Appunti di matematica 3 Indice

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2 Appunti di mtemtic Indice. Ripsso di lgebr e geometri del biennio. Geometri nlitic Il pino crtesino Rett Circonferenz Prbol Ellisse Iperbole Complementi di geometri nlitic. Successioni numeriche. Funzione esponenzile e logritmic 5. Sttistic 6. Lbortorio di informtic Appunti di Mtemtic è rilscito con licenz Cretive Commons BY NC SA (ttribuzione non commercile condividi llo stesso modo)

3 - Ripsso - Ripsso di lgebr Equzioni Equzioni di primo grdo Un equzione di primo grdo può essere sempre ridott ll form Se 0 l soluzione è Se 0 llor ci sono due csi: b 0 b e l equzione si dice determint. se nche b 0 bbimo un equzione indetermint cioè qulsisi vlore di verific l equzione; se invece b 0 llor l equzione è impossibile cioè non esiste nessun vlore rele di che verifichi l equzione. Ricord Per determinre l soluzione di un equzione di primo grdo nel cso in cui si determint si somm d entrmbi i membri b in modo d semplificre b e ottenere b e poi si dividono b entrmbi i membri per ( 0 ) ottenendo l soluzione.

4 - Ripsso - Equzioni di secondo grdo Un equzione di secondo grdo può essere sempre ridott ll form Abbimo tre csi second del vlore del b c 0 con 0 b c : se 0 l equzione h due soluzioni reli distinte se 0 l equzione h due soluzioni reli coincidenti se 0 l equzione non h nessun soluzione rele. Ricord, b b c ; b, ; Per rrivre ll formul risolutiv si spost il termine noto e sinistr si mette in evidenz : b ( ) c b b Si complet il qudrto ggiungendo sinistr e di conseguenz (perché nel primo membro c è che moltiplic l prentesi tond): ( b b b ) c b b c b b c Si ottiene: ( ) b destr Se b c 0 potremo scrivere b b c b b c e quindi, con se 0 Se invece b c 0 l equzione non vrà soluzioni reli. Ricord Nel cso in cui 0 si può fcilmente verificre che b e c Utilizzndo queste relzioni si dimostr fcilmente (bst mettere in evidenz ) che b c ( )( )

5 - Ripsso - Equzioni di grdo superiore l secondo Vedimo solo lcuni esempi di equzioni di grdo superiore l secondo risolubili medinte scomposizione o ponendo t. ) 0 Possimo operre un rccoglimento przile e ottenimo ( )( ) 0 e quindi vremo,, ) In questo cso osservndo che sostituendo il polinomio si nnull possimo scomporre utilizzndo il metodo di Ruffini e vremo ( )( 6) 0 e quindi rccogliendo ( )( )( ) 0 In conclusione le soluzioni sono, ) 9 0 Si trtt di un equzione dett biqudrtic : ponimo t risolt dà t, e t, e ottenimo t 9t 0 che

6 - Ripsso - Equzioni contenenti il vlore ssoluto Vedimo lcuni esempi: ) ) ) 0 0 Poiché il primo sistem non h soluzione bbimo come soluzione solo. ) Studimo i segni degli rgomenti dei due vlori ssoluti Quindi possimo vere i seguenti csi: ( ) ( ) Risolvendo i tre sistemi si ottiene un unic soluzione (dl secondo sistem)

7 - Ripsso - Equzioni irrzionli Un equzione d un incognit si dice irrzionle qundo contiene rdicli nel cui rdicndo compre l incognit. Vedimo degli esempi. Equzioni irrzionli con rdici qudrte ) 7 Se elevimo l qudrto entrmbi i membri dell equzione ottenimo un equzione equivlente, cioè con le stesse soluzioni? Elevimo l qudrto entrmbi i membri: , Verifichimo se le soluzioni trovte sono soluzioni dell equzione di prtenz. 7 ( primo membro) (secondo membro) 7 ( primo (sec ondo membro) membro) Quindi solo è soluzione dell equzione irrzionle. Per decidere se le soluzioni sono ccettbili dobbimo necessrimente fre l verific? Il secondo membro, essendo ugule d un rdice qudrt, dovrà essere necessrimente positivo o nullo e quindi bsterà mettere l condizione 0 Quindi confrontndo le soluzioni con quest condizione possimo stbilire, nche senz eseguire l verific con l sostituzione, che non è ccettbile. In conclusione l equzione dt v risolt impostndo il seguente sistem misto (equzione e disequzione): Che ci dà come unic soluzione ccettbile =. 5

8 - Ripsso - Not importnte Inftti l equzione A( ) B( ) non è equivlente ll equzione A ( ) B ( ) perché e quindi le soluzioni di A ( ) B ( ) sono le soluzioni dell equzione A ( ) B( ) 0 (che è l equzione di prtenz A( ) B( ) ) m nche quelle dell equzione A( ) B( ) 0 Osservzione: perché non ci simo preoccupti del cmpo di esistenz dell rdice qudrt? Nel nostro cso porre 7 0 srebbe stto superfluo visto che bbimo l equzione ) 7 A ( ) B ( ) 7 Per prim cos dobbimo isolre il rdicle, e quindi bbimo Quindi si procede come nell esempio precedente. A( ) B( ) A( ) B( ) 0 7 ) Risolvimo il seguente sistem misto: 0 Risolvendo l equzione ottenimo le soluzioni che risultno entrmbe ccettbili (essendo verifict l condizione 0 ). ) L concordnz di segno tr i due membri in questo cso è utomticmente soddisftt poiché l rdice qudrt (positiv) h sempre lo stesso segno di (numero positivo). In conclusione in questo cso bst elevre l qudrto entrmbi i membri e risolvere: 5) In questo cso non c è concordnz di segno tr i due membri e quindi non c è nessun soluzione. 6

9 - Ripsso - 6) In questo cso l concordnz del segno tr i due membri è utomticmente verifict m in questo cso dobbimo porre l condizione di esistenz dei due rdicli. 0 0 Elevndo l qudrto entrmbi i membri ottenimo Quindi l soluzione non è ccettbile e l equzione non h nessun soluzione. 7) Le condizioni d imporre srebbero piuttosto complesse (esistenz dei rdicli e l concordnz del segno dei due membri) e quindi in questo cso conviene semplicemente verificre con l sostituzione se le soluzione ottenute elevndo l qudrto entrmbi i membri sono o meno ccettbili. Verifichimo se = è soluzione dell equzione dt: ( primo membro) (secondo Quindi è soluzione dell equzione dt. membro) NOTA Tutto quello che bbimo detto per le rdici qudrte vle per qulsisi rdice di indice pri, cioè per risolvere l equzione irrzionle n A( ) B( ) impostimo il sistem misto: A( ) B B( ) 0 n ( ) 7

10 - Ripsso - Equzioni irrzionli con rdici cubiche Esempio Considerimo l equzione Elevimo entrmbi i membri l cubo in modo d eliminre l rdice. Abbimo: ( ).. Dobbimo verificre se le soluzioni sono ccettbili? No, perché elevndo l cubo entrmbi i membri ottenimo un equzione equivlente (cioè con le stesse soluzioni). Inftti: A ( ) B ( ) A ( ) B ( ) 0 A( ) B( ) A ( ) A( ) B( ) B ( ) 0 e per l legge di nnullmento del prodotto, le soluzioni sono dte dll soluzione di A ( ) B( ) 0 (che è l equzione inizile) e di A ( ) A( ) B( ) B ( ) 0 che h come uniche soluzioni A ( ) B( ) 0. Dobbimo porre condizioni di esistenz del rdicle? No, perché per l rdice cubic il rdicndo può essere si negtivo che positivo o nullo. In conclusione quindi per risolvere l equzione irrzionle dt bst elevre l cubo entrmbi i membri dell equzione. NOTA Questo vle in generle per tutte le equzioni con rdicli di indice dispri del tipo n A( ) B( ) che si risolvono semplicemente elevndo n+ entrmbi i membri dell equzione. 8

