P posizione i occupata dal punto materiale all istante di tempo t: x ( t ) coordinata del punto P. x ( t ) = x ( t) i vettore posizione all istante t

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1 MOTO RETTILINEO: formalismo eoriale Il puno maeriale si muoe lungo una rea O O origine x () P asse X P posizione i occupaa dal puno maeriale all isane di empo : x ( ) coordinaa del puno P x ( ) x ( ) i eore posizione all isane

2 O x ( ) P Q asse X x ( +Δ) Δx Q posizione occupaa dal puno maeriale all isane di empo + Δ: x ( + Δ ) coordinaa del puno Q x( + Δ ) x( + Δ)i eore posizione all isane +Δ Δ x x ( + Δ ) x () Δ x i eore sposameno

3 Velocià eoriale media M x ( + Δ ) x ( ) Δx Δ Δ i Unià di misura della elocià: m / s Riporiamo in un piano (x,) le posizioni i i occupae dal puno in funzione del empo

4 x x() legge oraria x (+Δ) x () β Δx +Δ è rappresenaa graficamene da g β M β angolo ra l asse orizzonale e la secane alla cura x()

5 Velocià eoriale isananea Si suddiide Δx in ineralli sempre più piccoli (corrispondeni a Δ sempre più piccoli) finché non si possa assumere M ; al llimie i per Δ ( ( ) lim Δ Δx lim i Δ Δ M dx lim Δ ( ) i d x ( + Δ ) Δ l ià i l i elocià eoriale isananea deriaa rispeo al empo del eore posizione x ( )

6 x () x() legge oraria P P 3 P 1 P Δ 3 α β Δ Δ 1 () è rappresenaa graficamene da g α α angolo fra l asse orizzonale e la angene alla cura x() in

7 Se la elocià eoriale è ariabile si definisce l accelerazione eoriale media ( ) elocià all isane di empo ( + Δ ) elocià all isane di empo + Δ a M ( + Δ ) Δ ( ) Δ Δ i Unià di misura della accelerazione: m / s

8 Accelerazione eoriale isananea a() lim Δ a M lim Δ ( + Δ ) ( ) Δ a( d d dx d x() ( ) ( ) ) i i i d d d d

9 Tralasciando il formalismo eoriale ( ) ( )d dx ( ) x x x() x() x d x( ) x ( )d legge oraria d ( ) a()d ( ) () () () d + a ( ) d + ( ) a( ) d

10 MOTO RETTILINEO UNIFORME direzione di cosane, cosane eore cosane a x() () x ( ) x x() x d x( ) d d x x( ) x +( ) legge oraria del moo uniforme Se x( ) x +

11 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO ( ) () () a cosane ( ) d ( ) + a d ad ( ) + a ( ) Se ( () + a f1 f

12 Diaposiia 11 f1 fauzzi; 18//4 f fauzzi; 18//4

13 x() x + ( ) d [ + a ( ] x + ) d x + d + a ( ) d 1 x ( ) a( x( ) + + legge oraria del moo uniformemene accelerao )

14 1 x a Se x ( ) + + x a a e funzione della posizione x [x ( )] olre che del empo: d d dx a d dx d x 1 1 adx d x d dx 1 1 x Se a cosane ( ) a x

15 Grafici per il moo reilineo uniforme ( ) cosane x x α * * x ( ) x + g α

16 Grafici per il moo reilineo ( ) a uniformemene accelerao x a* * a cosane ( ) + a 1 x a x ( ) + + x *

17 CADUTA LIBERA DI UN GRAVE LUNGO LA VERTICALE a g m / s 1) condizioni i i iniziali i i :,, x h Il corpo arria al suolo all isane C Э x ( C ) x O h g x h g 1 g h C ( C ) g h g

18 ) condizioni iniziali :, 1, x h x( C ) 1 x h 1 g 1 1 g C ( g + g h) C 1 + ( ) g h

19 3) condizioni iniziali :, >, x g 1 x g Il corpo inizialmene sale Il moo si inere all isane Э ( M M ) M g

20 Il corpo raggiunge la posizione 1 x 1 g M g g ( ) Tempo impiegao i per raggiungere il suolo x( M ) C g M empo complessio g M g

21 MOTO ARMONICO SEMPLICE moo reilineo oscillaorio la raieoria è una rea legge oraria: ad es.: asse X x () A sen(ω +Φ Φ ) Φ ω + Φ fase all isane Φ fase iniziale ω pulsazione A ampiezza di oscillazione

