Unità Didattica N 08 Moto Curvilineo 1

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1 Unià Didaica N 08 M Curiline 1 Unià Didaica N 8 I mi curilinei 01) M curiline ( pian ) riferi ad un sisema di assi caresiani : le grandezze eriali espresse in cmpneni caresiane 0) La cmpsizine dei mi reilinei 03) M pian cn accelerazine eriale csane 04) M dei grai lanciai nel u 05) M di un prieile spara rizznalmene. 06) Le ariabili della cinemaica razinale 07) M armnic semplice 08) La dinamica del m armnic semplice 09) Il pendl semplice 10) Il pendl cnic

2 Unià Didaica N 08 M Curiline M curiline pian riferi ad un sisema di assi caresiani : le grandezze eriali espresse in cmpneni caresiane Un pun maeriale P percrre una raieria curilinea piana. Abbiam già de csa dbbiam inendere per spsamen del pun mbile lung la raieria. Vlend analizzare il m del pun nel pian ( nell spazi ) cniene riferirsi,nella maggir pare dei casi, ad un sisema di assi caresiani O (Oz ) e cnsiderare la psizine del pun P indiiduaa dal ere r = P O, de ere psizine ( raggi ere ) spicca da un pun fiss di riferimen ( che si fa quasi sempre cincidere cn l rigine O del riferimen caresian ) ed aene l esrem liber cincidene cn P. Risula, isane per isane, r = P O = r + r = () i + () j r = r + r = + = = () sn le equazini parameriche della raieria () Eliminand il parameri eniam l equazine caresiana di, ciè il ip di raieria descria dal pun mbile P. = ( ) rappresena la legge raria del pun P 1 priezine rgnale del mbile P sull asse = ( ) rappresena la legge raria del pun P priezine rgnale del mbile P sull asse Δ r = Δ i + Δ j Δ r Δs La elcià eriale del pun P è il ere angene alla raieria nel pun P. Risula : Δ r dr = Lim = = + = i + j Δ 0 Δ d I eri e = + = + sn i cmpneni della elcià eriale lung gli assi caresiani ed, menre e sn le cmpneni di lung le ree rienae ed rispeiamene di ersri i e j. La elcià eriale nel m curiline è il risulane delle elcià eriali di cui sn dae le priezini rgnali P 1 e P 1 del pun mbile P sugli assi caresiani. Anche l accelerazine eriale a può essere decmpsa lung gli assi caresiani. Risula : a = a + a = a i + a j a = a + a a = a + a e U.D. N 18 M curiline riferi ad un sisema di assi caresiani Pagina di 33

3 Unià Didaica N 08 M Curiline 3 I eri a e a sn i cmpneni dell accelerazine eriale a lung gli assi caresiani ed, gli scalari a ed a sn le cmpneni di a lung le ree rienae ed rispeiamene di ersri i e j. Un qualsiasi m di un pun nel pian ( nell spazi ) può essere immagina cme risulane di due ( re ) cnenieni mi reilinei su assi rgnali. Il m curiline, che è uilissim cnsiderare direamene, nn ha più mi di essere cme m semplice ma cme m risulane di più mi reilinei. r Δ P (, ) r = P O r = P1 O P Δ s Δ r = P O r 1 r r 1 P 1 j r Δ i 1 P r P P 1 1 U.D. N 18 M curiline riferi ad un sisema di assi caresiani Pagina 3 di 33

4 4 Unià Didaica N 08 M Curiline P P r r a a a r P 1 La cmpsizine dei mi reilinei 1) Due mi reilinei Il pun maeriale P, parend dalla psizine O, è sgge a due mi reilinei unifrmi lung due ree fra lr perpendiclari. = = cn e csani Eliminand il parameri, ci ricaiam l equazine caresiana della raieria descria dal pun maeriale P(, ). =, = equazine caresiana della raieria = P s P P Il pun maeriale P si mue lung una rea passane per l rigine degli assi caresiani. La elcià risulane ha cme mdul : = + = csane Il m risulane è reiline unifrme. La legge raria del m sulla raieria reilinea è : ( ) = + = + = + s s = + = U.D. N 18 La cmpsizine dei mi reilinei Pagina 4 di 33

