Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A."

Transcript

1 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo = A + B e ponendo = 2, trovimo immeditmente che A =. In modo nlogo, se moltiplichimo per + 3, ottenimo = A B e ponendo = 3, trovimo che B = 2. Quindi ( d = ) d + 3 = log log c ( + 3)2 = log + c. + 2 Esempio 3.3 Clcolimo l integrle d. Il polinomio = ( + 2) 2 h un unic rdice: 2 di molteplicità due. Se ponimo t = + 2 llor dt = d e d = + 3 t + ( + 2) d = dt 2 t ( 2 = t + ) dt = log t t 2 t + c = log c. Esempio 3.4 Clcolimo l integrle d.

2 Clcolo Integrle 89 Il polinomio h due rdici complesse coniugte: ± i 2. Il primo psso consiste nel fre un sostituzione in modo d eliminre il termine di primo grdo. In generle, per un polinomio 2 + b + c, questo si ottiene con un trslzione dell vribile nel punto medio delle soluzioni ossi ponendo t = + b. Nel nostro cso con t = + il polinomio divent t e dunque 4 4t d = t dt = 4 t t dt 5 Risolvimo il primo integrle ( ) t t dt = t 2 t d 2 = 2 t d(t2 + 2) = 2 log(t2 + 2) + c. 2 t dt L ssenz del termine di primo grdo nel polinomio l denomintore ci permette di determinre subito il secondo integrle t dt = ( ) t rctn + c. 2 2 Quindi, riunendo i risultti e tornndo ll vribile d = 2 log( ) 5 ( ) + rctn + c 2 2 Se il polinomio l denomintore Q() h grdo mggiore di 2 llor bisogn determinrne un fttorizzzione complet (rele) ossi scriverlo come prodotto di fttori di primo grdo e fttori di secondo grdo irriducibili (con < ) e quindi si costruisce l decomposizione dell funzione rzionle P()/Q() come combinzioni lineri di frzioni più semplici: () d ogni fttore ( ) n si ssocino le n frzioni semplici, ( ) 2,, ( ) ; n (2) d ogni fttore irriducibile ( 2 + b + c) m si ssocino le 2m frzioni semplici 2 + b + c, ( 2 + b + c) 2,, ( 2 + b + c) m, 2 + b + c, ( 2 + b + c) 2,, ( 2 + b + c) m.

3 9 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 3.5 Clcolimo l integrle d. L fttorizzzione complet del polinomio l denomintore è = 2 ( 2 + ) Al fttore 2 si ssocino le frzioni semplici e 2 mentre l fttore irriducibile 2 + si ssocino le frzioni semplici Quindi l decomposizione è 2 + e ( 2 + ) = A + B + C D 2 + dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli e dunque 2 ( 2 + ) = (A + C)3 + (B + D) 2 + A + B 2 ( 2 + ) A + C = B + D = A = B = d cui ricvimo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( 2 ( 2 + ) d = ) d 2 + = log + 2 log(2 + ) + rctn + c = log rctn + c 4. L integrle definito Or che bbimo un po di prtic con l ricerc delle primitive clcolimo qulche integrle definito ricordndo il teorem fondmentle.

4 Clcolo Integrle 9 Esempio 4. Clcolimo l integrle definito + 2 d. Prim determinimo un primitiv dell funzione d integrre ( ) + d = d 2 2 = 2 + 2d( + 2 ) = 2 log( + 2 ) + c. Quindi vlutimo + d = [ log( + 2 ) ] 2 2 = log 2 2. Esempio 4.2 Clcolimo l integrle definito e /e log d. In questo cso il clcolo procede integrndo prim / e log e /e d = log d(log ) = [ log 2 ] e /e 2 = ( )2 =. /e 2 L presenz degli estremi di integrzione permette di individure un ltr interessnte proprietà: l intervllo di integrzione può essere suddiviso. Additività rispetto ll intervllo di integrzione Se f è integrbile in [, b] e c b llor b f() d = c f() d + b c f() d. Si noti inoltre che se si invertono gli estremi di integrzione llor l integrle cmbi di segno b f() d = b f() d.

