La velocità Pagina 1 di 18

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1 La velcià Pagina di 8 Il pun maeriale in m Il m di un gge può essere sudia uilizzand il mdell del pun maeriale quand l gge è ml piccl rispe alle disanze che percrre. Si chiama raieria la linea che percrre il pun maeriale durane il su mvimen. Essa può essere reilinea curvilinea ed il m dicesi reiline curviline. I sisemi di riferimen Un crp P si dice in mvimen rispe ad un alr crp O quand, al rascrrere del emp, varia la psizine di P rispe ad O. Nn ha significa parlare di m di quiee se nn si specifica l'ene di riferimen. Peran per sabilire se un crp è in m ccrre precisare innanziu rispe a che csa ni inendiam riferire l'evenuale m. La descrizine del m è sempre relaiva, ciè dipende sempre dal sisema di riferimen dal quale si sserva il m. Il sisema di riferimen caresian Un sisema di riferimen caresian nel pian è csiui da: due assi caresiani perpendiclari ra lr un mer per misurare le disanze un crnmer per misurare il emp Il m reiline: Si chiama reiline il m di un pun la cui raieria è una rea. Sian P ( ) e ( ) P le psizini del mbile ccupae rispeivamene agli isani e >. PP = s= s ( ) s ( ) = s s= sf si è l spazi percrs dal mbile nell'inervall di emp =. L spazi percrs dal pun maeriale P è la differenza fra la sua psizine finale s e quella iniziale s, calclae enrambe rispe all rigine O. Pagina

2 La velcià Pagina di 8 s O = 0 = 0 P s s = s s = P s L'isane = 0 dicesi l'isane iniziale del m perché fisicamene è l'isane in cui si cmincia ad sservare il m. Per = 0 la [] dà un valre speciale s = s(0) di s. Ques speciale valre s individua una speciale psizine P di P (psizine iniziale) che può cincidere cn l rigine O. La velcià media: La velcià media di un pun maeriale P è il rappr ra la disanza s percrsa ed il emp impiega a percrrerla: v s s ( )- s ( ) s -s sf - si - m = = = = - - f i [] Nel SI.. la velcià si misura in m s. Una sua misura nn cerene nel SI.. è il km h Risula: km m 5 m = 0,78 = h s 8 s m km 8 km = 3,6 = s h 5 h Se pi calcliam le velcià medie relaive ad inervalli di emp sempre più piccli eniam valri della velcià sempre più prssimi al valre della velcià del pun P all'isane. Quindi pssiam immaginare un inervall di emp an piccl che gni sua ulerire riduzine nn aleri la velcià media. Quesa velcià media limie è chiamaa velcià scalare isananea e viene indicaa cl simbl v( ). v( ) = velcià scalare media relaiva ad un inervall di emp picclissim Il grafic spazi-emp: Un pun del grafic spazi-emp dà infrmazini sulla psizine ccupaa da un pun ad un ver isane. Il grafic spazi-emp nn è la raieria descria dal pun maeriale durane il su m. Pagina

3 La velcià Pagina 3 di 8 La pendenza cefficiene anglare m di una rea è il rappr ra il dislivell rizznale y ed il crrispndene spsamen rizznale x : Δy m= Δx Il m reiline unifrme Un pun maeriale si muve di m reiline unifrme quand percrre una raieria reilinea cn velcià csane. La legge raria del m, se s = 0, è: s= v v = s s = v s s Se, invece, risula s 0,abbiam: s= s + v v= s s = Ruff pag. 7 v Il diagramma rari del m reiline unifrme è una rea, menre il diagramma della velcià è una rea parallela all asse dei empi. Pagina 3

4 La velcià Pagina 4 di 8 Diagramma rari di una m che viaggia alla velcià di 54 km h km 5 m m v = 54 = 54 = 5 h 8 s s Diagrammi di due aumbili che viaggian alle velcià 5 m s e 30 m s Diagrammi di due aumbili che viaggian enrambe alla velcià di 0 m s ma: (a) s = 0 (b) s0 = 30m Diagramma rari di un m reiline unifrme cn s = 0 Diagramma rari di un m reiline unifrme cn s 0 La velcià di un pun maeriale che si muve di m reiline unifrme è uguale alla pendenza della rea che rappresena il su diagramma rari. Essa cincide numericamene cl cefficiene del emp. Pagina 4

