Nicola De Rosa, Liceo scientifico Americhe sessione ordinaria 2010, matematicamente.it. si determini quella che passa per il punto di coordinate 1

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1 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i PROBLEMA Nel pino riferio coordine cresino Oy:. si sudi l funzione f e se ne rcci il grfico.. Si deermini l mpiezz degli ngoli individui di due sinoi. Si verifichi che il prllelogrmm, vene due li consecuivi sugli sinoi e un verice su, h re cosne, menre il suo perimero mmee un vlore minimo m non un vlore mssimo.. Tr le infinie primiive di f si deermini quell che pss per il puno di coordine, Puno RISOLUZIONE Sudimo l funzione y,, ; Dominio: Inersezione sse scisse: non ve ne sono in quno R Inersezione sse ordine: nessun non ppriene l dominio; Simmerie: l funzione è dispri in quno f f ; Posiivià: + + N : R - + D : y - +

2 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Asinoi vericli: sinoo vericle; Asinoi orizzonli: lim, lim lim per cui è per cui non esisono sinoi orizzonli; Asinoi obliqui: rndosi di funzione rzionle fr con grdo del numerore pri l grdo del denominore più, l ssenz dell sinoo orizzonle implic l presenz di quello obliquo; esso h equzione y m q con m lim f lim, q lim quindi l sinoo obliquo h equzione y ; Crescenz e decrescenz: l deriv prim è f m lim lim y' il cui qudro dei segni è rppreseno lo; N : D : R mssimo minimo + +

3 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Quindi l funzione è sremene crescene in, sremene decrescene in,,, e e presen un mssimo relivo nel puno M, ed un minimo relivo in m, ; Concvià e convessià: l deriv second è y '' per cui l funzione presen concvià verso l lo in, e verso il bsso in,; non esisono flessi. Il grfico è di seguio preseno: Alernivmene vremmo pouo rovre il grfico prire dll seguene considerzione: l funzione y può essere scri come

4 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i y d cui deducimo che il grfico è un iperbole cenro,, di sinoo vericle ed sinoo obliquo y. Puno L ngolo formo dll sinoo obliquo di equzione y con l sse delle scisse è rcn per cui l mpiezz degli ngoli individui di due sinoi sono. 9 9 Puno Si consideri l figur seguene in cui si è supposo il verice B del prllelogrmm pprenene ll rco di iperole del primo qudrne:

5 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i 5 - minimo + Il verice B h coordine, B ; il verice A dovendo pprenere ll sinoo obliquo di equzione y h coordine, A ; l bse AB del prllelogrmm misur AB ; l lezz è d dll proiezione di B sull sse delle ordine e quindi srà pri h. Quindi l re del prllelogrmm srà h AB ABCO S cioè è cosne l vrire del verice B lungo l iperbole. Il perimero è invece AB OA p con OA, per cui se se AB OA p. L deriv prim del perimero è se se ' p per cui se ' ' p p

6 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i se p' p' + minimo - Come si no dl qudro dei segni, il perimero del prllelogrmm ssume vlore minimo in corrispondenz di e vle 6 p. L ssenz del mssimo è dimosr nche dl fo che lim p lim p lim p lim p Alernivmene l presenz del minimo è ssicur dl fo che l funzione perimero h l sess form dell funzione di prenz, cioè si r ncor un vol di un iperbole vene un sino coincidene con l sse delle ordine e l lro obliquo pssne per l origine; 6

7 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i 7 Puno Le primiive di y sono de dll inegrle indefinio C d d ln. L primiiv pssne per il puno (,) deve soddisfre l condizione ln C C per cui l primiiv richies è h ln.

8 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i PROBLEMA E do il fscio di cubiche di equzione y k k k, dove k è un prmero rele non nullo. Si verifichi che ue le curve del fscio hnno in comune con l sse delle y lo sesso puno C, di cui si chiedono le coordine. Si mosri che, qulunque si il vlore di k, l curv corrispondene inconr in un sol puno P k l sse delle. Si verifichi lresì che se k l sciss di P è compres fr - e.. Si disegnino l curv del fscio corrispondene k e l re ngene nel puno C. Si clcoli l re dell regione fini di pino delimi d, d e dll re di equzione Puno Ponendo nell equzione del fscio oenimo immedimene y, per cui l unico puno di inersezione con l sse delle ordine comune ue le cubiche del fscio è C,. Puno Innnziuo vluimo come si compor il fscio di cubiche gli esremi del dominio di definizione e quindi per : se k lim k k k se k se k lim k k k se k Vluimo or l deriv prim del fscio: y ' k che l vrire di k R risul essere o sempre posiiv, se k, o 8

9 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i sempre negiv se k in quno il discriminne risul essere 5k k R. Poiché l generic cubic del fscio ssume vlori discordi gli esremi del dominio ed è sremene crescene o sremene decrescene, per il eorem di unicià degli zeri esise un unico zero dell equzione k k k nell inervllo,. Considerimo il cso pricolre k ; l cubic corrispondene h equzione y ; noimo che y, y per cui l unico zero pprerrà ll inervllo,. Si ricv il vlore pprossimo ricorsivmene medine l formul f n n n n n n n n n con puno f ' n n n n n in quno f ed '' inizile f sono concordi. L bell seguene mosr ui i pssi dell lgorimo per il clcolo dell rdice meno di : n n n n e n n n n n -, -,57 -,57 -,,9 -, -,9,59 -,9 -,9,9 -,9, Il vlore pprossimo con due cifre decimli ese è quindi, 9 Puno Sudimo l funzione Dominio: R; Inersezione sse scisse: y y 9