22 dx() () + d a Aω cos ( ω ) Φ d() d ( ) Aω sen( ω +Φ ) ω x( ) Per Φ x() () T a() T T

23 Il puno maeriale riorna ad occupare la sessa posizione con la sessa elocià ad ineralli regolari di empo pari a T: x () x( + nt) A sen(ω + Φ ) A sen [ω( + nt) + Φ ] Essendo π il periodo della funzione seno dee alere l uguaglianza ω( ( + nt ) + Φ ω + Φ + n π

24 ω + Φ +ωnt ω + Φ + n π T π ω periodo ν 1 T ω π frequenza Unià di misura della frequenza: s 1 «herz» x () A sen ( ω +Φ Φ ) soluzione dell equazione differenziale d x() ω x() d + 1

25 MOTO PIANO In generale: moo curilineo ario O origine cura γ raieoria P posizione del puno all isane P 1 + Δ P O P 1γ P γ èd definia i la lunghezza dio P

26 O P P 1γ Fissao su γ un erso posiio (erso degli archi cresceni), si associa ad ogni puno P s() lunghezza di O P ascissa curilinea di P s s ( ) LEGGE ORARIA DEL MOTO s ( + ) lunghezza di O P 1 ( ) g 1 ascissa curilinea di P 1

27 s s ( + ) s ( ) PP 1 sposameno del puno lungo la raieoria M () () Δs Δ ds d elocià scalare media elocià scalare isananea Descriere il moo conoscere γ e ()

28 Velocià eoriale O r() P Δ r r ( +Δ ) P 1 γ r () OP ( ) eore posizione all isane r ( + Δ ) eore posizione i all isane +Δ Δr r ( + Δ ) r (), eore sposameno, ha la direzione della secane PP 1 M Δ Δ r elocià eoriale media

29 ( ) lim Δ M lim Δ r( + Δ) Δ r() dr d deriaa del eore posizione r( ( ) Per Δ P P muoendosi su γ 1 d r(), posizione limie di Δr, ha la direzione della angene a γ in P u ersore della angene T erso di u erso del moo T

30 d r d s sposameno infiniesimo lungo γ d r () d s u T ds ut d u T Δ r u T lim Δs Δs d r ds γ e u T caraerisiche inrinseche indipendeni d i dalla scela del sisema di riferimeno i

31 ACCELERAZIONE Variano modulo e direzione i di Accelerazione media Δ a M Δ () ( + Δ) Δ Accelerazione isananea Δ d d d a() lim ( ut ) ut+ Δ d d d Δ Valuiamo d u T d d u d T

32 u T ut 1 Differenziando dut ut + ut d u T ut dut d u u T T du 1 dφ T du T dφ un d d ersore della normale u N Pu T u N dφ P 1 u T () d Φ u T ( + d) direo erso la concaià della cura d a () u T + d dφ d u N du T

33 dφ d dφ ds P ds d R ds dφ R raggio di curaura raggio del cerchio osculaore a T d a ut+ un at+ d R a N accelerazione angenziale responsabile della ariazione del modulo di a N accelerazione cenripea responsabile della ariazione della direzione di R

34 a T a N a + a N a T N moo curilineo ario T a N a T R cosane moo circolare ario a a N T moo curilineo uniforme a N a T R cosane moo circolare uniforme

35 a a N T moo reilineo ario a a N T moo reilineo uniforme

36 Moo circolare uniforme Il puno maeriale si muoe lungo una circonferenza: cosane, angene alla circonferenza Y P θ P OP s all isane P O θ X OP s all isane ΔS P P s s s s + LEGGE ORARIA

37 ΔS πr RΔθ Δ T Δ indipendene da Δ Rω T periodo ν 1/ T frequenza Δθ ω Δ elocià angolare indipendene da Δ ω dθ d

38 θ θ θ dθ ωd ω θ θ θ + ω θ θ + ω legge oraria Definizione del eore ω dθ Modulo: ω d Direzione: al piano della raieoria Verso: definio dalla regola della mano desra ω ω

39 Direzione di ariabile a N ω R R a N accelerazione cenripea Se il moo circolare non è uniforme a T d d a T accelerazione angenziale

