Stima ai minimi quadrati e cinematica inversa controllo del peso delle articolazioni

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Serafina Negri
4 anni fa
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1 Sima ai minimi quadrai e inemaia inversa nr de pes dee ariazini Prf. Aber Brghese N.B.: I diri di sariare ques fie è riserva samene agi sudeni regarmene isrii a rs di Animazine Digiae. A.A Smmari Cinemaia inversa Sisemi ineari n m equazini e n ingnie m > n sisemi sdeerminai. Suzine ai minimi quadrai. Priviegi di gradi di iberà di nr. Anaisi dea suzine ai minimi quadrai. A.A. -5 3

2 A.A Cinemaia inversa Cnsideriam a rasfrmazine end_pin -> jin. La rasfrmazine jin -> end_pin è: P = f,, Τ x, Τ y,. ink O x e y e z e P x y x y P P e A = e ABS_ABS sin sin s s T T y x s s s sin sin sin JW,L = Z X Y A.A Esempi m =, n = end effer ink r O b = d dp d dp y x e e Suppniam: = = 5 T x = T y = x = x d dt d dt d d d d y x x JW,L = x = J T *J - * J T * b J T *J = s 5 s 5 s s s sin sin sin JW,L = s 5

3 Suzine m=, n= ink J T *J = dej T *J = Oend effer? s 5 x = J T *J - * J T * b x = V W - U J T b s 5 r W - è siuia ad esempi sì: Gi zeri rrispndn ai vari singari nui A.A w w Rank-defiieny nea marie dei effiieni x = A *A - A * b x = V W - U A b Se A è rank-defiien, A *A è singare. Si può faimene sservare vauand i vare singare più pi dea marie W. In ques as i prbema è svraparamerizza. A.A

4 J T *J = Suzine m=, n= s 5 x = V W - U b Suppniam: = = 5 T x = T y = Oend effer = = dp e x = dpe y = s 5 dej T *J = ink J T *J W,L = 7 r A.A Suzine m=, n= >>[U W V] = svdjj U = dej T *J = Oend effer W = V = r A.A J T *J = x = V W - U b ink 7 Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y =

5 J T *J = x = V W - U J b ink Oend effer Suzine m=, n= 7 Wd =.55 Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y =.68 >>x = V * Wd * U' * J' * bb x = Nrma in pari a dej T *J = NB: Maab frnise già V s frma di raspsa r A.A Verifia Suzine J= s 5 Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y = x = V W - U J b Oend effer J *x = dp ink s = [ ].5.8 T r A.A

6 Prprieà dea Suzine Prprieà: suzine a nrma minima ink Are pssibii suzini si prebber enere, ma aumenan a nrma dea suzine Oend effer Quae ara suzine sarebbe pssibie? Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y = r A.A Smmari Cinemaia inversa Sisemi ineari n m equazini e n ingnie m > n sisemi sdeerminai. Suzine ai minimi quadrai. Priviegi di gradi di iberà di nr. Anaisi dea suzine ai minimi quadrai. A.A

7 Cme favrire un jin dp = J dθ min dp J dθ dθ a nrma minima Cme mdifiare dθ senza he equazine sia aeraa? Suppniam di vere favrire aune suzini Minimizziam a nrma dea suzine in md espii pesand ampiezza dee mpneni dea suzine. I prbema si rasfrma in un prbema di regarizzazine: min J dθ dp λ C dθ CdΘ penaizza ampie variazini di rienamen b Ad esempi CdΘ = k ϑ k ϑk, espnene b pari k A.A Sviupp dea regarizzazine min J dθdp λ CdΘ CdΘ penaizza ampie variazini di rienamen b Ad esempi CdΘ = k k ϑk ϑk b pari J T J dθ dp λ CdΘδθ = Ne as di funzine quadraia, i risua è reaivamene sempie J T J dθ dv λ CΘ = P marie dei pesi Da ui risua: J T J dθ dp λ CΘ = J T J dθ dp λ CΘ = Θ = J T J λ C - J T dp A.A

8 8 A.A Suzine regarizzaa m=, n= end effer ink r O s 5 s 5 J T *J = dej T *J = x = V W - U b Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y = λ = 3 7 J T *J W,L C = dej T *JC A.A Esempi regarizzazine end effer ink r O dej T *JC x = V W - U b Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y = 3 7 J T *JC = Suppniam: = = ; 3 = = >>de =.3539e >>inversa = >>x = >>dp =.536.

