Posizione-Spostamento-velocità media. t 3. x 3. x ( t 3 ) = x 3. x ( t 4 ) = x 4. caso particolare di moto unidimensionale. r!

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1 Posizione-Sposameno-velocià media Consideriamo un puno maeriale che si muove nel empo lungo una rea (moo unidimensionale) ( 1 ) = 1 ( 2 ) = 2 ( 3 ) = 3 ( 4 ) = 4 ( 5 ) = 5 v, ʹ < 1 < 2 < 3 5 < < 2 < 3 < 4 5 Ø Se la paricella si muove nell inervallo di empo Δ=ʹ- lo sposameno della paricella è definio: Δr = ʹ Δ = ʹ r r caso paricolare di moo unidimensionale Ø La velocià media della paricella è daa dal rapporo ra lo sposameno e l inervallo di empo Δ in cui esso è avvenuo: v, ʹ = Δ r Δ = r ' r ' caso paricolare di moo unidimensionale = ' ' v 1 = 2 1 > 0 v 4 = 5 4 < 0 v,, = 5 1 = 0, NB: la scela ( arbiraria) della direzione posiiva del moo deermina il segno delle velocià la velocià media nel SI si misura in m/s

2 Posizione-Sposameno-velocià media (2) y = an 4 α Δ α<0 Ø La linea curva è una delle possibili rappresenazioni grafiche della posizione del puno maeriale -π/2<<0 per ui 0<<π/2 gli isani di empo 2 Δ compresi nell inervallo ra 1 e 5 Ø Il moo è esaamene deerminao se e solo se è definio in ogni isane 1= 5 v = Δ Δ = anα > 0 # " = 0 # $ < 0 Se α>0 Se α=0 Se α<

3 Velocià scalare media (2) NB: La velocià media è differene dal conceo comune di velocià, che in fisica viene chiamaa velocià scalare media. La velocià scalare media ( in inglese speed ) ( quella che segna il conachilomeri) è pari al rapporo ra il percorso effeuao ed il empo impiegao per farlo. La velocià media ( in inglese velociy è invece il rapporo ra lo sposameno ed il empo in cui è avvenuo lo sposameno). v scalare = p Δ Velocià scalare media 3 v = Δ Δ Velocià media 4 Δ p Es: se p= 300 m e 5-1 =30 s 2 α v scalare = p Δ = m s = 10m s v = Δ Δ = = 0 30 m s = 0m s 1 =

4 Δ= ʹ- Δ= ʹ- Velocià media v = Δ Δ = anα Velocià isananea La velocià isananea all isane è l inclinazione della rea angene alla curva nel puno v = anα * Ma quano vale la velocià in un isane paricolare all inerno dell inervallo di empo Δ? ʹ ʹ ʹ α* Δ α Δ α Δ Deerminiamo per esempio la velocià isananea all isane Riduciamo l inervallo di empo in cui andiamo a considerare la velocià media fino al limie endene a 0 ( lim ) Velocià isananea: v = lim Δ 0 Δ 0 Δ Δ = d d Derivaa di rispeo al empo Δ ʹ Δ Δ ʹ ʹ La velocià isananea può essere posiiva, negaiva o nulla A v > 0 Se la curva è crescene, cioè se lo sposameno è posiivo B C v = 0 v < 0 Se la curva ha un massimo o un minimo, cioè se il moo sa cambiando verso Se la curva è decrescene, cioè se lo sposameno è verso le negaive

5 Moo reilineo uniforme Ø Immaginiamo una paricella che si muova lungo un asse () con velocià cosane: Se la velocià rimane cosane nel empo la velocià isananea in un qualsiasi isane e quella media presa in un qualsiasi inervallo di empo sono uguali v = v = cosane La pendenza della funzione (), che rappresena l equazione oraria del moo, rimane cosane Indichiamo: Ø con i la posizione della paricella all isane =0, () Ø con la posizione della paricella al generico isane, Ø con v 0 la velocià cosane v = v o = ( ) i 0 v o = ( ) i ( ) = i + v o Equazione di una rea di inercea i e pendenza v 0 L equazione che descrive un moo reilineo uniforme è una rea di inercea i e pendenza v 0 v v 0 L equazione che descrive la velocià (in funzione del empo) di un moo reilineo uniforme è una rea parallela all asse delle