5 Unià Didaica N 08 M Curiline 5 ) M reiline unifrme e m reiline unifrmemene ari Il pun maeriale P(, ), parend da ferm dalla psizine O, è sgge a due mi : un reiline unifrme lung la rea e l alr reiline unifrmemene ari lung la rea. = [1] 1 = a è csane, nn è csane, a = è csane Il pun maeriale pare dalla quiee ( 0 = ). La raieria descria dal pun P si iene eliminand il paramer dalle equazini [1]. =, 1 a = 1 a = Si raa di una raieria parablica cl erice cincidene cn l rigine degli assi caresiani = + = + a nn è csane a = a + a = 0 + a = a è csane Il m risulane è parablic unifrmemene ari cn accelerazine scalare a csane. La sua legge raria lung la raieria P s parablica è : s = 1 a P 3) Due mi reilinei unifrmemene ari Il pun P pare da ferm dalla psizine O ed è sgge a due mi reilinei unifrmemene ari. 1 = a 1 a = cn La raieria descria dal pun P è : = a = a = a a = 0 = 0 a a = csane = csane a = rea passane per l rigine degli assi caresiani a = + = a = a + a nn è csane a = a + a è csane U.D. N 18 La cmpsizine dei mi reilinei Pagina 5 di 33

6 6 Unià Didaica N 08 M Curiline Il m risulane è reiline unifrmemene ari. La legge raria lung la raieria è : ( ) s = + = a + a = a + a s = a + a = a P s P P 4) Cas generale Sia P un pun maeriale sgge a due mi reilinei aeni direzini fra lr perpendiclari. Si assumn ali direzini cme asse ed asse. I due mi cmpneni hann equazini : = () [1] equazini parameriche della raieria = () Eliminand il paramer dalle equazini [1] eniam l equazine caresiana della raieria d d descria dal pun P. La elcià risulane ha per cmpneni : = = = = d d e cme mdul : = + = + L accelerazine risulane ha per cmpneni : a d = = d d d a d = = d d d e cme mdul : a = a + a P P (, ) La legge raria del m risulane è : P ds = d s = d O P U.D. N 18 La cmpsizine dei mi reilinei Pagina 6 di 33

7 Unià Didaica N 08 M Curiline 7 M pian cn accelerazine eriale csane E il m di un pun maeriale che descrie una raieria piana cn accelerazine a csane, ciè il ere a nn mua né in direzine, né in ers, né in mdul. Un esempi ci iene frni dal m di un grae lancia bliquamene nel u. Ques m può essere descri mediane la srappsizine di due mi che aengn lung due ree fra lr perpendiclari. Isane per isane i eri r, ed a erifican le segueni equazini eriali : 1 r = r + + a = + a a = csane r = r + r = r i + r j = i + j = + = i + j a = a + a = a i + a j = + a i + j = i + j + a i + a j i + j = ( + a ) i + ( + a ) j = + a = + a 1 r = r + + a 1 = + + a 1 = + + a ed anche = + a( ) = + a( ) = + a la = + a( ) = + a( ) elcià all isane è la smma della elcià iniziale che il pun maeriale arebbe se nn fsse accelera e della ariazine di elcià a subia nel emp per effe dell accelerazine csane a se la elcià eriale iniziale fsse nulla. 1 r = r + + a Il ere spsamen r è la smma eriale dell spsamen che il pun subirebbe se nn ci fsse l accelerazine eriale a e dell spsamen 1 a che il pun subisce per effe dell accelerazine a se la elcià iniziale fsse nulla. r U.D. N 18 M pian cn accelerazine eriale csane Pagina 7 di 33

8 8 Unià Didaica N 08 M Curiline M dei priei ( M dei grai nel u ) Un crp punifrme P è lancia nel u da un pun O cn una elcià la cui direzine frma un angl ϑ cl pian rizznale passane per O. 1 Esaminiam il su m rascurand, qualra nn ci rassim nel u, la resisenza dell aria. L angl ϑ frma dal ere cl pian rizznale passane per O è de angl di priezine angl di ir. Vgliam deerminare l equazine della raieria descria dal mbile, la sua giaa e l alezza massima rispe al pian rizznale passane per O. In assenza di graià e nel u il m sarebbe reiline unifrme cn elcià eriale. Se fsse e s la sla azine della frza pes il crp cadrebbe ers il bass muendsi di m reiline nauralmene accelera lung la ericale cn accelerazine eriale g. Nel cas nsr si raa di sudiare il m di un crp sgge ad una accelerazine g csane in mdul, direzine e ers in quan il crp è sps alla sla azine della frza pes. Per il m del nsr crp algn le segueni equazini eriali : 1 r = r + + g = + g a = g Si raa di un m pian cn accelerazine csane. Assumiam cme rigine O del sisema di assi caresiani il pun da de il crp è lancia. Il m dee effeuarsi nel pian ericale cnenene i eri g e. Prendiam ques pian cme pian in maniera che l asse sia rizznale ed riena nel ers del m e l asse sia ericale ed riena dal bass ers l al. L isane iniziale = 0 è quell del lanci. 1 Ad esempi un prie lancia da un cannne U.D. N 18 M dei grai lanciai nel u Pagina 8 di 33