11 - Ripsso - Disequzioni Disequzioni di primo grdo Esempi Inftti possimo spostre destr il termine ottenendo e quindi ricvre oppure spostre ottenendo e ricordre che dividendo per un numero negtivo (-) dobbimo invertire il verso dell diseguglinz. Nelle disequzioni è importnte ricordre che se si moltiplic o si divide per un numero negtivo dobbimo invertire il verso dell diseguglinz. ( per esempio: è vero che 5 m moltiplicndo per - bbimo 5 ) Possimo sempre ricondurci d un disequzione in cui il coefficiente dell si positivo moltiplicndo tutto per - m nturlmente cmbindo di verso ll diseguglinz. Nell esempio inftti vremo nche potuto scrivere: 0 9

12 - Ripsso - Disequzioni di secondo grdo Esempi ) Determinimo le soluzioni dell equzione ssocit: Quindi scomponendo vremo: ( )( ) 0 Studimo il segno dei fttori ed indichimo con un line continu il segno positivo e con un line trtteggit il segno negtivo: Segno di - Segno di - Quindi per l regol dei segni vremo il prodotto positivo per cioè per i vlori esterni lle soluzioni dell equzione ssocit. Not: se considerimo l prbol ssocit ll equzione 5 6 bbimo un prbol rivolt verso l lto che intersec l sse nei punti di sciss, e quindi i punti del grfico che si trovno sopr ll sse delle scisse si hnno per. 0

13 - Ripsso - ) Se vessimo dovuto risolvere vremmo vuto, considerndo lo studio del segno dei fttori vlori interni lle soluzioni., cioè i Anlogmente con il metodo dell prbol bbimo che i punti che si trovno sotto ll sse delle scisse si hnno per. ) 0 Se mettimo in evidenz l e studimo il segno dei fttori: ( ) 0 Ottenimo quindi : 0 Not: se considerimo l prbol ssocit bbimo un prbol rivolt verso il bsso in cui i punti che si trovno sopr ll sse delle scisse si hnno per 0. Not Qundo il coefficiente di è negtivo si può nche moltiplicre per - ed invertire il verso dell diseguglinz: bbimo 0 che per qunto detto nel precedente esempio h come soluzione: 0

14 - Ripsso - ) 0 Poiché in questo cso l equzione ssocit h due soluzioni coincidenti (si trtt inftti di un qudrto) vremo ( ) 0 cioè le soluzioni dell disequzione sono tutti i vlori reli di diversi d. Se considerimo l prbol ssocit bbimo un prbol rivolt verso l lto tngente ll sse delle scisse e quindi i punti che si trovno sopr ll sse delle scisse sono tutti eccetto (punto in cui 0). Nturlmente se dobbimo invece risolvere 0 non c è nessun soluzione (rele). Not: è chiro che : 0 0

15 - Ripsso - 5) 0 In questo cso l equzione ssocit non h soluzioni reli poiché 0 e quindi l prbol ssocit, rivolt in questo cso verso l lto, non intersec l sse delle scisse e tutti i suoi punti si trovno sopr ll sse. Quindi l soluzione dell disequzione è. Not: nche lgebricmente si può dimostrre che il trinomio h lo stesso segno del coefficiente di ( ): nel nostro cso, per esempio, bbimo Se completimo il qudrto: 0 cioè e poiché un qudrto è sempre mggiore di un numero negtivo, quest disequzione h come soluzione tutti i numeri reli cioè è verifict. 6) 0 Anche in questo cso l equzione ssocit non h soluzioni reli ed essendo il coefficiente di negtivo l prbol ssocit è rivolt verso il bsso e non h intersezioni con l sse : quindi tutti i suoi punti si trovno sotto ll sse delle scisse e ( è negtivo L nostr disequzione non h perciò nessun soluzione rele. ) Inftti nche lgebricmente vedimo che: cioè ( ) e quindi non c è nessun soluzione rele poiché un qudrto non può mi essere minore di un numero negtivo.

16 - Ripsso - Disequzioni di grdo superiore l secondo Esempi ) 0 Mettendo in evidenz e studindo il segno dei fttori: ( ) 0 Segno di - Segno di ) 0 Mettendo in evidenz bbimo: ( ) 0 Il fttore è sempre positivo o nullo e nello studio del segno possimo trscurrlo perché non f cmbire niente. Possimo quindi limitrci risolvere solo 0 : 0 Allo stesso risultto sremmo rrivti nche studindo il segno dei due fttori: Segno di Segno di - - 0

17 - Ripsso - Disequzioni frtte Esempi ) 0 Dobbimo studire il segno del numertore e il segno del denomintore: N: 0 D: 0 Riportimo l situzione in un grfico: D N Se dobbimo risolvere 0 prenderemo. Not: se vessimo dovuto risolvere 0 il procedimento srebbe stto lo stesso, m ll fine vremo preso come soluzione l zon che risult con segno negtivo cioè. D N ) 0 N D - 0 Quindi : 0. 5

18 - Ripsso - Disequzioni contenenti vlori ssoluti Esempi ) ) cioè )* )* cioè ) Dobbimo distinguere due csi: se 0 llor e quindi bbimo se 0 llor e quindi bbimo Quindi 0 0 ) e in conclusione:. Studimo i segni degli rgomenti dei due vlori ssoluti (vedi equzioni contenenti il vlore ssoluto) e distinguimo i vri csi: ( ) ( ) ( ) ecc. 6

19 - Ripsso - Disequzioni irrzionli Esempi ) 9 Osservimo che potrebbe essere si negtivo che positivo. Se 0 dobbimo elevre l qudrto entrmbi i membri (n on import porre 9 0 poiché se 9 ( ) sicurmente vremo 9 positivo). Se 0 l rdice qudrt 9 (positiv) srà sicurmente mggiore di un numero negtivo purché esist cioè qundo 9 0. Quindi per risolvere quest disequzione dovremo impostre l unione di due sistemi di disequzioni: 0 9 ( ) nessun soluzione 5 Quindi l soluzione dell disequzione è: 0 5 7

20 - Ripsso - ) 9 In questo cso non può essere negtivo, perché deve essere mggiore di un rdice qudrt (positiv, qundo esiste). Quindi per risolvere quest disequzione dobbimo impostre un solo sistem, m con tre disequzioni: ( ) Quindi l soluzione dell disequzione è: ) 5 0 In questo cso dobbimo confrontre l rdice qudrt con un numero. Poiché il numero è positivo dobbimo elevre semplicemente l qudrto entrmbi i membri dell disequzione (è inutile porre nche 0 poiché è un richiest più forte): ) In questo cso oltre d elevre l qudrto è necessrio nche mettere l condizione di esistenz del rdicndo:

21 - Ripsso - 9 Sistemi Sistemi di equzioni Sistemi di due equzioni in due incognite grdo Esempio 0 0 Ci sono vri metodi di risoluzione (sostituzione, confronto, riduzione ). Ripssimo solo il metodo di sostituzione: ricvimo un incognit d un equzione e sostituimol nell ltr Trovt l tornimo sostituirl per determinre : Not Non è detto che il sistem dto bbi sempre un soluzione: può essere impossibile (nessun soluzione rele) o indeterminto (infinite soluzioni). Per esempio: 0 è impossibile 0 0 è indeterminto

22 - Ripsso - grdo (il grdo si ottiene moltiplicndo i grdi delle equzioni che compongono il sistem) Esempio 0 Anche in questo cso ripssimo solo il metodo di risoluzione per sostituzione: ricvimo un incognit dll equzione di grdo e sostituimo nell ltr: Quindi vremo due soluzioni, ), ) : ( ( Not Un sistem di due equzioni in due incognite di secondo grdo può vere nche due soluzioni coincidenti o nessun soluzione. Per esempio 0 h due soluzioni coincidenti (, ;, ) mentre 0 non h nessun soluzione rele. 0

23 - Ripsso - Sistemi di tre equzioni in tre incognite di primo grdo Esempio z z Ricvimo un incognit d un equzione e sostituimo nelle ltre due: z z z Ricvimo un ltr incognit (tr l second e l terz equzione) e sostituimo: z e sostituendo vremo: z L soluzione è quindi l tern ) ; ; ( Not Nturlmente posso vere sistemi con infinite soluzioni (indeterminti) o nessun soluzione (impossibili). Per esempio: 0 0 z è impossibile mentre z h infinite soluzioni del tipo (; - ; 0)

24 - Ripsso - Sistemi di disequzioni Esempi ) 0 0 Risolvimo le due disequzioni e intersechimo i risultti: 0 0 sol. second dis. sol. prim dis. - Quindi l soluzione del sistem è: Attenzione Non h lcun senso mettere il trtteggio nel grfico conclusivo! Inftti il trtteggio si us per indicre un segno negtivo qundo dobbimo studire il segno di numertore e denomintore in un disequzione frtt o il segno dei fttori in un prodotto. Se dovessimo risolvere per esempio ( ) ( ) 0 oppure 0 utilizzre il trtteggio. llor dovremmo ) 0 nessun soluzione 0 nessun soluzione

25 - Ripsso - Esercizi di ricpitolzione I) Risolvi le seguenti equzioni ) 0 ) ) 0 [ ] [ ; ] [ ; ] ) 0 [nessun soluzione rele ] 5) 9 0 [, ;, ] 6) [ ] 5 7) [ ; 5 ] 8) 6 5 [ ] 9) [ 0 ] 0) [ ] ) [ ] ) [ ] ) ) 5) 5 5 [ 9] 6) 6

26 - Ripsso - 7) [ ] 8) 5 [ 6] 9) ] [ 0) [ ] ) 5 0 [ ] ) [ impossibile] ) 6 [ ] ) 8 [ ] 5) 8 0 [ ] 6) [ ] 7) 5 5 [ ] 8) 5 [ ] 9) [ ] 0) 7 0 [ ]

27 - Ripsso - II) Risolvi le seguenti disequzioni ) 0 ) 0 ) 9 0 [ 0 ] [ ] [ ] ) 0 0 [nessun sol. rele] 5) 0 [ ] 6) 0 7) ) 0 9) 0 5 0) [nessun sol. rele ] [ 0 ] [ ] [ 5 5 ] [ ] ) [ ] ) 6 [ 0 ] ) [ 0 ] ) 8 0 [ ] 5

28 - Ripsso - 5) 0 [ ] 6) [ 6] 7) 0 [ ] 8) 6 [ ] 9) 8 [ ] 0) [ ] 7 ) 0 [ 7 ] ) [ 0] ) [ ] 5 ) [ 0] 5) 6 6 [ impossibile] 6) 6 [ 0] 7) 5 [ ] 6

29 - Ripsso - 7 III) Risolvi i seguenti sistemi ) 8 7 [( -; -)] ) 5 [ (; ) (; ) ] ) z z z [ (-; ; ) ] ) 8 0 ) ( [ ( 0; 8 ) ( ; ) ] 5) 6 7 [ 9 ] 6) [ ] 7) 0 0 [ 0 ] 8) 0 ) )( ( 0 [ ]

30 - Ripsso - Ripsso di geometri Gli rgomenti essenzili d tenere presenti sono: Tringoli Criteri di congruenz e di similitudine di tringoli Punti notevoli di un tringolo (bricentro, incentro, circocentro e ortocentro) Somm degli ngoli interni di un tringolo e di un poligono Teoremi di Euclide e Pitgor Qudrilteri Prllelogrmm, rettngolo, rombo e qudrto e loro proprietà Trpezio Somm degli ngoli interni in un qudriltero Circonferenz Angoli l centro e ngoli ll circonferenz Qudrilteri inscritti e circoscritti d un circonferenz Poligoni inscritti e circoscritti d un circonferenz 8

31 - Ripsso - Problemi di geometri ) Dto un tringolo equiltero ABC di lto l, determin l lunghezz del segmento MN prllelo l lto AB tle che re ( MNC) re( ABC). 9 l [ MN ] ) Dto un tringolo equiltero prllelo l lto AB tle che re( MNBA) re( MNC). ABC di lto l, determin l lunghezz del segmento MN l [ MN ] ) Dto il tringolo rettngolo ABC di cteti AC e CB, determin sul cteto AC un punto P tle che, detto H il piede dell perpendicolre trccit d P d AB, si bbi re ( APH ) re( ABC). 5 [ AP ] ) Dt un semicirconferenz di dimetro AB r, determin su ess un punto P tle che, condott l cord PQ prllel d AB, si bbi p( ABQP) 5r. [ AP PQ QB r ] 5) Dto il tringolo isoscele ABC con bse AB 0 e lti obliqui AC CB, determin sul lto AC un punto P tle che, trccit per P l prllel ll bse AB e detto Q il suo punto di intersezione con BC, si bbi re ( ABQP) re( ABC). [ PQ 5 ] 6) Consider un rombo ABCD vente perimetro p 0 e re digonli del rombo e il rggio r dell circonferenz inscritt. A. Determin le [ 6 ; 8 ; r ] 5 9

32 - Ripsso - 7) Dt un semicirconferenz di dimetro AB r, determin un punto P sul prolungmento del dimetro dll prte di B tle che, condott d P l tngente ll semicirconferenz e detto T il punto di tngenz, si bbi semicirconferenz. re( OPT ) r dove O è il centro dell [ OP 5r ] 8) Dt un circonferenz di dimetro AB r, determin sul dimetro AB un punto P tle che, trccit per P l cord CD perpendicolre l dimetro AB, si bbi re( ACBD) r. r [posto AP si h, r ] 9) Dto un tringolo rettngolo ABC con cteti AC e AB, determin sul cteto AC un punto P tle che, trccito il segmento PQ prllelo d AB (con Q pprtenente ll ipotenus) e il segmento QR perpendicolre d AB ( R su AB) si bbi re( PQRA). [ CP ] 0) Consider il tringolo equiltero ABC inscritto in un circonferenz di dimetro r. Determin un punto P sul lto AB tle che re ( APC) re( PBC). [ AP r ] ) Consider un trpezio rettngolo ABCD vente ltezz AD e bse minore CD. Spendo che l digonle minore AC risult perpendicolre l lto obliquo BC, determin sul lto obliquo un punto P tle che, trccito il segmento PQ prllelo d AC (Q su AB) si bbi re( PQB) re( AQPC). 0 [ PB ] 0

33 - Ripsso - ESERCITAZIONE Risolvi le seguenti equzioni, disequzioni e sistemi di equzioni: ) ) 0 ) ( ) ) 5 5) ) 5 7) 6 6 8) 9) 6 0) z z z Problem Dto un tringolo rettngolo ABC vente cteti AB e AC, determin su AB un punto P tle che, dett Q l proiezione ortogonle di P su BC, si bbi re( PBQ) re( APQC). Problem Un tringolo isoscele ABC di bse AB è inscritto in un circonferenz di rggio r. Spendo che l bse AB è ugule ll ltezz CH reltiv ll bse, determin l lunghezz dell bse AB e dei lti obliqui.

