MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI

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1 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI DIPRTIMENTO DI GRRI FCOLT DI INGEGNERI DEI SISTEMI LOGISTICI E GRO- LIMENTRI LEZIONI DI GEOMETRI E LGEBR DISPENS MTRICI DETERMINNTI SISTEMI LINERI TEORI ED ESERCIZI nno ccdemico DOCENTE: PROF GIOVNNI VITERBO

2 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Cp MTRICI, DETERMINNTI, SISTEMI LINERI & - Introduione Comincimo con il porre le seguenti definiioni Def Dicesi mtrice di ordine mn ogni tbell formt d mn elementi disposti su m righe ed n colonne L generic mtrice si indic come segue: m m n n oppure mn m m n n mn o, ncor, in form comptt con m,n Ogni elemento ij dell mtrice è individuto d un coppi di indici i, j che rppresentno, rispettivmente, il numero di rig e il numero di colonn occupti dll elemento Se un mtrice è formt d un sol rig ess prende il nome di vettore rig, se invece è formt d un sol colonn ess prende il nome di vettore colonn Dunque il vettore rig n è del tipo: n mentre il vettore colonn m è del tipo: m Def Dicesi mtrice null e si indic con O m,n l mtrice di ordine mn vente tutti gli elementi uguli ero

3 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Def Un mtrice si dice rettngolre se il numero di righe è diverso dl numero di colonne m n, mentre si dice qudrt se il numero di righe è ugule l numero di colonne m = n Se è un mtrice qudrt, il numero m = n dicesi dimensione o ordine dell mtrice qudrt D or in poi, indicheremo con M m,n l insieme delle mtrici rettngolri di ordine m,n e con M n l insieme delle mtrici qudrte di ordine n Per le mtrici qudrte vlgono le seguenti ulteriori definiioni Def Se è un mtrice qudrt di ordine m, = line formt dgli elementi ij, dicesi digonle principle l,,,,,, n,n mentre dicesi digonle secondri l line formt dgli elementi n, n-,, n-,,,n Def Un mtrice qudrt = ij si dice mtrice digonle se lmeno un elemento dell digonle principle è diverso d ero mentre tutti gli elementi non pprtenenti d ess sono nulli Cioè, è un mtrice digonle se: I = n ii i, j =n i j : ji = Def Un mtrice qudrt = ij si dice tringolre superiore o tringolre lt se tutti gli elementi l di sotto dell digonle principle sono nulli, cioè se: i, j = n i > j : jj = Def 7 - Un mtrice qudrt = ij si dice tringolre inferiore o bss se tutti gli elementi l di sopr dell digonle principle sono nulli, cioè se: i, j = n i < j : jj =

4 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Evidentemente: Prop - Ogni mtrice digonle è un mtrice tringolre lt e bss Def Dicesi mtrice unità e si indic con I m o nche con m ogni mtrice digonle in cui gli elementi dell digonle principle sono tutti uguli d es: I, I, I sono, rispettivmente, le mtrici unità di M, M, M Def 9 Un mtrice qudrt = ij si dice simmetric se gli elementi simmetrici rispetto ll digonle principle sono due due uguli, cioè se: i=m, j =n : i,j = j,i Def Un mtrice qudrt = ij si dice nti-simmetric se gli elementi simmetrici rispetto ll digonle principle sono due due opposti, cioè se: i=m, j =n : i,j = - j,i Prop - Gli elementi dell digonle principle di un mtrice nti-simmetric sono tutti nulli Def Se e B sono due mtrici di ordine mn, con = ij e B = b ij, si dice che = B se gli elementi corrispondenti di e B sono due due uguli, cioè se: i =m, j =n : i,j = b i,j Def Se e B sono due mtrici di ordine mn, con = ij e B = b ij, si dice che e B sono mtrici opposte se gli elementi corrispondenti di e B sono due due opposti, cioè se: i=m, j =n : i,j = - b i,j

5 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI L mtrice oppost di si indic con ed è : - = ij Def - Se è un mtrice di ordine mn, dicesi trspost di l mtrice indict con T, di ordine nm, che si ottiene d scmbindo le righe con le colonne, cioè tle che i =m, j =n : j,i = i,j Esempio - Se m m n n mn, l su trspost è T n n m m mn Proprietà dell trspost Prop Se è un mtrice qudrt di ordine n, M n, si dimostr che: T T = b è simmetric se T = c è ntisimmetric se T = - L dimostrione di tli proprietà è ovvi & - lgebr delle mtrici Premettimo le seguenti definiioni Def Due mtrici e B si dicono dello stesso tipo se hnno lo stesso numero di righe e, rispettivmente, lo stesso numero di colonne, cioè se: M m, n B M m, n Def Se e B sono due mtrici dello stesso tipo, si dice che due elementi ij e b ij B sono corrispondenti se hnno lo stesso numero di rig e lo stesso numero di colonn Ciò premesso, sussistono le seguenti operioni fr mtrici

