Siano A e B due insiemi non vuoti. Una funzione f da A a B è un assegnamento di esattamente un elemento di B ad ogni elemento di A

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1 Funzioni Definizione di funzione: Sino A e B due insiemi non vuoti. Un funzione f d A B è un ssegnmento di esttmente un elemento di B d ogni elemento di A Scrivimo f() = b se b è l unico elemento dell insieme B che l funzione f ssoci ll elemento dell insieme A Per indicre che f è un funzione d A B, scrivimo f : A B Sinonimi del termine funzione sono trsformzione, ppliczione, mpp. Un funzione può essere definit elencndo tutti gli ssegnmenti d A B oppure ttrverso un formul del tipo f() = + 1 Si f è un funzione d A B, A è detto dominio dell funzione f mentre B è detto codominio di f. Se f() = b, b è l immgine di ed è l preimmgine di b Il rngo di f è l insieme delle immgini degli elementi di A

2 Funzioni Esempi : A B A B f : A B f è un funzione perché d ogni elemento dell'insieme A corrisponde un solo elemento dell'insieme B f : A B f non è un funzione perché ll'elemento dell'insieme A corrispondono gli elementi e y dell'insieme B B B A A f : A B f non è un funzione perché ll'elemento c dell'insieme A non corrisponde nessun elemento dell'insieme B f : A B f è un funzione perché d ogni elemento dell'insieme A corrisponde un solo elemento dell'insieme B

3 Funzioni Esempi : Si f un funzione che dt un string di bit di lunghezz mggiore di, ssegn d ess gli ultimi due bit Es. f(011010) = 10 Il dominio di f è l insieme di tutte le stringhe di lunghezz mggiore o ugule di Il codominio e il rngo di f è l insieme {00, 01, 10, 11} Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo qudrto ( f() = ). Il dominio di f è l insieme dei numeri interi Il codominio di f è l insieme dei numeri interi Il rngo di f è l insieme dei numeri interi che sono qudrti perfetti {0, 1, 4, 9, }

4 Funzioni Definizioni: Due funzioni vlori reli possono essere sommte e moltiplicte tr loro Sino f 1 ed f due funzioni d A d R. Anche f 1 +f ed f 1 f sono funzioni d A d R, definite d: (f 1 + f ) () = f 1 () + f () (f 1 f )() = f 1 () f () Esempi: Sino f 1 ed f due funzioni d R d R tli che f 1 () = ed f () = - ( f f )( ) f ( ) f ( ) 1 1 ( f f )( ) f ( ) f ( )

5 Funzioni Funzioni iniettive: Un funzione si dice iniettiv se e solo se f() = f(b) implic = b, b ( f ( ) f ( b) b), b ( b f ( ) f ( b)) Esempi: Si f:n Z l funzione che ssegn d ogni numero nturle il suo qudrto ( f() = ) f è iniettiv. Inftti ogni numero nturle elevto l qudrto dà un numero nturle y m non è vero il contrrio, ossi non tutti i numeri nturli sono il qudrto di un numero nturle Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo qudrto ( f() = ) f non è iniettiv perché f(1) = f(-1) = 1

6 Funzioni Funzioni suriettive: Un funzione definit in A e vlori in B, si dice suriettiv se e solo se per ogni b є B c è un elemento in є A con f() = b. b B A ( f ( ) b) Esempi: Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo qudrto ( f() = ) f non è suriettiv perché non esiste lcun numero intero tle che = -1 Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo successivo ( f() = + 1 ) f è suriettiv perché per ogni intero y esiste un intero = y 1 tle che f() = y

7 Funzioni Funzioni biunivoche: Un funzione definit in A e vlori in B, si dice biiettiv se è si iniettiv che suriettiv ossi se d ogni elemento dell'insieme "di prtenz" A corrisponde uno ed un solo elemento dell'insieme "di rrivo" B, e vicevers d ogni elemento di B corrispond uno ed un solo elemento di A. Un funzione biiettiv viene nche dett biunivoc (o corrispondenz biunivoc). Esempi: Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo successivo ( f() = + 1 ) f è biunivoc perché è si suriettiv che iniettiv. L funzione " è l cpitle di y" con dominio l'insieme A delle città cpitli e codominio l'insieme B delle nzioni è biiettiv.

