pre I In modo nlogo, bbimo qui viso che nche l rsform di Fourier è in generle un funzione compless dell vribile rele f ( π ( S f ( π S( f s( cos f d + j s( sin f d Re ( Im ( ( S f bbimo poi osservo che i coefficieni x n e x n presenno l sess pre rele e l pre immginri cmbi di segno ed bbimo espresso ques proprieà medine l formul x n * x In modo più o meno nlogo, per l rsform di Fourier bbimo rovo che * S( f S ( f. ncor, bbimo rovo che i coefficieni dello sviluppo in serie di Fourier di un segnle x( (periodico rele e pri sono ui reli e uguli n x n T T/ T/ x( cos ( π f d n In modo ncor un vol nlogo, bbimo qui rovo che l rsform di Fourier di un segnle s( rele e pri è un funzione rele d d ( π S( f s( cos f d Ad ogni modo, ue quese nlogie srnno ncor più chire qundo verrà esmin l rsform di Fourier di un segnle periodico. ESEMPIO: TRASFORMATA DEL RETTANGOLO Considerimo il segnle s( Arec, il cui ndmeno è quello rppreseno in figur: T A s( -T/ +T/ 5

6 T, per cui possimo clcolrne l rsform di Fourier. Per frlo, pplichimo semplicemene l jπf S( f s( e d Do che s( è null l di fuori dell inervllo [-T/,T/] e do che, ll inerno di le inervllo, ess vle semplicemene A, possimo scrivere che + T/ j f + T/ A j T j T [ e ] [ ] j f A S( f Ae d j f j f e π e T/ π T/ Applicndo le formule di Eulero, bbimo infine che π π π π jπt jπt [ e e ] jπt jπt [ e e ] A A A S( f jπf πf j πf sin L ndmeno quliivo di ques funzione è il seguene: ( π ft Osservimo che il puno in cui l curv di S(f inersec l sse delle scisse (ossi l sse delle frequenze è AT ed è evidenemene pri ll re del segnle s(: possimo cioè scrivere che S( f s( d AT f 0 6

7 Trsform di Fourier (pre I ESEMPIO: TRASFORMATA DEL SEGNALE ESPONENZIALE POSITIVO Considerimo desso il segnle esponenzile: s( e con > 0 > 0 Anche in queso cso, bbimo già rovo in precedenz che si r di un segnle d energi fini (l qule vle /. Clcolimone l rsform di Fourier pplicndo l definizione: jπf S( f s( e d Il segnle s( è nullo prim di 0, per cui possimo resringere l inervllo di inegrzione e successivmene procedere con i clcoli: π S( f e e d + jπf 0 ( + π [ e ] j f j f 0 + jπf Vedimo di fre qulche osservzione su ques rsform: inno, possimo rzionlizzrl scrivendo che jπf jπf S( f jπf + πf ( ( Seprndo desso l pre rele d quell immginri, rovimo che S( f + j πf ( πf + ( πf Si r quindi di un funzione compless, in ccordo l fo per cui s( è un funzione rele m NON è pri. Possimo nche verificre l proprieà secondo cui, per s( generico, si h che [ ] S( f S( f * Infi, si h che S( f + j π ( f ( πf + ( πf + ( πf + ( πf + j πf 7

8 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 ed effeivmene ques è l compless coniug dell S(f. Vedimo inolre quno vlgono il modulo e l fse di S(f: ( ( S( f Re( f + Im( f πf ( πf ( πf + πf S( f rcg rcg πf ( πf + ( πf D quese relzioni si evidenzino le proprieà per cui il modulo di S(f è un funzione pri, menre l fse è un funzione dispri: infi, si no subio che S( f S( f S( f S( f L ndmeno grfico del modulo di S(f in funzione f è il seguene: Quello, invece, dell fse è il seguene: π π 8

9 Trsform di Fourier (pre I ESEMPIO: TRASFORMATA DEL SEGNALE ESPONENZIALE NEGATIVO Considerimo un lro ipo di segnle esponenzile e precismene il seguene: s( e con < 0 > 0 Anche in queso cso, ovvimene, il segnle risul d energi fini (pri sempre /: è fcile verificre che l su rsform è jπf S( f e e d jπf Il modulo di S(f è lo sesso di quello rovo nel cso precedene, menre l fse è S( f rcg πf cioè l inverso del cso precedene. 0 Proprieà dell rsform di Fourier PROPRIETÀ DI LINEARITÀ Sino x( e y( due segnli li d mmeere enrmbi rsform di Fourier e sino X(f e Y(f le rispeive rsforme. Se effeuimo un loro combinzione linere, oenimo un nuovo segnle z( x( + by( che si dimosr mmeere nch esso rsform di Fourier. Allor, voglimo fr vedere che le rsform di Fourier è semplicemene Z( f X( f + by( f L dimosrzione è immedi se si pplic l definizione di rsform: jπf jπf z(e d x(e d + b y(e jπf d X(f + by(f 9