9 Unià Didaica N 08 M Curiline 9 Il m del pun P può essere cnsidera cme cmpsizine dei mi dei puni P e P. P si mue lung l asse delle di m reiline unifrme (a = 0, = = csϑ ), P si mue lung l asse delle di m reiline unifrmemene ari (a = g se pniam g m = 98, s, = sin ϑ ) = i = csϑ + j = sinϑ P (, ) = = csϑ = g = sinϑ g Le equazini rarie dei due mi cmpneni sn : = 1 = g = = ( cs ϑ) 1 1 = g = ( sin ϑ) g a a = 0 = g Quese sn le equazini parameriche della raieria descria dal prie Eliminand il paramer eniam l equazine caresiana della raieria. = 1 g = + che può essere scria nella seguene frma : 1 1 = + ϑ g g cs ϑ essend : g ϑ= = csϑ Si raa di una parabla ad asse ericale cn la cncaià rila ers il bass e passane per l rigine degli assi caresiani ed aene il erice nel pun M, g g = = csϑ = g = sinϑ g cs sin g sin g = + = ϑ + ϑ ϑ + ( sin ) = g ϑ + g 1 = g ϑ g ( sin ) calcl della giaa G = = OC del lanci bliqu. g = g = 0 = 0 psizine del lanci 1 g = 0 G = C = g U.D. N 18 M dei grai lanciai nel u Pagina 9 di 33

10 10 Unià Didaica N 08 M Curiline (cs ϑ ) (sin ϑ) G = C = = sinϑ g g G = = C sin g = g ϑ La giaa massima si ha per sinϑ = 1 ciè per ϑ = 90 ciè per ϑ= 45 G ma = g La giaa massima è il dppi dell alezza che il prie raggiungerebbe cn un lanci ericale ers l al e cn la sessa elcià iniziale. Quesa prprieà fu inuia da Taraglia e dimsraa per la prima la da Galile Galilei. = 0 = 0 inizi del lanci sinϑ = = = emp di ricadua al sul del prie g g Calcl dell alezza di ir h h è l alezza massima raggiuna dal prie. Cincide cn l rdinaa del erice M della parabla. M sinϑcs b = = = a g g ϑ 1 1 = M ( M) = = sin ϑ = Gg ϑ = h g g 4 P P P M P = = = g = g P ϑ P C ϑ P = = angl di ir h è un ere csane = U.D. N 18 M dei grai lanciai nel u Pagina 10 di 33

11 Unià Didaica N 08 M Curiline 11 a a = 0 = = g = g = 1 = g g g = + = + gϑ cs ϑ = equazine caresiana della raieria sin OC = G = = C g = g ϑ = giaa h 1 1 = sin G g g = g ϑ = 4 ϑ = alezza di ir sinϑ = = = emp di ricadua al sul g g = csϑ = sinϑ = g = g Traieria di un prieile lancia cn elcià. E indicaa la elcià iniziale cn le sue cmpneni.e indicaa la elcià cn le prprie cmpneni in cinque isani diersi. Nare che risula sempre prieile quand ripassa alla qua del lanci. =. La giaa R ( G ) è la disanza rizznale descria dal U.D. N 18 M dei grai lanciai nel u Pagina 11 di 33

12 1 Unià Didaica N 08 M Curiline M di un prieile spara rizznalmene Suppniam che un prieile ( un qualsiasi grae ) sia lancia rizznalmene cn elcià. Scegliam un riferimen caresian cn l rigine O cincidene cl pun di lanci, l asse riena cnìme e l asse ericale riena ers il bass. Il prieile lancia rizznalmene cn elcià descrie una raieria parablica cn asse ericale passane per la sua psizine iniziale. Le equazini parameriche della raieria descria dal prieile sn : Eliminand il paramer eniam l equazine caresiana della raieria. Il m del prieile, per il principi di indipendenza delle azini simulanee, può essere ded dalla cmpsizine dei mi di due puni ( P e P ) che mun lung due ree rgnali. P si mue di m reiline unifrme e P si mue di m reiline unifrmemenee ari. U.D. N 18 M di un prieile spara rizznalmene Pagina 1 di 33