8 Funzioni Funzioni inverse: Si f un corrispondenz biunivoc dll insieme A ll insieme B. L funzione invers di f è l funzione che ssegn d ogni elemento b є B, l unico elemento є A tle che f() = b. l funzione invers di f si indic con f -1 f -1 (b) = se e solo se f() = b f() = f -1 (b) f f -1 (b) b =f() f -1

9 Funzioni Funzioni invertibili: Un funzione f si dice invertibile se è iniettiv e suriettiv e quindi esiste l su funzione invers. Esempi: Si f:z Z l funzione che ssegn d ogni numero intero il suo successivo ( f() = + 1 ) f è biunivoc perché è si suriettiv che iniettiv quindi è invertibile supponimo che y si l immgine di, bbimo y = + 1 e quindi = y 1. Questo signific che f -1 (y) = y-1 Si f:r R l funzione che ssegn d ogni numero rele il suo qudrto ( f() = ) poiché f(-) = f() = 4, f non è iniettiv e quindi non è invertibile Se restringimo il dominio dell funzione f ll insieme dei numeri reli positivi f:r + R con f() = f è invertibile ed è f 1 ( y)

10 Funzioni Funzioni composte: Si g un funzione dll insieme A ll insieme B e si f un funzione definit in B ed vlori nell insieme C. L composizione delle funzioni f e g, indict con f g, è definit d: ( f g)( ) f ( g( )) g() f(b) b =g() c =f(b) g f

11 Funzioni Esempi di funzioni composte: Sino f:z Z e g:z Z due funzioni definite dlle epressioni: f() = + 3 e g() = 3 + ( f g )() = f(g()) = f( 3 + ) = ( 3 + ) + 3 = ( g f )() = g(f()) = g( + 3 ) = 3 ( + 3 ) + = Si f:a B un funzione biunivoc f -1 esiste ed è un funzione biunivoc d B d A (f -1 f )() = f -1 (f()) = f -1 (b) = (f f -1 )(b) = f(f -1 (b)) = f() = b

12 Funzioni Le funzioni floor e ceil: L funzione floor ssegn d ogni numero rele il più grnde numero intero minore o ugule d. Il vlore dell funzione floor pplict l numero è indicto con L funzione ceil ssegn d ogni numero rele il più piccolo numero intero mggiore o ugule d. Il vlore dell funzione ceil pplict l numero è indicto con Esempi:

13 Funzioni L funzioni fttorile: L funzione fttorile f:n Z+ indict con f(n) = n!, è il prodotto dei primi n numeri interi positiviquindi: f(1) = 1! = 1 f() =! = 1 = f(6) = 6! = = 70 f(0) = Formul di Stirling: n! ~ nn/ n il simbolo ~ indic che sintoticmente, per n che tende ll infinito i due termini tendono d essere uguli

14 L rett rele L rett rele e l rett Euclide E 1 (rett euclide) ed R (insieme dei numeri reli) godono di proprietà molto simili che consentono di stbilire un biiezione tr punti e numeri reli in R vle l legge di tricotomi: se e y sono due numeri reli, si h un sol delle seguenti eventulità y, y, y l rett E 1 può essere orientt e quindi stbilire un relzione d ordine tr i punti dell rett che gode dell proprietà di tricotomi comunque si considerno due numeri reli e y con < y, esiste un numero rele z tle che < z < y comunque si considerno due punti A e B sull rett, esiste un punto P diverso d A e d B che pprtiene l segmento [A,B]

15 L rett rele L rett rele e l rett Euclide considerimo un rett e sceglimo su di ess un riferimento, cioè due punti distinti O edu, ed orientimo l rett d O U ssocimo il numero 0 d O ed il numero 1 d U l generico punto P ssocimo il rpporto tr l misur di OP e l misur di OU

16 L rett rele L rett rele e l rett Euclide se i segmenti OP ed OU sono commensurbili cioè il rpporto delle loro misure è espresso d un numero rzionle, P corrisponde un numero rzionle. esistono però segmenti incommensurbili, ciò signific che sull rett esistono punti cui è necessrio ssocire nuovi numeri detti irrzionli.

17 L rett rele L rett rele e l rett Euclide L biiezione f:e 1 R si definisce nel modo seguente: per ogni punto P di E 1 si pone f(p)= dove indic il rpporto tr le misure di OP e di OU l corrispondenz f dipende dll scelt del riferimento (O,U) e prende il nome di sistem coordinto reltivo l riferimento f : O, U R se si cmbi riferimento cmbi l corrispondenz biunivoc

18 Il Pino Crtesino Riferimento Crtesino e Pino Crtesino Un riferimento crtesino è costituito d due rette perpendicolri con l scelt, su ciscun di esse di un sistem coordinto (OU) ed (OV) Un pino con un fissto riferimento crtesino è detto pino crtesino Indicndo con E il pino, si stbilisce un corirspondenz biunivoc che ssoci d ogni punto del pino un copi di numeri reli (,y) h: E R Distnz tr P e Q ' ' '' '' P Q P Q P Q