34 - Il pino crtesino - Il pino crtesino Sistem di riferimento su un rett Per fissre un sistem di riferimento su di un rett r occorre: orientre l rett r fissre su di ess un punto origine O fissre l unità di misur A questo punto c è un corrispondenz biunivoc tr i punti dell rett r dove si è fissto il sistem di riferimento e i numeri reli. Inftti: se P è un punto pprtenente ll rett r posso ssocirgli l misur del segmento orientto OP cioè vrò 0 se P si trov nell semirett positiv, 0 se P si trov nell semirett negtiv ; vicevers se è un numero rele posso ssocirgli un punto sull rett poiché se è un numero nturle, intero reltivo o rzionle il procedimento è semplice e se è un numero irrzionle, per esempio, considero le due clssi contigue di numeri rzionli di cui è elemento seprtore,,5 ;,, ;,,5 ecc. e poiché i segmenti [,;,5] [,;,] [,;,5] sono uno contenuto nell ltro, per il postulto dell continuità dell rett hnno un punto P in comune.

35 - Il pino crtesino - Sistem di riferimento nel pino Fissre un sistem di riferimento crtesino ortogonle nel pino signific fissre due rette perpendicolri orientte chimte sse e sse del sistem di riferimento. L loro intersezione viene indict con O e chimt origine del sistem di riferimento. Ogni punto P del pino può essere individuto d un coppi ordint (;) di numeri reli e vicevers d ogni coppi ordint (;) di numeri reli corrisponde un solo punto del pino (vedi figur). Il numero si chim sciss del punto P e il numero si chim ordint del punto P. Osservzione: i punti sull sse hnno ordint =0; i punti sull sse hnno sciss =0; i punti pprtenenti d un rett prllel ll sse hnno tutti l stess sciss; i punti pprtenenti d un rett prllel ll sse hnno tutti l stess ordint; il punto simmetrico di P ( ; ) rispetto ll sse è P ( ; ) ; il punto simmetrico di P ( ; ) rispetto ll sse è P ( ; ) ; il punto simmetrico di P( ; ) rispetto ll origine è P ( ; ).

36 - Il pino crtesino - Distnz tr due punti Per determinre l distnz tr due punti A( A, A ) e B( B, B ) possimo pplicre il teorem di Pitgor (vedi figur): AB = ( B A ) ( B A ) Se i punti hnno l stess sciss o l stess ordint l distnz è dt dl vlore ssoluto dell differenz delle scisse o delle ordinte : per esempio in figur AB = B A e CD D C.

37 - Il pino crtesino - 5 Punto medio di un segmento Per determinre le coordinte del punto medio M di un segmento AB possimo considerre le proiezioni di A, M e B sull sse e poi sull sse e, sfruttndo il teorem di Tlete, ffermre che: B A M M B A M B A M M B A M Bricentro di un tringolo Per determinre le coordinte del bricentro G di un tringolo di vertici ssegnti A( A, A ) B( B, B ) C( C, C ) posimo considerre per esempio l medin CM (vedi figur) e ricordre che G l divide in due prti un doppi dell ltr. Proiettndo M,G,C prim sull sse e poi sull sse sempre per il teorem di Tlete potremo scrivere: ) ( C M G M G G C ) ( C M G M G G C e quindi, ricordndo che B A M e che B A M si h che C B A G C B A G

38 - Il pino crtesino - Trslzione del sistem di riferimento A volte può essere utile trslre il sistem di riferimento spostndo l origine in un punto O (,b) e chirmente le coordinte dei punti si modificno. Se indichimo con (, ) le coordinte nel nuovo sistem di riferimento vremo,come si cpisce dll figur, le seguenti relzioni tr le vecchie coordinte (,) e le nuove coordinte (, ) di un punto P: ' ' b 6

39 - Il pino crtesino - Esercizi sul pino crtesino. Dto il tringolo di vertici A(,) B(5,) C(6,0) determin perimetro,re e coordinte del bricentro. (per determinre l re puoi considerre il rettngolo in cui è inscritto il tringolo e ) p 5 7 9, A 9, G(,). Verific che il tringolo di vertici A(,5) B(0,) C(,-) è un tringolo rettngolo. Clcol perimetro e re. p, A. Verific che il tringolo di vertici A(,) B(5,7) C(7,) è isoscele, determin l misur dell ltezz reltiv ll bse, clcol perimetro, re e coordinte del bricentro G. p 0, A 6, G( ; ). Consider il qudriltero di vertici A(,) B(7,) C(,7) D(-,7).Di qule qudriltero si trtt? Determin perimetro e re. p 0, A 0 5. Consider il qudriltero di vertici A(,0) B(7,) C(,6) D(,). Di qule figur si trtt? Se il sistem di riferimento viene trslto portndo l origine nel punto di incontro delle digonli, quli sono le nuove coordinte dei vertici dell figur? 7

40 - L rett - L rett nel pino crtesino Abbimo visto come, fissto un sistem di riferimento, ciscun punto si possibile ssocire un coppi ordint di numeri reli (le sue coordinte). Se desso considerimo un rett come l potremo individure? Non possimo dre le coordinte di tutti i suoi punti m forse possimo cercre un relzione che rigurd le coordinte (,) di un suo generico punto. Comincimo con il considerre un rett prllel ll sse :osservimo che tutti i suoi punti hnno l stess ordint. Se per esempio prendimo l rett in figur potremo scrivere = e dire che = è l equzione di quest rett perché tutti i suoi punti hnno ordint ugule e tutti i punti del pino che hnno ordint pprtengono quest rett. Quindi, in generle, un rett prllel ll sse vrà equzione =k dove k è un numero rele. In prticolre l sse vrà equzione =0. Anlogmente se considerimo un rett prllel ll sse (vedi figur) osservimo che tutti i suoi punti hnno l stess sciss, nel nostro cso, equindi l equzione che descrive l rett srà =. In generle un rett prllel ll sse vrà equzione =k e in prticolre l sse vrà equzione =0. 8

41 - L rett - Considerimo desso un rett pssnte per l origine degli ssi (vedi figur): se P e Q sono due punti pprtenenti ll rett, per l similitudine dei tringoli in figur OPP e OQQ potremo scrivere PP ' QQ' cioè P Q OP' OQ' e quindi in generle potremo dire che l equzione dell rett è nel nostro esempio possimo scrivere =. P Q che In generle per un rett pssnte per l origine potremo considerre i tringoli in figur OPP e OQQ e potremo scrivere PP' QQ' = m cioè P Q m OP' OQ' P Q 9

42 - L rett - Quindi l equzione di un rett per l origine srà : = m m viene detto coefficiente ngolre dell rett ed indic l inclinzione dell rett. Osservimo che se m>0 l rett pprtiene l I III qudrnte ( inftti le coordinte dei punti sono entrmbe positive o negtive e quindi il rpporto è un numero positivo) mentre se m<0 l rett pprtiene l II- IV qudrnte (le coordinte dei punti sono discordi e qu indi il loro rpporto è negtivo). Osservimo inoltre che l sse h inclinzione m = 0 (l equzione risult inftti = 0 ), m che ll sse non può essere ssocito un coefficiente ngolre. Infine fccimo notre che per trovre il coefficiente ngolre posso considerre nche due punti qulsisi P e Q pprtenenti ll rett e esprimere m utilizzndo il tringolo PQR (vedi figur) scrivendo Q P m Q P Considerimo infine un rett non pssnte per l origine O(0,0) e non prllel gli ssi (vedi figur). 0

43 - L rett - Considerimo il punto Q(0;q) in cui intersec l sse ed esprimimo il coefficiente ngolre m considerndo un punto generico P ( ; ) e il punto Q. Abbimo: m q q m m q Nell equzione q viene dett ordint ll origine poiché corrisponde ll ordint del punto dell rett vente sciss null. In figur per esempio è stt rppresentt l rett di equzione = +.