10 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Ques proprieà ci può essere uile qundo dobbimo clcolre l rsform di un segnle dll espressione pricolrmene compless: possimo provre d esprimere il suddeo segnle come un opporun combinzione linere di segnli dei quli conoscimo (o, comunque, possimo clcolre fcilmene l rsform di Fourier. Se ci riuscimo, l rsform del nosro segnle srà combinzione linere delle rispeive rsforme. Esempio Un esempio ipico di ppliczione di ques proprieà è il seguene: supponimo di voler clcolre l rsform di Fourier del segnle s( il cui ndmeno emporle è s( Possimo esprimere, in form nliic, queso segnle sfrundo i due segnli esponenzili visi negli esempi in precedenz: in pricolre, si h che s( u( e + u( e > 0 con qulsisi Allor, l rsform di Fourier di s( si può clcolre o medine l definizione oppure pplicndo l proprieà di linerià: poso infi x( e > 0 y( e < 0 bbimo che S( f X( f + Y( f. Ricordndo quno rovo in precedenz, possimo dunque scrivere che S( f + + jπf jπf + π ( f Si no come S(f si risul un funzione rele, in ccordo l fo per cui s( è un funzione rele e pri. Inolre, l sess S(f risul essere un funzione pri. L ndmeno di ques funzione è il seguene: 0

11 Trsform di Fourier (pre I Si no immedimene che ques funzione si esende eoricmene d - : si dice llor che il segnle s( è bnd illimi (o nche che esso h spero di esensione infini, in conrpposizione quei segnli il cui spero S(f si esende invece solo d un inervllo di esensione fini (nel qul cso si prl di segnli bnd limi. PROPRIETÀ DI TRASLAZIONE NEL TEMPO Si x( un segnle di cui si conosc l rsform di Fourier X(f. Considerimo il segnle z( che si oiene rslndo x( di un qunià α: quindi z( x( α. Si dimosr che nche z( mmee rsform di Fourier e noi voglimo fr vedere che ess si oiene, senz uleriori clcoli, prire d X(f medine l formul Z( f X( f e j f π α L dimosrzione si f sempre medine l definizione di rsform: Fcendo il cmbio di vribile s-α, oenimo jπf jπf z(e d x( αe d jπf ( s+α j fα x(se ds e π x(se jπfs ds e In definiiv, quindi, ques proprieà ci dice che, se conoscimo l rsform del segnle x(, possimo rslre il segnle sesso nosro picimeno e oenere l nuov rsform senz uleriori clcoli. Deo l conrrio, se bbimo un cero segnle z( del qule voglimo l rsform, possimo provre d inerprerlo come l rslzione di un lro segnle x( noi noo, o comunque del qule possimo fcilmene clcolrci l rsform X(f, in modo d clcolre Z(f prire semplicemene d X(f moliplicndolo per quel fore esponenzile cosne (e che dipende dll rslzione sess. jπfα X(f

12 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Esempio: rengolo rslo Possimo pplicre ques ulim proprieà per il clcolo dell rsform del rengolo rslo. Per esempio, supponimo di volere l rsform del segnle s( A T E evidene che queso non è lro che il segnle rengolo A Arec( -T/ +T/ rslo però di T/ verso desr: do llor che l rsform di Arec T ATsinc( ft, possimo concludere che l rsform di s( è vle T jπf jπft S( f ATe sinc( ft ATe sinc( ft L ndmeno quliivo dell pre rele e di quell immginri di queso segnle (per A e T0.5π sono i segueni: Im(S(f Re(S(f