19 Funzioni Reli Sino ST, R due sottoinsiemi non vuoti dell insieme dei numeri reli f : S T è dett funzione rele di vribile rele L insieme è detto immgine di f R y T S : y f f L insieme è detto grfico di f f, G y S T y f Fissto un sistem di riferimento crtesino nel pino, il grfico di f si identific con il sottoinsieme di punti del pino i cui punti hnno come coordinte le coppie ordinte pprtenenti l grfico di f

20 Funzioni Reli Esempi di funzioni reli L funzione ir : R R i ( ) R è dett funzione identità G (, y) R y i R R definit come segue Dt l funzione f : R R f ( ) -1 R tle che f G y y (, ) R 1

21 Funzioni Reli Esempi di funzioni reli l funzione f : R R definit come se 0 - se 0 è dett funzione vlore ssoluto

22 Funzioni Reli Esercizio Stbilire se le seguenti coppie di funzioni reli sono uguli o meno f : R R tle che f g : R R tle che g f : RR tle che f g : RR tle che g f : RR tle che f g : RR tle che g f : R R tle che f g : R R tle che g

23 Funzioni Reli Osservzione Non è fftto vero che, dti due sottoinsiemi ST, R un qulsisi sottoinsieme del loro prodotto crtesino si il grfico di un funzione rele di vribile rele Esempi Il seguente grfico: G S T R rppresent un funzione rele

24 Funzioni Reli Osservzione Non è fftto vero che, dti due sottoinsiemi ST, R un qulsisi sottoinsieme del loro prodotto crtesino si il grfico di un funzione rele di vribile rele Esempi Il seguente grfico: G S T R non rppresent lcun funzione rele

25 Funzioni Reli Osservzione Non è fftto vero che, dti due sottoinsiemi ST, R un qulsisi sottoinsieme del loro prodotto crtesino si il grfico di un funzione rele di vribile rele Esempi Considerimo l insieme G y y, R 1 G S T R non è il grfico di un funzione perché per ogni 1 1 bbimo due diversi vlori di y

26 Funzioni Reli Definizioni fondmentli Funzioni pri: Un funzione f è dett pri se S : - S S : f f L funzione vlore ssoluto è un funzione pri

27 Funzioni Reli Definizioni fondmentli Funzioni dispri: Un funzione f è dett dipri se S : - S S : f f L funzione identità è un funzione dispri

28 Funzioni Reli Esempi f : RR: f 3 f : RR: f è un funzione pri è un funzione dipri

29 Funzioni Reli Definizioni fondmentli Funzioni periodiche: Un funzione f : S T è dett periodic di periodo p > 0 se S : p S p S S : f p f f p

30 Funzioni Reli Funzioni monotone Sino ST, R due sottoinsiemi non vuoti dell insieme dei numeri reli e si f : S T Si dice che f è un funzione monoton crescente se, ys : y f f y Si dice che f è un funzione monoton strettmente crescente se, ys : y f f y Si dice che f è un funzione monoton decrescente se, ys : y f f y Si dice che f è un funzione monoton strettmente decrescente se, ys : y f f y

31 Funzioni Reli Funzioni monotone funzione monoton decrescente funzione monoton strettmente decrescente funzione non monoton funzione monoton strettmente crescente

32 Funzioni Reli Funzioni elementri Alcune funzioni reli di vribili reli sono dette funzioni elementri. Quest denominzione deriv dl ftto che tutte le ltre funzioni di uso più comune si ottengono d queste trmite operzioni lgebriche e dicomposizione. Le funzioni elementri si dividono in tre gruppi: funzioni potenz con esponente intero funzioni esponenzili e logritmiche funzioni circolri

33 Funzioni Reli Funzione potenz Dti R, nn, n 1 si definisce potenz n-esim di il numero rele n... n volte Fissto nn, n1 l funzione potenz n-esim è definit come f : R R : R f Per n dispri l funzione potenz è un funzione dispri n

34 Funzioni Reli Funzione potenz Dti R, nn, n 1 si definisce potenz n-esim di il numero rele n... n volte Fissto nn, n1 l funzione potenz n-esim è definit come f : R R : R f Per n pri l funzione potenz è un funzione pri n

35 Funzioni Reli Funzione rdice n-esim Dti R, nn, n 1 si definisce rdice n-esim di e si indic con n il numero rele che elevto ll potenz ennesim ci restituisce Per n pri L funzione rdice n-esim è definit sull insieme dei numeri reli positivi n n : R R : R n