6 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Def mtrice somm Se e B sono due mtrici dello stesso tipo, dicesi mtrice somm di e B e si indic con + B, l mtrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciscuno l somm degli elementi corrispondenti dell mtrici dte Cioè, se e B b b b b b b b b b llor: B b b b b b b b b b Def mtrice oppost Se = ij è un mtrice di ordine m,n, dicesi mtrice oppost di e si indic con, l mtrice i cui elementi sono gli elementi opposti degli elementi corrispondenti di cioè tle che: i m, j n : ij ij Def mtrice differen - Se e B sono due mtrici dello stesso tipo, dicesi mtrice differen di e B e si indic con B, l mtrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciscuno l differen degli elementi corrispondenti dell mtrici dte Cioè, se B b b b b b b b b b e llor: B b b b b b b b b b Def mtrice prodotto di uno sclre per un mtrice Se è un mtrice di ordine m,n e se è uno sclre R, dicesi mtrice prodotto di per e si indic con l

7 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI nuov mtrice i cui elementi sono ciscuno gli elementi corrispondenti di, moltiplicti per Cioè, se: llor: Per il prodotto di uno sclre per un mtrice, sussistono le seguenti proprietà Prop risult: h, R, B M m, n h h b h h c h B h h B L dimostrione è ovvi prop ssocitiv del prodotto per uno sclre prop distributiv dell somm di sclri rispetto prop distributiv dell somm di mtrici rispetto Def 7 Mtrice prodotto righe per colonne di due mtrici Se è un mtrice di ordine m p e se B è un mtrice di ordine p n, dicesi "mtrice prodotto righe per colonne" di e B e si indic con B l nuov mtrice di ordine m n i cui elementi c ij sono l somm dei prodotti degli elementi dell rig i di per gli elementi dell colonn j di B, cioè: c ij p i b j, i= m, j = n d esempio, se = e B =, llor l mtrice prodotto è: B = 7

8 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Si noti che il prodotto di mtrici righe per colonne è possibile solo qundo il numero di colonne dell prim mtrice è ugule l numero di righe dell second mtrice Poiché qundo si inverte l ordine delle mtrici quest condiione non è in generle soddisftt, si può ffermre che in generle non vle l proprietà commuttiv per tle operione nche per le mtrici qudrte dello stesso ordine non vle in generle l proprietà commuttiv del prodotto, come mostr il seguente esempio Esempio - Se = e B =, si h: B, B L esempio mostr che: B B B =, pur essendo e B Dunque, qundo si oper con le mtrici bisogn fre molt ttenione: per esse non vlgono tutte le proprietà delle operioni con i numeri semplici Sussiste l seguente definiione Def Se e B sono due mtrici qudrte dello stesso ordine, diremo che e B sono permutbili se risult: B = B Def 9 poten di un mtrice Se è un mtrice qudrt di ordine m e se n è un numero nturle, dicesi poten n_sim di l mtrice n =

9 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Nell insieme delle mtrici qudrte sono sempre possibili tutte le operioni precedentemente definite somm, differen, prodotto, per le quli sussistono le seguenti proprietà Prop -, B, C M n, si dimostr che: I + B = B + prop commuttiv dell ddiione II + B + C = + B + C prop ssocitiv III OM n M n : + O = O + = esisten dell elemento neutro per + IV M n, M n + = + = O esisten dell elemento simmetrico per + è l mtrice oppost di Ib, B, C M n : B C = B C prop ssocitiv dell moltiplicione IIb,B,C M m : B + C = B + C prop distributiv sinistr dell moltiplicione IIIb,B,C M m : B + C = B + C prop distributiv destr dell moltiplicione IVb IM n M n : I = I = esisten dell elemento neutro per l moltiplicione I è l mtrice identic o mtrice unità di M n Prop Se, B, C sono tre mtrici di ordine n, si dimostr che: 9

10 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI B C Se B C B C Non vle l implicione invers, cioè: B C B C e B C B C Verificre tli proprietà con =, B =, C = Per le mtrici, quindi, non vle l legge dell semplificione Per le mtrici trsposte vlgono le seguenti ulteriori proprietà Prop - Se e B sono due mtrici di ordine m n e se R, si h: + B T = T + B T T = T B T = B T T È lscit l lettore l dimostrione di tli proprietà Def Mtrice invers Un mtrice qudrt M n si dice invertibile se esiste un mtrice X M n tle che: X = X = I n, essendo I n l mtrice identic di ordine n Tle mtrice X, se esiste, prende il nome di mtrice invers di e si denot con - Sussiste l seguente proprietà: Prop L mtrice invers di un mtrice qudrt, se esiste, è unic Dim Se B e B sono due mtrici inverse di, per definiione deve versi: ì B = B = I n í î B = B = I n Quindi:

11 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI B = I n Þ B B = I N B Þ B B = B Þ B I n = B Þ B = B Osservimo esplicitmente che non tutte le mtrici qudrte sono invertibili: in seguito vedremo quli sono le mtrici invertibili e vedremo come si clcol l mtrice invers Per le mtrici invertibili vlgono le seguenti proprietà Prop Se e B sono due mtrici qudrte di ordine n entrmbe invertibili, si dimostr che: - è invertibile e risult: - - = ; l mtrice trspost T è invertibile ed è T T ; l mtrice prodotto B è invertibile e risult: B - = B - - Dim Poiché - è l invers di I I I I Dim Poiché è invertibile T T T T I I I I T T T T T T I I Dunque, l trspost dell invers è l invers dell trspost di Dim B B - - = B B - - = I - = - = I e nlogmente: - B - B = - B - B = - I = - = I Oss Si noti esplicitmente che, in generle, l somm di due mtrici invertibili non è invertibile