13 Trsform di Fourier (pre I Il fo che si l pre rele si l pre immginri di S(f sino di esensione infini ci dice ncor un vol che il segnle in quesione è bnd illimi. Ovvimene, se il segnle s( fosse so A s( -T ossi il rengolo rslo di -T/, l su rsform srebbe s jπft S( f ATe sinc( ft PROPRIETÀ DI TRASLAZIONE IN FREQUENZA Si x( un segnle del qule supponimo di conoscere l rsform di Fourier X(f. Voglimo fr vedere che, considerndo il segnle z x e j πα ( (, esso h come rsform di Fourier l funzione Z( f X( f α L dimosrzione si effeu ncor un vol medine l definizione: jπf jπα jπf jπ( α z(e d x(e e d x(e f d x(e jπ(f α d X(f α Ques proprieà dice dunque che un rslzione di α nel dominio dell frequenz equivle d un molipliczione per il ermine esponenzile e jπα nel dominio del empo. Esempio Considerimo il segnle g( Arec cos( πα T il qule, ricordndo le proprieà del rec, non è lro che il segnle A cos( πα limio però T T ll inervllo +, : 3

14 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 α -T/ T/ Ne voglimo clcolre l rsform di Fourier. L presenz del segnle rengolo ci induce subio fre dei clcoli li d poerci comunque ricondurre l clcolo dell su rsform, che sppimo essere ATsinc( ft, ed ll ppliczione di qulcun r le proprieà finor vise. Applicndo le formule di Eulero possimo esprimere in mnier noi più uile il segnle g(: bbimo infi che g( Arec T jπα e + e jπα A e jπα rec T A + e jπα rec Abbimo dunque rovo che il nosro segnle g( è l somm di due disini segnli: llor, in bse ll proprieà di linerià, possimo inno ffermre che l G(f srà l somm delle rispeive rsforme; quindi, poso A x e jπα ( rec T A y e jπα ( rec T T possimo inno scrivere che G( f X( f + Y( f A queso puno, si osserv che x( è il rengolo di lezz A/ moliplico per il ermine esponenzile e jπα : pplicndo perciò l proprieà di rslzione nel empo, bbimo che In modo nlogo, si vede che X(f Y(f A Tsinc((f αt A Tsinc((f + αt In conclusione, l rsform del nosro segnle è A A Tsinc((f αt + Tsinc((f + αt 4

15 Trsform di Fourier (pre I L ndmeno quliivo di ques funzione è il seguene: Anche ques funzione h esensione infini, per cui il segnle in quesione è bnd illimi. TRASFORMATA DEL PRODOTTO DI CONVOLUZIONE Sino x( e y( due segnli dei quli supponimo di conoscere le rsforme di Fourier X(f e Y(f. Considerimo nche il segnle z( che si oiene dll convoluzione di x( e y(, ossi z( x( τ y( τ dτ Si dimosr che nche queso segnle z( mmee rsform di Fourier: in pricolre, voglimo fr vedere che ess è d d Z( f X( f Y( f Applicndo ncor un vol l definizione di rsform, bbimo che jπf jπf z(e d x( τy( τdτ e d Nelle ipoesi in cui simo lvorndo, possimo scmbire l ordine di inegrzione, per cui bbimo che jπf x( τy( τe d dτ L funzione x(τ non dipende dll vribile di inegrzione dell inegrle più inerno, per cui possimo porrl fuori: quindi jπf x( τ y( τe d dτ In queso modo, si no che l inegrle più inerno non si lro che l rsform di Fourier del segnle y( rslo di un qunià pri τ: quindi, pplicndo l proprieà di rslzione nel empo, possimo scrivere che 5

16 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 j f x( τy(f e π τ dτ Y(f x( τe jπfτ dτ Y(f X(f Quindi, ques proprieà ci dice che un convoluzione nel dominio del empo equivle d un semplice prodoo nel dominio dell frequenz. Esempio: convoluzione di due rengoli Considerimo il seguene segnle s(: s( Ne voglimo clcolre l rsform. Un primo modo è ovvimene quello di rovre l espressione nliic di queso segnle (cos non difficile viso che bbimo un funzione linere e ri e di clcolrne successivmene l rsform pplicndo l definizione. Tuvi, possimo risprmirci un po' di clcoli ricordndo che queso rpezio può essere viso come l convoluzione dei segueni segnli: x( rec 3 y( Brec( -3/ +3/ -/ +/ Sull bse di ciò, pplicndo l ulim proprieà dimosr, il clcolo di Z(f diven immedio: Z( f X( f Y( f 3sinc( f sinc( 3f [ ][ ] L ndmeno di ques funzione è come quello dell funzione seno crdinle, con l differenz che lo smorzmeno delle oscillzioni (nel dominio dell frequenz è molo più rpido. 6