5 L'accelerazine Pagina 5 di 8 Il m vari su una rea: Nel m vari lung un percrs reiline la velcià nn si maniene csane. Abbiam vis in precedenza che la velcià isananea è il valre limie della velcià media quand l inervalli di emp divena ml piccl. La velcià isananea è il cefficiene anglare della rea angene al grafic spazi-emp in un deermina emp. L accelerazine media Un pun maeriale pssiede accelerazine quand la sua velcià varia al variare del emp. Definizine: L accelerazine media di un pun maeriale è il rappr ra la variazine di velcià v e l inervall di emp in cui avviene. In simbli abbiam: a v v v v f vi m = = = f i m L accelerazine si misura in s Pagina 5

6 L'accelerazine Pagina 6 di 8 Se l accelerazine è psiiva ( a > 0 ) il m è accelera e la velcià aumena; se l accelerazine è negaiva ( a < 0 ) il m è accelera e la velcià diminuisce. Il grafic velcià-emp ci frnisce infrmazini sulla velcià del puna maeriale al variare del emp. In pariclare ci dice se la velcià del pun maeriale aumena, si maniene csane, diminuisce. Se la velcià Il grafic velcià-emp ci cnsene di calclare l accelerazine media di un pun maeriale. L accelerazine media a v v v v f vi m = = = f i è uguale alla pendenza (ciè al cefficiene anglare) della rea secane passane per i puni P e P in un grafic velcià-emp a m v v = m= Il m unifrmemene accelera Definizine: Il m reiline unifrmemene accelera è il m di un pun lung una raieria reilinea che avviene cn accelerazine csane. s O = 0 = 0 a = csane P s v Nel m reiline unifrmemene accelera le variazini di velcià sn direamene prprzinali agli inervalli di emp in cui hann lug. Velcià isananea: nel m reiline unifrmemene accelera cn parenza da ferm la velcià v v isananea vale: v= a a = = a Pagina 6

7 L'accelerazine Pagina 7 di 8 Il grafic velcià-emp relaiv al m reiline unifrmemene accelera cn parenza da ferm è una rea passane per l rigine degli assi caresiani. La pendenza è uguale all accelerazine del m (cefficiene del emp ) v= a Legge raria del m unifrmemene accelera: s= a s a s a = = s = a = legge raria del m reiline unifrmemene accelera Il grafic spazi-emp di un m unifrmemene accelera cn velcià iniziale nulla è una parabla. La disanza percrsa da un pun nell inervall di emp è uguale all area clraa L spazi percrs nel emp è uguale all area clraa v= a L accelerazine cn la quale cade un crp in prssimià della superficie della erra è csane, viene indicaa cl simbl g e vale 9,8 m s. Le frmule precedeni divenan: s= g v= g Pagina 7

8 L'accelerazine Pagina 8 di 8 Ed il m dicesi nauralmene accelera. M unifrmemene accelera cn velcià iniziale v O s = 0 = 0 v a = csane P s v s a = v + v= v + a v a = v v = a v ( s ) v a = Diagramma delle velcià quand L spazi percrs è uguale la velcià iniziale è v 0 all area del rapezi clra Grafic della velcià in funzine del emp in un m unifrmemene accelera cn velcià v i. L area del rapezi clra rappresena l spazi percrs dall isane iniziale al emp. Per un crp lancia vericalmene vers l al valgn le segueni relazini: s g = v v= v g O P s v a=csane P s v s s a = +v + v= v + a Per un m nauralmene accelera abbiam: s s g = +v + v v g = + g = 9,8 m s Per un crp lancia vericalmene vers l al abbiam: s s g = +v v v g = g = 9,8 m s Pagina 8

9 I mi nel pian Pagina 9 di 8 I mi nel pian Il vere psizine: Dicesi vere psizine all'isane il vere s( ) che ha cme rigine un pun fiss O (che prebbe essere l'rigine di un riferimen caresian) e cme esrem la psizine P( ) ccupaa dal mbile all'isane. Il vere spsamen: Dicesi vere spsamen relaiv all'inervall di emp = il vere PP che ha cme rigine la psizine P ( ) e cme esrem la psizine P ( ) P = P ccupaa dal mbile all'isane = ccupaa dal mbile all'isane. Risula: s = s s Pagina 9