12 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI d esempio, considerre le mtrici = e B = e verificre che l mtrice somm + B non è invertibile & Determinnte delle mtrici qudrte d ogni mtrice qudrt di ordine n,, si può ssocire un numero rele, unico e ben definito, detto determinnte ssocito ll mtrice, indicto con o con det o, ncor, con, i j Il determinnte di un mtrice qudrt può essere definito in vri modi Il primo modo è costituito d un definiione dt per ricorren: inftti, si definisce dpprim il determinnte di un mtrice di ordine n =, poi quello di un mtrice di ordine n = e, infine, si definisce il determinnte di ordine n qulsisi tl fine si procede come segue Def Si un mtrice qudrt di ordine n, llor: Se n =, così che =, si pone: det = b Se n =, così che, si pone: det = Per poter definire il determinnte di un mtrice di ordine n >, occorre premettere lcune definiioni Def Se = ij è un mtrice qudrt di ordine n, dicesi minore complementre ssocito ll elemento ij il determinnte che si ottiene sopprimendo l rig i e l colonn j lle quli l elemento ij pprtiene Il minore complementre di ij si indic con ij Def - Se = ij è un mtrice qudrt di ordine n, dicesi complemento lgebrico ssocito ll elemento ij il numero reltivo vente per modulo il minore complementre ij di ij e per segno il + o il second che l somm degli indici i e j si pri o dispri: - i+j ij

13 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Il complemento lgebrico di ciscun ij si denot con ij e dicesi nche cofttore di ij Ciò premesso, possimo or definire il determinnte di un qulunque mtrice qudrt Def Se = ij è un mtrice qudrt di ordine n, dicesi determinnte ssocito ll mtrice, e si indic con det o ij, il numero reltivo ugule ll somm dei prodotti degli elementi di un qulsisi rig o colonn per i rispettivi complementi lgebrici, cioè: det = n ij ij i j n ij ij equivlentemente n i j i det = ij ij i j n j ij ij d esempio, se, risolvendo rispetto ll ter rig, si h: det = Def Un mtrice qudrt si dice singolre se il determinnte d ess ssocito è ugule ero, ltrimenti l mtrice dicesi non singolre Prop - Per i determinnti sussistono le seguenti proprietà : [] il determinnte è nullo se tutti gli elementi di un rig o di un colonn sono nulli; [] il determinnte è nullo se due righe o colonne sono uguli o proporionli; [] il determinnte è nullo se un rig risp un colonn è un combinione linere di ltre due righe o colonne; [] Il determinnte dell mtrice unità, I n, è ugule ; [] Il determinnte di un mtrice tringolre o digonle è ugule l prodotto degli elementi dell digonle principle; [] Se ggiungimo gli elementi di un rig risp un colonn gli elementi di un ltr rig risp colonn moltiplicti per un costnte, il determinnte non cmbi di vlore;

14 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI [7] Scmbindo di posto due righe o due colonne, il determinnte cmbi di segno [] Se moltiplichimo risp dividimo gli elementi di un line rig o colonn per un numero, il determinnte risult moltiplicto risp diviso per quel numero Prop Se e B sono due mtrici qudrte di ordine n, si dimostr che: det = det T ; Se è invertibile ed - è l su invers, si h: det - = det ; det B = det detb Teorem di Binet Def Se è un mtrice qudrt di ordine n e se T è l su trspost, si dice che è un mtrice ortogonle se ess è invertibile e l su invers coincide con l su trspost Dunque: è un mtrice ortogonle T Û T = T = I n Per le mtrici ortogonli vlgono le seguenti proprietà Prop Se è un mtrice ortogonle, llor: Il determinnte di vle + o -, det = L trspost e l invers dell mtrice, T e -, sono nch esse mtrici ortogonli; Se e B sono mtrici ortogonli delle steso ordine, nche B è un mtrice ortogonle dello stesso ordine Prop Condiione necessri e sufficiente ffinché un mtrice si ortogonle è cherisultino verificte entrmbe le seguenti due condiioni: l somm dei qudrti di ogni rig rispettivmente di ogni colonn si ugule uno, l somm dei prodotti degli elementi corrispondenti di due colonne distinte rispettivmente di due righe distinte, prese due due, si ugule ero Osservione - Per l, un mtrice vente nche un solo elemento in vlore ssoluto mggiore di non può essere un mtrice ortogonle

15 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI & Mtrice ggiunt - Clcolo dell mtrice invers con il metodo dell ggiunt Ponimo l seguente ulteriore definiione Def Se è un mtrice qudrt di ordine n, dicesi mtrice ggiunt di, e si indic con +, l mtrice i cui elementi sono i complementi lgebrici degli elementi di Cioè: n n n n nn d esempio, se, i complementi lgebrici sono: 9 9 e l mtrice ggiunt di è æ ç + = ç ç è Sussiste il seguente fondmentle teorem Teor Condiione necessri e sufficiente ffinché un mtrice qudrt si invertibile è che det In tl cso, l invers dell mtrice è : ö ø æ ç ç ç ç - = + ç t det = è n n n n det nn ö ø