17 Trsform di Fourier (pre I PROPRIETÀ DI MODULAZIONE Si s( un segnle del qule supponimo di conoscere l rsform di Fourier, che indichimo con S(f. Considerimo il nuovo segnle z( s( cos( π f 0. Si dimosr che nch esso mmee rsform di Fourier: in pricolre, voglimo fr vedere che l su rsform è Z( f S( f f 0 + S( f + f 0 Per prim cos, possimo pplicre le formule di Eulero per modificre l espressione del segnle z(: possimo infi scrivere che jπf 0 jπf0 e + e s( s( z( s( cos ( f s( π π e + 0 e j f0 jπf0 Così fcendo bbimo oenuo che il segnle z( è l somm di due segnli, per cui, poso x( y( s( e s( e jπf 0 jπf0 possimo inno pplicre l proprieà di linerià e scrivere che Z( f X( f + Y( f Or, si x( e si y( consisono nel prodoo di un cosne, /, con il segnle s( e con un ermine esponenzile: pplicndo llor l proprieà di rslzione in frequenz, bbimo che Z( f X( f + Y( f S(f f0 + S(f + f0 Nell pric, ques proprieà dice quno segue: do il segnle x( e d l su rsform S(f, l rsform del segnle z( s( cos( π f 0 non è lro che l somm di due S(f, ciscun modul in mpiezz del ermine /, l un rsl di +f 0 e l lr rsl di - f 0. Ad esempio, se supponimo che lo spero (cioè l rsform di Fourier di s( si S(f -f 0 -w +w f 0 f 7

18 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 lo spero del segnle z(, meno del fore di scl /, srà Z(f -f 0 f 0 f Le ulime due figure mosrno lcune cose molo ineressni: in primo luogo, noimo che, differenz dei segnli consideri nei precedeni esempi, l funzione S(f si esende su un inervllo finio di frequenz, che bbimo indico con [-w,+w]. Si dice llor che s( è un segnle bnd limi e w prende il nome di bnd del segnle; in secondo luogo, noimo che l funzione Z(f, pur essendo defini nch ess su un inervllo di mpiezz fini, risul divers d S(f: infi, menre S(f è non null solo in un inervllo [-w,+w] cenro su f0, Z(f è non null solo in due inervlli [-f 0 -w,-f 0 +w] e [+f 0 -w,+f 0 +w], simmerici rispeo f0. In enrmbi i csi, si prl di segnli bnd limi, m si dice che S(f è un segnle pss-bsso, menre Z(f è un segnle pss-bnd. Quesi concei srnno comunque pprofondii in seguio. PROPRIETÀ DI SCALA Si do ncor il generico segnle s( doo di rsform S(f. Considerimo inolre il segnle z( s(. Anche queso segnle si dimosr vere rsform di Fourier e noi voglimo fr vedere che ess vle Z( f S f con - se > 0 se < 0 Per l dimosrzione, pplichimo l definizione di rsform di Fourier supponendo per il momeno che si >0: bbimo che Fcendo il cmbio di vribile τ, oenimo jπf z(e d jπf s(e d jπf s( τe dτ s( τe τ τ jπf f dτ S 8

19 Trsform di Fourier (pre I Nel cso in cui, invece, si <0, l differenz con il cso precedene s nel fo che, seguio del cmbio di vribile, gli esremi di inegrzione si inverono, ossi divenno e - : di conseguenz, bbimo che jπf s( τe dτ s( τe τ τ jπf f dτ S Conseguenz: riblmeno emporle di un segnle D ques proprieà si deduce un ovvi conseguenz: infi, se noi prendimo -, oenimo che l rsform di z(s(- è ugule Z( f S( f Deducimo l seguene proprieà: do il segnle s( e d l su rsform S(f, l rsform del segnle che si oiene d s( riblndolo rispeo ll sse delle ordine, ossi il segnle s(-, non è lro che l funzione S(f ribl nch ess rispeo ll sse delle ordine. PROPRIETÀ ENERGETICA Si s( un segnle che mmee rsform di Fourier e si S(f le rsform: voglimo fr vedere che l energi ssegn quesi due segnli è l sess, ossi che E S s( d S(f df Inno, ricordndo che il modulo qudro di un qunià compless è pri l prodoo dell qunià sess per il suo complesso coniugo, bbimo che E S s( d s(s * ( d Or, possimo esprimere s( come nirsform di Fourier del segnle S(f: bbimo perciò s( jπf S(f e df In modo nlogo, per s*( bbimo che s * ( * jπf * jπf S(f e df S (f e df 9