6 Accelerazione media ed accelerazione isananea Ø Quando la velocià di una paricella cambia nel empo si dice che Supponiamo che una paricella in moo lungo l asse abbia velocià v i all isane i e velocià v f all isane f Si definisce a della paricella nell inervallo di empo Δ= f - i il veore dao dal rapporo: a = Δ v Δ = Δv Δ î = v f v i f i î accelerazione media Δv = variazione di v nell'inervallo di empo Δ Ø L accelerazione media in un cero inervallo Δ misura la variazione della velocià nell inervallo di empo sesso Ø L accelerazione media è uguale alla pendenza della rea che congiunge le velocià corrispondeni agli isani iniziale e finale nel grafico velocià-empo v v f v i i v () α Δ f Si definisce dell accelerazione media: accelerazione isananea a = lim Δ 0 a della paricella il limie per Δ 0 Δ v v Δ = lim f v i Δ 0 f i î = dv d î

7 Accelerazione NB : L accelerazione, come la velocià può essere posiiva, negaiva o nulla. a > 0 Ø L accelerazione è direa lungo l asse delle posiive Ø La velocià aumena in modulo se il corpo si sa muovendo nel verso delle posiive Ø La velocià diminuisce in modulo se il corpo si sa muovendo in verso delle negaive a < 0 Ø L accelerazione va nella direzione delle negaive Ø La velocià aumena in modulo se il corpo si sa muovendo nel verso delle negaive Ø La velocià diminuisce in modulo se il corpo si sa muovendo in verso le posiive NB: Un accelerazione negaiva NON SIGNIFICA NECESSARIAMENTE che la paricella si sia muovendo nel verso delle negaive, né che la paricella sia rallenando; ma che l accelerazione TENDE a far andare la paricella nel verso delle negaive. In generale: ² l accelerazione fa rallenare la paricella se accelerazione e sposameno (e velocià) hanno verso opposo ² L accelerazione fa aumenare la velocià se accelerazione e sposameno ( e velocià) hanno sesso verso

8 Uleriore informazione sull accelerazione Ø L accelerazione di un corpo può essere deerminaa anche a parire dal grafico di (). Ø In queso ipo di diagramma abbiamo viso che v =d/d rappresena è la pendenza del grafico. Ø L accelerazione a dà la rapidià con cui varia quesa pendenza si ha infai che: a = dv d = d2 d a > 0 a < 0 a 0 hps://phe.colorado.edu/sims/projecile-moion/projecile-moion_i.hml

9 Esempio Supponiamo che l equazione del moo di una paricella sia daa da: () = (4.0m # " $# s) + (1.1m # " s3 $ ) A 1) Deerminare le espressioni della velocià v e dell accelerazione a. 2) Cosruire il grafico di v in funzione di nell inervallo ra = 0s e = 4.0s 3) Deerminare a per =1.0 s e racciare la rea angene al grafico v, la cui B # 3 pendenza è pari a queso valore di a 1) 2) v = d d = d A = 4.0 m s B = 1.1m s a d = 2 d 3 ( A + B ) 3 d dv = d = d = A + 3B 2 2 ( A + 3B ) d = 4.0m = 6B s + 3.3m = 6.6 m s s (s) v (m/s) 0, ,0 7,3 2,0 17 3,0 33 v A = 4.0 m B = 1.1m s s 3 4, ) a ( 1.0s) = 6.6 m s 1s = 6.6 m s 3 2