40 Si definisce accelerazione angolare α dω dω d θ d d d R αd d ω ω dω a T R αd ω ω αd ω ω + αd θ θ + ω d

41 Se α cosane ω θ θ ω + α + θ + ω d + α ( ω + α ) d d 1 θ θ + ω + α + α legge oraria

42 Inroduciamo il eore ω ω R d d ω d R a R+ ω d d d R ω V α R + ω a Τ + a Ν Se cosane, a T d d ω

43 MOTO PIANO IN COORDINATE CARTESIANE P(x,y) r OP xi +yj eore posizione i di P P e P puni proieai X Y x, y coordinae di P e P X Y Y P Y O P P X X dr d xi yj d d ( + ) dx d dy i+ j d X i + Y j

44 , elocià di P e P X Y X Y a d d d X i+ Y j a i + a j d d d X Y P X Menre P si muoe nel piano, e P si muoono lungo gli assi X e Y X Y con elocià, e accelerazioni a, a X Y X Y

45 MOTO PARABOLICO DI UN CORPO Puno maeriale lanciao con elocià : con una scela opporuna del sisema di riferimeno il moo si solge in un piano a g g j a a g X Y g 9.8 m / s X cos α Y sen α cos α cosane X sen α g Y Y V α g X accelerazione cosane

46 moo proieao di P X uniforme moo proieao di P uniformemene Y accelerao x() cos α y () sen α 1/ g leggi orarie equazioni parameriche della raieoria Eliminando si esprime y in funzione di x y xgα g cos x α equazione della raieoria: PARABOLA

47 Y V V erice della parabola O x V G X OG giaa, y G x G cos g cos g α α g α sen α

48 x G x V y( x ) V sen g α alezza massima V sen α cos α sen α, g g x G G cosα senα g empo di olo

49 MOTO CIRCOLARE UNIFORME IN COORDINATE CARTESIANE Y P Y P (x, y) P ω P θ P O X X θ θ + ω x () R cos θ R cos(ω+ θ ) y () R sen θ R sen(ω+ θ ) x +y R equazione della raieoria

50 X () R ω sen ( ω + θ ) () +θ Y R ω cos (ω θ ) a X () R ω cos ( ω + θ ) ω x () a () R ω sen (ω + θ ω () Y () ) y() Menre il puno maeriale si muoe di moo uniforme lungo la circonferenza, le sue proiezioni sugli assi X e Y si muoono di moi armonici di uguale ampiezza, sfasai di π /

51 MOTO PIANO IN COORDINATE POLARI u θ OP r u r P 1 P u u θ r dθ θ d u r dθ O uθ d d d dr d u r r u r u r + r d d d dr dθ u r + r uθ r + θ d d u r dr d + r dθ d

52 MOTO IN TRE DIMENSIONI Sisema caresiano OXYZ P(x,y,z) X P X Z P Z O P P Y Y r() OP() x() i +y()j + z() k eore posizione di P all isane P, P, P X Y Z puni proieai x, y, z coordinae di P, P, P X Y Z

53 dr d d d dx dy dz ( x i+ y j+ zk) i+ j+ k d d d i + j + x y z k,, elocià di P, P, P X Y z X Y Z a d d d X d Y d Z i + j + k d d d a a i+ a j+ x y a z k Il moo di P è la somma dei re moi reilinei di P, P, P lungo gli assi, con elocià X Y Z X, Y, z e accelerazioni a X, a Y, a z

54 LEGGI ORARIE DEI MOTI RETTILINEI x() y() z() () x + x (' )d' y + y(' )d' + (' z ) z )d' r () r + (' )d'

55 MOTO RELATIVO RETTILINEO UNIFORME O origine del sisema di riferimeno fisso O origine del sisema di riferimeno in moo raslaorio uniforme rispeo al primo All isane O O P(x,y,z) in O P(x,y,z ) in O cosane O direa lungo X Z O Z O X X P Y Y

56 OO O OP OO + O P O POP OP OP OO Z Z O P Y O Y (1) X X x x O y y y z z rasformazioni di Galileo Il empo è assoluo, indipendene dal sisema di riferimeno

57 Deriando le (1) rispeo al empo x x O () y y z z Deriando le () a a x x a a a a y y a a z z I due sisemi di riferimeno sono equialeni nella descrizione del moo

58 Moo nel piano moo lungo X: COMPOSIZIONE DI MOTI armonico semplice + reilineo uniforme moo lungo Y: armonico semplice con cenro in YR x R senω + ωr y R cosω +R con ωr Y P la raieoria è una cicloide O X

59 Moo nello spazio moo lungo X: armonico semplice moo lungo Y: armonico semplice moo lungo Z: reilineo uniforme x R cosω y R senω z Z La raieoria è un elica, di passo cosane, che ha curaura e orsione cosane Z x + y + z ω R + z cosane X Y