20 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Sosiuendo ques relzione nell espressione dell energi, bbimo che E S * s(s (d s( * jπf S (f e df d Possimo desso scmbire l ordine di inegrzione (cos che risul leci nelle ipoesi soo cui simo lvorndo, in modo d oenere che E S * jπf * jπf s(s (f e d df S (f s(e d df L inegrle inerno è proprio l rsform di Fourier di s(, per cui possimo concludere che E S * S (f S(f df S(f df PROPRIETÀ DI DERIVAZIONE NEL TEMPO Considerimo un segnle s( che mme rsform di Fourier e si S(f le rsform. ds( Considerimo nche il segnle che si oiene derivndo s( rispeo l empo, ossi z(. Si d dimosr che nche queso segnle mmee rsform di Fourier e voglimo fr vedere che ess vle ( Z( f jπf S(f E possibile dimosrre ques relzione in due modi differeni: il primo modo consise semplicemene nell pplicre l definizione e nel ener cono che si suppone s( d energi fini; il secondo modo us invece l nirsform di Fourier. Vedimo il primo modo: pplicndo l definizione di rsform di Fourier, bbimo inno che jπf ds( jπf z(e d e d Queso inegrle si può risolvere per pri: si oiene in l modo jπf d jπf jπf [ s(e ] s( ( e d [ s(e ] ( jπf jπf s(e d d A queso puno, ricordndo l ipoesi fondmenle secondo cui s( è d energi fini, è chiro che s( 0 qundo e qundo -, per cui l prenesi qudr risul null e rimne + d jπf ( jπf s(e d ( jπf S(f 0

21 Trsform di Fourier (pre I Il significo concreo di ques proprieà si può rissumere dicendo che l operzione di derivzione nel empo di un segnle s( h l effeo di eslre le le frequenze: infi, vendo rovo che ( Z( f jπf S(f è chiro, qundo il vlore di f in quell relzione è pricolrmene elevo, esso influenz noevolmene il vlore di Z(f, menre, qundo è piccolo, non incide più di no. Conseguenz: derivzione nel empo di ordine n Ques proprieà h un conseguenz bbsnz ovvi: infi, se, dopo verl pplic l segnle s (, ossi dopo ver oenuo che [ '( ] ( π [ ( ] Fourier s j f Fourier s l pplichimo l segnle s (, oenimo che l su rsform vle [ ''( ] ( π [ '( ] ( π [ ( ] Fourier s j f Fourier s j f Fourier s Applicndol n vole, oenimo dunque che ( n [ n ( ] ( π [ ( ] Fourier s j f Fourier s D un puno di vis pplicivo, ques proprieà si uilizz nel modo seguene: supponimo di dover clcolre l rsform di Fourier di un do segnle s( e supponimo nche che queso segnle bbi un espressione pricolrmene compless; nziché clcolrci diremene S(f, possimo provre deerminre s (: se queso segnle h un espressione che ci fcili il clcolo dell su rsform, possimo clcolre le rsform e poi rislire S(f medine l formul ppen dimosr. Se, invece, nche s ( risul complesso su vol, possimo provre deerminre s ( e ripeere lo sesso rgionmeno. E ovvio che, se è necessrio ndre olre s (, l convenienz di ques proprieà viene mncre ed è perciò consiglibile seguire lre srde. Esempio Voglimo clcolre l rsform di Fourier del seguene segnle: s( -T T

22 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Ques rsform è s già clcol in precedenz. Ques vol, voglimo effeure il clcolo sfrundo l proprieà di derivzione nel empo, secondo l qule [ ( ] Fourier s [ '( ] ( jπf Fourier s Vedimo llor come è fo il segnle derivo di s(: s'( -T T L su rppresenzione nliic è s'( δ( + T δ( T dove l funzione δ( è il noo impulso di Dirc. Quindi, il segnle s ( non è lro che l somm di due impulsi. Vedimo quno vle l rsform di s (, pplicndo semplicemene l definizione: Fourier jπf δ( Te d jπf jπf [ s' (] s' (e d δ( + Te d Possimo uilizzre un proprieà di δ( che srà pprofondi più vni: secondo ques proprieà, d un qulsisi funzione f(, sussise l relzione f ( τ δ( τ dτ f ( Applicndo ques proprieà per il clcolo di quei due inegrli, bbimo che [ '( ] π ( Fourier s e e j f T jπft Ques relzione può essere scri in form migliore: infi, pplicndo le formule di Eulero, bbimo che jπft jπft jπft jπft e e Fourier[ s' (] e e (j jsin(πft j Adesso, possimo pplicre l proprieà di derivzione nel empo: bbimo che [ s'( ] Fourier sin(πft S (f Tsinc(fT jπf πf

