Nota. Talvolta, quando non occorre mettere in evidenza il vettore v, si può indicare una

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1 Cpiolo Le rslzioni. Richimi di eori Definizione. Si do un eore del pino. Si chim rslzione di eore (che si indic con il simolo ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni puno P ssoci il puno (P) = P le che:. PP. Figur No. Tlol, qundo non occorre meere in eidenz il eore, si può indicre un rslzione semplicemene con il simolo. Se è il eore nullo, llor l rslzione è quell che d ogni puno P del pino ssoci il puno sesso; dunque ess è l corrispondenz idenic (o idenià). Si noi che un rslzione è un corrispondenz iunioc dl pino in sé (edere lesercizio ). Si può dimosrre che un rslzione è unisomeri (edere lesercizio 4). Essendo l rslzione unisomeri, si h che ess gode di ue le proprieà geomeriche delle isomerie (edere il cpiolo ).

2 Inolre un rslzione rsform un re r in un re r d ess prllel (edere lesercizio 4). Figur Si noi che un rslzione è deermin qundo si conosce il corrispondene P di un puno P del pino. Infi, in l cso, si conosce il eore = PP che deermin l rslzione. Per sudire lre proprieà delle rslzioni, può essere coneniene riferire il pino d un sisem di coordine cresine orogonli O; in l modo, d un rslzione, è possiile rore le equzioni che permeono di oenere le coordine del puno (P) = P = (, ) rmie le coordine del puno P = (, ). Srà così possiile usre i meodi dell geomeri nliic per dimosrre le proprieà delle rslzioni. Si noi che li proprieà possono essere dimosre nche diremene per i sineic, cioè usndo i meodi dell geomeri elemenre. In pric, srà uso luno o llro meodo second dell conenienz; cioè si può scegliere il meodo più semplice con il qule dimosrre un d proprieà dell rslzione. Si d l rslzione e si: = i + j. Si P = (, ) e si il suo corrispondene P = (, ); llor si h:

3 3.. Le. sono chime le equzioni dell rslzione di eore = i + j. Le. possono essere scrie nche nell mnier seguene:.3 L mrice si chim mrice ssoci ll rslzione. Tle scriur consene l uso delle mrici nell rppresenzione delle rsformzioni del pino e permee, come edremo in seguio, di collegre lgericmene fr loro i diersi ipi di rsformzioni. Usndo le equzioni dell rslzione, si oiene il seguene imporne risulo che rigurd l composizione di due rslzioni. De due rslzioni e, l loro composizione, cioè o, è l rslzione di eore + ; in formul si h:.4 o. D queso risulo segue, essendo + = + : ;

4 4 perciò l composizione di rslzioni gode dell proprieà commui. E ene ricordrsi che, in generle, l composizione di due ppliczioni non gode dell proprieà commui. Se = (, ) e = (c, d), le corrispondeni equzioni delle rispeie rslzioni sono:,. d c Sosiuendo nelle equzioni dell second rslzione le espressioni di e, si oengono le equzioni dell composizione delle due rslzioni, cioè di :. d c Allo sesso risulo si poe giungere usndo le mrici. Si h che ll composizione di due ppliczioni corrisponde il prodoo delle relie mrici ssocie ; perciò si h: d c d c che è proprio l mrice ssoci ll rslzione. Essendo le rslzioni corrispondenze iunioche dl pino in sé, si h che esise liners di ogni rslzione. Poiché l composizione di un corrispondenz con l su iners dee dre lppliczione idenic, cioè, come imo iso, l rslzione di eore nullo, dll.4 si h: o o, d cui si oiene:

5 5. Di risuli precedeni si oiene che linsieme delle rslzioni dl pino in sé con loperzione di composizione o è un gruppo commuio. L rslzione è un pricolre isomeri. Si può dimosrre che un isomeri è rppresen d un mrice di ques form: n m con (isomeri dire) n m con (isomeri indire). Esercizi soli. Dimosrre l formul.. Si d l rslzione e si: = i + j. Si P = (, ) e si il suo corrispondene P = (, ). Dll formul.6 del cpiolo si h:. j i PP Tenuo cono dell., si oiene:, j i j i d cui, uguglindo le rispeie componeni si hnno proprio le equzioni.:

6 6.. Scriere le equzioni dell rslzione di eore = 5i - 4j. Dll formul. oenimo che le equzioni dell rslzione sono: D l rslzione di eore = 3i -j, deerminre i corrispondeni dei segueni puni: 3 O = (, ), A = (, ), B = (-, ) e C =,. L rslzione h equzioni: 3. Si h:, 3,,, 3,,, 3,, O O A A B B 3 3 C, C 3,. Quindi i corrispondeni dei puni O, A, B, C sono rispeimene i puni: 7 7 O = (3, -), A = (5, -), B = (, ) e C,.

7 7 4. Do il ringolo di erici A = (, ), B = (-, ), C = (, -), deerminre il ringolo corrispondene nell rslzione di eore = i - j. L rslzione d h equzioni:. I erici del ringolo medine l rslzione engono così rsformi: A B C, A,,, B,,, C,, Quindi l ringolo do corrisponde il ringolo di erici A = (, ), B = (, ), C = (3, -). 5. D l re r di equzione =, deerminre lequzione dell su rsform r nell rslzione di eore = i - 3j. L rslzione h equzioni: 3. I puni dell re r engono rsformi rmie l rslzione nei puni che erificno l equzione 3 3 (doe nell equzione dell re r si sono sosiuii l poso di e di rispeimene le espressioni - e + 3 ). Quindi l re r iene rsform nell re r di equzione =. 6. Nell rslzione di eore = -i, ll re r corrisponde l re r di equzione + + =. Deerminre l equzione di r e erificre per i nliic che r e r sono prllele.