10 I mi nel pian Pagina 0 di 8 L spsamen del pun maeriale ra i due isani è da dal vere spsamen s = s s L spsamen di un pun maeriale P durane un inervall di emp ml breve è angene alla raieria nel pun ccupa da P. Il vere velcià media: Sia s l spsamen subi dal pun maeriale nel emp. s s s Il rappr = prende il nme di velcià veriale media e si indica cn: s s s v m = = La velcià veriale media relaiva ad un inervall di emp velcià veriale isananea e si indica cl simbl v( ). La velcià veriale isananea è il vere v ( ) che ha: ) cme rigine il pun P( ) ) cme direzine la rea angene alla raieria nel pun P 3) cme vers quell del m 4) cme mdul il valre asslu della velcià scalare picclissim prende il nme di isananea calclaa all'isane La velcià veriale isananea è il vere v ( ) che ha: ) cme rigine il pun P( ) ) cme direzine la rea angene alla raieria nel pun P 3) cme vers quell del m 4) cme mdul il valre asslu della velcià scalare isananea calclaa all'isane Pagina 0

11 I mi nel pian Pagina di 8 Mi peridici Un pun maeriale si muve di m peridic quand, ad gni inervall csane di emp T, riassume le medesime caraerisiche cinemaiche, ciè passa per l sess pun cn la sessa velcià veriale e la sessa accelerazine veriale. Il emp T è de perid e rappresena il emp necessari perché il mbile passi due vle di segui per us sess pun cn le medesime caraerisiche cinemaiche. Nei mi peridici ha impranza una grandezza fisica dea frequenza definia cme il rappr cane fra il numer n di eveni peridici che si verifican nel emp ed il emp, ciè: n numer di eveni peridici che si verifican nel emp f = n = = La frequenza di un m peridic è uniaria, ciè di un herz (Hz) se l'even peridic si verifica in un secnd. n = = T f = ν = f T = ν T = T <<In gni m peridic la frequenza è l'invers del perid>> Il m circlare unifrme Si chiama m circlare il m di un pun maeriale che descrive una circnferenza Si chiama m circlare unifrme un m circlare nel quale il mdul della velcià veriale si maniene csane. Il m circlare unifrme è un m peridic Nel m circlare unifrme l'even peridic cnsise nel descrivere una inera circnferenza; peran la frequenza di Hz significa che il pun maeriale P descrive una inera circnferenza in un secnd. f numer di = n = circnferenze descrie nel emp Pagina

12 I mi nel pian Pagina di 8 ν = 5 Hz significa che il pun P percrre in un secnd 5 vle la circnferenza Valgn le segueni frmule: f = f T = T T = f Nel m circlare unifrme la velcià isananea si calcla applicand la seguene frmula: π r v= = π rf T Un pun maeriale che si muve di m circlare unifrme percrre archi di circnferenza uguali in empi uguali in la sua velcià scalare è csane. L accelerazine nel m circlare unifrme Nel m circlare unifrme il vere accelerazine isananea è sempre rivl vers il cenr della circnferenza. Ques significa che nel m circlare unifrme l accelerazine veriale è cenripea e manca l accelerazine veriale angenziale. Risula: a v 4π r r T c = = = 4π rf in quan sappiam che π r v= = π rf T Definiam velcià anglare media del pun P del raggi vere OP il rappr ra l angl ϑ descri dal raggi vere OP ed il emp impiega a descriverl. ϑ ω m =. Nel nsr cas la velcià anglare è csane e quindi cincide cn quella media, per cui pssiam scrivere: ϑ π ω = = = T πν in quan nel emp T il raggi vere OP descrive l'angl π. π r v = = π rf = T ωr Pagina

13 I mi nel pian Pagina 3 di 8 Il vere velcià v risula in gni pun angene alla circnferenza. Il vere accelerazine cenripea a c risula perpendiclare al vere velcià v. La misura degli angli in radiani Un angl α = αb l pssiam cnsiderare sempre cme angl al cenr di due ( più ) circnferenze cncenriche di raggi arbirari OA ed OA. Dei AB ed AB gli archi crrispndeni, per un n erema di gemeria euclidea, pssiam scrivere: AB: AB A B A B = OA: OA ed anche : = = α R OA OA ciè il rappr ra l arc ( individua su una circnferenza qualsiasi di cenr O ) ed il rispeiv raggi dipende esclusivamene dall angl e nn dalla circnferenza cnsideraa. Tale rappr (indica cl simbl α R ) si assume cme misura dell angl in radiani. L angl ab individua su una circnferenza di cenr O e raggi r un arc MN di lunghezza. Il rappr misura in radiani dell angl ab, dicesi anche misura in radiani dell arc MN =. R α = [], Se l arc MN reifica è lung quan il raggi della circnferenza cui appariene abbiam r = r e quindi: α R = = rαdiαne = R ciè l arc radiane è quell arc lung quan il r raggi della circnferenza che l cniene. Di cnseguenza l angl radiane è quell angl che, ps cl verice nel cenr di una qualsiasi circnferenza, sende un arc lung quan il raggi. r Pagina 3