23 Trsform di Fourier (pre I Esempio Considerimo il segnle rppreseno in figur: s( Abbimo già in precedenz clcolo l su rsform, oenendo [ ][ ] S(f 3sinc( f sinc( 3f Voglimo llor clcolre quno vle l rsform dell deriv prim di queso segnle. Abbimo due modi per procedere: do che l ndmeno emporle di s( è piuoso semplice, possimo rovre l espressione di s ( e poi clcolrne l rsform medine l definizione; oppure, senz ndre clcolre s (, possimo pplicre l proprieà di derivzione nel empo: così fcendo, oenimo subio che Fourier [ s' (] ( jπf Fourier[ s( ] ( jπf [ 3sinc(f ][ sinc(3f ] L espressione di ques rsform può in verià essere semplific: infi, ricordndo l definizione dell funzione seno crdinle, bbimo che sin(3πf 3πf ( jπf [ 3sinc(f ] ( j sinc(f sin(3πf Applicndo desso le formule di Eulero, bbimo che j3πf j3πf e e j3 f j3 f Z( f ( j sinc( f ( e e sinc( f j π π Esempio Il problem dell esempio precedene poev nche essere poso in lro modo e vedimo qule. Si do il seguene segnle s(: s(

24 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Voglimo clcolre l su rsform di Fourier spendo che l rsform del suo segnle derivo z(, il cui ndmeno è z( vle j3 ( π f j3 π f Z( f e e sinc( f Applicndo l proprieà di derivzione nel empo, bbimo immedimene che j3πf j3πf j3πf j3πf ( e e sinc f ( e e j3 f Z( f ( π e e S(f sinc( f sinc( f j f j f j f j ( f 3 π π π 3π j3πf e e 3sinc( f 3πf j j3πf sincf sin ( f 3π 3 sinc( f sinc( f 3 f 3 3 π j3πf PROPRIETÀ DI DERIVAZIONE IN FREQUENZA Considerimo sempre il generico segnle s( e l su rsform di Fourier S(f: si può fcilmene dimosrre che l funzione che si oiene d S(f derivndo rispeo f, ossi l funzione ds(f Z( f, è l rsform del segnle df ( z( jπ s( Conseguenz Anche in queso cso, così come nell proprieà di derivzione nel empo, oenimo l relzione generle per cui l rsform del segnle n d S(f è l funzione Z( f n. df ( z( jπ s( n 4

25 Trsform di Fourier (pre I PROPRIETÀ DI INTEGRAZIONE NEL TEMPO Considerimo un generico segnle s( che mme rsform di Fourier e indichimo con S(f le rsform. Considerimo nche il segnle z( s( τ dτ Si dimosr che, nell ipoesi che si S(00, nche z( mmee rsform di Fourier: in pricolre, voglimo fr vedere che ess vle S(f Z( f j π f Applicndo l definizione di rsform di Fourier, bbimo inno che jπf z(e d Moliplicndo e dividendo per il ermine (-jπf oenimo che jπf d jπf ( jπf e d z( ( e π z( d j f jπf d L inegrle così oenuo può essere clcolo llor per pri: jπf [ ] jπf z(e + jπf e d jπf dz( d Prim di clcolre l inegrle rimso, vedimo quno vle il primo ermine: si osserv subio come, prescindere d quno vle z( per e per -, l lro ermine, ossi e jπ f, vle zero per enrmbi quei vlori di. Quindi, il primo ermine è nullo e rimne Vedimo llor quno vle dz(/d: dz( d dz( jπf e d jπf d d d s( τ dτ s( Andndo sosiuire nell espressione di quell inegrle, oenimo s(e jπf jπf d S(f jπf 5