8 8 L rslzione h equzioni:, d cui si h:. Un generic re r di equzione + + c = rmie l rslzione iene rsform nell re di equzione c =. Ques re coincide con r se i coefficieni delle loro equzioni sono proporzionli; perciò si h: c, d cui si oiene: c. Ponendo =, si h l seguene soluzione del sisem: c. Quindi l re r h equzione: + =. Noimo che le ree r ed r hnno enrme coefficiene ngolre, perno esse risulno prllele. 7. Il puno del pino A = (, ) iene rsformo medine un rslzione nel puno A = (5, ). Deerminre le equzioni dell rslzione. Un generic rslzione di eore = i + j h equzioni:.

9 9 Poiché il puno A = (, ) iene rsformo nel puno A = (5, ), si h che le equzioni dell rslzione deono erificre le segueni condizioni: 5, d cui si h: 5. Perno l rslzione cerc h equzioni: Il segmeno di esremi A = (, ) e B = (-, ) iene rslo in modo che il puno B si rsformo nel puno B = (, ). Quli sono le coordine del rsformo A di A rispeo de rslzione? Con un procedimeno nlogo quello dellesercizio precedene, si h che l rslzione d h equzioni: ; quindi l puno A = (, ) corrisponde il puno A = (3, -) 9. Dimosrre per i nliic che un generic rslzione rsform segmeni in segmeni che hnno l sess misur. Dll formul. si h che un generic rslzione di eore = i + j h equzioni:.

10 Sino di due puni P = (, ) e, Q ; sino P = (, ) e, Q i rispeii corrispondeni per mezzo dell rslzione. Allor si h, ricordndo l formul dell disnz fr due puni: Q P. PQ. Dimosrre che, de due rslzioni e, llor si h: o. Sino = i + j e = ci + dj. Si P = (, ) un generico puno del pino; sino (P) = P = (, ) e (P) = P = (, ). Dlle equzioni delle rslzioni e si oiene:.4,.5. d c Sosiuendo nelle equzioni.5 le espressioni di e che si hnno nelle.4, si oengono le equzioni dell composizione delle due rslzioni, cioè o :.6. d c

11 Possimo edere che le.6 rppresenno le equzioni dell rslzione di eore + ; perciò si h: o, che è quello che er d prore.. Deerminre l rslzione iners dell rslzione di eore = i + 3j. Lesercizio può essere risolo in due modi differeni. Un primo modo è suggerio dllesercizio precedene; infi lopposo del eore = i + 3j è il eore - = -i - 3j, di conseguenz l rslzione iners h equzioni: 3. Un secondo modo è quello di considerre le equzioni dell rslzione di eore : 3. Le equzioni dell rslzione iners si oengono ricndo e d quese equzioni: 3, che può essere scrio nche nell form seguene. 3.

12 Esercizi proposi. D l rslzione di eore = -i + j deerminre i rsformi dei segueni puni: O = (, ), A = (, ), B = (, -3) e C =, R. O = (-, ), A = (, 3), B = (-, -) e C =,.. Do il ringolo di erici A = (, ), B = (, ) e C = (4, -), deerminre il ringolo corrispondene ABC nell rslzione di eore = 3i + j R. A = (4, 3), B = (3, ) e C = (7, ). 3. Indiidure l rslzione che f corrispondere l puno A = (, ) il puno A = (, ). R.. 4. Do il segmeno di esremi A = (-, ) e B = (, ), deerminre le rslzioni che porno le segmeno sull sse. R. h, conh R. 5. Deerminre le coordine del puno medio M del segmeno AB, rsformo del segmeno di esremi A = (, ) e B = (, 3) nell rslzione che por A nell origine. R. M = (-, ). 6. De le ree perpendicolri r ed s di equzione rispeimene = - 3 e = - +, erificre che le ree rsforme medine l rslzione di eore = i - 3j sono ncor perpendicolri.

13 3 7. Generlizzre il risulo dell esercizio precedene, dimosrre cioè che un rslzione por ree perpendicolri in ree perpendicolri. 8. Deerminre un rslzione che por l re di equzione = nell re di equzione -6 + =. R. h 3h, conh R. 9. Deerminre l rslzione iners dell rslzione che por A = (-, 6) in A = (, 6). R... L rslzione di eore = i - j por il puno A = (, ) nel puno A = (, ). Deerminre l rslzione che por A in A. R.. Do il qudrilero di erici A = (, -), B = (, ), C = (-, ), D = (-, ), deerminre il qudrilero corrispondene nell rslzione di eore = -i - 4j. R. A = (-, -6), B = (-, -3), C = (-3, -), D = (-4, -4).. Deerminre un rslzione che por l sse sull re di equzione =. R. h, conh R.

14 4 3. Do il segmeno AB di esremi A = (, 3) e B = (, 6), definire un rslzione in modo che, dei A e B i rsformi rispeimene di A e B per mezzo di de rslzione, i puni A, B, B, A sino ordinmene i erici di un rengolo. R. 3h h, conh R. 4. Deerminre, se esisono, le equzioni dell rslzione che f corrispondere ll circonferenz di equzione 4 l circonferenz di equzione. R.. 5. Deerminre, se esisono, le equzioni dell rslzione che f corrispondere ll circonferenz di equzione l circonferenz di equzione 4 4. R. Non esise. 6. D l circonferenz di equzione 8, deerminre l equzione dell circonferenz corrispondene nell rslzione di eore = -i + j. Verificre poi che i cenri sono puni corrispondeni e che i rggi sono uguli. R Dimosrre per i sineic che un rslzione rsform ringoli in ringoli eni l sess re. 8. Dimosrre che, d un rslzione di eore non nullo, llor ogni re uni è prllel (è il iceers dellesercizio solo 8).