13 Unià Didaica N 08 M Curiline 13 Le ariabili della cinemaica razinale Suppniam che un pun maeriale percrra, muendsi in sens anirari, una circnferenza di cenr O e raggi r. Misurerem gli angli descrii dal raggi ere r = P O a parire dal la OA e gli archi a parire dal pun A. Misurerem gli angli in radiani. Per definizine, la misura in radiani dell angl ϑ,ci iene daa dalla seguene frmula : Suppniam che all isane iniziale alre ϑ dell angl AOP isani e 1 sn rispeiamene ϑ e ϑ 1. AP s ϑ= r = r [ Δ s = r Δ ϑ ] s = ϑ r = 0 il pun mbile ccupi la psizine P ; diciam che il è la psizine anglare di P. Le psizini anglari del mbile agli Definiam elcià anglare media del pun P ( del raggi ere r = P O ) ϑ1 ϑ Δϑ relaia all inerall di emp Δ = 1 il seguene rappr : ωm = = Δ La elcià anglare media relaia ad un inerall di emp Δ picclissim ( infiniesim ) è la elcià anglare isananea del pun P, ciè : 1 ω ϑ ϑ Δϑ dϑ d s 1 ds Lim Lim d d r r d r 1 = = = = = = 1 Δ0 1 Δ = ω r de è la elcià scalare ( elcià lineare ) del pun P. { ω} { ϑ} {} radiane = = = secnd Se la elcià anglare è csane allra la elcià anglare media cincide cn quella isananea e pssiam scriere : rad s ϑ ω = ϑ = ω Se la elcià anglare di P nn è csane, il pun maeriale è sgge ad una accelerazine anglare. Sian ω ed ω 1 rispeiamene le elcià anglari di P negli isani e 1. Definiam accelerazine anglare media del pun P relaia all inerall di emp ω1 ω Δω Δ = 1 il seguene rappr : αm = = Δ 1 U.D. N 18 Le ariabili della cinemaica razinale Pagina 13 di 33

14 14 Unià Didaica N 08 M Curiline L accelerazine anglare media relaia ad un inerall di emp Δ picclissim ( infiniesim ) ci dà l accelerazine anglare isananea, ciè : a α ω ω Δ ω d ω d 1 d a d d r r d r 1 = Lim = Lim = = = = 1 Δ0 1 Δ { } {} s ω = α r { α } = = = rad Se l accelerazine anglare si maniene csane, allra l accelerazine anglare media cincide cn quella isananea. In ques cas pssiam scriere : ω α = ω = α (1) P ϑ 1 P 1 ϑ 1 ϑ ϑ 1 O P = 0 ϑ r ϑ A La razine di una paricella arn ad un asse fiss ( ad esempi arn ad una rea perpendiclare al pian della circnferenza e passane per il su cenr O ) ha una analgia frmale cl m di una paricella lung una raieria presabilia. Nel prim cas le ariabili cinemaiche sn ϑ, ω, α, nel secnd cas sn s,, a e quese grandezze si crrispndn a cppie : ϑ s, ω, α a Si ni che dimensinalmene la differenza ra le grandezze anglari e quelle lineari è di una lunghezza, ciè se mliplic una grandezza anglare per una lunghezza eng la crrispndene grandezza lineare, se diid una grandezza lineare per una lunghezza eng la crrispndene grandezza anglare. Psiam aribuire alle grandezze anglari ω ed α una frma eriale ammeend che i eri ω ed α abbian cme direzine l asse di razine ( ciè la rea perpendiclare al pian della circnferenza e passane per il su cenr O ) e ers ale da erificare le segueni relazini eriali : = ω r a = α r an = ω ω ed α pssn essere pensai applicai in P in quan sn eri liberi. (1) ω = d ϑ d d ϑ α = d U.D. N 18 Le ariabili della cinemaica razinale Pagina 14 di 33

15 Unià Didaica N 08 M Curiline 15 r = P O = ω r ω P a n = ω α a a P O circnferenza r O circnferenza a n asse di razine a = α r asse di razine 3 Il m rari di un crp rigid può essere descri sia mediane le ariabili anglari ( ϑ, ω, α ) sia mediane le ariabili lineari ( s,, a ). Però, quand ci ineressa il m di più puni appareneni all sess crp ruane, usand ariabili lineari dbbiam specificare spsamen, elcià ed accelerazine di ciascun pun, menre le crrispndeni ariabili anglari sn le sesse per ui i puni ad gni isane. Usand, dunque, ariabili anglari si può descriere in md semplice il m dell iner crp. m su raieria presabilia a = csane m rari arn ad un asse presabili α = csane = + a ω = ω + α 1 1 = + + ϑ = α + ω + ϑ s a s as ( s) = + ω = ω + α( ϑ ϑ ) + s s = ϑ ϑ = ω + ω U.D. N 18 Le ariabili della cinemaica razinale Pagina 15 di 33