44 - L rett - Problem: è possibile scrivere un equzione che riesc rppresentre qulsisi rett? Abbimo già ftto notre che ll sse non potev essere ssocito un coefficiente ngolre e lo stesso vle per le rette prllele ll sse: l equzione = m +q non riesce quindi rppresentre tutte le rette del pino crtesino. Osservimo invece l seguente equzione: +b +c = 0 Provimo fr vrire i prmetri, b, c: se = 0 e b 0 possimo ricvre = - b c e quindi ottenimo le rette prllele ll sse (per c = 0 bbimo proprio l sse ); se 0 e b = 0 possimo ricvre = - c e quindi ottenimo le rette prllele ll sse (per c = 0 bbimo proprio l sse); se 0 e b 0 m c = 0 ottenimo = - b cioè le rette per l origine; e infine se 0, b 0 e c 0 ottenimo = - b - b c cioè le rette del tipo = m +q. Quindi l equzione + b +c = 0 rppresent tutte le rette nel pino crtesino e per questo viene dett equzione generle di un rett.

45 - L rett - Rette prllele Per quello che bbimo detto è chiro che due rette, non prllele ll sse, sono prllele qundo hnno lo stesso coefficiente ngolre. Vedimo in figur le rette di equzione = e = +. Rette perpendicolri Considerimo un rett per l origine r di equzione m (per semplicità si m 0 ) e costruimo il tringolo OAD come in figur prendendo cioè OD e AD m. A questo punto disegnimo il tringolo OCB prendendo BC e OB m trccimo l rett s che vrà quindi equzione. m (vedi figur) e

46 - L rett - Poiché i tringoli OAD e OCB sono uguli per costruzione, vrnno tutti gli ngoli uguli e in prticolre AOD BCO e llor essendo BOC 90 vremo che l ngolo AOC 90 cioè le rette r e s sono perpendicolri. L relzione che bbimo trovto tr i coefficienti ngolri di due rette perpendicolri pssnti per l origine vle nturlmente nche per rette perpendicolri non pssnti per l origine poiché quello che cont è il coefficiente ngolre. Quindi possimo dire che se un rett h coefficiente ngolre m, un rett con coefficiente ngolre risult d ess perpendicolre (e vicevers se due rette sono perpendicolri e non m prllele gli ssi i loro coefficienti ngolri sono uno l ntireciproco dell ltro). Vedimo per esempio in figur le rette perpendicolri di equzione = e = - +.

47 - L rett - Intersezione tr due rette Supponimo di vere due rette non prllele, per esempio e come in figur e di voler trovre le coordinte del loro punto P di intersezione. In questo cso le coordinte si possono determinre fcilmente nche osservndo l figur: P (;). M in generle come possimo trovrle? Poiché Poiché P r le sue coordinte devono verificre l equzione di r. P s le sue coordinte devono verificre l equzione di s. Quindi le coordinte ( ; ) del punto di intersezione devono verificre entrmbe le equzioni cioè sono l soluzione del sistem Inftti risolvendo bbimo: In generle quindi per trovre le coordinte del punto di intersezione di due rette bsterà risolvere il sistem formto dlle loro equzioni. Not: se le rette sono prllele il sistem non vrà soluzione. 5

48 - L rett - Equzione di un rett pssnte per un punto ssegnto P( o ; o ) ed vente un coefficiente ngolre ssegnto m Supponimo di voler trovre l equzione dell rett pssnte per P (; ) e vente coefficiente ngolre m. Se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine nel punto P (; ) vremo ' ' M nel nuovo sistem di riferimento sppimo che l equzione di r srà e quindi, tornndo e, ottenimo ' ' ( ) In generle, quindi, l rett pssnte per P o ; ) con coefficiente ngolre m vrà equzione: ( o o m ( o ) 6

49 - L rett - Equzione dell rett pssnte per due punti ssegnti Supponimo di volere trovre l equzione dell rett pssnte per A (;) e B (6;5). Osservimo che possimo ricvre il coefficiente ngolre dell rett prtendo dl tringolo trtteggito in figur: B A m B e nel nostro esempio m. A questo punto possimo utilizzre l equzione dell rett per A, per esempio, con coefficiente ngolre m : ( ) In generle l equzione dell rett pssnte per A A ; ) e B B ; ) vrà equzione: A ( A ( B A B B A A ( A ) che può essere nche scritt B A A A B A. Not: se per ricvre m ci si ffid l pino qudrettto occorre fre ttenzione i coefficienti ngolri negtivi. Per esempio le misure dei cteti del tringolo trtteggito sono ncor e m in questo cso è chiro che m. B A Inftti m 5 B A 7

50 - L rett - Problem A questo punto si possono già risolvere molti problemi collegti con l rett. Vedimone uno. Dti tre punti A (5; ) B (;5) C ( 0; ) consider il tringolo ABC e determin le coordinte del circocentro K (centro dell circonferenz circoscritt intersezione degli ssi dei lti del tringolo ) e dell ortocentro H (intersezione delle ltezze). Ricerc del circocentro K Dobbimo intersecre due ssi del tringolo, per esempio K sse sse AB AC Poiché l sse di un segmento è l rett perpendicolre l segmento pssnte per il suo punto medio, dobbimo trovre M AB (;) mab m sseab 5 M AC ( ; ) mac m sseac Avremo quindi: K ( ) 5 ( ) 0 8

51 - L rett - Ricerc dell ortocentro H Dobbimo intersecre due ltezze, per esempio H h h B C ltezz ltezz uscente uscente d d B C h : m AC m B hb h C : m AB mhc Quindi vremo: H 5 ( ) 0 9

52 Distnz di un punto P d un rett r Progetto Mtemtic in Rete - L rett - In molti csi è utile conoscere l distnz di un punto P d un rett r. Potremo trccire l rett per P perpendicolre d r, trovre il punto H di intersezione con r e poi clcolre l distnz HP. Questo procedimento risult piuttosto lungo. Voglimo dimostrre che se r : b c 0 P o ; ) ( o d( P, r) o b o b c. Comincimo con il considerre P(0;0) r : b c 0 c A(0; ) b c B( ;0) Considerimo il tringolo APB : PH è l ltezz reltiv ll ipotenus e quindi poiché si ottiene AB PH c c b PA PB AB c ( b b c b c b c ) c b c b b b. Se P (0;0) possimo trslre il sistem di riferimento portndo l origine in P. 50

53 - L rett - Sppimo che ' o ' o ' o ' o L equzione dell rett r nel nuovo sistem di riferimento srà quindi: ( ' ) b( ' ) c 0 o o ' b' o b o c 0 Poiché il termine noto è o bo c e, nel nuovo sistem di riferimento P coincide con l origine, utilizzndo l formul trovt precedentemente vremo: d( P, r) o b o b c Problem: clcolo dell re di un tringolo Determin l re del tringolo ABC in figur. A(;) B(5;) C(6;) Possimo clcolre re( ABC) AB d( C, rab ) AB r AB : m ( ) d( C, r AB ) 5 7 Quindi: re( ABC)

54 - L rett - Equzioni delle bisettrici degli ngoli individuti d due rette Supponimo di dover risolvere il seguente problem: dte le rette di equzione s :, determinre le equzioni delle bisettrici degli ngoli individuti d esse. r : s : r : Ricordimo che se P ( ; ) pprtiene d un bisettrice dovrà essere d( P, r) d( P, s). Quindi, scrivendo r : 0 s : 0 dovrà essere 5 5 E quindi possimo vere due csi: 0 ( b ) ( ) 0 b ) Osservimo che le due bisettrici sono tr loro perpendicolri. Inftti osservndo l figur è chiro che ( 80 e quindi 90 5

55 - L rett - Problemi sull rett. Disegn le rette venti le seguenti equzioni: ) = b) c) d) =+ e) f). Disegn le rette venti le seguenti equzioni: ) +=0 b) -=0 c) -+=0 d) -+=0 e) -=0 f) 5-5=0. Dte le rette di equzione =, 5, determin perimetro e re del tringolo individuto dlle rette e verific che si trtt di un tringolo rettngolo isoscele. 5 [ p 5 0 ; A = 0 ]. Dti i punti A(;) B(;7) C(7;-) determin le equzioni delle rette pssnti per A,B per B,C,per A,C. Clcol il perimetro del tringolo. Determin le coordinte del bricentro G e dell ortocentro H del tringolo. 5 [=+;=-+; ; p 5 5 ; G ( ;) ; H (0; ) ] 5. Consider i punti A(;) B(;6) C(8;).Determin le equzioni delle rette dei lti e verific che si trtt di un tringolo rettngolo isoscele. Determin perimetro e re. Determin le coordinte di bricentro, ortocentro e circocentro e verific che sono llineti. [=- ; 8 ; ; p 5 0 ; A=0 ; ;) G ( ; H(;6); K(5;) ] 6. Consider i punti A(-;0) B(;) C(5;-). Determin le coordinte del circocentro K del tringolo ABC. 6 [ K ( ; ) ] Dti i punti A(-;) B(;5) C(5;-) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) il perimetro e l re del tringolo ABC ; c) le coordinte del bricentro G e dell ortocentro H del tringolo [ ; 9; ; p 5 5; A 8 ; G ( ; ) ; H ( ; ) ] 7 7

56 - L rett - 8. Dti i punti A(0;) B(;) C(5;) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) il perimetro e l re del tringolo ABC (verific nche che è un tringolo rettngolo); c) le coordinte del circocentro K del tringolo ABC. 6 5 [ ; ; ; p 6; A ; K( ; ) ] 5 9. Dti i punti A(0;) B(;6) C(5;5) D(;) determin: ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, C e D, D e A; b) verific che ABCD è un trpezio isoscele e determin perimetro e re. 0 [ ; ; ; ; p 0 6 ; A ] 0. Dti i punti A(0;) B(;7) C(6;5) D(;) ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, C e D, D e A; b) verific che ABCD è un qudrto e clcolne perimetro e re; c) determin le coordinte del centro di simmetri O del qudrto ABCD. [ ; 8; 7; ; p 8 5; A 0; O(;)]. Dti i punti A(-;) B(;6) C(;0) ) l equzione dell rett per A e B, per B e C, per A e C; b) determin le coordinte del bricentro G, dell ortocentro H e del circocentro K del tringolo ABC e verific che sono llineti. 5 [ 5; 8; G (; ) H(0;) K ( ; ) ]. Dte le rette di equzione r : s : 7 0 t : 0 ) determin le coordinte dei punti di intersezione A ( r, s) B ( s, t) C ( r, t) ; b) verific che ABC è un tringolo rettngolo; c) determin il perimetro e l re del tringolo ABC. [ A(;5) B(5;) C(0;-) p 0 5 ; A 0] 5

57 - L rett -. Clcol l re del tringolo di vertici A(;) B(0;) C(6;7). [A=6]. Clcol l re del tringolo di vertici A(;-) B(;-) C(-;). [A=] 5. Clcol l re del tringolo di vertici A(-;) B(-;-5) C(;-) [A=0] 6. Clcol l distnz d tr le rette di equzione = e = +. [ d ] Clcol l distnz d tr le rette di equzione -+=0 e --=0. [d= ] 8. Clcol l distnz d tr le rette di equzione +=0 e +-=0. [ d ] 5 9. ) Consider i punti A(-;) B(;6) C(;-). Determin le equzioni delle rette r AB (rett pssnte per i punti A e B ), r AC (rett pssnte per i punti A e C ) e r BC (rett pssnte per i punti B e C). b) Determin perimetro e re del tringolo ABC. c) Determin le coordinte dell ortocentro H. d) Determin le coordinte del circocentro K. e) Determin le coordinte del bricentro G e verific che H, K e G sono llineti. [ r : 5; r : 9; r : 0 AB p 5 0 5; A 0; H ( ;); K(;); G( ; )] 0. ) Consider le rette r ; 0 r : 0 e r :. Disegnle e determin le coordinte di A ( r, sse) B r, r ) e C r, r ). ( ( b) Determin l equzione dell rett r prllel ll rett r e pssnte per A e indic con D l intersezione tr r e r. Come risult il qudriltero ABCD? c) Determin perimetro e re di ABCD. BC AC [ A(0;6) B(;) C(6;0) r : 6 ; D(;) ABCD è un rombo; p 8 5 Are=] 55

58 - L rett - Fsci di rette Per fscio di rette si intende o l insieme di tutte le rette prllele d un rett dt oppure l insieme di tutte le rette pssnti per un punto dto. Per esempio, per indicre il fscio di rette prllele ll rett scriverò: k ( k è detto prmetro) Al vrire di k (che rppresent in questo cso l ordint ll origine) ottengo tutte le rette del fscio. Per indicre, per esempio, il fscio di rette pssnti per il punto P(;) scriverò: k( ) In questo cso k rppresent il coefficiente ngolre. L rett deve essere indict prte poiché non si ottiene per nessun vlore di k. 56

59 - L rett - Fscio individuto d due rette genertrici ) Considerimo le due rette in figur r : 0 s : Per indicre il fscio di rette generto d r e punto di intersezione P(;) posso scrivere così: s, cioè l insieme delle rette pssnti per il loro k( ) 6 0 Inftti si trtt, l vrire di k, dell equzione di un rett pssnte per P(;) poiché sostituendo = = si nnull si che 6 0. Le rette r e s si chimno genertrici del fscio. Si osserv fcilmente che se k=0 si ottiene 6 0 cioè l rett s, m per qule vlore di k ottenimo l rett r? Provimo per esempio d ssegnre k il vlore : Osservimo che se ssegnimo k un vlore grnde in vlore ssoluto, per esempio k=00 o k=- 00, trovimo delle rette molto vicine r poiché è come se il termine ( 6) diventsse trscurbile. Per esempio: 0 6 k= k= Si stbilisce quindi di ssocire r il vlore infinito () di k. Quindi k 0 k