5 92 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 4.3 Clcolimo l integrle definito 3 2 d. Conviene decomporre l intervllo di integrzione inserendo un punto di suddivisione in dove l funzione 2 cmbi segno. In questo modo possimo sbrzzrci del vlore ssoluto: 3 3 ] [ ] 2 d = ( 2 ) d + ( 2 ) d = [ = Esempio 4.4 Clcolimo l integrle definito Prim pplichimo l linerità: (2 + ) rctnd = 2 (2 + ) rctnd. rctn d + rctnd. Or osservimo che l funzione rctn è dispri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico rispetto ll origine [, ] vle zero: rctn d =. Inoltre, l funzione rctn è pri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico [, ] vle il doppio di quello su [, ]: rctn d = 2 Allor l integrle d clcolre divent (2 + ) rctnd = 4 Proseguimo il clcolo integrndo per prti ( ) 2 4 rctnd = 4 rctn d 2 [ ] 2 = 4 2 rctn 4 = π 2 2 rctn d. 2 rctn d d = π 2 2 = π 2 2[ rctn ] = π 2. 2 d (rctn) ( ) + 2 d

6 Clcolo Integrle L integrle improprio Nell sezione precedente bbimo visto qulche clcolo di integrle definito. Le funzioni d integrre erno continue su tutto l intervllo limitto [, b]. Or provimo d mplire l definizione di integrle nche l cso in cui l funzione si continu solo su [, b): b f() d = lim t b t Se l intervllo non è limitto ossi b = + si pone + f() d = lim t + t f() d. f() d. Se il limite esiste finito llor l integrle improprio si dice convergente e l funzione si dice integrbile su [, b). Il cso in cui l funzione si continu solo su (, b] è ssolutmente nlogo: b f() d = lim t + Esempio 5. Considerimo l funzione b t f() d. f() = per R \ {}. Sppimo già che d = log + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + Inoltre l integrle improprio su (, ) vle d = [log ]+ = +. d = [ log ] + = +. In entrmbi i csi gli integrli impropri non sono convergenti. Esempio 5.2 Considerimo l funzione f() = α per R \ {}

7 94 Roberto Turso - Anlisi 2 con α > e diverso d. Abbimo visto che α d = α α + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + [ α d = α α ] + = { α se α > + se α < Quindi l integrle su (, + ) è convergente se e solo se α >. Inoltre l integrle improprio su (, ) vle [ ] α { d = se α < α α α + se α > + = Quindi l integrle su (, ) è convergente se e solo se α <. f() = α Esempio 5.3 Clcolimo l integrle + per β R. (log ) β Allor (log ) d = β L integrle improprio su (e, + ) vle + e e d(log ) = (log ) β (log ) β d = Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. (log ) β + c se β β log log + c se β = { β se β > + se β

8 Clcolo Integrle 95 Esempio 5.4 Clcolimo l integrle /e d per β R. log β Se cmbimo vribile ponendo y = / possimo ricondurre questo integrle improprio l precedente: e + y log /y β ( dy ) + = y 2 e Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. Esempio 5.5 Clcolimo l integrle improprio + e 3 (log 2 4) d { y(log y) dy = se β > β β + se β L funzione dt è continu in [e 3, + ). Per clcolre il vlore dell integrle improprio dobbimo prim determinre un primitiv. Per > (log 2 4) d = log 2 d(log ) = 4 t 2 4 dt. dopo ver posto t = log. Decomponimo l funzione rzionle t 2 4 = (t + 2)(t 2) = 4 t 2 4 Or possimo completre il clcolo dell primitiv (log 2 4) d = 4 t 2 dt 4 t + 2. t + 2 dt = 4 log t 2 log t c 4 = 4 log log 2 log c. Or bst vlutre l primitiv gli estremi di integrzione [ ] 4 log log 2 + log + 2 = 4 log = log 5 4. e 3 6. Criteri di convergenz per integrli impropri In molti csi è possibile dire se un integrle improprio converge o meno senz ffrontre il problem dell fticos determinzione di un primitiv. Esistono inftti dei criteri di convergenz del tutto simili quelli già studiti per le serie (nche gli integrli sono delle somme infinite ).