10 Moo uniformemene accelerao(1) Quando l accelerazione è cosane nel empo il moo si dice uniformemene accelerao Ø L accelerazione media e quella isananea sono uguali in ogni isane Ø La velocià cresce o decresce con la sessa rapidià per uo il empo. v = v 0 + a 0 a = a = cosane SE: v 0 =v (0) => velocià della paricella all isane =0 v =v () => velocià della paricella al generico isane a = a 0 = cos => accelerazione cosane in Equazione di una rea di inercea v 0 e pendenza a 0 a = a 0 = Δv Δ = v v 0 v v 0 0 In un moo uniformemene accelerao: la velocià v ad un insane è la somma della velocià all isane iniziale v 0 e della variazione di velocià (a 0 ) dovua alla presenza di un accelerazione La velocià è la derivaa rispeo al empo dello sposameno : Lo sposameno è l inegrale della velocià: () = v d + c = ( v 0 + a 0 ) d + c = cosani v = d d v 0 d " # $# + a d 0 " # $# + c = v a c v 0 d a 0 d

11 Moo uniformemene accelerao(2) ( ) = c + v a 0 2 ( ) = c = = 0 () = 0 + v a 0 2 c = 0 Equazioni del moo uniformemene accelerao # # " # # $ # () = 0 + v a 0 2 v () = v 0 + a 0 a = a 0 = cosane Eq. di una parabola Eq. di una rea Rea parallela all asse delle NB: nel caso paricolare di a=0 si riorna al caso di moo reilineo uniforme infai: () = 0 + v a 0 2 = 0 + v 0 v 0 ( ) = v 0 + a 0 = v 0 = cosane 0

12 Cadua libera del grave Caso paricolare di moo uniformemene accelerao Approssimazione: assenza della resisenza dell aria un corpo qualsiasi lasciao cadere da una cera alezza (con velocià iniziale nulla) raggiungerà il suolo sempre nello sesso empo, indipendenemene dalla sua massa e forma Tui gli oggei ( in queso esempio una piuma ed una mela), in assenza di ario dell aria, cadono sulla erra con la sessa accelerazione di modulo g = 9.81 m/s 2 menre la loro velocià aumena linearmene con il empo g = Accelerazione graviazionale, cosane sempre direa verso il suolo ( cenro della erra) g = 9.81m s 2

13 Cadua libera del grave(2) y y() = y 0 + v g2 v y () = v 0 + g a y = +g y y() = y 0 + v g2 v y () = v 0 g a y = g NB: nella cadua del grave siamo facendo due assunzioni che sono in realà delle approssimazioni: 1) Siamo rascurando la resisenza dell aria 2) Siamo considerando g cosane ( in realà g diminuisce allonanandosi dalla superficie della erra, a 10 km di alezza essa vale circa 9.77 m/s 2 poiché in realà g=(gm erra )/R 2 dove G è una cosane universale, M è la massa della erra e R è la disanza dal cenro della Terra Il valore che usiamo noi è l accelerazione graviazionale al livello del suolo dove R è proprio il raggio della Terra.)

14 hps://

15 y Esempio Una piera è lanciaa dal puno A di un edificio con una velocià iniziale v y0 di 20 m/s. L edificio è alo 50m e la piera sfiora il bordo dell edificio quando orna giù. a)deerminare il empo impiegao dalla piera per raggiungere la sua alezza massima. b)deerminare l alezza massima al di sopra dell edificio c)deerminare il empo impiegao dalla piera per riornare al livello del lanciaore d) Deerminare la velocià in quell isane e)deerminare la velocià e la posizione della piera quando =5.00s f)deerminare la posizione della piera per =6.00 s La piera (assimilabile ad una paricella) sale arriva al puno B e comincia a riscendere verso il basso perché l accelerazione graviazionale è sempre direa verso il suolo. (approssimazione assenza resisenza dell aria => moo uniformemene accelerao) B =? v y = v y0 + a = v y0 g v B = v y0 g B = 0 g B = v y0 B = v y0 g = s = 2.04s y B =? y = y 0 + v y a2 = y 0 + v y0 1 2 g2 ( ) m 1 2 y B = y A + v y0 b 1 2 g 2 = B ( ) 2 m = 20.4m