36 Funzioni Reli Funzione rdice n-esim Dti R, nn, n 1 si definisce rdice n-esim di e si indic con n il numero rele che elevto ll potenz ennesim ci restituisce Per n dispri L funzione rdice n-esim è definit su tutto l nsieme dei numeri reli n n : R R : R n

37 Funzioni Reli Funzione rdice n-esim Osservzione: Se n è pri, bbimo che n n 0 In reltà il primo membro di quest uguglinz h senso per ogni R n in qunto 0 Sussiste llor l seguente rlzione n n R

38 Equzioni Si definisce equzione un uguglinz tr due espressioni che contengono un o più vribili, generlmente indicte con le lettere,y,z, (Per semplcità ci limiteremo trttre equzioni fino 3 vribili) Esempi: y3 0 y Un soluzione due soluzioni Infinite soluzioni Infinite soluzioni y 3 17 y 4 3 3z y Infinite soluzioni Nessun soluzione Infinite soluzioni Ciscun punto, coppi o tern, di R, R, R 3 che soddisf un ssegnt equzione prende il nome di soluzione. Ogni equzione può mmettere un o più soluzioni eventulmente infinite, così come potrebbe non mmetterne lcun.

39 Equzioni Interpretzione geometric Alle vribili di un equzione si possono ssocire le coordinte di un punto che si trov: 1. sull rett se è presente l sol vribile. nel pino se sono presenti e y 3. nello spzio se sono presenti,y e z Un equzione identific un sottoinsieme dell rett, del pino o dello spzio: l insieme dei punti le cui coordinte verificno l equzione Un minimo di formlizzzione: Se f e g sono due funzioni reli di un o più vribili reli, un generic equzione si può scrivere nell form: f g oppure h ( f - g) 0 Due equzioni si dicono equivlenti se i due insiemi di soluzioni coincidono

40 Equzioni Mnipolzioni di equzioni Per risolvere un equzione si possono effetture operzioni lgebriche llo scopo di ottenere un equzione equivlente m semplice d risolvere, in prticolre: Si può spostre un termine d un membro ll ltro condizione di cmbirlo di segno Si possono moltiplicre i due membri di un equzione per uno stesso numero purchè diverso d

41 Equzioni Interpretzione geometric (funzioni in un unic incognit) Sino f e g due funzioni reli di un vribile rele: Risolvere l equzione f()= 0 vuol dire determinre l sciss dei punti in cui il grfico di f tgli l sse delle Risolvere l equzione f()= g() vuol dire determinre l sciss dei punti in cui il grfico di f incroci il grfico di g Approcci risolutivi: 1. Risoluzione nlitic: ppliczione di un formul che fornisce l o le soluzioni. Risoluzione qulittiv: determinzione dell esistenz e del numero di soluzioni ed eventulmente dell loro colloczione in certi intervlli nziché ltri; richiede priori l conoscenz del grfico di f 3. Risoluzione numeric: ppliczione di qulche procedur, generlmente ripetitiv, ffidt l clcoltore che fornisce un soluzione pprossimt

42 Equzioni Esempio Risolvere l equzione Approccio nlitico: formul di Crdno f 3 1. Approccio qulittivo: dl grfico di 3 si ricv che l equzione mmette 3 soluzioni pprtenenti gli intervlli, 1 1,1 1, 3. Approccio numerico: utilizzndo un progrmm di clcolo si ottengono le seguenti soluzioni 1,879 0,347 1,53 1 3

43 Equzioni Esempio Risolvere l equzione Approccio nlitico: Ponendo y y si ottiene 4y 4 0 y1 impossibile Risoluzione di un equzione di secondo grdo b c 0 1 b b 4c

44 Funzioni Reli Elevmento potenz con esponente rele Provimo dre significto ll espressione con R e r R r numero rzionle m r con mz, nn\ 0 n per definizione si pone r n m nel cso in cui m < 0 si pone m 1 m

45 Funzioni Reli Proprietà dell elevmento potenz Sino, br : 0 b 0 rq r 0 r 1 1 rq r r r, sq s r r s r r r r Q b b Dll densità di Q in R e dll completezz di R segue che si può dre 0 significto l simbolo per ogni numero rele e per ogni in modo tle che le proprietà elencte continuino vlere R