16 16 Unià Didaica N 08 M Curiline Il m armnic semplice Sia Q un pun che sulla circnferenza σ di cenr O e raggi r si mue di m circlare unifrme. Il m del pun P, priezine rgnale del pun Q su un diamer qualsiasi, dicesi m armnic semplice. La circnferenza σ è dea circnferenza di riferimen circnferenza assciaa al m armnic semplice. In figura è fissa un sisema di assi caresiani rgnali O ; P è la psizine del pun mbile all isane = 0 e P la sua psizine dp secndi. Gli archi engn misurai rispe al pun fiss A, gli angli rispe al raggi ere fiss A O. Sia : AOQ =ϑ, QOQ = ϑ = ω, AOQ = ϑ + ϑ = ω + ϑ C π B a a a ϕ π ϑ ϑ A O P P a Q Q D Dalla rignmeria risula : OP = OQ cs( ϑ + ϑ ) ciè : = r cs( ω + ϑ ) [1] La [1] rappresena la legge raria del m armnic semplice. U.D. N 18 M armnic semplice Pagina 16 di 33

17 Unià Didaica N 08 M Curiline 17 O = cenr di scillazine, r = OA = ampiezza del m armnic = OP = elngazine, ϑ = fase iniziale ϕ = ϑ + ϑ = ω + ϑ = fase del m armnic Calcl della elcià d = = rωsin( ω +ϑ ) = ω d Ricrdand che =ωr pssiam scriere : π = cs( +ϑ+ϑ ) = ωrsin( ϑ+ϑ ) = ωrsin( ω +ϑ ) = ω Calcl dell accelerazine d a = = rω cs( ω +ϑ ) = ω ppure : d a a = = a cs[ π ( ϑ + ϑ)] = acs( ϑ + ϑ) = ω rcs( ω + ϑ) = ω i a = ω r Riepilg d = r cs( ω + ϑ ) = = rωsin( ω +ϑ) = ω d a d = = rω cs( ω + ϑ ) = ω d Cas pariclare ϑ = 0, ciè all isane iniziale Q P A. I diagrammi delle funzini (), (), a ques cas pariclare sn indicai in figura. () in = r csω = r csϑ = rω sinω = rω sinϑ = a = rω csω = rω csϑ ω = ω U.D. N 18 M armnic semplice Pagina 17 di 33

18 18 Unià Didaica N 08 M Curiline U.D. N 18 M armnic semplice Pagina 18 di 33

19 Unià Didaica N 08 M Curiline 19 U.D. N 18 M armnic semplice Pagina 19 di 33

20 0 Unià Didaica N 08 M Curiline La elcià è nulla in A e B, massima minima in O, precisamene è minima quand il pun P passa per O prenend da A, è massima quand il pun P passa per O prenend da B. L accelerazine è nulla in O, massima in B, minima in A. A O il m è accelera rergrad ( < 0, a < 0 ) O B il m è decelera rergrad ( < 0, a > 0 ) B O il m è accelera prgressi ( > 0, a > 0 ) O A il m è decelera prgressi ( > 0, a < 0 ) << Il m armnic semplice è un m reiline ari cn la elcià scalare che aumena ( diminuisce ) quand il pun maeriale si aicina ( si allnana ) al ( dal ) cenr di scillazine O >> Il percrs AOBOA ( uguale due le il diamer ) dicesi scillazine cmplea, menre il percrs AB ppure BA ( uguale al diamer ) dicesi scillazine semplice. f 1 ω = = = frequenza = numer di scillazini cmplee cmpiue dal pun P in un secnd T π T = π ω π ω = T = perid = emp necessari perché il pun P cmpia una scillazine cmplea = pulsazine frequenza anglare e cincide cn la elcià anglare del pun Q Perid e frequenza nel m armnic semplice e nel m circlare unifrme asscia cincidn perid = emp necessari perché il m riprenda gli sessi caraeri cinemaici, ciè la sessa psizine, la sessa elcià, la sessa accelerazine. scillazine cmplea = spazi percrs dal mbile nel emp T Se aessim cnsidera il m di P, priezine rgnale di Q sul diamer CD, aremm enu : = r sin( ω + ϑ) d = = rωcs( ω + ϑ) = ω d d a = = rω sin( ω + ϑ) = ω d U.D. N 18 M armnic semplice Pagina 0 di 33

21 Unià Didaica N 08 M Curiline 1 La priezine di un m circlare unifrme su di un diamer qualsiasi genera sempre un m armnic. Viceersa un m circlare unifrme può essere enu dalla cmbinazine di due mi armnici che aengn su due assi perpendiclari aeni la sessa ampiezza, la sessa frequenza ed una differenza di fase di π. La dinamica del m armnic semplice Il m armnic semplice è genera da una frza elasica di richiam, ciè da una frza del ip F = ks ( nel cas nsr è del ip F = k ). Se m è la massa del pun P che si mue di m armnic, abbiam : F = m a = ω m = k Risula : { k} { F} { } = = N m k m = ω ω = k m T π m m 1 1 k 1 F 1 = = π = π = π ν = = = = ω k F T π m π m π a a Un disc di massa m è fissa all esrem liber di una mlla che può scilare senza ari lung un pian rizznale, cme indica in figura. Se spsiam il disc ers desra di un ra la mlla si defrma ed esercia sul disc un frza elasica F = k che richiama il disc ers la psizine di equilibri O. Il sisema disc-mlla scilla muendsi di m armnic semplice. Se m è la massa del pun che si mue di m armnic, applicand la secnda legge della dinamica abbiam : F = m a = ω m = k cn a = ω Ques risula ci cnsene di affermare che il m armnic semplice è genera da una frza elasica di richiam, ciè da una frza del ip F = k F = k. U.D. N 18 La dinamica del m armnic semplice Pagina 1 di 33