60 - L rett - Osservimo infine che i vlori di k, nel nostro esempio, umentno qundo si ruot in senso orrio: se inftti voglimo ndre dll rett corrispondente k=0 quell corrispondente k=, senz toccre l rett k, dobbimo ruotre in senso orrio: quindi prtendo d r e ruotndo in senso orrio si hnno vlori d. b) Considerimo le due rette in figur: r : 0 s : 0 Se considero l equzione: k( ) 0 ( k ) ( k ) 0 l vrire di k (con k ) ottengo rette prllele d r e s. Si trtt quindi di un fscio di rette prllele (m=) in cui k 0 s k r r e s sono le genertrici del fscio. 58

61 - L rett - Problem Consider il fscio k ( ) 6 0. ) Determin per qule vlore di k si ottiene l rett prllel ll sse e per qule vlore di k si ottiene l rett prllel ll sse. Se sviluppimo l equzione dt del fscio ottenimo ( k ) ( k) 6 0. Quindi vremo un rett prllel ll sse se k 0 k un rett prllel ll sse se k 0 k b) Determin per qule vlore di k si ottiene l rett pssnte per P(;5). Bsterà sostituire le coordinte del punto nell equzione del fscio: k( 5) k 0 k c) Determin per qule vlore di k si ottiene un rett prllel ll bisettrice del I-III qudrnte. k Poiché il coefficiente ngolre delle rette del fscio risult m dovrà essere k k k k k k d) Determin per quli vlori di k si ottengono rette che intersecno il segmento AB in figur in cui si h A(;) e B(5;). k A k B : k( ) 6 0 k k : k( 5 ) k k 7 59

62 - L rett - Quindi se k le rette intersecno il segmento. 7 Not: se il segmento AB intersec l rett genertrice corrispondente ttenzione. Considerimo per esempio A(;) m B(0;): k occorre fre k B : k( ) 6 0 k k Le rette che intersecno il segmento AB si vrnno, in questo cso, per k k (osserv come umentno i vlori di k ). 60

63 - L rett - Problemi sui fsci di rette. Scrivi come risultno i fsci di rette venti le seguenti equzioni: ) k ; b) k ; c) m ; d) m( ). Consider il tringolo ABC con A(-;) B(-;-) C(-;). Nel fscio di rette prllele ll rett per B e C determin quell che stcc su ABC un tringolo AB C tle che re ( AB' C') re( ABC). [=+7]. Per quli vlori di k le rette di equzione =+k intersecno il tringolo dell esercizio precedente? ABC [ 5 k 9]. Consider il tringolo ABC con A(-;0) B(;9) C(7;7). Determin perimetro e re. Clcol le coordinte del bricentro G, dell ortocentro H e del circocentro K. Determin l equzione dell rett prllel ll rett per B e C che stcc un tringolo AB C tle che re ( AB' C') re( ABC) [ p 5 0 0; A 0; G(; ); H (;9); K( ; ); ] 5. Dto il tringolo ABC con A(;) B(;7) C(7;-) determin per quli vlori di k le rette del fscio k intersecno il tringolo ABC. 9 [ k ] 6

64 - L rett - 6. Consider il tringolo ABC dell esercizio precedente: per qule vlore di k l rett del fscio k stcc un tringolo AB 'C' di re? [k=9] 7. Studi i seguenti fsci di rette,disegn le rette genertrici ed indic con C l eventule centro del fscio: ) ( k ) k k 0 [C(;-)] b) ( k ) ( k ) k 0 c) k ( k ) k 0 d) ( k ) k 0 e) ( k) ( k) k 0 f) ( k) ( k) ( k ) 0 g) ( k ) ( k) 0 [C(;)] [ C( ; )] [C(;-6)] [C(;)] [C(;)] [rette prllele con m=] 8. Studi il fscio di rette di equzione e determin: ( k ) k 5 0 ) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; b) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; c) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll rett di equzione =; d) i vlori di k per cui le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(;0) e B(;). [ C ( 5,0); k ; k 0; k ; k ] 6

65 - L rett - 9. Studi il fscio di rette di equzione ( k) ( k ) k 0 e determin: ) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll rett di equzione =-; b) i vlori di k per cui le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(0;0) B(;0); c) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse ; d) il vlore di k per cui si h un rett prllel ll sse. 5 [ C( ; ); k ; k 7 k ; k ; k ] 0. Studi il fscio di rette di equzione k( 8) 0 e determin per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il tringolo ABC dove A(;) B(;-) e C(-;-5). 5 [C(-;); k ] 7. Studi il fscio di rette di equzione ( ) k( ) 0 e determin: ) per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il tringolo C(;-); ABC con A(0;0) B(;) b) per qule vlore di k si h un rett perpendicolre ll rett di equzione =. [ C( ; ); k ; k ] Studi F : k ( ) 8 0 e determin: ) per quli vlori di k le rette del fscio intersecno il segmento AB con A(;) e B(6;); b)per qule vlore di k si h un rett prllel ll rett di equzione. [C(;) ; k k ; k ] 5 6

66 - L circonferenz - 6 L circonferenz nel pino crtesino Considerimo l circonferenz in figur in cui il centro è ; C e il rggio 5 r : se indichimo con P ; un punto dell circonferenz vremo, per definizione, che l distnz tr P e C è ugule 5. Per scrivere l equzione che rppresent quest circonferenz bsterà scrivere l proprietà di tutti i suoi punti cioè PC 5 Avremo 5 ed elevndo l qudrto entrmbi i membri vremo: 5 In generle l equzione di un circonferenz C di centro C C C ; e rggio r srà quindi r C C Sviluppndo ottenimo 0 0 r r C C C C C C C C Si pone c r c r b b C C C C C C C C

67 - L circonferenz - Quindi bbimo b c 0 b C ; r b c Osservzioni Abbimo visto che l equzione di un circonferenz è molto divers d quell di un rett: è un equzione di grdo in cui i coefficienti di e sono uguli se sono diversi d si può dividere tutt l equzione per il vlore del coefficiente di e ) e in cui mnc il termine. Inoltre, per vere un circonferenz "rele, dovrà essere b c 0 b ( ricord che r - c ) (Se r = 0 l circonferenz "degener" in un solo punto). Esempi ) è l equzione dell circonferenz di centro C(0,0) e r =. In generle r e l equzione dell circonferenz di centro (0,0) C e rggio r. ) 0 0 è l equzione dell circonferenz di centro C( ; ) e rggio 5 r. ) 0 non rppresent un circonferenz rele perché r i. ) b 0 è l equzione di un circonferenz pssnte per l origine ( c = 0 ). 65

68 - L circonferenz - Problemi sull circonferenz Vedimo qulche problem sull circonferenz. ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per un punto A ssegnto ed vente centro C ssegnto. E chiro che bsterà clcolre rggio = AC ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per tre punti A,B,C non llineti ( è come cercre l equzione dell circonferenz circoscritt l tringolo ABC ). Il centro dell circonferenz si può trovre intersecndo, per esempio, l sse del segmento AB con l sse del segmento BC. Così fcendo, inftti, trovimo un punto che è equidistnte d A,B,C e quindi è il centro dell circonferenz. Per trovre il rggio bst clcolre l distnz del centro trovto d uno qulsisi dei tre punti. (*) Questo problem può essere risolto nche sostituendo le coordinte dei tre punti nell equzione generle + ++b+c=0 e risolvendo il sistem. A( B( C( A B C,,, A B C ) ) ) A B C A B C A B C b b b A B C c 0 c 0 c 0 Le incognite sono,b,c. 66