16 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI dove ogni ij è il complemento lgebrico dell elemento ij & Rngo di un mtrice Premettimo l seguente definiione Def Se è un mtrice di ordine m n e se r è un numero nturle minore o ugule si di m che di n, dicesi minore estrtto di ordine r dell mtrice, ogni determinnte formto d r righe e d r colonne di I minori estrtti di un mtrice sono, in generle, più di uno s esempio, se, llor i minori estrtti di ordine r = sono:,,,,, b r = sono:,, Ciò posto, possimo dre l seguente definiione Def - Se è un mtrice di ordine m n, dicesi rngo o crtteristic di il mssimo ordine fr tutti i minori estrtti diversi d ero Il rngo di un mtrice si indic con rng o cr Pertnto, dire che rng = r, vuol dire che: esiste lmeno un determinnte estrtto di ordine r diverso d ero; ogni determinnte estrtto di ordine mggiore di r è ugule ero Sussiste il seguente metodo, detto metodo degli orlti o di Kroneer, per clcolre il rngo di un mtrice Esso consiste dei seguenti pssi: si sceglie un minore estrtto di ordine, diverso d ero; si orl tle minore estrtto in tutti i modi possibili con un ltr rig e un ltr colonn: se tutti i determinnti del ordine così ottenuti sono nulli, llor il rngo dell mtrice è ; se, invece, esiste un determinnte del ordine diverso d ero, lo si orl con un ltr rig e un ltr colonn, ottenendo un minore estrtto del tero ordine: se tutti i

17 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI determinnti così ottenuti sono nulli, llor il rngo è, ltrimenti si procede come l psso precedente Dimo un esempio Clcolre il rngo dell mtrice = Osservimo preliminrmente che poiché è un mtrice, il suo rngo può essere l mssimo ugule Considerimo il minore estrtto Orlimo tle elemento con l second rig e l second colonn ottenendo: e, quindi, il rng Orlimo tle estrtto del ordine con l ter rig e l ter colonn: Poiché non esistono minori di ordine >, si conclude che rng = Sussistono le seguenti proprietà Prop Se e B sono due mtrici di tipo rispettivmente m,p ed p,n e se C è l mtrice prodotto B, llor risult rng C rng rng C rng B Si omette l dimostrione Prop Il rngo di un mtrice non cmbi se ess viene moltiplict sinistr o destr per un mtrice non singolre Dim Si un mtrice di tipo m,n vente rngo r e si P un mtrice non singolre di ordine n Posto C = * P, risultno: 7

18 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI per l proprietà precedente, rngc rng r C = * P C P P P C P rng rng C r rngc Dunque: rng = rng * P & Sistemi di equioni lineri Ponimo le seguenti definiioni Def Dicesi sistem linere di m equioni in n incognite ogni sistem del tipo: dove: m m n n mn n n b n b b m L mtrice,, mn, si dicono coefficienti del sistem; b, b,, b m si dicono termini noti del sistem;,,, n sono le incognite m m n n mn dicesi mtrice dei coefficienti o mtrice incomplet del sistem, mentre l mtrice m m n n mn b b b m ottenut ggiungendo ll mtrice dei soli coefficienti l colonn formt di termini noti si dice mtrice complet del sistem

19 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Osservimo che se indichimo con l mtrice dei coefficienti, con X il vettore colonn delle incognite e con B il vettore colonn dei termini noti, ogni sistem linere si può indicre nche nell form comptt X = B In tl modo è possibile considerre il sistem come un equione, equione mtricile, e pplicre d ess le operioni fr mtrici, purché si teng conto che non vle né l proprietà commuttiv né l legge di nnullmento del prodotto L form X = B dicesi form mtricile del sistem Def - Dicesi soluione del sistem ogni n-pl di numeri,,, n che soddisf tutte le equioni del sistem Clssificione dei sistemi lineri Def Un sistem si dice comptibile se mmette soluioni un o più, si dice incomptibile se non h soluioni In prticolre, un sistem comptibile si dice: determinto se mmette un unic soluione, indeterminto se mmette infinite soluioni Def Un sistem si dice: omogeneo se tutti i termini noti sono nulli: b = b = = b m = ; b si dice non omogeneo se qulcuno dei termini noti è diverso d ero Prop Ogni sistem omogeneo è sempre comptibile perché mmette sempre lmeno l soluione bnle,,, L verific di tle sserione è ovvi Per i sistemi lineri sussiste il seguente fondmentle teorem 9