22 Unià Didaica N 08 M Curiline T π m m = = π = π = π ω k F a 1 1 k 1 F 1 ν = = = = T π m π m π a Il m armnic semplice è il m di una paricella di massa m sggea ad una frza prprzinale all spsamen della paricella ma di segn pps. Cncludend pssiam affermare che un pun maeriale di massa m sgge ad una frza elasica di csane k si mue di m armnic semplice cn pulsazine ω = k m e cn perid m T = π. k U.D. N 18 La dinamica del m armnic semplice Pagina di 33

23 Unià Didaica N 08 M Curiline 3 Il pendl semplice Dicesi pendl semplice ( pendl maemaic ) un sisema ideale csiui da un grae punifrme di massa m fissa ad un pun C mediane un fil flessibile, inesensibile e di massa rascurabile rispe a quella del grae. Il incl, ciè il fil di lunghezza, cnsene al grae di descriere archi di circnferenza di cenr C e raggi. Indichiam cn ϑ l angl frma dalla ericale passane per il pun di sspensine C del pendl cn la direzine del fil del pendl. Analizziam le frze che agiscn sulla massa m in alcune siuazini pariclari : 1) Pendl nella psizine più bassa cl fil ericale ( ϑ=0 ) La psizine di equilibri saic è quella che si ha in crrispndenza del fil ericale es e cn il pendl ferm. Il pes P = mg del grae è equilibra dalla reazine inclare ( ensine ) T del fil : P = T. La frza eserciaa dal fil sul pendl ( ensine del fil ) ale in mdul T = m g. Se = 0 abbiam l equilibri saic, alrimeni la ensine del fil è massima e ale gh T = mg + m = mg + m = mg + mg = 3mg = 3P se il pendl è lascia liber quand il fil è in psizine rizznale. In al cas la psizine O del pendl nn è una psizine di equilibri dinamic in quan la smma eriale di ue le frze che agiscn sul pendl nn è nulla. ) Pendl frmane un angl ϑ cn la ericale passane per il pun di sspensine C Se spsiam il pendl dalla sua psizine O di equilibri saic, ess cmincia ad scillare arn ad O muendsi lung un arc di circnferenza di raggi, pari alla lunghezza del fil, in un pian ericale. Le frze ageni sul pendl sn il su pes P = m g e la ensine T del fil. Il m del pendl è regla dalla secnda legge della dinamica che, in quesa circsanza, assume la frma : P + T = R = ma Quesa equazine eriale è equialene alle due segueni equazini eriali : [1] P = R = m a Pn + T = Rn = m an [] Qui a c è l accelerazine cenripea, ma c è la frza cenripea R n che iene la massa m sulla raieria circlare U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 3 di 33

24 4 Unià Didaica N 08 M Curiline R agisce lung la direzine del m,ciè lung la angene alla raieria (arc di circnferenza ) rienaa dalla psizine di equilibri O ers desra, R agisce lung la direzine del fil ( nrmale alla n direzine del m ) rienaa dalla psizine ccupaa dal pendl ers il pun di sspensine C. Le [1] e [] scrie in frma scalare assumn la frma : R = P = mgsinϑ = ma Rn = Tn Pn = Tn mgcsϑ = man = m Il segn negai della cmpnene lung la direzine del m è du al fa che la frza angenziale ha segn pps rispe a quell dell ascissa curilinea s inrda per indiiduare la psizine del pendl. Per s < 0, psizini dell arc di circnferenza pse alla sinisra della ericale, la frza angenziale è direa ers la desra della ericale, menre per s > 0 la frza angenziale è direa ers la sinisra della ericale. Fisicamene R è una frza di richiam che ende a riprare il pun maeriale di massa m ( pendl semplice ) sulla ericale, anche se nn è di direzine csane cme nel cas delle frze elasiche. La elcià è massima quand il pun passa per la ericale ( ϑ = 0 ) e nulla agli esremi delle scillazini ( ϑ = ϑ ) de il ers del m si inere. Niam che i risulai cinemaici nn dipendn dalla massa del pendl.la ensine del fil si calcla applicand La seguene frmula : [3] T = mgcsϑ + m = ensine isananea del fil La ensine è massima nella psizine ericale, de sia cs ϑ che () assumn i alri massimi, ed è minima nei puni di inersine. U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 4 di 33