16 Esempio(coninua).. a)deerminare il empo impiegao dalla piera per raggiungere la sua alezza massima. B = 2. 04s b)deerminare l alezza massima al di sopra dell edificio y B = 20. 4m c)deerminare il empo impiegao dalla piera per riornare al livello del lanciaore d) Deerminare la velocià in quell isane e)deerminare la velocià e la posizione della piera quando =5.00s f)deerminare la posizione della piera per =6.00 s C =? y = y C + v 1 0 y0 2 g2 = 0 v 1 y0 2 g2 = v 1 y0 2 g = soluzioni: 1) =0, 2) = 2 0 = s = 4.08s Isane iniziale ( la piera è in A) v y g v C =? Quesa dovrese saperla al volo v C = v y0 g C v C = v y0 g C = 20.0m s m s = 20.0m s vd =? v D = v y0 g D = 20.0m s m s = 29.05m s y =? y D = +v y0 1 2 g2 = m D 2 m = 22.6m ye =? y D = +v y g2 = m m = 56m => y 2 D = 50m NB: y E verrebbe -56m ma dopo 50 meri ha raggiuno il suolo => non può andare più giù

17 Moo in due dimensioni In naura moli dei moi si sviluppano su un piano, sono cioè moi bidimensionali. Esempi di moi bidimensionali sono: Ø Moo di un proieile => la raieoria è una parabola; Ø Moo dei pianei inorno al sole => la raieoria è un ellisse; Ø Moo di un elerone in un campo elerico uniforme; y e Ø Moi di un cavallino da giosra => moo circolare uniforme

18 Moi in due dimensioni-veori posizione, sposameno e velocià media Espandiamo quano appreso per il moo unidimensionale al moo di una paricella nel piano y Ragioneremo quindi in ermini di veori SPOSTAMENTO, VELOCITÀ MEDIA, VELOCITÀ ISTANTANEA, ACCELERAZIONE MEDIA, ACCELERAZIONE ISTANTANEA in analogia con quano viso nel caso unidimensionale in cui raavamo con la sola componene di ali veori VETTORE POSIZIONE VETTORE SPOSTAMENTO r î + yĵ Δ r r f r i Durane il moo variano nel empo r ( ) = ( ) î + y ( ) ĵ Il moo della paricella è definio se il veore è noo in ogni isane r ( ) Δr ( ) = r ( ) r ( ) f i VETTORE VELOCITÀ MEDIA Δ v Δ r Δ y i ˆj Poiché la velocià media è daa dal rapporo del veore sposameno con uno scalare (Δ) anche la velocià media è un veore ed è direa come Δr y f ˆj iˆ i f iˆ

19 Moo in due dimensioni- veore velocià isananea (1) NB: Poiché lo sposameno non dipende dal percorso effeuao per andare dalla posizione all isane iniziale A alla posizione all isane finale B anche la velocià sarà indipendene dal percorso ra i due puni e quindi anche nel moo bidimensionale la velocià media sarà nulla se il puno iniziale e finale coincidono Prendiamo una raieoria bidimensionale e consideriamo un puno maeriale che dalla posizione A sulla raieoria si sposa in un inervallo di empo Δ nella posizione B. Se pensiamo di ridurre sempre di più l inervallo di empo, la posizione raggiuna dal puno in ale inervallo si avvicinerà sempre di più ad A ed la direzione del veore sposameno si approssimerà sempre di più a quella della angene alla curva in A Nel limie di Δ 0 si oiene il veore velocià isananea: VETTORE VELOCITÀ ISTANTANEA v lim Δ 0 Δ r Δ = d r d Derivaa del veore posizione rispeo al empo

20 Moo in due dimensioni- veore variazione della velocià isananea NB:Il veore velocià isananea è direo, in ogni puno della raieoria come la angene alla raieoria in quel puno e nel verso del moo Quando un puno si muove sul piano y il veore velocià varia isane dopo isane in modo da rimanere sempre angene alla raieoria y A v i v i r i B v f v f Δ v = v f v i rf O Δ v = v f + ( v i ) v f Si inroduce quindi il veore: v i Veore Variazione della velocià isananea Δ v = v f v i