46 Funzioni Reli Funzione esponenzile di bse Fissto un numero rele 0 1 Si definisce funzione esponenzile di bse l funzione f : R R tle che R : f L funzione esponenzile di bse e (numero di Nepero) è dett semplicemente funzione esponenzile ed è tlvolt indict come ep() f è strettmente crescente se >1, strettmente decrescente se 0<<1

47 Funzioni Reli Logritmi Il logritmo è in sostnz l operzione invers dell elevmento potenz Il logritmo di un numero è l esponente d dre ll bse per ottenere il numero dto Esempi: Logritmo di 81 bse 9 log 9(81) 9 81 Logritmo di 3 bse 9 log 1 9(3)

48 Funzioni Reli Logritmi Il logritmo è in sostnz l operzione invers dell elevmento potenz Il logritmo di un numero è l esponente d dre ll bse per ottenenre il numero dto Così come bbimo definito l operzione di esponenzile log ( ) b 0, b 0 definimo l operzione R l esponenzile può ssumere solo vlori positivi Esempi: 1 log log log log 4

49 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Fissto un numero rele 0 1 Si definisce funzione logritmo di bse l funzione R f : 0, tle che 0, : f log L funzione logritmo di bse e (numero di Nepero) è dett semplicemente funzione logritmo nturle senz specificre l bse

50 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Le proprietà dell funzione logritmo si deducono dll su definizione e dlle proprietà dell funzione esponenzile log 1 0 log 1 R : log log y y log log 0:, y 0: log y log log y, y 0 : log log log y y 0 b>0 b 1: log b log log b

51 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Le proprietà dell funzione logritmo si deducono dll su definizione e dlle proprietà dell funzione esponenzile 0: log y ylog Si y s log s y s y log s y s y log

52 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Le proprietà dell funzione logritmo si deducono dll su definizione e dlle proprietà dell funzione esponenzile, y 0: log y log log y dim: Si r e s y log log r s rs y y log y r s In conclusione log y log log y

53 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Le proprietà dell funzione logritmo si deducono dll su definizione e dlle proprietà dell funzione esponenzile, y 0 : log log log y y dim: Si r e s y log log 1 s log y 1 1 log log log log r s y y y

54 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse Le proprietà dell funzione logritmo si deducono dll su definizione e dlle proprietà dell funzione esponenzile dim: Si s log b 0 b>0 b 1: log b log log b s b s log b log slog b log s log log b

55 Funzioni Reli Funzione logritmo di bse L funzione logritmo di bse è strettmente crescente se >1, strettmente decrescente se 0<<1

56 Equzioni esponenzili e logritmiche Sino 0 1 br Risolvere l equzione b Signific determinre tutti gli elementi dell insieme di definizione dell funzione f (cioè tutto l insieme dei numeri reli) tli che il corrispondente vlore dell funzione f soddisfi l equzione y f b Ovvero tutte le scisse dei punti di intersezione del grfico G di f con l rett di equzione y=b

57 Equzioni esponenzili e logritmiche 0 1 br Risolvere l equzione b Poiché f R 0, l equzione non mmette soluzione se b 0 Se b 0 llor tle punto h sciss G f h un unico punto di intersezione con l rett y b log b (log è l funzione invers di f ) b 0 b log b

58 Equzioni esponenzili e logritmiche Risolvere l equzione log b signific determinre tutti gli elementi dell insieme di definizione dell funzione log (cioè tutto l insieme dei numeri reli mggiori di 0) tli che il corrispondente vlore dell funzione log soddisfi l equzione y log b Voglimo quindi determinre tutte le scisse dei punti di intersezione del grfico G di log con l rett di equzione y=b 0 log b b

59 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi 1 1 Non mmette soluzioni 3 1 log e log log 4 log log 4 log 5 3

60 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi 5 log 9 log5 9 log log log log 5 3 log 7 log5 log3

61 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi ponendo y si h y 6y8 0 y nell vribile 1 4 log 4

62 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi log 1 log log Tle equzione può mmettere soluzione se Per > l equzione può essere riscritt come 1 log 3 log3 log3 3 log

63 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi log log 3 Tle equzione può mmettere soluzione se Per >0 l equzione può essere riscritt come log log

64 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi 1 log 1 log 3 3 Tle equzione può mmettere soluzione se Per >1 l equzione può essere riscritt come

65 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi log log 5 log Tle equzione può mmettere soluzione se 0 0 Per > l equzione può essere riscritt come log 5 10 log log log 1 log 5 Tle equzione può mmettere soluzione se 10 0 Per > l equzione può essere riscritt come log log Equzione impossibile

66 Equzioni esponenzili e logritmiche Esercizi ponendo 3 y 3y 8y 9 0 si h y1 nell vribile