9 96 Roberto Turso - Anlisi 2 Criterio del confronto Sino f e g due funzioni continue tli che Allor () Se (2) Se b b f() g() per [, b). g() d converge llor nche f() d = + llor nche Esempio 6. Provimo che l integrle improprio + e 2 d b b f() d converge. g() d = +. è convergente. In questo cso l determinzione di un primitiv dell funzione positiv e 2 srebbe ddirittur proibitiv (si dimostr inftti che esiste un primitiv, m che quest non è esprimibile come composizione di funzioni elementri!). Il ftto che l funzione tend zero molto velocemente per + ci suggerisce però di pplicre il punto () del criterio del confronto. Si trtt llor di individure un funzione che mggiori quell dt e il cui integrle improprio si convergente. L funzione e h proprio quest proprietà: e 2 e per e + e d = [ e ] + = e. Quindi l integrle dto è convergente e + e 2 d + e d = e Esempio 6.2 Il criterio del confronto può essere nche utile per determinre se un cert serie converge o meno. Ad esempio vedimo come con quest tecnic possimo provre che l serie + /n diverge. Dto che l funzione / è decrescente per > bbimo che n per [n, n + ]

10 Clcolo Integrle 97 e quindi integrndo su questo intervllo ottenimo che n+ n = n+ n n d n d. Infine sommimo fcendo vrire l indice n d infinito n= + n n= n+ n + d = d = +. Criterio del confronto sintotico Sino f e g due funzioni continue positive [, b) tli che f() lim b g() = L. Se < L < + ossi f Lg per b. Allor b f() d converge se e solo se b g() d converge. Per l ppliczione del criterio del confronto sintotico bbimo bisogno di un repertorio di integrli impropri di cui conoscimo le proprietà di convergenz. Qui rissumimo i risultti di cui vremo bisogno e che in prte sono già stti dimostrti negli esempi precedenti. () Se < b llor Integrli impropri principli b { converge se α < ( ) = α + se α (2) Se > llor + { converge se α > oppure se α = e β > α (log ) = β + se α < oppure se α = e β (3) Se < b < llor b α log β = { converge se α < oppure se α = e β > + se α > oppure se α = e β

11 98 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 6.3 Determinimo per quli vlori di R l funzione ( ) e 5 e + (log( + )) 2 è integrbile sull intervllo (, + ). L funzione dt è continu sull intervllo (, + ) e quindi dobbimo fre un nlisi sintotic si per + che per +. Comincimo con + ( e e + ) 5 ( ) 5 (log( + )) 2 2 () = Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 3 < ossi se < 4. Vedimo cos succede per + ( ) e 5 e + (log( + )) 2 (log ) 2. Dunque l funzione è integrbile verso + se α = (l esponente del logritmo è 2 > ). Unendo le due condizioni bbimo che < 4. Esempio 6.4 Determinimo per quli vlori di R l funzione cos 3 (sin ) è integrbile sull intervllo (, π). Per determinre l convergenz bst fre un nlisi sintotic gli estremi dell intervllo di integrzione. Per + cos 3 (sin ) 2 /2 /3 2 +/3 2 = 2 5/3. Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 5/3 < ossi se < 8/3. Invece, per π cos 3 (sin ) = cos 3 2 (sin(π )) 3 π (π ). Dunque l funzione è integrbile vicino π se α = <. Unendo le due condizioni bbimo che <.

12 Clcolo Integrle 99 Concludimo con un cenno l problem dell integrbilità impropri per un funzione di segno non costnte. In questo cso inftti i criteri precedenti non sono pplicbili. Vle però il seguente risultto (nlogo quello per le serie). Criterio dell convergenz ssolut Se b f() d converge llor nche b f() d converge. Esempio 6.5 Provimo che l integrle improprio converge. Per > + sin 2 d sin 2, 2 inoltre / 2 è integrbile in [, + ) e quindi per il criterio del confronto nche l funzione (positiv) sin / 2 è integrbile in [, + ). Quindi l integrle improprio converge per il criterio dell convergenz ssolut. Si osservi che nche l integrle improprio + sin d converge, nche se il rgionmento precedente non è pplicbile perchè l funzione / non è integrbile in [, + ). f() = sin L convergenz si può invece spiegre osservndo il grfico dell funzione: si trtt di oscillzioni modulte dlle funzioni ±/. L integrle improprio d clcolre è l serie i cui termini corrispondono lle ree delle singole gobbe. Tli ree hnno segno lterno (perché stnno lterntivmente sopr e sotto l sse ) e decrescono in vlore ssoluto zero (quest ffermzione ndrebbe dimostrt!). Quindi l serie (e nche l integrle) converge per il criterio di Leibniz.

