Cap. 6 Proprietà Strutturali dei Modelli LTI

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Floriana Valli
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1 Cap. 6 Prprieà Sruurali dei Mdelli LI Nell ambi dell sudi dei mdelli LI, sn di nevle ineresse praic i segueni re prblemi. 1) Si cnsideri il sisema LI nell sa iniziale x 0 all isane iniziale 0 = 0. Si desidera raserire il sisema in un generic sa x in un inervall di emp ini, mediane l applicazine di un pprun segnale d ingress u. [ 0, ] 2) Sia da un sisema LI che evlva a parire da un sa iniziale x 0 nn n. Si desidera deerminare l sa iniziale x 0 a parire dalla cnscenza dei dai sperimenali relaivi alla cppia ingress-uscia ( u, y ), acquisii durane il unzinamen [ 0, ] [ 0, ] del sisema reale nell inervall [ 0, ]. 3) Si desidera sabilire le cndizini che devn essere sddisae ainché un sisema LI pssa essere descri in maniera cmplea mediane la marice delle rispse impulsive la marice di raserimen. I re prblemi enunciai rvan sluzine nell ambi dell sudi delle prprieà sruurali di raggiungibilià, di inerazine ra ingress e sa, e di sservabilià, di inerazine ra sa e uscia. In pariclare, il prblema 1) ammee sluzine se il mdell sddisa la prprieà di raggiungibilià, il prblema 2) ammee sluzine se il mdell sddisa la prprieà di cmpleamene sservabile e il prblema 3) ammee sluzine se il mdell sddisa le prprieà di cnrllabilià e sservabilià. 6.1 Prprieà di raggiungibilià Sia da un mdell LI descri dalle equazini: x ( ) = Ax( ) + Bu( ), (6.1.1) y( ) = Cx( ) + Du ( ), (6.1.2) dve: n p q x( ) C, u( ) R, y ( ) R, e le marici A, B, C e D hann dimensini: A : n n, B : n p, C : q n, D : q p. Deinizine n Un sa x C si dice raggiungibile (dall sa zer) se esisn un isane di emp ini e un segmen di ingress u [0, ],in grad di raserire il sisema dall sa zer all isane zer nell sa x all isane. In simbli, si ha: x( ) = ϕ(,0, 0, u ) = x. (6.1.3) [0, ]

2 L insieme degli sai raggiungibili dall sa zer, X r, è un sspazi lineare dell spazi di sa. L insieme degli sai nn raggiungibili, X X r, nn è un sspazi dell spazi di sa piché nn cniene l elemen null, ssia l sa zer. Però, per deinizine, si assume cme insieme degli sai nn raggiungibili il cmplemen rgnale del sspazi X r, ciè X r che cniene l sa zer. Deinizine Il sisema (6.1.1)-(6.1.2) si dice raggiungibile se ui i sui sai sn raggiungibili. Le cndizini per la raggiungibilià del sisema sn espresse dal seguene erema. erema Il sisema (6.1.1)-(6.1.2) è raggiungibile se e sl se le righe della marice linearmene indipendeni in un inervall arbirari [0, ]. e A B sn Prva Suicienza Si ammea che le righe di e A B sian linearmene indipendeni [0, ]. In ali cndizini, esise un ingress u [0, ] che raserisce il sisema dall sa zer all isane zer nell sa x all isane. In simbli, si ha: Inai, pnend: A( τ ) x = e Bu( τ ) dτ. (6.1.4) 0 e Aτ u( τ ) = ( B) k, (6.1.5) dve k è un vere n 1 ad elemeni csani. Ssiuend l ingress (6.1.5) nella (6.1.4), si ha: A Aτ A Aτ A τ x = e e Bu( τ ) dτ = e e BB e kdτ, 0 0 da cui, premliplicand amb i membri per e A, si iene: A Aτ A τ e x = e e d BB τ 0 k. (6.1.6) Se le righe della marice e A B sn linearmene indipendeni, l inegrale enr parenesi quadra risula inveribile. Inai, se l inegrale in quesine sse singlare esiserebbe un vere γ 0, n 1, ale che: 0 Aτ A τ e BB e dτ γ = 0. (6.1.7)

3 Premliplicand per γ, a parire dalla (6.1.7) si iene: Ne cnsegue che Aτ Aτ Aτ ( γ e B)( γ e B) dτ = γ e B dτ = 0. (6.1.8) 0 0 γ e A τ B = 0 τ [0, ) e, quindi, le righe della marice 2 e A B sn linearmene dipendeni nell inervall [0, ). Ciò cnrasa cn l ipesi assuna. Dalla (6.1.6), avend dimsra l inveribilià del ermine enr parenesi quadra, si iene: 1 Aτ A τ = e e d A k e BB τ 0 x. (6.1.9) Necessià Si dimsra per assurd ammeend che il sisema sia raggiungibile e che le righe della marice e A B sian linearmene dipendeni. Se le righe di ale che: e A B sn linearmene dipendeni [0, ], esise un n-vere γ 0 γ e A B = 0, [0, ]. (6.1.10) ale vere nn può essere raggiun dall sa zer. Inai, se esisesse un vere di ingress in grad di raserire il sisema dall sa zer all isane zer all sa γ all isane, risulerebbe: A( τ ) γ = e Bu( τ ) dτ = e Bu( ξ ) dξ. (6.1.11) 0 0 Premliplicand amb i membri per γ, la (6.1.11),enu cn della (6.1.10), diviene: Aξ 2 γ γ = γ = ( γ e A B) u( ξ ) dξ = 0, [0, ]. (6.1.12) 0 ξ Ovviamene, la (6.1.12) implica γ = 0. Piché le cndizini espresse dal precedene erema sn diicili da veriicare, risula uile rnire il seguene Crieri di Raggiungibilià, che si rnisce senza dimsrazine. Crieri di Raggiungibilià Un sisema LI è raggiungibile se e sl se la marice di raggiungibilià Q n np daa da: r ha rang pari a n. n 1 Q r = B AB A B, (6.1.13)