25 Unià Didaica N 08 M Curiline 5 L sudi deaglia del m di un pendl semplice è il seguene. Inizialmene il pendl ccupi la psizine di equilibri saic O. Ess iene pra nella psizine A ed ii raenu mediane un pil. Decmpniam la frza P lung la angene e la nrmale alla raieria : P = P + P Il cmpnene P n è equilibra dalla ensine del fil T, il cmpnene P è equilibra dalla reazine inclare Z ffera dal pil. Tagliand il pil la frza P, nn essend più equilibraa dalla reazine inclare Z, diena una frza mrice ed è la causa delle scillazini della massa m. Le scillazini aengn sul pian ericale passane per O e cnenene i eri P e. In generale, nel cas dinamic, la massa m è sggea, isane per isane, alla frza R smma eriale delle frze P e T, ciè : P + T = R = ma essend a l accelerazine pssedua dalla massa m quand quesa percrre l arc di circnferenza AOBOA. La relazine [] ci dice che T si può decmprre in due pari : una uguale e cnraria al cmpnene nrmale ( P n ) del pes, l alra uguale alla frza cenripea che maniene la massa m sulla raieria cura. In alre parle, nel cas dinamic, la ensine T è sempre maggire ( uguale ) di quella del cas saic ed il su mdul, ad gni isane, è la smma del mdul di P n e del mdul della frza cenripea R n ( T = P + R ). Rn = T Pn = m ac = m = frza cenripea = frza necessaria per manenere il pendl n n n lung un arc di circnferenza di cer C e ragg. Il risulane R si decmpne nei due cmpneni : R n frza nrmale che csiuisce la frza cenripea che maniene la massa m sulla raieria circlare ; R frza angenziale mrice ariabile è la frza di richiam su m che ende a ricndurla nella sua psizine O. [ R = P = m a ] Effei prdi da R n Se rieniam il segmen AC da A ers C l equazine eriale Pn + T = Rn = m an si raduce nell equazine scalare : Pn + T = m a T P m a mg m = n n + c = csϑ + [3] T = mgcsϑ + m = ensine isananea del fil U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 5 di 33

26 6 Unià Didaica N 08 M Curiline La ensine massima si ha nel pun O, la ensine minima si ha nei puni A e B de la massa è in quiee ma nn in equilibri ( A = ). B Ad gni isane il mdul della ensine è la smma dei mduli del cmpnene nrmale del pes P e della frza cenripea R n Quand il pendl ccupa la psizine O abbiam : T O ( 3 csϑ ) = m g + g h = mg ϑ = 0 P = mg, Effei prdi da R R = n g h m Fissiam sulla raieria circlare, cme ers psii quell anirari e cme rigine la psizine di equilibri O. Gli archi di circnferenza sarann misurai a parire da O e gli angli a parire dal la CO. La lunghezza s dell arc è legaa all angl ϑ dalla seguene relazine : s = ϑ ϑ= s L equazine eriale : R = P = m a si raduce nell equazine scalare : mg sinϑ = m a ciè : a = g sinϑ [4] de il segn men sa ad indicare che la frza P ( e quindi anche l accelerazine a ) ha ers pps a quell dell spsamen, ciè la frza P è direa nel ers di ϑ decrescene. * La [4] ci dice che il m del pendl semplice nn è un m armnic semplice. Per piccle scillazini ( ϑ< 5 ) è leci prre : sinϑ s = ϑ = La [4] diena : g [5] a = s = ω s aend ps : ω = g [6] Per ϑ sufficienemene piccl la frza P agene su m assume la frma : P m a m g = = s = mω s = k s [7] k k = mω, ω = = m g, ω = g, ω π = T, T π = = π, g ω g = 4 π [8] T * all spsamen curiline OA riena da O ers A, ppure al ere psizine A K se ϑ è piccl, al ere psizine A O negli alri casi U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 6 di 33