20 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Teor Teorem di Rouchè - Cpelli Se X = B è un sistem linere di m equioni in n incognite, si dimostr che: il sistem è comptibile se rng = rng e, in tl cso, detto r il rngo ugule, esso mmette n r soluioni, con l convenione che se n = r l soluione è unic e il sistem è determinto; il sistem è incomptibile se rng < rng L dimostrione è omess In generle, il numero m di equioni di un sistem è diverso dl numero n delle incognite Sussiste l seguente ulteriore definiione Def Un sistem linere si dice sistem di Krmer se: il numero delle equioni è ugule l numero delle incognite, ovvero se m = n; l mtrice incomplet del sistem è non singolre, ovvero se det Per i sistemi di Krmer sussiste il seguente fondmentle teorem Teor Teorem di Krmer Se X = B è un sistem di Krmer, cioè vente m = n e det, llor esso è determinto e l unic soluione è dt d: Di i, i,,, n D dove D è il determinnte dell mtrice incomplet dei soli coefficienti D = det e D i è il determinnte ottenuto d D sostituendo l i-m colonn con l colonn dei termini noti Dim Poichè det è diverso d ero, il rngo dell mtrice è ugule l rngo dell mtrice, r = n, così che per il teorem di Rouché Cpelli, il sistem mmette un sol soluione Inoltre, poiché det = D, l mtrice è invertibile e si - l su invers Di conseguen, scritto il sistem in form mtricile, si h: X B Pertnto: æ ç ç ç ç è n ö æ ç = det ç ç ç ç ø è X B X n n n n nn ö æ ç ç ç ç ø è b b b n B, dove - = T ji D D ö = ø

21 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI æ ç ç ç ç ç è = b b b n + b + + b n n + b ì = b ï ï Þ = b í ï ï î n = b n + + b n n + b n + + b n nn det + b + b + b n ö ø Þ + + b n n / det + + b n n / det + + b n nn / det E fcile verificre che il numertore di ciscun incognit, i, è ugule l vlore del determinnte che si ottiene sostituendo nell mtrice dei coefficienti, l mtrice, l colonn i sim con l colonn dei termini noti Dunque, il teorem è dimostrto Infine, per i sistemi lineri omogenei di n equioni in n incognite, sussiste il seguente teorem condiione necessri e sufficiente per l esisten delle soluioni non bnli o di utosoluioni Teor Condiione necessri e sufficiente ffinché un sistem linere omogeneo di n equioni in n incognite mmett soluioni non bnli è che det = : le soluioni non bnli del sistem si dicono utosoluioni del sistem Dim È un ovvi conseguen del teorem di Rouchè - Cpelli, non ppen si osserv che, essendo l ultim colonn dell mtrice complet un vettore nullo, il rngo di è ugule l rngo di così che il sistem è sempre comptibile e mmette n è il rngo dell mtrice incomplet nr soluioni, dove r <

22 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI CP - ESERCIZI MTRICI, DETERMINNTI, SISTEMI LINERI E Dte le mtrici, B, C, clcolre: + B b B c - B + C Soluione B b B c 9 C B E Clcolre l trspost delle seguenti mtrici:, B, C Soluione T, T B, T C E Dte le mtrici e B, determinre,, tli che = - B Soluione

23 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI = - B E Dt l mtrice, clcolre,, tli che l mtrice risulti: simmetric; b ntisimmetric Soluione simmetric i,j: i,j = j, i b è ntisimmetric i,j: i,j = - j,i, Poiché gli elementi dell digonle principle non sono nulli, l mtrice non è ntisimmetric E Dte le mtrici e B, clcolre l mtrice B Soluione B E - Dte le mtrici e B, clcolre l mtrice B

24 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Soluione B E7 Dte le mtrici e B, verificre che: + B + B + B Soluione B B B B Inoltre, poiché: =, B =, B, segue che: B B e, dunque, + B + B + B E Dt l mtrice e il vettore non nullo X, determinre il vlore di tle che X = X, nonché tutti i vettori X che soddisfno l uguglin Soluione

25 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Dunque, per = è X = X e, inoltre, i vettori che soddisfno l uguglin sono infiniti, tutti dti d X =,,, " Î R E9 Dti X, e e ed Y, risolvere l equione Y X Soluione Y X Y X e e e e e e e e e e Dunque, si hnno due soluioni: Per =, è: X, e e, Y Per = -, è: X, e e, Y

26 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI E Dte le mtrici 9 7 e B, fte le vostre osservioni sul risultto dei prodotti B e B Soluione Osservimo preliminrmente che B e B sono mtrici qudrte di ordine B = Moltiplicndo destr l mtrice per l mtrice B, nell mtrice si h uno scmbio dell prim colonn con l second colonn B = Moltiplicndo sinistr l mtrice per l mtrice B, nell mtrice si h uno scmbio dell prim rig con l second rig E Dt l mtrice e il vettore X, clcolre i prodotti X e X Qule relione intercorre tr i due risultti? Soluione X X = X = Il clcolo mostr che X = X

27 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI 7 E Dt l mtrice e il vettore X, si determini il vlore del prmetro per cui vle l uguglin X X Per quli vlori di il vettore X h il modulo ugule? Soluione X = X = Poiché X =, il suo modulo è : X Di conseguen: X E Determinre se esistono vlori di per cui risult E Dt l mtrice b, si determini sotto qule condiione dei prmetri e b risult = E Dt l mtrice e il vettore X, determinre il vlore del prmetro X X

28 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Soluione X X E Dt l mtrice e il vettore X, determinre il vlore del prmetro X X d risolvere E7 Dte le mtrici m e B e i vettori X e Y, determinre i prmetri e m tli che T T Y B X Soluione BY m m m X Y X T T T T Di conseguen: m m BY X T T

