Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

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1 Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli. Dt un funzione f definit in un intervllo [,] nel qule e' continu si consideri l'rco AB del suo grfico i cui estremi A e B hnno per scisse e e quindi per ordinte f() e f(). y o A f() h B f() f() 1

2 Are del trpezoide: somm integrle y f k / B f() A f() f() o h k Si divid l'intervllo [,] in n sottointervlli, k in modo tle che n k =1 k =h= e per ogni k prendimo il punto medio k / = k e considerimo il vlore dell funzione f k. Disegnmo il rettngolo di se k e ltezz f k. Considerimo l somm integrle: n f 1 1 f f f n n = k=1 f k k

3 Are del trpezoide: somm integrle y B f() A f() f() o h n L somm integrle k =1 f k k e' un pprossimzione dell're del trpezoide. Qunto piu' piccoli prendimo k, cioe' qunto piu' grnde e' n tnto meglio l somm integrle pprossim l're del trpezoide. L're del trpezoide rppresent l're sottes dll funzione f. 3

4 Integrle Definito Si definisce re del trpezoide S il limite dell somm integrle riferit ll'intervllo [.] lim n n k =1 f k k =S Il limite S di somme integrli in [,] puo' essere definito nche indipendentemente dl suo significto geometrico e prescindendo nche d ogni rppresentzione crtesin dell funzione inteso nel senso piu' mpio, il limite di qulunque somm integrle trtt d divisioni infinitesimli dell'intervllo [,], si suole indicre col simolo: f d chimto integrle definito dell funzione f tr e Si definisce integrle definito di un funzione f in un itervllo [,], il limite, se esiste, di un somm integrle trtt d qulunque divisione infinitesimle dell'intervllo stesso. 4

5 Definizione di Funzione Primitiv Dt un funzione f si definisce primitiv generle un delle infinite funzioni che differiscono per un costnte C rritri e che d hnno tutte per derivt f : F = f d d Inftti. prende il nome di funzione integrnd. d F C = f f Teorem fondmentle Integrle Definito Il clcolo dell'integrle definito, nche nei csi piu' semplici, medinte il pssggio l limite per n dell somm integrle e' molto lorioso. Tle clcolo divent molto piu' semplice se si conosce un primitiv F dell funzione integrnd f grzie l teorem di Torricelli: L'integrle definito in un intervllo [,] di un funzione continu f in tle intervllo e' ugule ll differenz tr i vlori che un primitiv dell funzione f ssume rispettivmente nell'estremo superiore e nell'estremo inferiore : f d=f F 5

6 1) Se > si h Propriet' dell'integrle Definito f d= f d ) Se,,c sono 3 punti qulunque di un intervllo nel qule l funzione f e' continu si h c f d= f d f d c 3) un costnte k, che si fttore di f puo' essere mess in evidenz fuori del segno di integrle: kf d=k f d 4) Se l funzione integrnd e' l somm lgeric di due o piu' funzioni, l'integrle e' ugule ll somm lgeric dei singoli integrli definiti: [ f g ]d= f d g d 6

7 Integrle indefinito L funzione F e' un delle infinite primitive F C dell funzione f che differiscono l'un dll'ltr per un costnte. F C costituiscono un primitiv piu' generle dell f e viene chimt integrle indefinito f d=f C Per l'integrle indefinito vlgono le propriet' ), 3) e 4) dell'integrle definito. 7

8 Clcolo di lcuni Integrli Indefiniti 1) Polinomio Esempi: n d= 1 n 1 n 1 C d= C d= 1 C d= C ) ) c) d) 1 d= d= C= 1 C 1 e) d= C= 3 C 3 1 d= 1 1 f) 1 1 C= C g) 1 d=ln C 8

9 Clcolo di lcuni Integrli Indefiniti ) e d=e C 3) sin d= cos C cos d=sin C 4) 1 cos d= 1 tn d=tn C Verific: Ogni volt che clcolte un integrle verificte il risultto: l derivt dell funzione ottenut deve dre l funzione integrnd. 9

10 Metodi di integrzione: Integrzione per Prti Il metodo di integrzione per prti si fond sull regol del clcolo dell derivt del prodotto di due funzioni. Tle metodo si pplic nei csi in cui l'espressione che figur sotto il segno << >> h l form f g ' d ossi l form di prodotto di un fttore f che viene chimto fttore finito, per un fttore g ' d chimto fttore differenzile tle d mmettere integrle immedito. In questo cso si pplic il procedimento indicto dll'equzione: f g ' d= f g g f ' d Che si puo' esprimere dicendo: l'integrle del prodotto di un fttore finito per un fttore differenzile e' ugule l prodotto del fttore finito per l'integrle del fttore differenzile, diminuito dell'integrle di questo integrle moltiplicto per il differenzile del fttore finito. 10

11 Esempio di Integrle per Prti sin d Per prti si puo' scrivere: sin d=sin sin d Fttore finito: f =sin Fttore differenzile: g ' =sin d=d cos quindi sin d=sin sin d=sin cos cos cos d= = sin cos cos d= sin cos 1 sin d= = sin cos d sin d= sin cos sin d sin d= sin cos sin d d cui sin d= sin cos sin d= 1 sin cos 11

12 Metodi di integrzione: Integrzione per Sostituzione Il metodo di integrzione per sostituzione utilizz l sostituzione di e d in un integrle con l funzione z= dz= ' d Esempio 1 d= 1 1 d 1 d= 1 1 d= 1 1 z dz= 1 Ponimo z= 1 ln z C dz=d Risostituimo z= 1 1 d= 1 ln 1 C 1

13 Esercizi Integrli indefiniti d d 1 d 3 d 4 3 d 1 d Integrli definiti 3 d d 1 / 4 /6 1 sin d 4 4 d e d 13

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