10 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Inersezione sse ordine:, C come ricvo l Puno ; Simmerie: l funzione non è nè pri nè dispri; Posiivià: poiché R lo sudio dell posiivià si riduce llo sudio dell posiivià del fore, per cui y cioè l funzione è posiiv in, e negiv in, ; Asinoi vericli: non ve ne sono in quno il dominio è R; Asinoi orizzonli: non ve ne sono in quno lim ; Asinoi obliqui: non esisono in quno il dominio è R; Crescenz e decrescenz: come evidenzio nel Puno, essendo k l cubic è sremene crescene in uo il dominio R; Concvià e convessià: l deriv second è y '' per cui l funzione presen concvià verso l lo in, e verso il bsso in, ; l curv presen un flesso ngene obliqu in F,. 7 L re pssne per C e ngene ll cubic h equzione y. Il grfico dell cubic e l re ngene sono di seguio preseni nello sesso riferimeno cresino:

11 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i L curv e l ngene in C si inconrno in un uleriore puno: infi risolvendo l equzione per cui l uleriore inersezione è,.

12 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Puno L re d clcolre è rffigur in grigio di seguio: L re richies è pri : 5 6 S d d

13 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i QUESTIONARIO Quesio Si il grfico di y. Si rovi l equzione dell re normle nel puno,. L normle nel puno (,) è l perpendicolre ll ngene nello sesso puno. L equzione dell ngene in (,) è y m dove il coefficiene ngolre è pri l vlore dell deriv prim in ; l deriv prim è y ' per cui 6 m y'. L equzione dell normle srà quindi y. m 6 6 Quesio Si deermini il cono roondo di mssimo volume inscrio in un sfer di rggio cm Si consideri l figur lo rppresenne in sezione il cono inscrio nel cerchio. Ponimo HC con 6 ; di conseguenz HK 6 ed pplicndo il eorem di Euclide AH HC HK 6. Il volume del cono AH HC è V 6. L mssimizzzione del volume l effeuimo medine derivzione: l deriv prim del B C H K A

14 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i 6 volume è V' 6 V' V', per cui: + mssimo - 6 Dl qudro dei segni dell deriv prim, ricvimo che il volume è mssimo qundo l lezz misur e vle VMAX V 6 cm. Quesio Qule è l deriv di f f L funzione ln ln f e e ln d ln f ' e? Si giusifichi l rispos. può essere riscri come d l cui deriv è ln ln e ln.

15 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Quesio Si dimosri che l medi geomeric di due numeri posiivi non è mi superiore ll loro medi rimeic Di due numeri, y, l medi geomeric è M G y menre y l medi rimeic è M A ; dimosrimo che y M A M G, y. Dobbimo provre che y ; elevndo l qudro mbo i membri l disequzione diven y y y y y y y y e ques ulim è ver, y R. In pricolre l medi geomeric coincide con quell rimeic solo nel cso in cui y. Quesio 5 L regione R del primo qudrne delimi dl grfico di y e e dll re ln è l bse di un solido S le cui sezioni, oenue glindo S con pini perpendicolri ll sse, sono ue qudri. Si clcoli il volume di S. Le sezioni, oenue glindo S con pini perpendicolri ll sse, sono A L 9e ue qudri di re è perno ln ln e ; il volume richieso ln ln ln V A d 9e d e e e

16 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Quesio 6 Un prism bse qudr h lezz e spigolo di bse y li che y. Qule è il suo volume mssimo? Il volume di un prism è V A b h cioè il prodoo dell re di bse per l lezz. Nel cso in esme l bse è qudr e lo spigolo misur y con, di conseguenz A e b V. L mssimizzzione del volume l effeuimo medine derivzione: l deriv prim del volume è V' 6 6 9, 9 per cui: V' V' + mssimo - Dl qudro dei segni dell deriv prim, ricvimo che il volume è mssimo per e vle V. V MAX 6

17 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Quesio 7 Si disegni, nell inervllo,, il grfico dell funzione f cos Il grfico dell funzione f cos può essere ricvo seguendo i segueni pssi:. si rcci il grfico di f cos ;. si ricv dl grfico precedene, moliplicndo per le ordine, il grfico di f cos ;. si ricv dl grfico di f cos, riblndo verso le ordine posiive le pri di grfico l di soo dell sse delle scisse, quello di f cos ;. si ricv dl grfico di f cos, rslndo di un unià verso le ordine negive, quello di f cos. Di seguio vngono mosri i grfici relivi i pssi sopr descrii: 7

18 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i Quesio 8 Si consideri un prbol del fscio y e sino r e s le ree d ess ngeni rispeivmene nell origine del sisem di riferimeno Oy e nel puno T di sciss. Si P il puno di inersezione fr r e s. Si clcoli: OP lim PT L ngene ll prbol di equzione y O, h equzione y m con m y' per cui l O h equzione y. L ngene nel puno ngene in, T, h equzione y m nell origine con 8

19 Nicol De Ros, Liceo scienifico Americhe sessione ordinri, memicmene.i 9 y m ' per cui l ngene in, T h equzione y. Le coordine del puno P le ricvimo dl seguene sisem, P y y y. I segmeni OP e PT hnno perno le segueni lunghezze: PT OP Di conseguenz il limie richieso vle 9 lim 9 lim PT OP lim.