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 7/8 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

INTEGRALE INDEFINITO. Saper calcolare l integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi

INTEGRALE INDEFINITO. Saper calcolare l integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi INTEGRLE INDEFINITO OIETTIVI MINIMI: Sper definire l integrle indefinito di un funzione. onoscere le proprietà dell integrle indefinito. Sper clcolre l integrle indefinito di un funzione utilizzndo i diversi

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI ESERCIZI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI cur di Michele Scgli RICHIAMI TEORICI INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI L integrle CONVERGE dx, < DIVERGE per

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

II-8 Integrale di Riemann

II-8 Integrale di Riemann II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

Metodi di integrazione

Metodi di integrazione CAPITOLO 6 Metodi di integrzione. Introduzione Tnto per comincire, ricordimo i ftti principli che bbimo visto sugli integrli indefiniti: dt un funzione f, un funzione F è un primitiv di f o un integrle

Dettagli

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale.

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale. Cpitolo 1 Integrle di Riemnn In questo cpitolo svilupperemo l teori dell integrzione secondo Riemnn per funzioni di un vribile rele. 1.1 Motivzioni Considerimo i seguenti problemi. 1. Clcolo di un re.

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ; CAPITOLO ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI Teori in sintesi Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z. + Sono definite:

Dettagli

Zoologia dell integrazione

Zoologia dell integrazione CAPITOLO 8 Zoologi dell integrzione. A mo di introduzione Tnto per comincire, cerchimo di ricordre i ftti principli che bbimo visto sugli integrli indefiniti: dt un funzione f, un funzione F è un primitiv

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione

Anno 2. Potenze di un radicale e razionalizzazione Anno Potenze di un rdicle e rzionlizzzione Introduzione In quest lezione impreri utilizzre le ultime due tipologie di operzioni sui rdicli, cioè l potenz di un rdicle e l rdice di un rdicle. Successivmente

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p./33 INTEGRAZIONE NUMERICA

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite:

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune

Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

Il calcolo integrale

Il calcolo integrale CAPITOLO 4 Il clcolo integrle Il problem che ffrontimo in questo cpitolo è il clcolo di ree di lcune regioni del pino. Inizimo il cpitolo spiegndo quli regioni pine simo interessti. Questi rgomenti sono

Dettagli

Analisi matematica. Materiale didattico

Analisi matematica. Materiale didattico Anlisi mtemtic. Mterile didttico Lure triennle F.A.I. Rimini 7 ottobre 23 Indice Linguggio, funzioni elementri 2. Il linguggio degli insiemi.................................... 2.2 Numeri reli, vlore ssoluto,

Dettagli

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n. Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie

Dettagli

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.

{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a. Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

22. Calcolo integrale: esercizi

22. Calcolo integrale: esercizi . Clcolo integrle: esercizi Esercizio.6. Clcolre. 3. (x 5x + 3x + ),. ( 3 x + x x5), 4. ( 4 + x x4 + 5e x ), ( 3 x 5 cos(5x) + ). x 5 R. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2 APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile

Dettagli

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1)

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1) Registro delle lezioni del corso di Anlisi Mtemtic 2 Università di Firenze - Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure in Ingegneri Meccnic M Z.. 20/202 - Prof. M.Ptrizi Per Prim prte (Argomenti di Anlisi Mtemtic

Dettagli

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie

Dettagli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di

Dettagli

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo Anlisi Mtemtic: Clcolo Integrle Frncesco Russo 2 settembre 200 2 Indice Integrli indefiniti 5. Primitive ed integrli indefiniti................. 5.2 Formule di integrzione..................... 6 2 Integrle

Dettagli