29 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI 9 m 7 m m E Dt l mtrice e il vettore colonn X = é ë ê ê ê ù û ú ú ú vente tutte le componenti uguli e non nulle, determinre il vlore del prmetro tle che risulti X X Soluione X X - = = E9 Dte le mtrici =, B =, verificre che: B B b +B -B B c + B + B + B D risolvere E L mtrice = è tringolre? b Clcolre e Soluione L mtrice è un mtrice tringolre lt, poiché = e = b Clcolimo e

30 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI ; E - Si consideri l mtrice = Verificre che è un mtrice invertibile e che l invers è - = Soluione Dobbimo verificre che I B I B M t B *B = I t t t t t t I B B b Si verific che è nche B* = I Dunque, è invertibile e l su invers è - = B = E Due mtrici qudrte, B n M si dicono permutbili se risult B = B Dimostrre che se e B sono due mtrici permutbili, risult: + B B = B b + B = + B + B c + B = + B + B + B

31 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Soluione B B B B B B B B B b L dimostrione è nlog ll precedente c L dimostrione è nlog ll precedente E Verificre che M risult: + T simmetric; b * T e T * simmetriche; c - T ntisimmetric; d = T T Tle ultim proprietà dimostr che ogni mtrice qudrt può scriversi come somm di un mtrice simmetric e di un ntisimmetric Soluione Dim Si un mtrice di M, =, e si T = l su trspost Si h: + T = + Tle risultto mostr che + T è un mtrice simmetric Dim b E nlog ll precedente: effetture i due prodotti e verificre che si ottengono due mtrici simmetriche Dim c -

32 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI T - = Tle risultto mostr che T è un mtrice ntisimmetric Dim d T T T T

33 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Determinnti E Sino = e B = : clcolre l mtrice prodotto *B e il suo determinnte Soluione E Stbilire se l mtrice = è invertibile e, in cso ffermtivo, determinre l invers Soluione pplicndo l regol di Lplce rispetto ll second colonn, si h: det = + è non singolre e quindi invertibile Clcolimo l mtrice invers con il metodo dell mtrice ggiunt I complementi lgebrici sono: L trspost dell mtrice ggiunt di è:

34 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI t + = L mtrice invers di è: 7 det E Si considerino le mtrici e B Clcolre le mtrici T, B T, + B, B, X B e B X E7 ssegnte le mtrici e B dire qule delle seguenti mtrici T, B T, + B, B, X B, B X è clcolbile, giustificndo l rispost E ssegnt l mtrice, determinre per qule vlore di l mtrice è non invertibile Soluione ffinché l mtrice si non invertibile deve risultre det = Imponimo tle condiione:

35 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI risolvendo rispetto ll ultim rig L prim soluione è = Risolvimo or l second equione: Il vlore del primo determinnte, per l regol di Srrus, è: ; il vlore del secondo determinnte è: Pertnto, l equione divent: L mtrice è non invertibile per = e = - E9 Clcolre il rngo dell mtrice Soluione

36 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI L mtrice è un mtrice, per cui il rngo mssimo è minore o ugule e poiché = è diverso d ero, il rngo di è mggiore o ugule : dunque: rng Gli orlti del ordine di = sono:, e, Poiché esiste, = = -, si deduce che rng = E Clcolre il rngo dell mtrice B Soluione Poiché B è un mtrice non null ed h ordine, segue che rng B Orlndo = con le prime due righe e le prime due colonne, si h:, rng B Infine orlndo, con l ter rig e l ter colonn si h:, = Dunque, rngb = E Determinre il rngo dell mtrice h h h h, l vrire del prmetro h in R Soluione Poiché è un mtrice non null di ordine, srà rng

37 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Sopprimendo l prim rig e le ultime due colonne si ottiene il minore estrtto del ordine rng, h R, Gli orlti di, sono:, h h h h e, h Clcolimo, e, h h h, h h h h h h h, = h h h h Quindi, h, h : rng =, b Studimo, per h = e h = Per h = :, 9 rng = Per h = :, rng = Dunque, h R : rng 7

38 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI E ssegnt l mtrice, stbilire per qule vlore di l mtrice h rngo Soluione ffinché il rngo dell mtrice si due tutti i minori del ordine devono essere nulli:, =,, =,, = e lmeno un minore del ordine deve essere diverso d ero Risolvo:, = ;, =, = ;, =, = ;, = Dunque per = tutti i minori estrtti del tero ordine sono nulli rng < Per = -, si nnull, m non, e, : rng =

39 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI 9 Per =, l mtrice divent dove, = e quindi per = è rng = E Verificre che le mtrici sen sen cos cos e sen sen B cos cos sono ortogonli Sono invertibili? Qul è l loro invers? Giustificre l rispost Soluione Ricordimo che un mtrice qudrt si dice ortogonle se T = T = I n Di conseguen ogni mtrice ortogonle è invertibile ed h per invers l su trspost sen sen sen sen T cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen I nlogmente si dimostr che T = I Dunque, è un mtrice ortogonle ed è: cos cos sen sen T b nlogmente si dimostr che nche l mtrice B è ortogonle e che h per mtrice invers l su trspost E ssegnt l mtrice B, determinre gli eventuli vlori di per i quli l mtrice B coincide con l su invers Soluione Poiché B = B - I B B

