(c) Determinare per quali valori di h la varietà lineare delle soluzioni del sistema ha dimensione 2:
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- Samuele Filippi
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1 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 8 gennaio 6 Maricola: Anno di corso: x. (6 p) Si consideri il sisema lineare AX = B, dovex z A è i l v e o r e d e l l e incognie, A e B sono le segueni marici dipendeni dal paramero reale h: 6 h h+6 6, B = h +6 3 h +3 h +3 (a) Deerminare il rango di A al variare di h: +h h. 3 h (b) Deerminare per quali valori di h il sisema ammee soluzioni: (c) Deerminare per quali valori di h la varieà lineare delle soluzioni del sisema ha dimensione : (d) Poso h =,deerminareunarappresenazioneparamericaperlavarieà lineare delle soluzioni:. (6 p) Fissao un sisema di riferimeno caresiano orogonale R(O, î, ˆ, ˆk) nello spazio, si considerino i puni, B = e C =.Deerminare: (a) l equazione in forma caresiana del piano conenene i puni A, B e C: (b) la rea r = AB mediane equazioni caresiane: (c) l equazione caresiana del piano orogonale a r epassanepero: (d) la disanza di C da :
2 3. (6 p) Si considerino le seguene marici quadrae di ordine 3: e B = 3. 3 (a) Deerminare gli auovalori delle marici A e B, conrelaivemoleplicià algebriche e geomeriche. (b) Deerminare le equazioni caresiane degli auospazi per la marice A. (c) Le marici A e B sono simili? Giusificare espliciamene la risposa. 4. (6 p) Si consideri il seguene soospazio di R 4 : 8 9 < x = U A R 4 x +y + = ;. (a) Trovare una base orogonale B U di U: (b) Fornire in forma caresiana le equazioni del soospazio U? : (c) Deerminare le proiezioni orogonali del veore w = complemenari U e U? : A sui soospazi
3 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 8 gennaio 6 Maricola: Anno di corso: x. (6 p) Si consideri il sisema lineare AX = B, dovex z A è i l v e o r e d e l l e incognie, A e B sono le segueni marici dipendeni dal paramero reale h: h +5 6 h 6, B = h + h +5 3 h + (a) Deerminare il rango di A al variare di h: h h. h (b) Deerminare per quali valori di h il sisema ammee soluzioni: (c) Deerminare per quali valori di h la varieà lineare delle soluzioni del sisema ha dimensione : (d) Poso h =,deerminareunarappresenazioneparamericaperlavarieà lineare delle soluzioni:. (6 p) Fissao un sisema di riferimeno caresiano orogonale R(O, î, ˆ, ˆk) nello spazio, si considerino i puni, B = e C =.Deerminare: (a) l equazione in forma caresiana del piano conenene i puni A, B e C: (b) la rea r = AB mediane equazioni caresiane: (c) l equazione caresiana del piano orogonale a r epassanepero: (d) la disanza di C da :
4 3. (6 p) Si considerino le seguene marici quadrae di ordine 3: 4 e B = (a) Deerminare gli auovalori delle marici A e B, conrelaivemoleplicià algebriche e geomeriche. (b) Deerminare le equazioni caresiane degli auospazi per la marice A. (c) Le marici A e B sono simili? Giusificare espliciamene la risposa. 4. (6 p) Si consideri il seguene soospazio di R 4 : 8 9 < x = V A R 4 z = x + y = ;. (a) Trovare una base orogonale B V di V : (b) Fornire in forma caresiana le equazioni del soospazio V? : (c) Deerminare le proiezioni orogonali del veore w = complemenari V e V? : A sui soospazi
5 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 8 gennaio 6 Maricola: Anno di corso: x. (6 p) Si consideri il sisema lineare AX = B, dovex z A è i l v e o r e d e l l e incognie, A e B sono le segueni marici dipendeni dal paramero reale h: 6 h +9 h +3 6, B = h +3 h +3 h h (a) Deerminare il rango di A al variare di h: h h 3. 3 h (b) Deerminare per quali valori di h il sisema ammee soluzioni: (c) Deerminare per quali valori di h la varieà lineare delle soluzioni del sisema ha dimensione : (d) Poso h =3,deerminareunarappresenazioneparamericaperlavarieà lineare delle soluzioni:. (6 p) Fissao un sisema di riferimeno caresiano orogonale R(O, î, ˆ, ˆk) nello spazio, si considerino i puni 4, B = e C =.Deerminare: (a) l equazione in forma caresiana del piano conenene i puni A, B e C: (b) la rea r = AB mediane equazioni caresiane: (c) l equazione caresiana del piano orogonale a r epassanepero: (d) la disanza di C da :
6 3. (6 p) Si considerino le seguene marici quadrae di ordine 3: e B = 3. (a) Deerminare gli auovalori delle marici A e B, conrelaivemoleplicià algebriche e geomeriche. (b) Deerminare le equazioni caresiane degli auospazi per la marice A. (c) Le marici A e B sono simili? Giusificare espliciamene la risposa. 4. (6 p) Si consideri il seguene soospazio di R 4 : 8 9 < x = U A R 4 x y + z = ;. (a) Trovare una base orogonale B U di U: (b) Fornire in forma caresiana le equazioni del soospazio U? : B C (c) Deerminare le proiezioni orogonali del veore w A sui soospazi complemenari U e U? :
7 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 8 gennaio 6 Maricola: Anno di corso: x. (6 p) Si consideri il sisema lineare AX = B, dovex z A è i l v e o r e d e l l e incognie, A e B sono le segueni marici dipendeni dal paramero reale h: h + 6 h +8 6, B = h h + h + h (a) Deerminare il rango di A al variare di h: h 3 h 4. 5 h (b) Deerminare per quali valori di h il sisema ammee soluzioni: (c) Deerminare per quali valori di h la varieà lineare delle soluzioni del sisema ha dimensione : (d) Poso h =4,deerminareunarappresenazioneparamericaperlavarieà lineare delle soluzioni:. (6 p) Fissao un sisema di riferimeno caresiano orogonale R(O, î, ˆ, ˆk) nello spazio, si considerino i puni, B = e C = 3.Deerminare: (a) l equazione in forma caresiana del piano conenene i puni A, B e C: (b) la rea r = AB mediane equazioni caresiane: (c) l equazione caresiana del piano orogonale a r epassanepero: (d) la disanza di C da :
8 3. (6 p) Si considerino le seguene marici quadrae di ordine 3: 4 e B = (a) Deerminare gli auovalori delle marici A e B, conrelaivemoleplicià algebriche e geomeriche. (b) Deerminare le equazioni caresiane degli auospazi per la marice A. (c) Le marici A e B sono simili? Giusificare espliciamene la risposa. 4. (6 p) Si consideri il seguene soospazio di R 4 : < x = < x = U A R 4 x + z + = y = ;,V A R 4 x + y = x z + = ;. (a) Trovare una base orogonale B V di V : (b) Fornire in forma caresiana le equazioni del soospazio V? : (c) Deerminare le proiezioni orogonali del veore w = complemenari V e V? : C A sui soospazi
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