26 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Osservzione Prim di pssre d un esempio, fccimo nore come l ipoesi per cui deve essere S(00 equivle dire che S(f ossi che il segnle s( deve vere re null. 0 0 jπ(f 0 s(e d s( d Esempio Voglimo clcolre l rsform del seguene segnle: AT g( -T +T Un primo modo di oenere G(f è senz lro quello di ricvre l espressione nliic di queso segnle (cos non difficile in queso cso e poi di pplicre l definizione. Tuvi, risul senz lro più conveniene l srd che pss per l proprieà di inegrzione nel empo: infi, è fcile verificre che g( si può oenere per inegrzione di un lro segnle x( fo nel modo seguene: x( A -T +T -A Possimo cioè porre g( x( τ dτ, dove evidenemene x( è l somm di due rengoli rsli, dei quli noi conoscimo ormi bene l rsform. Do inolre che x( è un segnle d re null, possimo pplicre l proprieà di inegrzione nel empo, oenendo quno segue: in primo luogo, dobbimo rovre l espressione di x(, che è l somm di due rengoli, enrmbi di bse T e lezz A, rslo il primo di -T/ ed il secondo di +T/; quindi + T / T / x( Arec Arec T T 6

27 Trsform di Fourier (pre I Adesso, per clcolre l rsform di queso segnle dobbimo pplicre, in successione, l proprieà di linerià e quell di rslzione nel empo: quindi π π [ ] jπf T jπf T j ft j ft X( f ATsinc( ft e ATsinc( ft e ATsinc( ft e e No X(f, possimo oenere G(f medine l proprieà di inegrzione: jπft jπft [ e e ] AT e G(f X(f ATsinc(fT sinc(ft jπf jπf πf AT sin( πft sinc(ftsin( πft AT sinc (ft AT sinc (ft πf πft jπft e j jπft L ndmeno quliivo di queso segnle (per Tπ/ e A è il seguene: PROPRIETÀ: SEGNALE CONIUGATO Sino di sempre il segnle s( e l su rsform di Fourier S(f. Considerimo il nuovo * segnle z( s (. Si dimosr che nche z( mmee rsform di Fourier: voglimo fr vedere che ess vle * Z( f S ( f L dimosrzione si effeu come l solio rmie l definizione: jπf z(e d * jπf s (e d Il ermine e -jπf può essere viso come il complesso coniugo del ermine e jπf, per cui jπf * jπf ( e d s( ( e * s ( d * 7

28 Appuni di Teori dei Segnli - Cpiolo 3 Adesso, ponendo f-(-f bbimo che s( jπ( ( e f * d S ( f * PROPRIETÀ DI DUALITÀ Considerimo il solio segnle s( e supponimo che si S(f l su rsform. E ovvio che S(f è un normle funzione nell vribile f: se llor cmbimo il nome di ques vribile d f, oenimo un nuov funzione z( S( che h l sess sruur di S(f m è funzione del empo. Si dimosr che nche z( mmee rsform di Fourier e, in pricolre, ci ppresimo fr vedere che le rsform vle Z( f s( f ossi si r di un funzione che h l sess sruur del segnle s( m dipende dll frequenz nziché dl empo. Si us ncor un vol l definizione di rsform di Fourier: jπf z(e d jπf S(e d Per comodià, ponimo fσ: quindi Z( σ S(e jπσ d Ponimo nche f: quindi Z( σ S(f e jπσf df S(f e jπ( σf df Quell oenu non è lro che l formul di nirsformzione di Fourier del segnle S(f ll isne -σ: quindi Z( σ s( σ. Ponendo σf si oiene l esi. Esempio Considerimo il segnle s( Arec. Sppimo ormi bene che l rsform di queso T segnle è l funzione S(f ATsinc( ft, dell qule bbimo in precedenz già riporo l ndmeno grfico. Se noi, l poso di f, ponimo ω, ques funzione diven semplicemene S( ω ATsinc( ωt Allor, supponimo di vere un lro segnle e precismene z( ATsinc( ω 8

29 Trsform di Fourier (pre I Possimo clcolrci l su rsform di Fourier pplicndo l proprieà di dulià, in quno z( h evidenemene l sess sruur di S(f: quindi f Z( f s( f Arec T Essendo poi l funzione rec un funzione pri, possimo concludere che f Z( f s( f Arec T Auore: SANDRO PETRIZZELLI e-mil: sndry@iol.i sio personle: hp://users.iol.i/sndry succursle: hp://digilnder.iol.i/sndry 9