40 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Esercii sul rngo di un mtrice d risolvere E Clcolre il rngo dell mtrice, l vrire di in R E Clcolre il rngo dell mtrice, l vrire di λ in R E7 - Clcolre il rngo dell mtrice, l vrire di λ in R

41 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Sistemi lineri numerici e prmetrici Sistemi lineri numerici E Risolvere il seguente sistem: Soluione Le mtrici ssocite l sistem sono:, Poiché: det = rng rng il sistem è comptibile e mmette - = soluione il sistem è determinto Clcolimo l soluione: E - Risolvere il seguente sistem: Soluione Le mtrici ssocite l sistem sono:, Poiché det = -9 rng = rng =, il sistem è comptibile e mmette un unic soluione sistem determinto Clcolimo l soluione:

42 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Quindi: E - Risolvere il seguente sistem: Soluione Le mtrici ssocite l sistem sono:, Poiché det = rng

43 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI e poiché, si h che rng = Clcolimo il rngo di Poiché i due minori del tero ordine che si ottengono orlndo il minore sono entrmbi nulli, Si deduce che rng = rng = così che, per il teorem di Rouchè e Cpelli, si può ffermre che il sistem è comptibile e mmette = soluioni Le soluioni si ottengono come segue: si considerno le sole equioni i cui coefficienti formno il minore del ordine diverso d ero queste equioni sono dette equioni principli del sistem e si considerno come incognite quelle venti quei coefficienti dette incognite principli: le rimnenti equioni si trscurno, mentre le rimnenti incognite diventno prmetri vribili h,, l cui vrire forniscono le infinite soluioni del sistem Nel nostro cso, le equioni principli sono le prime due e le incognite principli sono e, per cui posto =, con R, il sistem d risolvere è: Osservto che: h h h h h h h h le soluioni sono tutte dte d: h h, h R h

44 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI E - Risolvere il seguente sistem: t Soluione Le mtrici ssocite l sistem sono:, Entrmbe le mtrici possono vere rngo mssimo ugule e poichè il minore del ordine, comune lle due mtrici e,, si deduce che rng = rng = e, quindi, per il teorem di Rouchè e Cpelli, il sistem è comptibile e mmette soluioni Clcolimo le soluioni, considerndo come equioni principli le prime due equioni e come incognite principli le prime due incognite, mentre considerimo come prmetri vribili = h e t = Si ottiene il sistem:, h h t con h e vribili in R Osservto che: ; h h h ; h h h le soluioni sono tutte dte d: R h t h h h,, E - Risolvere il sistem omogeneo t t Soluione

45 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Il sistem è comptibile e mmette lmeno l soluione bnle,,, : dobbimo stbilire se esistono ltre soluioni L mtrice incomplet è = ; l mtrice complet è = Poiché l ultim colonn di h elementi tutti nulli, segue che rng = rng e poiché esiste il minore, = il sistem mmette - = soluioni, tutte ottenute risolvendo il sistem che h come equioni principli le due equioni del sistem e come incognite principli l second e l ter incognit e : t t Posto = h e t =, si h: h h h Dunque, il sistem mmette infinite soluioni tutte dte d h, -h,,, l vrire di h e in R E Risolvere il sistem ì+ + + t = - í î+ += Soluione E un sistem, in cui il numero di equioni m = è minore del numero di incognite n = Le mtrici ssocite l sistem sono: æ = ç è ö æ, = ç ø è - + ö ø

46 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Poichè il minore del ordine estrtto d, = = - ¹ Þrng = e poichè nche l mtrice complet h rng =, per il teorem di Rouché-Cpelli, si può ffermre che il sistem è comptibile e mmette n-r = - = Clcolimo l doppi infinità di soluioni: considerimo le prime due equioni uniche, ì+ + + t = - í ; î+ += considerimo come incognite principli e t, ottenendo: ì+ t = -- - í ; î= -- + ponimo = h e =, ottenendo ì+ t = -h- - í î= -h- + clcolimo le soluioni con il metodo di Crmer: = -h- - -h- + - = h+ - - = -h- + t = -h- - -h- + - = -h- + + h++ - = h+ + - h+ + = - Tli soluioni sono infinite, tutte ottenute l vrire di h e in R E7 - Risolvere il sistem ì- = ï í+ = ï î+ = - Soluione E un sistem, in cui il numero di equioni m = è mggiore del numero di incognite n =

47 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Le mtrici ssocite l sistem sono: æ ç = ç ç è - ö æ ç, = ç ç ø è - - ö ø Poichè il minore del ordine estrtto d, = - =+ = ¹ Þ rng = e poichè, = - - = = 9 -= - ¹ Þ rng = ne segue, per il teorem di Rouchè-Cpelli, che il sistem è incomptibile essendo rng < rng B Sistemi lineri prmetrici E Discutere, l vrire di in R, l risolubilità del sistem Soluione L mtrice dei coefficienti mtrice incomplet e quell dei coefficienti e dei termini noti mtrice complet sono rispettivmente: Clcolimo il determinnte di : 7