14 I mi nel pian Pagina 4 di 8 B b La misura (α R ) in radiani di un angl di un arc è un numer pur in quan rappr di due B grandezze (lunghezze) mgenee. La misura di un angl (arc) in radiani è dea O α A A α misura ciclmerica dell angl (arc). La misura ciclmerica di un arc cincide cn la misura ciclmerica del crrispndene angl al cenr. Dalla [] ricaviam: = α R r [] ciè mliplicand il raggi per la misura in radiani dell arc si iene la lunghezza dell arc sess. Vediam adess cme si fa a passare dalla misura di un angl in gradi a quella in radiani e viceversa. B O N a a R a A a R M b a La gemeria euclidea ci insegna che gli archi (di uguale raggi) sn direamene prprzinali ai rispeivi angli al cenr per cui pssiam scrivere la seguene prprzine: MN : AB = MON : AOB [3] : πr = α :80 α ( = πr ) 80 Ma : = α R r per cui abbiam : R R α r: πr = α :80 α : π = α :80 ciè : [4] R α α = π 80 R α α = 80 [5] π La misura in radiani di un angl la cui misura in gradi è la si iene pnend nella [4] al π ps di α, ciè: = = 0,0745 radiani 80 la misura in gradi di un angl la cui misura in radiani è la si iene pnend nella [5] R ps di α R, ciè : R 80 = = ,806 π al Pagina 4

15 I mi nel pian Pagina 5 di 8 Il m armnic Si dice m armnic il m che si iene prieand su un diamer le psizini di un pun maeriale P che si muve di m circlare unifrme. Quand P si muve sulla circnferenza, la sua priezine Q si muve avani e indier sul diamer. Se P si muve di m circlare unifrme, Q si muve di m armnic. Il grafic spazi-emp è una csinuside, indicaa nei due grafici ssani: Il m armnic è un m peridic caraerizza dai segueni parameri: f ω = = = frequenza = numer di scillazini cmplee cmpiue dal pun Q in un T π secnd π T = = = perid = emp necessari perché il pun Q cmpia un scillazine cmplea f ω L ampiezza dell scillazine del m armnic è la massima disanza dal cenr di scillazine. Pagina 5

16 I mi nel pian Pagina 6 di 8 Se prieiam rgnalmene la velcià del pun P eniam la velcià del pun Q che si muve di m armnic Il m armnic è un m reiline vari cn la velcià scalare che aumena (diminuisce) quand il pun maeriale si avvicina (si allnana) al (dal) cenr di scillazine O. La velcià è massima al cenr è nulla agli esremi dve si ha l inversine del m. Se prieiam rgnalmene l accelerazine cenripea del pun P eniam l accelerazine del pun Q che si muve di m armnic L accelerazine di un m armnic si calcla applicand le seguene frmula: a= ω x La priezine di un m circlare unifrme su un diamer AB della circnferenza è un m armnic semplice. Il pun O viene assun cme rigine degli spsameni Nel m armnic, il vers dell accelerazine cenripea ha sempre vers pps a quell dell spsamen Pagina 6

17 I mi nel pian Pagina 7 di 8 La cmpsizine dei mi Se un crp è sgge a due spsameni simulanei s e s, il su spsamen ale s è da dalla smma veriale degli spsameni: s = s + s Dividend amb i membri della relazine s = s + s per eniam: s s s = + ciè: v = v + v Un pun maeriale sgge a due spsameni simulanei, il prim cn velcià v e il secnd cn velcià v, ha una velcià cmplessiva v v = v + v daa dalla smma veriale di v e v : Pagina 7

18 I mi nel pian Pagina 8 di 8 Pagina 8