9 p J T *JC = x = V W - U b ink Esempi regarizzazine - II 7 p Oend effer p 3 p Suppniam: = = 5 T x = T y = = = dp e x = dpe y = dej T *JC Suppniam: = = ; 3 = =. >>de =.99 >>inversa = >>x r >>dp =.99. A.A Smmari Cinemaia inversa Sisemi ineari n m equazini e n ingnie m > n sisemi sdeerminai. Suzine ai minimi quadrai. Priviegi di gradi di iberà di nr. Anaisi dea suzine ai minimi quadrai. A.A

10 Vauazine dea bnà dea sima x = A *A - A * b Definis residu a quanià [v]: v = Ax b Errre di misura Gaussian a media nua e,σ <v xk > = <v xy > = M k σˆ = v k= A.A Vauazine dea bnà dea sima de sing paramer e dea r rreazine M x = A *A - A * b σˆ = vx k x = C A * b k= C è hiamaa anhe marie di varianza. Chiamiam u e v e variabii asuai assiae a errre sui parameri e a errre di rer-priezine, rispeivamene. Si suppne errre a media nua e Gaussianamene disribui. x u = C A * b v u = C A * v A.A. -5 7

11 Impsazine de a dea rreazine ra i parameri u = C A v Vgiam individuare a rreazine ra due parameri r ed s. Dev quindi deerminare i vare aes di u r * u s. u uu... uw u u u u u... W u u u u u u... W W W u = C A v => u = v A C uu = C A vv A C => Appiand perare di media, si iene: <uu > = C A <vv >A C Da he v sn i residui, e sn indipendeni, e ue i puni di nr hann sess ip di errre di misura, si avrà he <vv >= Iσ. A.A Ca dea rreazine ra i parameri <uu > = C A IA C σ =C σ Da ui si giusifia i nme di marie di varianza per C. Segue he: σ u ij = ij σ Varianza sua sima de paramer. Esempi di rreazine eevaa: f <-> Z, Z x, y <-> X, Y, X, Y < uiu j > ij rij = = < ui > < u > i j j Indie di rreazine ra i paramer i ed i paramer j empiriamene si saran parameri quand a rreazine è superire a 95% A.A. -5 Vann rapprai ae dimensini dei parameri invi. 7

12 Sima a massima versimigianza Bayesiana A x = b v rumre e.g. errre di misura Terema di Bayes Px b Px Pb x E dea anhe Maximum A-pseriri Prbabiiy Esimain MAP Prbabiià di enere i parameri x dae e sservazini b prbabiià a-pseriri Prbabiià dea suzine x, a-priri Prbabiià ndizinaa di enere sservazine b, da x A.A Sima a massima versimigianza Bayesiana, rumre Gaussian A x = b v rumre e.g. errre di misura Gaussian Px b Px Pb x Px e T T x Σ Σx x è disribui me una Gaussiana n varianza Σ Pb x e bax σ Rappresena un mde de errre, he è supps Gaussian a media nua, n varianza σ. Px b Px Pb x = e T T x Σ Σx bax σ A.A. -5 7

13 Sima a massima versimigianza Bayesiana, rumre Gaussian A x = b v rumre e.g. errre di misura Gaussian Px b Px Pb x = e T T x Σ Σx bax σ T T x Σ Σx Px e = I e σ a Suppniam di nsere a disribuzine a priri dea suzine: Gaussiana n varianza σ. Px b Px Pb x = e I bax σ a σ s max Px b = min b Ax Sima ai minimi quadrai A.A Sima a massima versimigianza Bayesiana, rumre Gaussian, a-priri generae A x = b v Px b Px Pb x = e rumre e.g. errre di misura Gaussian T T x Σ Σx bax σ Px x'p'p x e Px b Px Pb x = e Suppniam di nsere a disribuzine a priri dea suzine e he sia generia ma rappresenabie n un perare ineare, P. T T x P Px bax σ s max Px b = min [b Ax λ Px ] Regarizzazine A.A

14 Smmari Cinemaia inversa Sisemi ineari n m equazini e n ingnie m > n sisemi sdeerminai. Suzine ai minimi quadrai. Priviegi di gradi di iberà di nr. Anaisi dea suzine ai minimi quadrai. A.A

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