69 - L circonferenz - ) Determin l equzione dell circonferenz C pssnte per due punti ssegnti A e B e vente il centro C pprtenente d un rett ssegnt r. Bsterà determinre sse segmento AB C r ( Se l circonferenz C deve pssre per A e B il suo centro deve trovrsi sull sse del segmento AB). Per trovre il rggio si clcol, per esempio, CA. Considerimo per esempio (vedi figur) A(;) B(5;) e r: =-+. m AB m M (;) AB sseab sse segmento AB -= -(-) ( ) 9 5 C... C r CA C : ( 5) ( )

70 - L circonferenz - Rett e circonferenz Un rett r può essere estern, tngente o secnte d un circonferenz C. L rett è estern qundo d( C, r) rggio L rett è tngente qundo d( C, r) rggio L rett è secnte qundo d( C, r) rggio Rette tngenti d un circonferenz ) Risolvimo il seguente problem: dt l circonferenz C in figur e considerto il suo punto (7;7) P determinre l rett t pssnte per P tngente ll circonferenz C. Potremo, nel fscio di rette pssnti per P, individure quell l cui distnz d C è ugule 5 (rggio di C.), m in questo cso c è un procedimento più veloce. Bst inftti osservre che l rett t deve essere perpendicolre l rggio CP e quindi: 68

71 - L circonferenz - ) Risolvimo desso il seguente problem: dt l circonferenz C in figur e considerto il punto P(5;0), determinre le rette t e t pssnti per P e tngenti ll circonferenz C. C : + =9 P(5,0) Considerimo l generic rett pssnte per P Dobbimo cercre le rette che hnno distnz (rggio=) dl centro di C (0,0) e quindi Elevndo l qudrto: Quindi t : ( 5) t : ( 5) 69

72 - L circonferenz - (*) L condizione di tngenz Questo problem potev essere risolto nche in un ltro modo. Abbimo collegto l posizione di un rett reltivmente d un circonferenz con l su distnz dl centro, m possimo vederl nche in un ltro modo. Se intersechimo un rett con un circonferenz vremo: nessun punto di intersezione se r è estern C solo punto di intersezione (o meglio due punti coincidenti) se r è tngente C punti di intersezione se r è secnte C Algebricmente questo signific che risolvendo il sistem equzione circonferenz equzione rett r C troveremo un equzione di grdo il cui srà: se r è estern C se r è tngente C : quest viene dett condizione di tngenz se r è secnte C Quindi il problem potev essere risolto così: 9 m( 5) m ( 0 5) 9 ( m ) 0m 5m 9 0 5m ( m )(5m 9) 0 5m 5m 9 5m 9m 0 6m 9 m 9 6 m 70

73 - L circonferenz - Altri problemi sull circonferenz Risolvimo qulche ltro problem sull circonferenz. ) Determin l circonferenz vente centro C ssegnto e tngente d un rett t ssegnt. Per esempio: C(;) t: =- ( +=0). Bsterà clcolre rggio = distnz (centro, tngente) Nel nostro cso r C : ( ) ( ) 8 ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in un punto T d un rett ssegnt t e pssnte per un punto P ssegnto. Per esempio: t: = T(;) P(7;) Possimo individure il centro C dell circonferenz intersecndo l sse del segmento TP con l rett per T perpendicolre t sse TP : ( ) perp. per T t : ( ) Nturlmente r = = 5 5 C(5;0) C : ( 5) 0 (*) Questo problem si può risolvere nche considerndo l equzione generle e imponendo il pssggio per T, per P e l condizione di tngenz t (si ottiene un sistem di equzioni nelle incognite,b,c ). 7

74 - L circonferenz - ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente d un rett t ssegnt e pssnte per due punti A e B ssegnti. Per esempio t: =-+ A(0;5) B(-;5) Considerimo l equzione generle pssggio per A 5 5b c 0 pssggio per B 5 5b c 0 (*) cond.tn genz ( b ) 8( b c) 0 (*) b c 0 ( ) b( ) c 0... ( b ) b c 0 Risolvendo il sistem ottenimo due terne di soluzioni cioè due circonferenze che soddisfno le condizioni richieste. Oppure: si determin l sse di AB e si consider che il centro dell circonferenz dovrà C ; : si impone poi che l distnz di C pprtenere ll sse e quindi nel nostro cso vremo dll rett t si ugule, per esempio, CA. 7

75 Circonferenz e fsci di rette Progetto Mtemtic in Rete - L circonferenz - Vedimo qulche problem in cui si considerno le intersezioni tr un circonferenz e un fscio di rette. ) ) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k circonferenz C : 9. intersecno l k k Si trtt di un fscio di rette prllele venti m. Bsterà determinre le tngenti (distnz d (0;0) ugule ): k F : k 0 k Quindi qundo k le rette del fscio intersecno C. b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio precedente intersecno l semicirconferenz AB situt nel e qudrnte ( 0 ). k 7

76 - L circonferenz - In questo cso occorre determinre il vlore di k delle rette del fscio pssnti per A e B. k A(0;) 0 k k A k B(;0) 0 k k B Quindi qundo k le rette del fscio intersecno l semicirconferenz in solo punto; qundo k le rette del fscio intersecno l se circonferenz in punti (il punto di tngenz viene contto due volte). Se il problem fosse stto proposto come soluzione del sistem k 9 0 l soluzione srebbe stt : soluzione per k soluzioni per k ) ) Determin per quli vlori di k le rette del fscio F : k 8k 0 circonferenz C : 0. intersecno l Studindo il fscio si trov che si trtt di un fscio di rette pssnti per P(0;8) e che le k 0 0 genertrici sono le rette : k 8 Determinimo i vlori di k corrispondenti lle rette tngenti: pplicndo l formul dell distnz dl centro C(;) dell circonferenz e ponendol ugule (rggio) ottenimo i vlori k e k. 7 E chiro quindi che qundo k le rette del fscio intersecno l circonferenz (in due 7 punti). 7

77 - L circonferenz - b) Determin per quli vlori di k le rette del fscio precedente intersecno l semicirconferenz AB situt nel e qudrnte ( 0 ). Trovimo il vlore k 0 dell rett per A(0;0) e il vlore k B dell rett del fscio pssnte per B(;0). Quindi qundo k 0 k 7 le rette del fscio intersecno in punti l semicirconferenz, mentre per 0 k le rette del fscio intersecno l semicirconferenz in solo punto. A 75

78 - L circonferenz - Problemi sull circonferenz ) Disegn le circonferenze venti le seguenti equzioni: ) d) b) e) c) f) ) Determin l equzione dell circonferenz spendo che: ) h centro C(;) e pss per P(;); [( ) ( ) 5] b) h centro C(0;0) ed è tngente ll rett t: =-+; c) pss per (0;0), A(;) B(;) ; [ ( ) ( ) 0 ] d) pss per (0;0) A(-;) B(6;0) ; [ 5] e) pss per A(;-) B(;) C(-;) ; 8 f) pssnte per O( 0;0) e A(;0) e vente il centro pprtenente ll rett di equzione ; 8] [ g) è tngente ll rett t: nel punto T(0;0) e pss per A(0;) h) è tngente ll rett t: nel punto T(;) e pss per A(;-) 76