27 Unià Didaica N 08 M Curiline 7 Per piccli spsameni il m del pendl semplice è armnic in quan P è una frza elasica di richiam ciè del ip P = k s ciè prprzinale all spsamen e direa in ers pps. Le frmule [8] ci cnsenn di ricaare le segueni 4 leggi del pendl semplice : 1) Il perid di scillazine di un pendl semplice nn dipende dalla sua massa. Ques significa che a parià di lunghezza un pendl cn una massa di acciai ed un alr cn una massa di sugher hann uguale perid di scillazine. ) Il perid è direamene prprzinale alla radice quadraa della sua lunghezza ed inersamene prprzinale alla radice quadraa dell accelerazine di graià. 3) Le piccle scillazini sn ISOCRONE, ciè nn dipendn dall ampiezza di scillazine ( sempre che quesa nn superi i 5 ). Quindi il perid di scillazine, ciè il emp impiega dal pendl a cmpiere una scillazine cmplea, è indipendene dall ampiezza dell arc, purché ess sia piccl. 4) Il pian di scillazine si maniene csane. Ess cincide cl pian ericale passane per il pun fiss C ( slidale cl sisema di riferimen scel per analizzare il m del pendl semplice ) e per la psizine iniziale del pendl. Se ciò nn si erifica si ha una pra che il sisema di riferimen scel nn è inerziale. In realà il m del pendl è smrza a causa degli arii delle sspensini e dell aria. Per indiiduare il m del pendl ccrre specificare la psizine iniziale e la elcià iniziale della massa m. La elcià nel pendl semplice Se rascuriam la resisenza dell aria, sulla massa m agiscn due frze : 1) la ensine T nel fil che nn cmpie lar essend sempre perpendiclare alla direzine del m ( spsamen isanane ) ) il pes P che è una frza cnseraia. In ques slan frze cnseraie esegun lar per cui l energia meccanica ale della massa m si cnsera. Assumiam cme riferimen per l energia penziale ( ) la rea r angene all arc di circnferenza nel pun di equilibri O. Nella psizine iniziale A ed in quella finale B la massa m è in quiee. Sia h la disanza fra le ree parallele r ed AB. ( ) l zer per l energia penziale U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 7 di 33

28 8 Unià Didaica N 08 M Curiline Applicand il erema di cnserazine dell energia meccanica ale abbiam : TA + UA = TM + UM ciè : 0 h = OC CK = cs ϑ = ( 1 cs ϑ ) h = OC SC = cs ϑ = ( 1 cs ϑ) 1 + mgh = m + mgh = gh ( ) h [9] h h = (csϑ cs ϑ ) = g (csϑ cs ϑ ) [10] La [3] diena : [11] T = mg( 3csϑ cs ϑ ) La [11] è alida per qualsiasi ampiezza ϑ dae che per l angl ϑ nn è saa faa alcuna apprssimazine. Pendl semplice : cnsiderazini sineiche finali R = P + T = ma R + Rn = P + T + Pn + Tn = ma + man F + Fc = P + T + Pn + Tn = ma + man F = P + T = P = ma T = Fc = Pn + Tn = Pn + T = mac F = P + T = P = ma ma = mg sinϑ a = g sinϑ F = P + T = P + T = ma c n n n c T Pn = m ac T m g csϑ = m T = m g csϑ + m Il pendl semplice si mue di m scillari circlare ari. U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 8 di 33

29 Unià Didaica N 08 M Curiline 9 U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 9 di 33

30 30 Unià Didaica N 08 M Curiline U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 30 di 33

31 Unià Didaica N 08 M Curiline 31 Un pendl frma da un fil di lunghezza e da una pallina di massa m, si ra nella sua psizine di equilibri A. Quale elcià dbbiam imprimere alla pallina affinché quesa cmpia un gir cmple in un pian ericale senza ricadere. B M La elcià dee essere ale da permeere alla pallina di raggiungere la psizine B e di prseguire il su cammin lung la circnferenza di O M C cenr O e raggi. Oeniam ques impnend che l energia meccanica ale in A sia uguale all energia meccanica ale in B e che la ensine nel pun più al B sia nulla. M A V K A + U A = K B + U B U A = 0, U B = m g, 1 1 m m A = B + mg = 4g = 4g A B + B A Le frze che agiscn lung la direzine del fil sn la ensine del fil T, la frza cenripea F n, il cmpnene nrmale del pes P n. La legge fndamenale della dinamica ule che sia : Fn = T + P n. Nella psizine B abbiam : F n = T + Pn, T = F n Pn Da che la ensine T del fil nn può essere negaia, il alre minim pssibile in B é zer. F n Pn 0, Fn Pn, m B mg, g, 4 g g, 5 g B A A A 5g Se alla pallina del pendl imprimiam una elcià A 5g allra essa nn sl raggiunge la psizine più ala B, ma prsegue lung la circnferenza di cenr O e raggi. U.D. N 18 Il pendl semplice Pagina 31 di 33

32 Unià Didaica N 08 M Curiline 3 Pendl cnic U.D. N 18 Il pendl cnic Pagina 3 di 33

33 33 Unià Didaica N 08 M Curiline Calcl del perid di razine Abbiam ra l sess risula enu dall sserare inerziale. U.D. N 18 Il pendl cnic Pagina 33 di 33