4 Asserzine La prprieà di raggiungibilià è invariane rispe a una rasrmazine di crdinae nell spazi di sa. Prva Al ine di veriicare la prprieà di raggiungibilià di un sisema descri dalle (6.1.1) e (6.1.2), ccrre e basa uilizzare il crieri di raggiungibilià Eeuand la rasrmazine di crdinae x = x ˆ, le (6.1.1) e (6.1.2) divenan: xˆ ( ) = Ax ˆ ˆ( ) + Bu ˆ ( ), (6.1.14) y( ) = Cx ˆ ˆ( ) + Du ( ), (6.1.15) dve: ˆ 1 ˆ 1 A = A, B = B, Cˆ = C. Per il sisema (6.1.14)-(6.1.15) la marice di raggiungibilià risula: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n 1 ˆ n 1 1 ˆ r = = = r Q B AB A B B AB A B Q. (6.1.16) La (6.1.16) msra che rang( Qˆ ) = rang( Q ) e, quindi, vale l Asser. r r 6.2 Prprieà di cnrllabilià n Deinizine Un sa x C si dice cnrllabile (all sa zer) se esisn un isane di emp ini e un segmen di ingress u [0, ],in grad di raserire il sisema dall sa zer x all isane zer nell sa 0 all isane. In simbli, si ha: ϕ (,0, x, u ) = 0. (6.2.1) [0, ] Deinizine Un sisema asra si dice cnrllabile se ui i sui sai sn cnrllabili. Crieri di cnrllabilià Un sisema LI è cnrllabile se e sl se la marice di cnrllabilià daa da: n 1 Q c = B AB A B, (6.2.2) ha rang n. Dall analisi precedene emerge che le prprieà di cnrllabilià e di raggiungibilià per mdelli LI a emp cninu si implican a vicenda. 6.3 Prprieà di sservabilià La prprieà di sservabilià sudia le inerazini ra sa e uscia. ale prprieà verrà sudiaa cn rierimen ai sisemi LI.

5 n Deinizine Un sa x C si dice insservabile se la rispsa libera nell sa crrispndene a ale sa è idenicamene nulla. In simbli, si ha: A Ce x = 0, 0. (6.3.1) Deinizine Un sisema si dice sservabile se nessun sa è insservabile ad eccezine dell sa zer. L insieme degli sai insservabili, X n, è un sspazi lineare dell spazi di sa. L insieme degli sai sservabili, X X n, nn è un sspazi dell spazi di sa piché nn cniene l elemen null, ssia l sa zer. Però, per deinizine, si assume cme insieme degli sai sservabili il cmplemen rgnale del sspazi X n, ciè X n che cniene l sa zer. erema Un sisema LI è sservabile se e sl se le clnne della marice linearmene indipendeni nell inervall [0, ] arbirari. Prva Suicienza Se le clnne della marice [0, ], cn arbirari, la cndizine C insservabile. e A A C e A sn C sn linearmene indipendeni nell inervall e γ = 0 implica γ = 0 e, quindi, sl l sa zer è Necessià Si ammea che il mdell LI sia sservabile e che le righe della marice C e A A sian linearmene dipendeni. Allra, esiserebbe un n-vere γ 0 ale che Ce γ = 0, il che cnrasa cn l ipesi di sservabilià del mdell. Le cndizini espresse dal erema pssn essere acilmene veriicae mediane il seguene crieri di sservabilià. Crieri di sservabilià Un sisema LI è sservabile se e sl se la marice di sservabilià Q nq n daa da: ha rang uguale a n. Q C CA =, (6.3.2) n 1 CA Asserzine La prprieà di sservabilià è invariane rispe a una rasrmazine di crdinae nell spazi di sa. Prva Al ine di veriicare l asser ccrre e basa uilizzare il crieri di sservabilià Eeuand la rasrmazine di crdinae x = x ˆ, le (6.1.1) e (6.1.2) si rasrman nelle (6.1.14) e (6.1.15). La crrispndene marice di sservabilià è daa da:

6 Qˆ Cˆ C ˆ ˆ CA CA = = = Q. (6.3.3) 1 n 1 ˆ ˆ n CA CA Piché è nn singlare, ne cnsegue che rang( Qˆ ) = rang( Q ). La seguene prprieà dei sisemi sservabili è di nevle ineresse praic. Prprieà L spazi di sa di un sisema sservabile è rid, ssia priv di cppie di sai equivaleni. Prima di prvare la prprieà in quesine, viene rnia la seguene deinizine. Deinizine Due sai xa e x b, cn xa x b, si dicn equivaleni all isane 0 se le rispse nell uscia valuae a parire dai due sai e crrispndeni a qualsiasi ingress sn ideniche 0. In simbli, si ha: ρ (,, x, u ) = ρ (,, x, u ), u( ) R( u ( )),. (6.3.4) 0 a [ 0, ] 0 b [ 0, ] 0 Prva della Prprieà Si dimsra per assurd ammeend che il sisema sia sservabile e che esisa una cppia di sai equivaleni. Per sisemi LI la Deinizine 6.3.1, enu cn del a che si può assumere 0 = 0 e che la rispsa nell uscia è daa dalla smma delle rispse libera e rzaa, la (6.3.4) si riduce alla espressine: da cui si iene: A a A Ce x = Ce x, Piché il sisema risula sservabile, la (6.3.5) implica xa = x b. A b Ce ( x x ) = 0. (6.3.5) a b

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