48 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI det = ; esso si nnull solo per = Pertnto: : rng = rng = il sistem è comptibile e mmette un sol soluione, essendo r = n = Per =, si h qunto segue: rng =, poiché esiste il minore estrtto del ordine b Studimo il rngo di per = : = Orlimo il minore estrtto del ordine, con l ter rig e l qurt colonn, ottenendo il minore estrtto del tero ordine = + = rng = Poiché rng = rng =, il sistem è incomptibile per = Determinimo or, con il metodo di Krmer, l unic soluione che il sistem mmette per i vlori di Δ = ;

49 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI 9 Δ = = ; Δ = = ; Δ = Quindi,, l soluione del sistem è: E Discutere, l vrire di in R, l risolubilità del sistem Soluione Il determinnte dell mtrice dei coefficienti è: det = ; esso si nnull solo per = - Pertnto: : rng = rng = il sistem è comptibile e mmette un sol soluione, essendo r = n =

50 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Per = -, si h qunto segue: rng =, poiché esiste il minore estrtto del ordine b Studimo il rngo di = Poiché esiste il minore estrtto di ordine rng rng per = - il sistem è incomptibile Infine, pplicndo il metodo di Krmer, clcolimo l unic soluione nel cso ; ; rig ; rig Quindi,, l unic soluione è:

51 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI E Trovre per qule vlore del prmetro il sistem linere è comptibile Soluione L mtrice incomplet del sistem è = e det =, per cui si h che det Si hnno, llor, i seguenti csi: : det rng = rng = d cui segue che il sistem è comptibile e mmette un sol soluione,, ottenut con il metodo di Krmer Per =, il rngo dell mtrice incomplet è, gicché il suo minore, mentre il rngo dell mtrice complet = è gicché il suo minore del tero ordine, =, per cui risultndo rng = < rng =, per il teorem di Rouché-Cpelli, il sistem è incomptibile Osservione: il simbolo, st d indicre il minore estrtto formto dlle righe e dlle colonne : d or in poi indicheremo con tle simbologi i minori estrtti d un mtrice

52 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI E - Determinre per qule vlore di il seguente sistem è comptibile Soluione L mtrice incomplet del sistem è = =, con rng e rng, mentre l mtrice complet è Clcolimo il determinnte di : det = e osservimo che det = per = e = Si presentno i seguenti csi: ; : det rng = rng = il sistem è determinto Per =, si h det = rng = Clcolimo il rngo di per =, = Come è fcile osservre, esiste il minore, = rng = Poiché rng rng, il sistem è incomptibile Per =, det = rng = Clcolimo il rngo di per =, = Come è fcile osservre, esiste il minore, = rng = Poiché rng rng, il sistem è incomptibile

53 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Infine clcolimo l unic soluione che il sistem mmette qundo è determinto : D = det = -; D = ; D = L soluione è: E Determinre per qule vlore di R il sistem è comptibile Soluione L mtrice incomplet del sistem è = =, con rng e rng, mentre l mtrice complet è Clcolimo il rngo di, considerndo il minore estrtto, = e osservimo che, = per = Si presentno i seguenti csi: : rng = rng = il sistem è comptibile determinto, Per =, le mtrici del sistem diventno:

54 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI ogni estrtto del ordine è ero, poiché le due righe sono uguli rng ; Poiché esiste il minore estrtto di, =, ne segue che rng = rng, per cui il sistem è incomptibile Per = -, l mtrice incomplet del sistem divent: Poiché il minore estrtto di, =, si h che rng rng così che per il teorem di Rouché-Cpelli il sistem è comptibile Dunque, il sistem è comptibile, per = il sistem è incomptibile E Discutere, l vrire di in R, l risolubilità del sistem omogeneo: Soluione Sppimo che, denott con l mtrice incomplet dei soli coefficienti del sistem, esso mmette soluioni diverse d quell bnle dette uto soluioni solo se det = Pertnto clcolimo il determinnte di :

55 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI Esso si nnull per = e per = Quindi: det : il sistem omogeneo mmette come unic soluione quell bnle,, ; Per = e = mmette soluioni non bnli Clcolimo le soluioni nei due csi Per =, il sistem divent e l mtrice dei coefficienti è = Poiché esiste il minore del ordine,, il rngo di è e quindi, per il teorem di Rouché - Cpelli, il sistem mmette - = soluioni che si ottengono scegliendo come equioni principli l II e l III equione e come incognite principli l I e l II incognit del sistem, cioè e Il sistem risolvente è: Dunque, per =, le infinite soluioni sono dte d,,, R b Per =, il sistem divent e l mtrice dei coefficienti divent Poiché l mtrice h tutte le righe uguli, tutti i minori del ordine sono nulli il rngo di è e quindi, per il teorem di Rouchè-Cpelli, il sistem mmette - = soluioni

56 I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI che si ottengono scegliendo come equione principle l I e come incognit principli IIl, cioè Con tle scelt si hnno le soluioni dte d: = - +,, R E7 - Discutere, l vrire di in R, l risolubilità del sistem: E - Discutere, l vrire di in R, l risolubilità del sistem: